第十一章 算法初步、推理与证明、数系的扩充

第十一章 算法初步、推理与证明、数系的扩充

(时间：120分钟 满分：150分)

一、 选择题(每小题5分，共60分) 1. (2015·湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为(A) A. i B. －i C. 1 D. －1

解析 i 607＝i 4×

151·i 3＝－i ，∴i 607的共轭复数为i ，选A. 2. (2016·玉林期中)现有如下错误推理：“复数是实数，i 是复数，所以i 是实数”．其错误的原因是(C)

A. 使用了归纳推理

B. 使用了类比推理

C. 使用了“三段论”，但大前提错误

D. 使用了“三段论”，但推理形式错误

解析 大前提：“复数是实数”，小前提：“i 是复数”，结论：“i 是实数”使用了“三段论”，但大前提错误．故选C.

3. (2015·通州质检)命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了(B)

A. 分析法

B. 综合法

C. 综合法、分析法综合使用

D. 间接证明法

解析 证明过程是“从左往右”，即由条件推出结论是综合法．故选B. 4. 要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明(D)

A. 2ab －1－a 2b 2

≤0 B. a 2

＋b 2

－1－a 4＋b 4

2

≤0

C. （a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0

D. (a 2－1)(b 2－1)≥0

解析 由a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，得(a 2－1)(b 2－1)≥0. 5. 下面程序运行后输出的结果为(A)

a ＝4

b ＝10

IF a ＜0 THEN a ＝b －2 ELSE

b ＝a ＋1 END IF

PRINT a ＋b ，b －a

A. 9，1

B. 12，4

C. 5，6

D. 7, 8

解析 ∵a ＝4>0，∴b ＝4＋1＝5，则输出9，1. 6. 复数2＋i 与复数

1

3＋i

在复平面上的对应点分别是A ，B ，则∠AOB 等于(B) A. π6 B. π4 C. π3 D. π2

解析 ∵点A ，B 对应的复数分别是2＋i 与1

3＋i ＝3－i 10

，∴A(2，1)，B ????310，－110，

∴tan ∠xOA ＝12，tan ∠xOB ＝1

3，tan ∠BOA ＝tan(∠xOA ＋∠xOB)＝12＋131－12×1

3＝1，则∠BOA

＝π

4

，故选B. 7. (2015·大同调研)对于函数f(x)，若存在非零常数a ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x)＝f(2a －x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是(D)

A. f(x)＝x

B. f(x)＝x 2

C. f(x)＝tan x

D. f(x)＝cos(x ＋1)

解析 由准偶函数的定义可知，其函数图象有一条与y 轴平行而不重合的对称轴，所以A ，B ，C 三者不对，故选D.

8. (2015·天津高考)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为

(B)

A. －10

B. 6

C. 14

D. 18

解析 输入S ＝20，i ＝1；i ＝2×1，S ＝20－2＝18，2＞5不成立；i ＝2×2＝4，S ＝18－4＝14，4＞5不成立；i ＝2×4＝8，S ＝14－8＝6，8＞5成立．输出6，故选B.

9. (2015·海淀模拟)下面给出了关于复数的三种类比推理： ①复数的加减法运算法则可以类比多项式的加减法运算法则； ②由向量a 的性质|a |2＝a 2类比复数z 的性质|z|2＝z 2；

③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义． 其中类比错误的是(C)

A. ①③

B. ①②

C. ②

D. ③

解析 对于复数的加减法运算法则判断出①对；对于②若z ＝i ，就不成立，故错；对于③复数加法的几何意义判断出③对．故选C

10. 函数f(x)的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1

A.

114 B. 218 C. 5

2

D. 无法确定 解析 由f(1－x)＝1－f(x)，令x ＝0，得f(1)＝1－f(0)，∵f(0)＝0，∴f(1)＝1.由②，令

x ＝1，得f ????13＝12f(1)＝12.由③，令x ＝12，得f ????12＝1－f ????12，∴f ????12＝12.再由②，令x ＝12，得f ????16＝12f ????12＝14.②中再令x ＝13，得f ????19＝12f ????13＝14.又函数f(x)在[0，1]上为非减函数，19<18<17<16，∴14＝f ????19≤f ????18≤f ????17≤f ????16＝14，故f ????18＝f ????17＝14.∴f(1)＋f ????12＋f ????13＋f ????16＋f ????17＋f ????18＝1＋12＋12＋14＋14＋14＝11

4

. 11. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝????1＋cos 2nπ2a n ＋sin 2nπ

2，则该数列的前18项和为(D)

A. 2 101

B. 2 012

C. 1 012

D. 1 067

解析 由题意可求a 3＝a 1＋1，a 5＝a 3＋1＝a 1＋2，∴奇数项为公差为1，首项为1的等差数列，共有9项，∴S 奇＝9×（1＋9）

2＝45，偶数项a 4＝2a 2，a 6＝2a 4＝22a 2，∴偶数项为

以2为首项，2为公比的等比数列，共有9项，∴S 偶＝2×（1－29）

1－2＝－2＋210，∴S 奇＋S

偶

＝45－2＋210＝1 067.

12. 一支人数是5的倍数且不少于1 000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．则这只游行队伍的最少人数是(C)

A. 1 025

B. 1 035

C. 1 045

D. 1 055

解析 设所求数为a ，由已知a 末尾为0或5.a 是4的倍数加1，a 是3的倍数加1.若“每横排4人编队，最后差3人”成立，“每横排2人编队，最后差1人”肯定成立，不必考虑，则a 是3与4的公倍数加1，那么就是12的倍数加1，

可见a 的末位为奇数，即为5，则a －1的末位为4.

可使数x 满足a ＝12x ＋1，1 000

12

≈83.333，x>83；

要使a －1末位为4，

必须x 末位为2、7(2×2＝4，2×7＝14末位都为4)， 满足条件的最小x 为87，∴a 为1 045，故选C. 二、 填空题(每小题5分，共20分) 13. (2015·安徽高考)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n 为__4__．

解析 由题意，程序框图循环如下：①a ＝1，n ＝1；②a ＝1＋

11＋1＝3

2

，n ＝2；③a ＝1

＋

1

32＋1＝75，n ＝3；④a ＝1＋175＋1＝1712

，n ＝4，此时????1712－1.414≈0.003＜0.005，所以输出n ＝4.故填4.

14. (2015·德州一模)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为． 解析 |z 2|＝|3＋4i|＝5 |z|2＝5 |z|＝ 5.故填 5.

15. (2015·德化模拟)若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝???

?14n

，(n ∈N *

)，设S n ＝a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －

1a n 则5S 2－42a 2＝__2__；类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得5S n －4n a n ＝__n__．

解析 由S n ＝a 1＋a 2·4＋a 3·42＋…＋a n ·4n －

1， ①

得4S n ＝4·a 1＋a 2·42＋a 3·43＋…＋a n －1·4n －

1＋a n ·4n ， ②

①＋②得：5S n ＝a 1＋4(a 1＋a 2)＋42·(a 2＋a 3)＋…＋4n －1·(a n －1＋a n )＋a n ·4n ＝a 1＋4×14

＋

42

·????142＋…＋4n －1·???

?14n －1

＋4n ·a n ＝1＋1＋1＋…＋1＋4n ·a n ＝n ＋4n ·a n .

∴5S n －4n ·a n ＝n.则5S 2－42a 2＝2.故填2；n.

16. 在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，且O 在平面BCD 内，类比平面三角形射影定理，△ABC ，△BOC ，

△BDC 三者面积之间的关系为__S 2

△ABC ＝S △BOC ·

S △BDC __．

解析 依题意作出四面体A －BCD.连接DO 并延长交BC 于点E ，连接AO ，AE ，则易知AO ⊥DE ，BC ⊥AO.由DA ⊥平面ABC ，得DA ⊥BC ，从而BC ⊥平面AED ，∴DE ⊥BC ，AE ⊥BC.又易知△AED 为直角三角形，其中AO 为斜边ED 上的高，∴由射影定理，得AE 2＝EO·ED.又S △ABC ＝12BC·AE ，S △BOC ＝12BC·EO ，S △BDC ＝1

2

BC·DE.

∴AE ＝2S △ABC BC ，EO ＝2S △BOC BC ，DE ＝2S △BDC BC .由AE 2＝EO·ED 得S 2

△ABC ＝S △BOC ·S △BDC . 三、 解答题(共70分)

17. (10分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数a. ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；

③sin 218°＋cos 2

12°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)从上述五个式子中选择一个，求出常数a ；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论． 解析 (1)选择②式计算．a ＝sin 215°＋cos 215°－sin 15°·cos 15°＝1－12sin 30°＝3

4

.(3分)

(2)猜想的三角恒等式为

sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝3

4

.(5分)

证明：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝

34sin 2α＋34cos 2α＝3

4

.(10分) 18. (12分)(2016·潮州期中)已知：正数a ，b ，c 满足a ＋b ＜2c ，求证：c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab.

解析 欲证c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab ， 只需证－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab ，(2分) 只需证|a －c|＜c 2－ab ， 只需证(a －c)2＜c 2－ab, 只需证a 2－2ac ＜－ab,

只需证a(a ＋b)＜2ac ，又a ＞0，(7分) 只需证a ＋b ＜2c.(9分)

∵a ＋b ＜2c 是题设条件，显然成立，

故c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab.(12分)

19. (12分)已知数列{a n }的各项均为正数，观察如图所示的程序框图，当k ＝5，k ＝10时，分别有S ＝511和S ＝10

21

，求数列{a n }的通项公式．

解析 由程序框图可知S ＝

1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1

a k a k ＋1

，(2分) ∵{a n }是等差数列，其公差为d ，

则有1a k a k ＋1＝1d ???

?1a k －1a k ＋1，(5分)

∴S ＝1d ????1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a k －1a k ＋1＝1d ????1

a 1－1a k ＋1，(8分)

由题意可知，当k ＝5时，S ＝511；当k ＝10时，S ＝1021

，

∴???1d ????1a 1－1a 6＝5

11

，1d ????1a 1

－1a 11

＝1021，

(10分)

解得?????a 1＝1，d ＝2或?

????a 1＝－1，d ＝－2(舍去)．

故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)．(12分) 20. (12分)已知f(x)＝

ax

a ＋x

(x ≠－a)，且f(2)＝1. (1)求a 的值；

(2)若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝f(a n )(n ∈N *)，计算a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ；

(3)证明(2)中的猜想．

解析 (1)∵f(x)＝

ax a ＋x ，f(2)＝1，∴2a a ＋2

＝1，解得a ＝2.(3分) (2)在{a n }中，∵a 1＝1，a n ＋1＝f(a n )＝

2a n

2＋a n

. ∴a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝2

5，

∴猜想数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.(7分)

(3)∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n

2＋a n

， ∴1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12， 即

1

a n ＋1－1a n ＝12

. ∴????

??1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为1

2的等差数列．

∴1a n ＝1＋12(n －1)＝12n ＋1

2， ∴通项公式a n ＝

2

n ＋1

.(12分) 21. (12分)(2015·石家庄模拟)已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1. (1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式； (2)证明所得的结论．

解析 (1)当n ＝1，时S 1＋a 1＝2a 1＝3，∴a 1＝3

2.

当n ＝2时，S 2＋a 2＝a 1＋a 2＋a 2＝5，∴a 2＝7

4，

同样令n ＝3，则可求出a 3＝

158

.

∴a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158.

猜测a n ＝2－1

2n .(6分)

(2)∵S n ＋a n ＝2n ＋1，

∴S n ＋1＋a n ＋1＝2(n ＋1)＋1， 两式相减得：2a n ＋1－a n ＝2， 整理得：a n ＋1－2＝1

2(a n －2)，

∵a 1＝32，a 1－2＝－12，

∴a n －2＝－12·12n －1＝－12n ，

∴a n ＝2－1

2

n .(12分)

22. (12分)(2015·兰州诊断)设函数f(x)＝x 2＋mln(x ＋1)．

(1)若函数f(x)是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； (2)若m ＝－1，试比较当x ∈(0，＋∞)时，f(x)与x 3的大小； (3)证明：对任意的正整数n ，不等式e 0＋e －1×4

＋e

－2×9

＋…＋e(1－n)n 2<

n （n ＋3）

2

成立．

解析 (1)∵f′(x)＝2x ＋m

x ＋1＝2x 2＋2x ＋m x ＋1

，

又函数f(x)在定义域上是单调函数，

∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立．

若f′(x)≥0在(－1，＋∞)上恒成立，即函数f(x)是定义域上的单调递增函数，则m ≥－2x 2

－2x ＝－2????x ＋122

＋12在(－1，＋∞)上恒成立，由此可得m ≥12

； 若f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，则f′(x)＝2x ＋m

x ＋1≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即

m ≤－2x 2

－2x ＝－2????x ＋122

＋1

2

在(－1，＋∞)上恒成立． 而－2????x ＋122

＋1

2在(－1，＋∞)上没有最小值， ∴不存在实数m 使f′(x)<0在(－1，＋∞)上恒成立． 综上所述，实数m 的取值范围是????1

2，＋∞.(4分) (2)当m ＝－1时，函数f(x)＝x 2－ln(x ＋1)．

令g(x)＝f(x)－x 3＝－x 3＋x 2－ln(x ＋1)， 则g′(x)＝－3x 2

＋2x －1

x ＋1＝－3x 3＋（x －1）2x ＋1

.

显然，当x ∈(0，＋∞)时，g′(x)<0，

∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减．

又g(0)＝0，∴当x ∈(0，＋∞)时，恒有g(x)

即f(x)－x 3<0恒成立．

故当x ∈(0，＋∞)时，有f(x)

(3)①当n ＝1时，左边＝e 0＝1，右边＝1×4

2＝2，原不等式成立．

②假设当n ＝k 时，原不等式成立， 即e 0＋e

－1×4

＋e

－2×9

＋…＋e(1－k)×k 2

2

，则当n ＝k ＋1时，

左边＝e 0＋e －1×4

＋e

－2×9

＋…＋e(1－k)×k 2＋e(1－k －1)×(k ＋1)2

2

＋e －k(k ＋

1)2，

只需证明k （k ＋3）2＋e －k(k ＋1)2<（k ＋1）（k ＋4）

2，

即证e －k(k ＋1)2

即证－k(k ＋1)2

由②知x 2－x 3

令x ＝k ＋1，即有－k(k ＋1)2

由①②知，原不等式成立．(12分)

推理与证明(教案)

富县高级中学集体备课教案 年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程

高考真题分类汇编——推理与证明 (5)

高考真题分类汇编——推理与证明 合情推理与演绎推理 1．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有() A．2人B．3人C．4人D．5人 答案：B 2．[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记 T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)， 其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数． (1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值； (2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小； (3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论) 解：(1)T1(P)＝2＋5＝7， T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}， T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}． 当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b. 因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)． 当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b. 因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)． 所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立． (3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小， T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52. 3.[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________． 答案：6 解析：若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确； 若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4. 若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4； 若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2； 综上所述，满足条件的有序数组的个数为6. 3.[2014·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2na n＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3

高考数学：专题三 第三讲 推理与证明配套限时规范训练

第三讲 推理与证明 （推荐时间：50分钟） 一、选择题 1．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项 公式为 ( ) A ．a n ＝3 n －1 B ．a n ＝3n C ．a n ＝3n －2n D ．a n ＝3n －1＋2n －3 2．已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2 －2－4 ＝2，依照以上各 式的规律，得到一般性的等式为 ( ) A.n n －4＋8－n 8－n －4 ＝2 B.n ＋1n ＋1－4＋n ＋1＋5n ＋1－4＝2 C.n n －4＋n ＋4n ＋1－4 ＝2 D.n ＋1n ＋1－4＋n ＋5n ＋5－4 ＝2 3． “因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝ ??? ?13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝ ??? ?13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于 ( ) A ．大前提错误导致结论错 B ．小前提错误导致结论错 C ．推理形式错误导致结论错 D ．大前提和小前提错误导致结论错 4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”； ②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ?m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ?a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b ”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f x g x ＝a x ，且f ′(x )g (x )

苏教版数学高二-2.1素材 《合情推理与演绎证明》文字素材1

高考中的类比推理 大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。 例1 半径为r 的圆的面积2 )(r r S ?=π，周长r r C ?=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ?=?ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________. 解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立， ,3 4)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'3 4(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比 例2 在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。 分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。相似地，在等比数列｛b n ｝的前17项中，b 9=1为其中间项，则可得b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17－n （n ＜17，n ∈N * ）。 例3 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2= BC 2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ________________”。 分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。需要指出的是，勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt △ABC 中，过A 作AH ⊥BC 于H ，则由AB 2=BH ·BC ，AC 2=CH ·BC 相加即得AB 2＋AC 2=BC 2；在三侧面两两垂直的三棱锥A —BCD 中，过A 作AH ⊥平面BCD 于H ，类似地由S △ABC 2=S △HBC ·S △BCD ，S △ACD 2=S △HCD ·S △BCD ，S △ADB 2=S △HDB ·S △BCD 相加即得S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。

选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)

《推理与证明》单元测试题 考试时间120分钟 总分150分 一．选择题（共50分） 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1 an －1 )(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y | ＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ） 1> ② ③lg 2>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ，从而得其离心率为 ，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ） A ． 12 B ．12+ C 6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。 第2件 第3件 第1件

2019高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明第3讲合情推理与演绎推理分层演练文

第3讲 合情推理与演绎推理 一、选择题 1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2 ＋b 2 ＝3，a 3 ＋b 3 ＝4，a 4 ＋b 4 ＝7，a 5 ＋b 5 ＝11，…，则a 10 ＋b 10 ＝( ) A ．121 B ．123 C ．231 D ．211 解析：选B ．法一：令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋ a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123． 法二：由a ＋b ＝1，a 2 ＋b 2 ＝3，得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10 ＋b 10 ＝(a 5 ＋b 5)2 －2a 5b 5 ＝123． 2．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为( ) A ．21 B ．34 C ．52 D ．55 解析：选D ．因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55． 3．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是( ) A ．(7，5) B ．(5，7) C ．(2，10) D ．(10，2) 解析：选B ．依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有 n （n ＋1） 2 个“整 数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2，因此第60个“整数对”处于第11组(每 个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)． 4．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB

(整理)合情推理和演绎推理》.

第十七章推理与证明 ★知识网络★ 第1讲合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： （1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 （2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系

难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1<；…. 对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点1 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 [例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 0 20202=++； 23165sin 105sin 45sin 020202=++；23 180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” [解析]猜想：2 3 )60(sin sin )60(sin 0 2202= +++-ααα 证明：左边=2 00 2 2 00 )60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- = 2 3 )cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型 （2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性） [例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

2021届高考数学一轮复习《算法初步、推理与证明、复数》测试卷及答案解析

2021届高考数学一轮复习测试卷 算法初步、推理与证明、复数 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．适合2i ()i x x y -=-的实数x ，y 的值为（ ） A ．0=x ，2=y B ．0=x ，2-=y C ．2=x ，2=y D ．2=x ，0=y 2．将2019化为二进制数是（ ） A ．211111100011（） B ．21111100001（） C ．2111111000011（） D ．21111100111（） 3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 4．当2 53 m - <<时，复数(32)(5)i z m m =++-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 第二象限 第三象限 D ．第四象 5．该边程序运行结果为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．已知数列11， 21，12，31，22，13，41，32，23，14 ，依它的前10项的规律，这个数列的第2019项2019a 满足（ ） A ．2019110a ≤≤ B ．201910a > C ．20191010 a << D ． 20191 110 a ≤< 7．已知i 为虚数单位，则复数37i i z +=的实部与虚部分别为（ ） A ．7，3- B ．7，3i - C ．7-，3 D ．7-，3i 8．“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“一”和“一一”，其中“一”在二进制中记作“1”，“—一”在二进制中记作“0”，例如二进制数(2)1011化为十进制的计算如下： 3210(2)(10)10111202121211=?+?+?+?=，若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的 二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（ ） A ．0 B ． 1 2 C ． 13 D ． 14 9．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222 233=，33 3388 =，444 41515=5552424=则按照以上规律，若88 88n n =具有“穿墙术”，则n =（ ） A ．35 B ．48 C ．63 D ．80 10．已知复数2 i(3i) z =-，i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．秦九韶算法01(1,2,)n k k n k V a k n V V x a --=?=???? =+?是将求n 次多项式11()n n n n f x a x a x --=++ 2210a x a x a +++的值转化为求n 个一次多项式的值．已知7632()2341f x x x x x =-+-+，求 (2)f ，那么4V =（ ）

推理与证明综合测试题

一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数 列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n + +++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n + +++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -+ +++，，∥．若 EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出： ma mb EF m m +=+．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设OAB △， OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之 比为:m n ，则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ） Ａ．120mS nS S m n +=+ Ｂ．120nS mS S m n +=+

高中数学-推理与证明单元测试卷

绝密★启用前 高中数学-推理与证明单元测试卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.【题文】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（） A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角至多有一个大于60度 C.假设三个内角都大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度 2．【题文】菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中（） A ．大前提错误B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．结论错误 3．【题文】由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面( ) A ．各正三角形内一点 B ．各正三角形的某高线上的点 C ．各正三角形的中心 D ．各正三角形外的某点 4．71115>，只需证（） A ．22)511()17(->- B ．22)511()17(+>+ C ．22)111()57(+>+ D ．22)111()57(->-

5．【题文】命题“对于任意角θ，θθθ2cos sin cos 44=-”的证 明:4cos θ-“4sin θ=θθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos 222222=-=+-．”该过程应用了（） A ．分析法 B ．综合法 C ．间接证明法 D ．反证法 6．【题文】观察式子:232112<+，353121122<++，47 4131211222<+++，…，可归纳出式子为（） A ．121 1 3121 1222-< + +++ n n B ．121 1 3121 12 22 +< ++++n n C ．n n n 1 21 3121 12 22 -<++++ D ．1221 312 1 12 22 +< ++++n n n 7．【题文】已知圆()x y r r 222+=>0的面积为πS r 2=?，由此推理椭圆 ()x y a b a b 22 22+=1>>0的面积最有可能是（） A ．πa 2?B ．πb 2?C ．πab ? D ．π()ab 2 8．【题文】分析法又称执果索因法，若用分析法证明:“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0<”索的因应是（） A ．a －b ＞0 B ．a －c ＞0 C ．（a －b ）（a －c ）＞0 D ．（a －b ）（a －c ）＜0 9．【题文】对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为 3313+3355+=，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（） A.25 B.250 C.55 D.133

推理与证明练习题汇编

合情推理与演绎推理 1．下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 2．下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A ．“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”； B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”； C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c +=+ （c ≠0）”； D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、下面几种推理是合情推理的是（ ） （1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质； （2）由平行四边形、梯形内角和是360?，归纳出所有四边形的内角和都是360?； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分； （4）三角形内角和是180?，四边形内角和是360?，五边形内角和是540?， 由此得凸多边形内角和是()2180n -? A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4） 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）.已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++， 例如，明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密 得到的明文为（ ） A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 5.观察以下各式：???=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112 222， 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004 折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按 如图的规律拼成若干个图案，则第五 个图案中有白色地面砖（ ）块. A.21 B.22 C.20 D.23

(完整版)推理与证明知识点

第十二讲推理与证明 数学推理与证明知识点总结: 推理与证明：①推理是中学的主要内容，是重点考察的内容之一，题型为选择题、填空题或解答题，难度为中、低档题。利用归纳和类比等方法进行简单的推理的选择题或填空题在近几年的中考中都有所体现。②推理论证能力是中考 考查的基本能力之一，它有机的渗透到初中课程的各个章节，对本节的学习，应先掌握其基本概念、基本原理，在此 基础上通过其他章节的学习，逐步提高自己的推理论证能力。第一讲推理与证明 一、考纲解读： 本部分内容主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演 绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势。新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求，因此在复习中要重视合情推理与演绎推理。高考对直接证明与间接证明的 考查主要以直接证明中的综合法为主，结合不等式进行考查。 二、要点梳理： 1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别事物，发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一 般性命题。 2.类比推理的一般步骤： (1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。 3.演绎推理 三段论及其一般模式：①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理，对 特殊情况作出判断。 4.直接证明与间接证明 ①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。 ②分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定 这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。分析法的思维特点是：执果索因。 ③反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面(非A)是错误的，从而断定A是正确的，即为反证法。一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或结论以否定语句出现，或要讨论的情况复杂时，常考虑使用反证法。 主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。 ?实施的具体步骤是：? 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；?第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；?第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 ④数学归纳法：一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 1 / 1

第53讲 推理与证明(解析版)

简单已测：1994次正确率：87.2 % 1.下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推 理；②归纳推理是由?般到?般的推理；③演绎推理是由?般到特殊的推理；④类?推理是由特殊到?般的推理；⑤类?推理是由特殊到特殊的推理．A.①②③ B.②③④C.①③⑤ D.②④⑤ 考点：归纳推理的常??法、类?推理的常??法知识点：归纳推理、类?推理答案：C 解析：所谓归纳推理，就是从个别性知识推出?般性结论的推理． 故①对②错； ?所谓演绎推理是由?般到特殊的推理．故③对； 类?推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从?推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．故选：． ?般已测：2488次正确率：82.5 % 2.图是“推理与证明”的知识结构图,如果要加?“归纳”,则应该放在（ ） A.“合情推理”的下位 B.“演绎推理”的下位 C.“直接证明”的下位 D.“间接证明”的下位 考点：归纳推理的常??法、类?推理的常??法知识点：归纳推理、类?推理答案：A 解析：合情推理包括归纳推理与类?推理，因此答案为. C A

简单已测：1990次正确率：95.2 % 3.给出下列表述:①综合法是由因导果法；②综合法是顺推证法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推证法.其中正确的表述有( )A.个B.个C.个D. 个 考点：分析法的思考过程、特点及应?、综合法的思考过程、特点及应?知识点：综合法、分析法答案：C 解析：结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故④不正确． ?般 已测：3748次 正确率：87.4 % 4.观察下列各式：，则的末四位数字为（ ） A.B.C.D. 考点：有理数指数幂的运算性质、归纳推理的常??法知识点：有理数指数幂的运算法则、归纳推理答案：D 解析：， 可以看出这些幂的最后位是以为周期变化的， ， 的末四位数字与的后四位数相同，是， 故选D ?般已测：1886次正确率：81.9 % 5.观察下列各式：，， ，，， ，则=（ ） A.B.C. 23455=3125,5=15625,5=78125,?5 6 7520113125562506258125 ∵5=3125,5=15625,5=781255 675=390625,5=1953125,5=9765625,5=48828125? 89101144∵2011÷4=502?3∴52011578125a +b =1a +b =322a +b =433a +b =744a +b =1155…a +b 10102876123

合情推理与演绎推理的意义

合情推理与演绎推理的意义 （1)合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推导过程。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 （2)在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。由于球与圆在形状上有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测圆的一些特征，球也可能有。 圆的切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径，类似地，我们推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点到球心的距离等于球的半径。平面内不共线的3个点确定一个圆，类似地，我们猜想空间中不共面的4个点确定一个球等。 演绎推理是数学中严格证明的工具，在解决数学问题时起着重要的作用。“三段论”是演绎推理的一般模式，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。 例如，三角函数都是周期函数，sinx是三角函数，因此推导证明出该函数是周期函数。又如，这样一道问题“证明函数f(x)=-x+2x在（－0,1)上是增函数”。大前提是增函数的定义，小前提是推导函数f(x)在（－c,1)上满足增函数的定义，进而得出结论。 合情推理从推理形式上看，是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。 就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，合情推理与演绎推理是相辅相成的。

推理与证明测试题82471.docx

第四十一中学高二数学选修2-2《推理与证明测试题》 试卷满分100分，考试时间105分钟 一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 1、 下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绛推理是由一 般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A. ①②③；B.②③④；C.②④⑤；D.①③⑤. 2、 下面使用类比推理正确的是 （ ）? A. “若a ?3 = b ?3,则a 二b”类推出“若a ?0 = b ?0,则。=/?” B. “若（a + b ）c = ac + bc "类推出 “（a ? b）c = ac ? be ” C. “若（d + b ）c = ac + bc” 类推出“（ ^- = - + - （cHO ）” c c c D. “（b ） n = a n b n v 类推出 n =a n +b ,lff 3、 有--段演绎推理是这样的：“直线平行于平而，则平行于平而内所有直线；已知直线 b 尘平而&,立线a 〒平面a,直线b 〃平面Q ,则直线b//n 线a”的结论显然是错误 的，这是因为 （'） A ?人前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不人于60度”时，反设正确的是（）o （A ）假设三内角都不大于60度； （B ）假设三内角都大于60度； （O 假设三内角至多有一个大于60度； （D ）假设三内角至多有两个大于60度。 5、 在I ?进制中2004 = 4x10°+0x10'+0X 101 2+2X 103,那么在5进制中数码2004折合 成十进制为 （ ） A. 29 B. 254 C. 602 D. 2004 8、用数学归纳法证明 “5 + 1)07 + 2)…(兀 + 〃)= 2“ -1-2?(2n -1) " ( n G )时, 9、已知料为止偶数，用数学归纳法证明 1 一严2 6、 利用数学归纳法证明a l+a+a 2+- + a n41= -------------------- , （aHl, nGN ）”时，在验证n=l \-a 成立吋，左边应该是 （ ） （A ）l （B ）l+a （C ）l+a+a 2 （D ）l+a+a 2+a 3 7、 某个命题与正整数料有关，如果当n = k 伙wN+）时命题成立，那么可推得当n = k + \ 时命题也成立.现（2知当n = l 时该命题不成立，那么可推得 A.当n=6时该命题不成立 B. 当n=6时该命题成立 C. 当时该命题不成立 D. 当n=8时该命题成立 从“ /1 = ￡到n = k + \^时，左边应增添的式子是 A. 2k +1 B. 2(2￡ + 1) 2k + l ( ) D. 222

推理与证明经典练习题讲解学习

推理与证明经典练习 题

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高二数学《推理与证明》练习题 一、选择题 1．在等差数列{}n a 中，有4857a a a a +=+，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，有（ ） A ．4857b b b b +=+ B ．4857b b b b ?=? C ．4578b b b b ?=? D ．4758b b b b ?=? 2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a n S a 21,1== *N n ∈，试归纳猜想出n S 的表达式为（ ） A 、12+n n B 、112+-n n C 、112++n n D 、2 2+n n 3．设)()(,sin )(' 010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x =???'1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2015()f x =（ ） A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x 4．平面内有n 个点（没有任何三点共线），连接两点所成的线段的条数为 （ ） A.()112n n + B.()1 12 n n - C.()1n n + D.()1n n - 5．已知2() (1),(1)1()2 f x f x f f x +==+，*x N ∈（） ，猜想(f x ）的表达式为 （ ） A ．4()22x f x =+ B.2 ()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21 f x x =+ 6．观察数列的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点中, 其中第100项是( ) A ．10 B ．13 C ．14 D ．100 7．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ?/平面α，直线a ?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 8. 分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．必要条件或充分条件 9. 2+7与3+6的大小关系是( ) A.2+7≥3+6 B.2+7≤3+6 C.2+7>3+6 D.2+7<3+ 6 10．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )