审核机制下的激励模型II,道德风险

审核机制下的激励模型（II ）：道德风险

1．引言

现代激励理论处理基于不对称信息的当事人之间目标不一致问题，尽管我们通常将其称

为代理人的激励约束问题，常见的文献[1]-[3]中考虑更多的是对代理人的激励问题，而将约束问题仅仅表述为参与约束与激励相容约束，实际上这只是为代理人的效用集合设置了下限，而对其上限的处理则依赖于委托人效用最大化的目标函数。之所以这样做，主要源于不对称信息造成的对代理人行为监控的困难。然而，困难并不意味不能实现，实施一定程度的监控手段是完全可行的，尤其当单纯激励的成本已经极为高昂时，对代理人的激励将导致资源配置的严重扭曲，此时以审核机制的形式对代理人效用的上限加以约束，有可能成为一种较低代价的实现方式。

激励理论文献中对于审核机制的研究由来已久，Baiman 和Demski (1980)[4]首先在委托

代理框架下构建了审核战略，基于信息在补偿和决策方面的作用，分析其在公司绩效评价与控制系统中的应用。Ronald （1986）[5] 描述了当随机审核机制可行时，最优审核策略是具有低尾（lower-tailed ）特性，指出只有当产出低于某个临界值时，对代理人进行审核才是有效率的。Border 和Sobel （1987）[6] 研究了审计概率与代理人财富值之间的关系，证明了在Spence-Mirrlees 条件得不到满足时，随着类型数量的增加激励问题会逐渐恶化。Demougin 和Fluet （2001）[7]讨论了激励与监督的替代关系，指出在风险中性和有限责任下，当代理人责任约束放松或监督成本上升，委托人就会使用较低的监督与较高的激励强度。此外，John （1980）[8]分析了利率合同中金融报告与审计的作用，Mookherjee 和Png （1989）[9]分析了保险合同中的审核问题。

本文考虑激励理论中的道德风险问题，与上述文献不同之处在于，我们更关注于效率损失与租金支付，更侧重于审核机制的必要性而非可行性。针对离散情形和连续情形，我们假设存在一种审核机制，即委托人能通过审核手段来判断代理人是否努力，并对偷懒者进行惩罚，或者更为准确的确定其努力程度，以激励其努力并给予补偿。我们可以把前者看作惩戒机制，后者看作一种确认机制，两者都能够有效率的降低不确定信息带来的损失。 2．基本模型 2.1离散情形

我们首先考虑一个离散的道德风险模型。代理人具有两个可能的努力水平{}0,1e ∈，付出努力降低代理人的效用()e ψ，相应于努力水平，负效用水平分别为(0)0ψ=和

(1)ψ=ψ。代理人获得转移支付为t ，假定其效用函数为V-N-M 形式，即()()U u t e ψ=-，

其中0u '>，0u ''<，注意求解过程中我们会用到()u t 的反函数1

h u -=，而相应的0h '>，

0h ''>。代理人生产q 单位商品，委托人从中得效用()S q ，满足0S '>，0S ''<，(0)0S =。

即该商品的边际价值为正，且随其数量增加而严格递减。

假定生产过程具有随机性，努力水平以概率的形式影响生产，即生产水平取值为q 和q ，

0q q q ?=->，努力影响生产的概率分布，0(0)Pr q q e π===，1(1)Pr q q e π===，

100πππ?=->，可见努力在一阶随机占优的意义上提高产出。由于代理人的行为无法直

接被委托人观测到，委托人只能在可以观测和验证的生产水平上提供补偿，t 和t 为相应于

q 和q 的补偿，那么风险中性的委托人期望效用为：当1e =

111(())(1)(())V S q t S q t ππ=-+--

（1）

当0e =

000(())(1)(())V S q t S q t ππ=-+--

（2）

通常情况下，委托人希望激励代理人努力工作，这要求（1）>（2）。

假定将代理人的保留效用标准化为0，那么其参与约束为 （IR ）11()(1)()0u t u t ππ+--ψ≥

（3）

注意这里我们忽略代理人偷懒时的参与约束，因为这本不是我们激励的目标。

首先考虑信息对称情况，那么委托人的规划问题即在（3）的约束下求（1）的最大化。

简单的对t 和t 进行优化可以得出

()t t t h ***===ψ

（4）

此时参与约束是紧的，代理人获得的补偿刚好抵消努力带来的负效用，而且最优的t 和t 是相等的，这意味着代理人得到了完全的保险。回过头来看（1）和（2）的比较，实质上就是比较努力的期望收益S π??与激励成本()h ψ。

现在考虑信息不对称情形，由于委托人难以确定代理人是否努力，就产生了代理人的道

德风险问题：代理人会采取偷懒这样的机会主义行为，这就要求必须满足以下的激励相容约束：

（IC ）1100()(1)()()(1)()u t u t u t u t ππππ+--ψ≥+-

（5）

此时委托人的规划问题即为在（3）和（5）的约束下求（1）的最大化。

在代理人风险中性与无限责任下，委托人仍能够实现最优的配置，此时参与约束和激励

相容约束都是紧的，我们令()u t t =，可以解得：

t ππ*=-

ψ? （6） 0

1t ππ

*-=ψ?

（7）

这意味着产量高的话代理人会受到奖励，产量低的话会受到惩罚，对应的净效用分别大于和小于0。这一情形的极端的例子是，当转移支付为()t S q T **=-，()t S q T *

*

=-，其中T

*

是产出实现以前代理人对委托人的预先支付，容易得出这一支付值为

11()(1)()T S q S q ππ*=+--ψ，这就相当于代理人拥有了利润的剩余索取权，也即委托

人将产权卖给了代理人。

然而，有限责任(Limited Liability)下委托人的配置效率恶化。给定代理人的转移支付大

于一定的外生水平l -，这一新添加的有限责任约束与（3）、（5）构成了新的约束集，这一集合在0l ππ>

ψ?时转移支付由（6）、（7）给出。而当00l π

π

≤≤ψ?时，有限责任约束与（5）是紧的，此时的次优支付为：

LL

t

l π

ψ

=-+

? （8） LL t l =-

（9）

容易算出代理人的期望有限责任租金为：

011(1)0LL LL LL EU t t l ππππ

ψ

=+--ψ=-+

≥? （10）

可以看出，激励努力需要在t 和t 之间产生一个差距，当代理人资产不足以满足这个差距时，就必须给予代理人一定的有限责任租金。

风险规避(Risk Aversion)从另一个方面影响委托人的配置效率，为保证此问题成为凹规

划，我们通过变量代换来改变原规划问题，令()u u t =，()u u t =，则原问题变为：

11(,)

max (()())(1)(()())u u S q h u S q h u ππ-+--

1100..(1)(1)s t u u u u ππππ+--ψ≥+-

（11）

11(1)0u u ππ+--ψ≥

利用Kuhn-Tucker 定理可得风险规避时的解

0(1)(

)RA

t

h ππ-ψ

=? （12） 0()RA

t h ππ

ψ=-?

（13）

这里由于h 的凸性与u 的凹性，当实现高产出时，代理人获得更高的转移支付()RA

t h >ψ，

当实现低产出时，代理人获得更低的转移支付()RA t h <ψ，因此代理人要承担一定的风险，而且由詹森不等式（Jensen ’s Inequality ），我们有：

1111()(1)()((1))RA RA RA RA u t u t u t t ππππψ=+-<+-

（14）

于是代理人的期望转移支付11(1)RA

RA t t ππ+-大于最优成本()h ψ。

2.2惩戒机制

由以上的分析可以看出，道德风险情况下，受到有限责任与风险规避的制约，资源配置

的效率降低了，而两者的根源都在于激励努力所必须的t 和t 之间产生的差距，那么一个自然的想法就是减少这个差距，同时保证代理人努力工作，我们引入一种审核机制，能够通过审核手段来判断代理人是否努力，并对偷懒者进行惩罚，从而放松激励约束。

具体的，我们假定委托人以θ的概率确认偷懒，对其实施的惩罚为P ，为处理的方便，

仍旧先采用风险中性的假定，令()u t t =，那么代理人的激励相容约束和参与约束变为

（IC ）1100(1)(1)t t t t P ππππθ+--ψ≥+-- （15） （IR ）11(1)0t t ππ+--ψ≥

（16）

委托人的规划问题变为在（15）、（16）约束下最大化（1）式。

命题1. 适当的审核机制可以放松激励约束从而放宽有限责任的限制，降低期望有限责

任租金。

求解委托人的规划问题是很简单的，最终（15）、（16）化为等式约束，可解得

01(1)(1)

t P ππθππ

--=

ψ-?? （17） 01t P ππ

θππ

=-

ψ+??

（18）

此时激励努力所需要的支付差距降为P t θππψ?=

-??，而之前我们所需的支付差距为π

ψ

?。

此时我们再一次引入有限责任约束，那么为使（17）、（18）仍为有效解，必然要求有下式成立：

01t P l ππ

θππ

=-

ψ+≥-?? （19）

这里依据Baron 和Besanko （1984）[10]的极大惩罚原理，可以令惩罚P l =，求出l 的新的临界值。

01l πππθ

ψ

=

?+

（20）

而原来的临界值为

0ππ

ψ

?，显然大于新的界值，这意味着对有限责任的进一步放宽，尽更大可能的将期望有限责任租金降为0。

另一方面，激励努力所需要的支付差距的降低，提高了代理人收入的保险程度，也会相应的降低风险回避的租金。此问题的证明较为繁琐，但基本的思路与上一节是一致的。首先我们考虑到在风险规避下，约束集必须发生相应的变化，即

（IC ）1100()(1)()()(1)()u t u t u t P u t P πππθπθ+--ψ≥-+-- （21） （IR ）11()(1)()0u t u t ππ+--ψ≥

（22）

激励约束的变化使这一问题的处理极为棘手，我们难以将其转为凹规划，这就无法应用

Kuhn-Tucker 条件以求出显式解，这对问题的分析判断是较为不利的，但在一定条件下，我们可以求出特殊解，并可以对其做出比较静态分析，以判断加入审核机制后配置情况的改善与否。

命题2. 适当的审核机制可以放松激励约束从而为代理人提供保险，降低期望风险租金。

我们假定代理人具有（CARA ）不变风险规避系数r ，效用函数为

21()()()2

U E t r D t e ψ=-

-。基于这一特性，对于给定的确认概率θ和实施惩罚P ，（21）

可转化为

（IC ）1100()(1)()()(1)()u t u t u t u t P ππππθ+--ψ≥+-- （23）

由此可得到

01(1)

(1)t h P ππθππ--??=ψ-??????

（24）

01t h P ππθππ??

=-ψ+??????

（25）

这样，容易检验（22）、（23）都是紧约束，那么将此解与（12）、（13）的解进行比较，我们的目标是证明前者对委托人更为理想，那么可以比较委托人的期望支付：

1111(1)(1)RA RA t t t t ππππ+->+-

（26）

当有此式成立，可知委托人在审核机制下期望支付更少。

引理 1.对于2次可微的凸函数()f x ，存在12345x x x x x <<<<，对某一实数

01π<<，满足31524(1)(1)x x x x x ππππ=+-=+-，那么15()(1)()f x f x ππ+->

24()(1)()f x f x ππ+-成立

证明：见附录

根据引理1，对凸函数()h ?，

000011(1)(1)(1)

P P ππππππθθππππππ

ψ--ψ--

<-ψ+<ψ<ψ-

1(1)(1)ππππππ-ψψ??

ψ=+--??????

001111(1)(1)(1)P P πππππθπθππππ--????

=ψ-+--ψ+????????????

因此式（26）成立。

当然，这一审核机制存在着一些缺陷，我们对于有限责任的放宽是有一定限度的，由于

确认偷懒的概率1θ<，那么有限责任最大放宽至01

l πππψ

>

?+。而且我们在以上过程中一

直没考虑审核成本，实际应该纳入委托人的目标函数，尽管这并不影响我们单纯从租金角度分析的结果。 2.3连续情形

在连续情形下，我们考虑Holmstrom 和Milgrom （1987）[11]模型的一维简化形式并对其

加以变化。假定e 是一个一维努力变量，产出函数取线性形式q e με=++，其中

2(,)N μμθσ ，是影响所有代理人的不确定因素，2(0,)N εεσ 是影响代理人个人的不确

定因素，假定两者不相关，容易算出()E q e θ=+，22

()D q μεσσ=+，可见代理人的努力影响产出的均值，但不影响其方差。

假定委托人是风险中性的，代理人是风险规避的。考虑线性合同()t q q αβ=+，其中α

是代理人的固定收入部分，β是代理人分享的产出份额，或者说激励强度。注意这里我们认为代理人都是相同的，因此考虑总的产出分成份额就相当于单个代理人产出的分成份额。委托人的期望效用等价于其期望收入，代理人具有（CARA ）不变风险规避系数r ，效用函数为21()()()2U E t rD t e ψ=-

-，这里令21

()2

e be ψ=。代理人的确定性等价收入为 22

2211()()22

CE e r be μεαβθβσσ=++-+- （27）

在信息对称情况下，我们可以将委托人的规划问题表达如下

,,max (1)()e

Ev e αβαβθ=-+-+

（28） 22

22011..()()()22

s t IR e r be u μεαβθβσσ++-+-≥

（29）

这里0u 是代理人的保留效用。求解这个问题可以将参与约束化为等式约束，直接代入委托人的目标函数，求无约束的极值问题，可解得

1e b

*=

（31） 0β*=

（32） 012u b α*=+

（33）

这里，努力的边际收益等于其边际成本，代理人不参与产出的分成，委托人给予代理人的固定支付刚好等于保留效用加努力成本，这就是帕累托最优合同。但当委托人无法观测代理人努力水平，上述配置就无法实现，信息不对称要求附加激励相容约束，为方便的求出显式解，我们假定满足单调似然率性质（MLRP ）和分布函数的凸性条件（CDFC ），这样我们就可以应用一阶条件方法列出激励相容约束：

()IC e b

β

= （34）

由此可以求得新的规划的解

2

21

(1())

e b br μεσσ'=

++ （35）

2

2

11()

br μεβσσ'=

++ （36）

2

20222222

()1

2(1())2(1())

r u b br br μεμεμεσσασσσσ+'=-+++++ 221()br μεθσσ-++ （37）

注意到，此时努力的边际收益要大于其边际成本，代理人参与产出的分成，委托人给予代理人的固定支付等于保留效用减去分成获得部分加上风险补偿再减去分担的共同风险部分。

从总的福利的角度来看，信息不对称造成两方面的损失：一是委托人支付给代理人的风

险成本2

2222

()2(1())r br μεμεσσσσ+++，另一个是产出降低与代理人成本减少之差，这一项容易通过

比较两规划的解求得，22

22

222

()2(1())

br br μεμεσσσσ+++，我们可以将其总和称为代理成本。

2.4确认机制

注意到新的规划中出现了一个重要的因素，就是方差的影响，当然隐藏在方差的影响之

后的是激励相容约束这一根本性因素。既然激励相容使得努力的边际收益大于其边际成本，那么我们所能作的就是降低两者的差额，使其尽可能的趋近于最优解，而我们的手段就是降低方差的影响。

命题3. 适当的确认机制可以降低方差的影响从而改善资源的配置效率。

将（35）－（37）代入（28），可确认委托人的期望收入，并加入一个合适的确认机制

2

2(,)M μεσσ，满足稻田（inada ）条件，0M '<，0M ''>。这种确认机制可以降低2σ，但

是必须花费成本，委托人在监督收益与成本间求得均衡。

222

022

1()(,)2(1())

Ev u M b br μεμεσθσσσσ=

+--++ （38）

此问题的一阶条件

22

22

()02(1())r

M br μεσσσ'+=++

{}22

2,μεσσσ∈

（39）

适当的选择监督函数可确保一阶条件得到满足，并使得此时得到的22

σσ'<。这样代理人

的努力程度相应上升，并可计算得出代理成本下降。

另一个有趣的问题是影响所有代理人的不确定因素μ，如上所述它的方差2

μσ对资源配

置有着一定的影响，但它的均值θ却毫无影响，我们可以计算代理人的期望收益

022

1

2(1())

Et u b br μεσσ=+

++ （40）

可见影响因素只有保留效用，努力成本和风险成本，均值θ毫无保留的转移到了委托人的期望收入中，这对于代理人的激励问题有着重大的实际意义。

3. 结论与扩展

不对称信息下委托人与代理人之间的契约安排，实质上就是租金与配置效率之间的权衡，受到各种因素的影响，单纯改变租金的支付以提高配置效率有一定的限度。为回避较为恶劣的情形，转而用一种审核机制来制约代理人，可以在一定程度上减少租金。实质上这样形成了一个包括（租金，配置效率，审核机制）三者的配置集合，究竟是角点解还是内部解，需要择其善者而从之。

以上的讨论假设是风险中性的委托人与风险规避的代理人，当委托人呈现出风险规避

时，就必须考虑到均值θ对于他的影响。尽管均值θ的变化并不影响代理人的努力程度，而抹平其波动则会增进代理人的效用，但在风险中性假设下，委托人毫无动力去消除θ的波动，只有在委托人呈现风险规避时，抹平均值θ波动才会成为双赢的选择。

在确认机制中我们考虑了两种方差：影响所有代理人的不确定因素2

μσ，与影响代理人

个人的不确定因素2εσ，两者对于代理人个人都有重要影响，但就委托人而言，考察2μσ具

有更普遍的意义，因为其可以适用于所有代理人。考虑到Ronald （1986）提到的低尾特性，

对于2μσ采取确定性审核，而只对低于某一特定值的代理人的2εσ采取随机性审核，将会是

一种较有效率的审核方式。 附录 引理1的证明

令03x x =，对于0(1)x x x ππ'=+-，可算得01x x

x ππ

-'=

-，我们可以得出

0()()(1)()x g x f x f x ππ'=+-，即00

()()(1)()1x x x

g x f x f ππππ

-=+--。 将此函数对x 求导，得到

00()()(1)(

)11x x x g x f x f ππππππ--'''=+-?--0()()1x x f x f πππ-?

?''=-??-?? 根据()f x 的凸性，0()(

)01x x f x f ππ-''->-当且仅当001x x

x ππ

-->- 后者可以解出0x x >，据假定可知0()0x g x '<。因此由123x x x <<，可得

1524()(1)()()(1)()f x f x f x f x ππππ+->+-。

参考文献

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审核机制下的激励模型（II）：道德风险

夏少刚张巍

(东北财经大学大连116025)

Incentive Models under Auditing Mechanism (II): Moral Hazard

Xia Shaogang Zhang Wei

(Dongbei University of Finance and Economics, Dalian 116025)

摘要：本文考虑审核机制下的道德风险问题，针对离散情形和连续情形，我们假设存在一种审核机制，即委托人能通过审核手段来判断代理人是否努力，并对偷懒者进行惩罚，或者更为准确的确定其努力程度，以激励其努力并给予补偿。我们可以把前者看作惩戒机制，后者看作一种确认机制，两者都能够有效率的降低不确定信息带来的损失。

关键词：审核机制，道德风险，不对称信息

Abstract：The paper considers moral hazard under auditing mechanism. Under discrete and continuous situations, we assume there exists a auditing mechanism which can judge whether the agent exerts effort and punish the shirker or determine the extent of effort more precisely to compensate the agents. We refer to the former as exemplary mechanism and the latter as corroborating mechanism; both can efficiently lower the loss brought by asymmetric information.

中图图书分类法类号：C936 JEL分类号：M52

作者简介

夏少刚，（1945—），男，黑龙江肇东人，现为东北财经大学数量经济系教授，博士生导师，研究方向：经济优化

张巍（1978,02—），男，辽宁抚顺人，现为东北财经大学数量经济系教师，博士研究生，研究方向：优化决策

电话：0411-******* 手机：130******** Email dufezw@https://www.wendangku.net/doc/6c9016396.html,

联系方式：大连东北财经大学数量经济系张巍邮编116025