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高等数学(考前要点复习_中)

第三章：中值定理与导数的应用

§3.1 中值定理

本节将运用微分学的两个基本定理，这些定理是研究函数在区间上整体性质的省力工具，为此，先介绍Rollo 定理：Rollo 定理：若函数f(x) 满足：（i ）f(x) 在 [a,b] 上连续；（ii ）f(x) 在（a,b ）可导，（iii ）f(a) =f(b), 则在（a,b ）内至少存在一点，使得f '(ξ)=0.

证明：由（i ）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M 和最小值m ，此时，又有二种情况：（1） M=m ，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)＝M=m ，∴)('x f ＝0，因此，可知ξ为（a,b ）内任一点，都有f '(ξ)＝0。（2）

M>m,此时M 和m 之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设M ≠f(a)（对

m ≠f(a)同理证明），这时必然在（a,b ）内存在一点ξ，使得f(ξ)=M,即f(x)在ξ点得最大值。下面来证明：f '(ξ)=0

首先由（ii ）知f '(ξ)是存在的，由定义知：

f '(ξ)=ξξξξξ

--=--→→x M

x f x f x f x x )(lim )()(lim

…….(*) 因为M 为最大值，?对x ?有 f(x) ≤M ?f(x)－M ≤0, 当x>ξ时，有

ξξ--=

--x M

x f x f x f )()()(≤0 当x<ξ时，有

ξξ--=

--x M

x f x f x f )()()(≥0。又因为（﹡）的极限存在，知（﹡）极限的左、右极限都存在，且都等于)(ξf '，即

)()()(_ξξξf f f '='='+，然而，又有 0)

()(l i m )()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x 和

()(lim

)()(≤--='='+

→+ξ

ξξξξx f x f f f x 0)(='?ξf 。

注 1：定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。

2：定理中的ξ点不一定唯一。事实上，从定理的证明过程中不难看出：若可导函数)(x f 在点ξ处取得最大值或最小值，则有0)(='ξf 。

3：Rolle 定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等，且弧长除两端点外，处处都有不垂直于x 轴的一切线，到弧上至少有一点处的切线平行于x 轴。

【例1】设多项式)(x p 的导函数)(x p '没有实根，证明)(x p 最多只有一个实根。

二、 Lagrange 中值定理

在Rolle 定理中，第三个条件为(iii))()(b f a f =，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是Lagrange 中值定理：

若函数满足：(i))(x f 在],[b a 上连续；(ii))(x f 在),(b a 上可导；则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得 a

b a f b f f --=

()()(ξ。

若此时，还有)()(b f a f =， 0)(='?ξf 。可见Rolle 中值定理是Lagrange 中值定理的一个特殊情况，因而用Rolle 中值定理来证明之。证明：上式又可写为 0)

()()(=---

b a f b f f ξ (1)

作一个辅助函数：)()

()()()(a x a

b a f b f x f x F ----

= ……(2) 显然，)(x F 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导，且

)()()

()()()(a f a a a b a f b f a f a F =----

)()()

()()()(a f a b a

b a f b f b f b F =----

= )()(b F a F =?，所以由Rolle 中值定理，在),(b a 内至少存在一点ξ,使得 0)(='ξF 。又a

b a f b f x f x F ---

'=')

()()()( ?

0)()()(=---

'a b a f b f f ξ 或 a

b a f b f f --=')

()()(ξ。

注 1：Lagrange 中值定理是Rolle 中值定理的推广；

2：定理中的结论，可以写成))(()()(a b f a f b f -'=-ξ)(b a <<ξ，此式也称为Lagrange 公式，其中ξ可写成： ?<<-+=)10()

(θθξa b a

)))((()()(a b a b a f a f b f --+'=-θ (3)

若令h h a f a f h a f h a b )()()(,

θ+'=-+?+= (4)

3：若b a >，定理中的条件相应地改为：)(x f 在],[a b 上连续，在),(a b 内可导，则结论为： ))(()()(b a f b f a f -'=-ξ 也可写成 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ

可见，不论b a ,哪个大，其Lagrange 公式总是一样的。这时，ξ为介于b a ,之间的一个数，(4)中的h 不论正负，只要)(x f 满足条件，(4)就成立。

4：设在点x 处有一个增量x ?，得到点x x ?+，在以x 和x x ?+为端点的区间上应用Lagrange 中值定理，有 x x x f x f x x f ???+'=-?+)()()(θ )10(<<θ

即 x x x f y ???+'=?)(θ 这准确地表达了y ?和x ?这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。

5：几何意义：如果曲线)(x f y =在除端点外的每一点都有不平行于y 轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的联线。

由定理还可得到下列结论：

定理：如果)(x f y =在区间I 上的导数恒为0，则)(x f 在I 上是一个常数。

证明：在I 中任取一点0x ，然后再取一个异于0x 的任一点x ，在以0x ，x 为端点的区间J

上，)(x f 满足：(i)连续；(ii)可导；从而在J 内部存在一点ξ，使得

))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ 又在I 上，0)(≡'x f ，从而在J 上，0)(≡'x f ， 0)(='?ξf ，所以0)()(0=-x f x f )()(0x f x f =? ，可见，)(x f 在I 上的每一点都有：)()(0x f x f = （常数）。

三、 Cauchy 中值定理

Cauchy 中值定理：若)(),(x F x f 满足：

(i) )(),(x F x f 在],[b a 上连续； (ii) )(),(x F x f 在),(b a 内可导； (iii))(x F '在),(b a 内恒不为0； (iv))()(b F a F ≠；

则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得

)

()()

()()()(a F b F a f b f F f --=''ξξ。证明：令)()()

()()

()()(x f x F a F b F a f b f x ---=

?，显然，)(x ?在],[b a 上连续，且)(x ?在),(b a 内

可导，更进一步还有 )()(b a ??=，事实上，

)()()

()()

()()()()()()()()()(a f a F a F b f a f b f b f b F a F b F a f b f a b +------=

-??

0))()(())()(()

()()

()(=-----=

a f

b f a F b F a F b F a f b f

所以)(x ?满足Rolle 定理的条件，故在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξ?，

又)()()()()()()(x f x F a F b F a f b f x '-'--=

'? 0)()()

()()

()(='-'--?ξξf F a F b F a f b f

因为0)(≠'ξF ， )

()()

()()()(a F b F a f b f F f --=''?ξξ

注 1：Cauchy 中值定理是Lagrange 中值定理的推广，事实上，令x x F =)(，就得到Lagrange

中值定理；

2：几何意义：若用?

??==)()(x F Y x f X （b x a ≤≤）表示曲线c ，则其几何意义同前一个。

【例1】若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中

b x x x a <<<<321，证明在),(21x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf 。

【例2】若0>x ，证明

x x x

<+<+)1ln(1。证明：对00>?x ，取]1,1[],[0x b a +=， x x f ln )(=，

不难验证：)(x f 满足Lagrange 中值定理的条件，故在)1,1(0x +内至少存在一点ξ，

使ξ

ξ1

)(=

'f 满足

)11(1

1ln )1ln(00-+=-+x x ξ，即ξ

+=+1)1l n (00x x

)11(0x +<<ξ 11

110<<+?

x 00001x x x x <<+?ξ

000

)1l n (1x x x x <+<+?

由0x 的任意性，知本题成立。

注：条件“0>x ”可改为“1->x ”，结论仍成立。

【例3】证明：b a b a -≤-sin sin 。

【例4】证明：若)(x f 在),(+∞a 上可导，且)(lim ,)(lim x f k x f x x '=∞

→∞

→存在，则0)(lim ='∞

→x f x 。

§3、2 Hospital L '法则

在求)()(lim

x F x f a x →或)

()

(lim x F x f x ∞→时，若发现)(),(x F x f 同趋于0，或同趋于∞，则此时上述

极限可能存在，也可能不存在。要根据具体的函数来进一步确定，如n m x x x 0lim →，n m

x x

x ∞→lim ，

我们通常把这种极限称为

00或∞

∞

型的未定式（不定式），这种未定式是不能用“商的极限等于极限的商”这一法则来计算的。【例】x x x sin lim 0→是00型的未定式，若)(x f 连续，则两增量之比的极限x y x ??→?0lim 也是0

型的

未定式。

本节运用导数来求一般未定式的极限，这就是Hospital L '法则。定理：（Hospital L '法则）若)(),(x F x f 满足： (i)0)(lim )(lim ==→→x F x f a

x a

x ；

(ii) )(),(x F x f 在a 的某去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； (iii)A x F x f a x =''→)

()

(lim

（A 可为有限数，也可为∞+或∞-）；

则： A x F x f a x =→)

()

(lim

。

证明：由于函数在a 点的极限与函数在a 点的函数值无关，因此，求)

()

(lim

x F x f a x →与)(),(a F a f

的值无关，不妨补充定义：0)(,0)(==a F a f ，这样)(),(x F x f 在a 点就连续了，在a 点附近任取一点x ，在以a 和x 为端点的区间上运用Cauchy 中值定理，则至少存在一点ξ（ξ介于a 和x 之间），使得

)

()

()()()()()()(x F x f F f a F x F a f x f =''=--ξξ

再令a x →，因为ξ介于a 与x 之间，故有A F f x F x f a a x =''=?→→→)

()(lim )()(lim ,

0ξξξξ，证毕。

注 1：“a x →”可改为“+∞→x ”或“-∞→x ”，只不过对(ii)作相应的修改，结论仍

成立。 2：若)()

(lim

x F x f a x ''→仍为0

0型未定式，则可再次使用法则，这时，

=''''=''=→→→)

()

(lim )()(lim )()(lim

x F x f x F x f x F x f a x a x a x 直到极限不是未定式为止。

3：Hospital L '法则的三个条件缺一不可，表现在(a)若不是未定式，则不能使用，否则

会导致错误；(b)若(iii)不成立，也不能用，否则也会导致错误；

4：

∞

型未定式的Hospital L '法则：可将上定理的(ii)(iii)不变，(i)改为： (i)′：+∞==→→)(lim )(lim x F x f a

x a

x 即可，结论仍成立。

5：其它还有00,0,1,,0∞∞-∞∞?∞等型的不定式，但它们经过简单的变形都可化为 00型或∞

∞

型的未定型，然后Hospital L '法则。

【例1】求x x

x sin lim 0→→。

解：1cos lim 1

cos lim sin lim

000===→→→→x x

x x x x x 。

【例2】求x

x 2tan cos 1lim

+→π。

解：21

)2cos (lim cos 1tan 2sin lim tan cos 1lim

2=-=-=+→→→x x

x x x x x x x πππ。

【例3】求x e x x sin 1

lim 0-→。

解：1cos sin 1lim

00==-→→x

e lin x e x

x x x 。

【例4】求n

x x x

ln lim +∞→ （n>0）。

解：01

lim 1

lim ln lim 1===+∞→-+∞→+∞→n

x n x n x nx nx x x x 。

【例5】求x n

x e

x λ+∞→lim ，（n 为正整数，0>λ）。

解：0!

lim )1(lim

lim lim 221===-==+∞→-+∞→-+∞→+∞→x n x x

n x x n x x n x e n e x n n e nx e x λλλλλλλ 。

注 1：[例5]中的n 可推广到任意正数；

2：[例4][例5]说明当+∞→x 时，)0,0(ln ,,>>n x x e n x λλ都是无穷大量，但x e λ较n x 高阶，n x 较x ln 高阶，不妨用以下记号表示：x x e n x ln >>>>λ。

【例6】x

x x

x x sin sin lim

-++∞→能否用Hospital L '法则？

解：若用Hospital L '法则，则有

x x x x x x x x cos 1cos 1lim sin sin lim -+=-++∞→+∞→不存在，但10

101sin 1sin 1lim sin sin lim =-+=-

=-++∞→+∞→x

x x x

x x x x x x 。这说明对本题Hospital L '法则不适合，这是为什么？这是因为定理的第三个条件不满足。

【例7】)0(ln lim 0x

x x +

→ （∞?0型x

x x ln 1,1ln ?

）。

【例8】)1()11(lim 0x

x x

→ （0∞型

x 1ln )1ln(-+）。

【例9】)()11(lim e x

x ++∞

→ （∞1型，同上）。

§3、3 Taylor 公式

多项式是函数中最简单的一种，用多项式近似表达函数是近似计算中的一个重要内容，在§2、8中，我们已见过：x n

x x e x x x

1)1(,1,sin 1+

≈++≈≈ 等近似计算公式，就是多项式表示函数的一个特殊情形，下面我们将推广到一个更广泛的、更高精度的近似公式。

设)(x f 在0x 的某一开区间内具有直到)1(+n 阶导数，试求一个多项式

n n n x x a x x a x x a a x P )()()()(0202010-++-+-+= (1)

来近似表达)(x f ，并且)(x P n 和)(x f 在0x 点有相同的函数值和直到n 阶导数的各阶导数，即：)()(,),()(),()(),()(0)(0)

(000000x f x P x f x P x f x P x f x P n n n n n n =''="

'='= 。

下面确定)(0x P n 的系数n a a a ,,10，通过求导，不难得到

)(!),(321),(21),(1),(0)(03020100x f n a x f a x f a x f a x f a n n =?'''=???''=??'=?= ?

n n n x x n x f x x x f x x x f x f x P )(!

)()(!2)())(()()(00)(2

00000-++-''+-'+= (2)

这个)(x P n 即为所求。

Taylor 中值定理：如果函数)(x f 在0x 的某区间),(b a 内具有直到)1(+n 阶的导数，则当

),(b a x ∈时，)(x f 可表示为)(0x x -的一个多项式)(x P n 和一个余项)(x R n 之和：

)()(!

)()(!2)())(()()(00)(2

00000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= (3)

其中10)1()()!

1()

()(++-+=n n n x x n f x R ξ （ξ介于0x 与x 之间）

证明：令)()()(x P x f x R n n -=，下证ξ?在0x 与x 之间，使得：

10)1()()!

1()

()(++-+=n n n x x n f x R ξ

由于)(x f 有直到)1(+n 阶导数，)(x P n 为多项式，

故)(x R n 在),(b a 内有直到)1(+n 阶导数，并且0)()()()(0)

(000=="

='=x R x R x R x R n n n n n 。现对函数)(x R n 和

10)(+-n x x 在以0x 和x 为端点的区间上应用Cauchy 中值定理，

n n n n n n n n x n R x x x x x R x R x x x R ))(1()

()()()()()()(01110010010-+'=----=-+++ξξ （1ξ在0x 与x 之间）

022*********)

()1()

())(1())(1()()())(1()(--+"=-+--+'-'=-+'n n n n n n n n x n n R x x n x n x R R x n R ξξξξξξ （2ξ介于1ξ与0x 之间）

如此继续下去，经过)1(+n 次后，?一个1+n ξ介于n ξ与0x 之间，使得

)!1()()()(1)1(1

0+=

-+++n R x x x R n n n n n ξ ，显然1+n ξ介于0x 与x 之间。一般地，记号 )!1()

()

()()1(1

+=-?=+++n R x x x R n n n n n ξξξ 又因为 )()()(x P x f x R n n -= 而)(x P n 为n 次多项式，故当 ?≡?

≡+++)

()(0)()1()1()

1(x f x R x P n n n n n

)!1()()

()()1(1

0+=-++n f x x x R n n n ξ 或 1

0)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ （ξ介于0x 与x 之间）。

注1：（3）式称为)(x f 按)(0x x -的幂展开到n 阶的Taylor 公式，)(x R n 的表达式（4）称

为Lagrange 型余项；

2：当0=n 时（3）变为：))(()()(00x x f x f x f -'+=ξ （ξ介于0x 与x 之间），这就是

Lagrange 公式；

3：从（3）式可看出：用（2）式的多项式)(x P n 来近似表达)(x f ，所产生的误差为)(x R n ，

再由（4）式，不难看出：若在),(b a 上，有M x f n ≤+)()1(，则有：

10)()!1()(+-+≤

n n x x n M x R ，此时0)

()(lim 00=-→n n x x x x x R ，即)())(()(00x x x x x R n

n →-=ο

4：若特别地，取00=x ，这时（3）式变为：

)(!

)0(!2)0()0()0()()(2x R x n f x f f f x f n n

n +++''+'+= ……（5）这里1

)1()!

1()()(+++=n n n x n f x R ξ （ξ介于0与x 之间），我们称（5）为)(x f 的Maclourin

公式。

【例1】求x e x f =)(的Maclourin 公式。解： ?===''='=x n e x f x f x f x f )()()()()(

1)0()0()0()0()(===''='=n f f f f ，又x n e x f =+)()1(

所以 )10()!

1()()(1

)

1(<<+=?=++θ?θθn x

n x

n x n e x R e

x f

，

令代入（5）式得：

)10()!

1(!!211

2<<++++++=+θθn x

n x

x n e n x x x e 。

【例2】求x x f sin )(=的Maclaurin 公式。

解： 2

sin

)0()2

sin()()()(ππ

πk f k x f n n =?+

=，当=n 1，5，9，13，……时1)0()(=n f ，当=n 2，6，10，14，……时0)0()(=n f ，按（15）式，得：

)()!12()1(!5!3sin 2121

53x R m x x x x x m

m m +--+-+-=-+

其中：)10()!

12()2)12(sin()!

12()()(1

12(2<

?+=+++θπ

θθm m m m x m m x x m x f x R 。

注：)()()()(122122x R x R x P x P m m m m --==。

同理有：)()!

2()1(!4!21cos 12242x R m x x x x m m

m ++-+-+-= ，其中：)10()!

22())1(cos()(2

212<

m m x x R 。

【例3】求α)1(x +的Maclourin 公式。解

：

)

1()2)(1(!

2)(1(!

1(1)1(32x R x n n x x x x n n ++---+

+--+

+=+ααααααααααα 其中：11)1()!

1()

()2)(1()(--+++---=n n n x x n n x R αθαααα ，（10<<θ）

【例4】求)1ln(x +的Maclourin 公式。

解：)()1(32)1ln(132x R n

x x x x x n n

n +-+-+-

=+- 111

)1(11)1()!1()1(!)1()(+++++-=++-=n n

n n n

n x

x n n x x n x R θθ。

§3、4 函数单调性的判定法

单调函数是函数中的一个重要部分，从图形上看，单调增加（减少）函数是一条沿x 轴正向上升（下降）的曲线，曲线上各点处切线斜率都是非负的（非正的），即 )()0)((,0)(x f y x f y x f y =?≤'='≥'='单增，则0)(≥'='x f y ，若)(x f y =单

减，则0)(≤'='x f y 。

下面来证明反之亦成立，设)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，在],[b a 内任取两点)(,2121x x x x <，在区间],[21x x 上应用Lagrange 中值定理，故在),(21x x 内至少存在一点ξ，使得：))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ，因为 )()(01212x f x f x x -?

>-与)

(ξf '同号，

（i ）若在),(b a 内，0)(≥'x f ，则有0)()(0

)(12≥'-'?

≥'x f x f f ξ，即)()(12x f x f ≥，

此时，)(x f y =单增；

（ii ）若在),(b a 内，0)(≤'x f ，则有0)()(0

)(12≤'-'?

≤'x f x f f ξ，即)()(12x f x f ≤，

此时，)(x f y =单减；综和上述正反两方面，得：

判定法：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则：（1）)(x f 在],[b a 上单增的充要条件是0)(≥'x f ；（2）)(x f 在],[b a 上单减的充要条件是0)(≤'x f 。

注1：此“单增”或“单减”与课本上的意义有些区别，它是指：若21x x <，则有

“)()(21x f x f ≤”或“)()(21x f x f ≥”或称“不减”或“不增”。而对21x x <时，有 “)()(21x f x f <”或“)()(21x f x f >”时，称为“严格单增”或“严格单减”。在不

特别要求下，也可称为“单增”或“单减”。

2：若)(x f 在),(b a 内有)0)((0)(<>'x f x f ，则)(x f 在],[b a 上严格递增（严格递减）；严格递增?（i ）0)(≥'x f ；（ii ）在任何子区间上0)(≠'x f 。 3：],[b a 可换成其它任何区间，包括无穷区间，结论成立。

【例1】证明：当0>x 时，)1ln(x x +>。证明：令01111)()

1ln()(>+=+-

='+-=x

x x f x x x f 所以，当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 为严格递增的

0)01ln(0)0()(=+-=>?f x f ，所以)1ln(x x +>。

【例2】讨论33)(x x x f -=单调性。

解：)1)(1(33)(3x x x x x f +-=-='

（Ⅰ）当1-<∞-时，0)(<'x f 所以)(x f 在)1,(--∞上严格递减；（Ⅱ）当11<<-x 时 , 0)(>'x f 所以)(x f 在[-1，1]上严格递增；（Ⅲ）当+∞<

【例2】中的),1[],1,1[],1,(+∞---∞通常称为单调区间并且),1[],1,(+∞--∞称为单调增加区间，[-1，1]称为单调减少区间，而1,1-==x x 二点恰为单调区间的分界点，不难知0)1()1(='=-'f f 。

一般讲，)(x f 在定义域内未必单调，但可用适当的一些点把定义域分为若干个区间，便得)(x f 在每一个区间上都是单调函数。而这些分点主要有两大类：其一是导数等于0的点，即0)(='x f 的根；其二是导数不存在的点。事实上，只要)(x f 在定义域内连续，且只在有限n 个点处导数不存在，则可用分点将区间分为若干个小区间，使得)(x f '在各小区间上，保持有相同的符号，即恒正或恒负，这样)(x f 在每个小区间上为增函数或减函数，各小区间则相对地称为单增区间或单减区间。【例3】求23)52(x x y -=的单调区间。解：32

552x

x y -=在（-∞，+∞）上连续，当

X ≠0时，

331321

310310310x

x x x y -=

-='- 再令y ′=0，解得，X=1为导数等于0的点，又当X=0时，函数的导数的存在，所以X=0为不可导的点，现用X=0和X=1作为分点来将（-∞，+∞）分为（-∞，0），[0，1]和[1，+∞]三个区间。

（Ⅰ）在（-∞，0）上，0)(>'x f ，所以)(x f 在)0,(-∞上为单增函数；（Ⅱ）在（0，1）上，0)(<'x f ，所以)(x f 在[0，1]上单减；（Ⅲ）在),1(+∞上，0)(>'x f ，所以)(x f 在（1，+∞）上单增。

【例4】方程ax x =ln （其中a ＞0）有n 个实根？解：设a x

x f ax

x x f -='?-=1)(ln )( 令a

x x f 1

,0)(=

?='，用a x 1=点将其定义域（0，+∞）分为（0，1/a ）

和[1/a ，+∞]二个区间，且

（Ⅰ）当a

x 1

<时，0)(>'x f ，所以)(x f 在)1,0(a 是单增的，故当a x 1<时，

()(a

f x f <。

（Ⅱ）当+∞<

时，0)(<'x f ，所以)(x f 在),1[+∞a 上为单减的，故当a x 1>时，

()(a

f x f <。

由（Ⅰ）（Ⅱ）知，当a x 1≠时，)ln 1()1

()(a a

f x f +-=<即对

)ln 1()(),,0(a x f x +-≤+∞∈?，下面来讨论ax x =ln 有几个实根：

（a ）若1+lna ＞0，即a ＞1/e 时，)(x f ＜0，即方程无解。

（b ）若1+lna=0，即a=1/e 时，0)(≤x f ，且仅在X=1/a=e 时，有)(x f =0，此时，方程有唯一的解。

（c ）若1+lna ＜0，即0＜a ＜1/e 时，f （1/a ）＞0，又在（0，1/a ）上，)(x f 单增，且

-∞=+

→)(lim 0x f x ，，故在（0，1/a ）上，函数)(x f 与x 轴有一个且只一个交点，即方程

的根，又在),1[+∞a 上，)(x f 单减，且-∞=+∞

→)(lim x f x ，故在),1(+∞a 上，)(x f 与X 轴有一个且只有一个交点，即方程的根，合起来，此时方程有二个实根。

§3.5 函数的极值的求法

上节[例3]中，用X=0，和X=1两点将32)52()(x x x f -=的定义域（-∞，+∞）分为三小区间（-∞，0），[0，1]，),1[+∞，使用)(x f 分别在这三个小区间上单增，单减，单增（见图），从图中不难看出，在X=0的一个较小范围内，)(x f 在X=1点的最小区间都是虑的局部情况，而不是整体这就是将讨论的极值。

定义：设函数)(x f 在点X 0的某邻域)(0x U 上有定义，若对)(0x U x ∈?有)()(0x f x f ≤，（)()(0x f x f ≥）

定义：设函数)(x f 在点X 0处的得极大值（极小值）点X 0称为极大点（极小点），极大值，极小值统称为极值，极大点，极小点统称为极点。显然在上节[例3]中，X=0，X=1均为极点，注：极大点，极小点未必统一。

定理1：（极值的必要条件），若函数)(x f 在0x 点可导，且取得极值，则0)(0='x f 。

注： 1、一般地，)(0x f '在0x x =处有0)(0='x f ，就称0x 为)(x f 的驻点或稳定点，上定理1即是可导函数的极点必为稳定点。

2、定理1不是充分的即驻点未必是极点，及例：3)(x x f =在x =0处的情况。

3、定理1只对可导函数而言，对导数不存在的点，函数也可能取及极值，例：)(x f =∣x ∣，在x=0点的导数不存在，但取得极小值。

4、证明可仿照Rolle 中值定理的证明，此处不证了。

如何判别)(x f 在x 0点取得极值，有下二个定理：

定理2（判别法1），设连续，)(x f 在x 0点连续，在x 0的某一定心邻域)(00x U 内可

导

（Ⅰ）若当x ∈（x 0 –σ，x 0 ）时，f ′（x ）≥0，当x ∈（x 0，x 0 +σ）时，f ′（x ）≤0，则f （x ）在x 0点取得极大值。

（Ⅱ）若当x ∈（x 0 –σ，x 0 ）时，f ′（x ）≤0，当x ∈（x 0，x 0 +σ）时，f ′（x ）≥0，则f （x ）在x 0点取得极小值。

定理3（判别法2）设f （x ）在x 0的某邻域内可导，且f （x 0）=0，f ′（x 0）存在

（Ⅰ）若f ″（x 0）＜0，则f （x ）在x 0点取得极大值。（Ⅱ）若f ″（x 0）＞0，则f （x ）在x 0点取得极小值。（Ⅲ）若f ″（x 0）=0，则此差别法2换效。

证：（Ⅰ）f ″（x 0）=lim f ′（x ）- f ′（x 0）/x- x 0= lim f ′（x ）/ x- x 0＜0

故存在x 0的某邻域U （x 0 ，σ），当X ∈（x 0 ，σ）时，f ′（x ）/x- x 0。即f ′（x ）与x- x 0反号，当x ∈（x 0 –σ，x 0）时，f ′（x ）＞0，当x ∈（x 0，x 0+σ）时，f ′（x ）＜0；由差别法1，f （x ）在x 0点取得极大值。（Ⅲ）[反例1] f （x ）=x 2 在x=0点取得极小值。

[反例2] f （x ）=x 3 在x=0点取不到极值。

[例1]上节[例2] f （x ）=3x-x 3

[例2]求f （x ）=（x-2）2/3（2x+1）的极值解：由102

1(10)(3

=?=--=

'x x x x f 为驻点；

又34

)2(5

2910)(--?

''x x x f ，所以 031013910)1(<-=-?=''f 所以)(x f 在1=x 处取得极大值，且极大值为3)1(=f 。又)(x f 在2=x 处不可导，对充分小的0>σ当)2,2(σ-∈x 时，0)(<'x f ；当)2,2(σ+∈x 时，0)(>'x f ，由判别法1知)(x f 在2=x 处取得极小值，且极小值为f （2）=0，所以f （x ）在x=1处取得极大值3，在x=2处取得极小值0。

§ 3.6 最大值、最小值问题：

现讨论求最大值，最小值的问题，最大（小）值是一整体概念是指函数在定义域内取到的了最大数，最小数。与极大值，极小值不同。如果最大（小）值在定义域内部取得，则此最大（小）值必为极大（小）极，这时，最大（小）点必为导数不存在的点和驻点，另外最大（小）值还可能在定义域的端点上取得（若端点在定义域中的

话）。

由此，若f （x ）在定义域上取到最大（小）值。现给出求f （x ）在区间Ⅰ上的最大（小）值办法：

（i ）求出f （x ）在Ⅰ上的所有驻点不可导点和端点。

（ii ）求出f （x ）在这些点上的函数值，再进行比较：最大（小）者即为所求的最大

（小）值。

特别地，若f （x ）在[a ，b]上连续，可导，此时最大（小）值必在驻点和端点a 、b 中取得。

[例1]求f （x ）=x 4-2x 2+3在区间[-3，2]上的最大值和最小值。解：因为f （x ）在[-3，2]上连续，故最大值，最小值一定存在。

又f （x ）在[-3，2]内可导，即无不可导的点，下求驻点；令1,1,00

44)(3213-===?=-='x x x x x x f 为驻点。

而2)1(,2)1(,3)0(=-==f f f 又在端点处f(-3)=66，f （2）=11经过比较，得知最大者为66，最小者为2，∴f （x ）在[-3，2]上的最大值为66，最小值为2。思考题：f （x ）=x 4-2x 2+3在 [-3，2]上是否存在最大，小值？为什么？ [例2]求f （x ）=x 4-8x 2在[-1，1]上的最值。

解：f （x ）在[-1，1]上连续，可导，∴最值存在，且在驻点和端点中取得。

令f ′（x ）=4x 3-16x=4x （x 2-4）=0

得x 1=0，x 2=2，x 3=-2，因为2，-2∈（-1，1）故去掉，所以在[-1，1]中有一个驻点x=0，且f （0）=0。又在端点处，f （-1）=f （1）=-7，由比较得f （X ）在[-1，1]上的最大值为0，最小值为-7。

注：上例中，S=0为f （x ）在[-1，1]上的唯一的驻点，不难验证f （x ）在x=0处取得极大值（因为f ″（0）=-16），恰好，在x=0处f （x ）上取得最大值，但这并非偶然，一般地有：

性质：设f （x ）在区间Ⅰ内可导，且只有一个驻点x 0，且若f （x ）在x 0点取得极大（小）值，则f （x ）必在x 0点取得最大（小）值。

[例3]在曲线y=1/x （x ＞0）上取一点使之到原点的距离为最近

解：曲线上任一点（x ，y ）则（0，0）点的距离为22y x s += 即

，而求x 使s 最小值可转化为求x 使s 2=x 2+1/x 2最小，由题意知，这个最近距离是存

在的，即函数的最小值存在。由1,101

2122)(213232

-==?=-?=-='x x x

x x x s

（舍去）

221

x x s +=

所以当x ＞0时，只有一个驻点x=1，且在x=1点08)(2>=''s 。所以s 2在x=1处取得极小值2，所以s 在x=1处取得极小值

2。而这个极小值

2即为S 在区间（0，+∞）上的最小值。

注：在实际问题中，若由题意得知最大值或最小值存在，且一定在所致虑的区间内部取得，此时，若在该区间内部只有一个驻点，那么不必再作讨论，就可断定f （x 0）就是所求的最大值或最小者。

§3.7 曲线的凹凸与拐点

为了较准确地描出函数的图形，单知道函数的单调区间和极值是不行的，比如说，f （x ）在[a ，b]上单调，这时会出现图中的几种情况，l 1是一段凸弧l 2是一段凹弧，l 3即有凸的部分，也有凹的部分，曲线具有这种凸和凹的性质，称为凸凹性。

从几何意义上看，凸弧具有这种特点：从中任取两点，连此两点的弦总在曲线的下方。进而不难知道，在（a ，b ）中任意取两个点函数在这两点处的函数值的平均值小于这两点的中点处的函数值。凹弧也有相仿的特点。

定义：设f （x ）在[a ，b]上连续，若对Vx 1，x 2∈（a ，b ）恒有：

f （x 1+x 2/2）＜f （x 1）+f （x 2）/2或f （x 1+x 2/2）＞f （x 1）+f （x 2）/2 这称为f （X ）在[a ，b]上的图形是凹的（凸的）或凹弧（凸弧）。

注：1、有的书也用此线的位置来定义。

2、上面等式有些书上带等号，例如对y=x 4

定理：设f （x ）在[a ，b]上连续在[a ，b]内具有一阶和二阶导数，

（i ）若在[a ，b]内，f ″（x ）＜0，则f （x ）在[a ，b]上的图形是凸的。（ii ）若在（a ，b ）内，f ″（x ）＜0，则f （x ）在[a ，b]上的图形是凹的。证明：下面证（i ）从（a ，b ）中任取二点x 1，x 2不防设x 1＜x 2

由lag range 中值定理，

(

)(()2()(212

1121212x x x x

x f x x f x f <<+-'=+-ξξ )2

()2

)(()()2(

121122121x x x x

x f x f x x f +<

<-'=-+ξξ

所以

)]()2

([21

)]2()([21)2(2)()(1212122121x f x x f x x f x f x x f x f x f -+++-=+-+

))((2)]()([21

12211221x x f x x f f --''=-'-'=ξξξξξ 其中,12ξξξ<<又因为0(0

)(<''?<''ξf x f

0)2

(2)()(2121>+-+?

x f x f x f

即 2)

()()2(2121x f x f x x f +<

+，由定义，即得。 [例1]判别曲线y=2x 2

+3x+1的凹凸性解：因为y ′=4x+3，y ″=4＞0

所以曲线y=2x 2+3x+1在其定义域（-∞，+∞）上是凹的。 [例2]证明当x ∈[0，1]时，有不等式

证：首先，由1)1()1(]

1,0[,1=-+≤-+?∈≥x x x x x p p

p ，

现证：p

p p x x )1(211-+≤-，即证2)1(21p p x x p -+≤

令

0)1()(.)()(2

1≥-=''='?=--p p p x p p x f px x f x x f

p x x f =∴)(的图形在[0，1]上凹的?

[例3]讨论曲线y=arctanx 的凹凸性

解， ﹤0时，y ''﹥0；

当x ﹥0时，y ''﹥0。是凸的在上是凹的

在曲线),0(,)0,(arctan +∞-∞=?x y 从[例3]中不难知道点X=0为曲线的凹部分与凸部的分界点定义，连续曲线上的凸弧的分界点称为曲线的拐点。

若f （x ）在（a ，b ）内有二阶导数，x 0点的拐点，则有f ″（x 0）=0，且在x 0左右两边，f ″（x ）异号，由此不难求拐点的步骤：（i ）求出f ″（x ）=0，在（a ，b ）中的所有解x=x 0。

（ii ）对（Ⅰ）中所求的每一个x 0，察f ″（x ）在x 0左右两边的符号，若异号，则x 0为拐点，若同号，则x 0不是拐点。

[例4]求的拐点

)1()2)1((p p p x x x x -+≤-+2

)1(21p

p p x x -+≤即

211

y +='x x x y 当?+-=''212x

x y 1

解： .2.0,2,0,2为拐点时当时当=∴''''x y x y x

[例5]求的拐点。解：令y ″=0 x=1，但此时，在x=1附近，不论x ＞1还是x ＜1，都有y ″＞0，∴x=1不是拐点。然而，当x=0时，y ″不存在，但当x ＜0时，y ″＜0，当x ＞0时，y ″＞0，由定义知，x=0为拐点。

§ 3.8函数图形的描绘

根据前n 节所学的知识，我们可较准确地画出函数的图，描绘函数图象的一般步骤：

1、确定函数的定义域，并求出f ′（x ），f ″（x ）

2、求出f ′（x ）=0和f ″（x ）=0的所有根，及不可导点，并用这些点将定义域分为若干个小区间。

3、确定f ′（x ）和f ″（x ）在这些子区间上的符号，并且由此确定的函数图形的升降，凹凸及极点和拐点。

4、确定水平，铅直渐近线，以及其它渐近线。

5、确定某些特殊点的坐标，比如：与坐标的交点。

6、沿x 增大的方向按上讨论的结果，将点用曲线光滑连结起来，分点的坐标，以把图描得更准些，另外，还可以观察f （x ）的奇偶性，周期性配合作用。

[例1]作出函数y=xe -x 的图形

解（Ⅰ）y=xe -x 的定义域为（-∞，+∞） y ′=（1-x ）e -x ，y ″=（x-2）e -x

（Ⅱ）令y ′=0 x=1，令y ″=0 X=2

用x=1，x=2，将Ⅲ（-∞，+∞）分为三部分（-∞，1），[1，2]，[2，+∞] Ⅲ（-∞，1）上，y ′＞0，y ″＜0，∴f （X ）的图形在（-∞，1）上是单增的，且是凸的

在[1，2]上，y ′＜0，y ″＜0，∴f （x ）的图形在（1，2）上是单减的，且是凸的

在[2，+∞]上，y ＜0，y ″＞0，∴f （x ）的图形在[2，+∞]是单减的，且是凹的。

进而得x=1为极大点，x=2为拐点

20.)2(,)1(=?=''-=''-='--x y e x y e

x y x x

令101201235+-=x x x y 3

323538)1(9121528131x x x x x y -?=?????

?+-'

（Ⅳ）当x →+∞时xe -x →0, ∴y=0是水平渐近线，当x →-∞时xe -x →-∞ （Ⅴ）f （1）=e -1，f （2）=2·e -2，f （0）=0，从而得四个点的f （-1）=-e 坐标（0，0），（1，1/e ），（2，2e -2），（-1，-e ）

将（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的结果列成下表： X （-∞，1） 1 （1，2） 2 （2，+∞） y ′ + 0 - - - y ″

- - 0 + Y=f （X ）的图形 ↗凸

极大 ↘凸

拐点

↘凹

§ 3.9曲率一、弧微分：

设f （x ）在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内有连续导数，在曲线y= f （x ）上取一点M 0（x 0，y 0）为度量弧长的基点，规经沿x 增大的方向为曲线的方向，对曲线上任一点M （x ，y ）有向弧段∧

M M 0的长度S 规定如下：

S 的绝对值等于∧

M M 0的长度，当有向弧段∧

M M 0的方向与曲线的正向一致时，S ＞0，相反时，S ＜0，显然，S 是x 的函数，S=S （x ），且是X 的单调增加函数，现求dS/dx 及ds 。

是x ，x+△x 是（a ，b ）内两个邻近的点，在曲线y=f （x ）上对应的点为M ，M ′当x 有增量△x 时，设弧S 有增量△S 。

二、曲率的计算公式

我们学过不少直线，但直线是不弯的，曲线是弯曲的，但各地方，弯曲的程度是不同的，比如，一族同心圆，直径大的弯曲程度没有直径小的厉害。那么用什么来描述弯曲程度的呢？这里我们用曲率，设曲线上M 点对应的弧长为S ，

切线的倾角α+△α，我们用比值表示弧∧'M M 的平均弯曲程度，即平均曲

率，记为特别地令△S →0，这里M ′→M ，这时，称上平均曲率的极限：为曲线在M 点的曲率，若存在，则有： dx y ds y dx

y dx

ds 222111'+='+=?

'+±=∴s

??α

s K ??=

k s ??=→?α0

lim

s k s ??=→?α0

lim ds d k α=

dx y y d y dx d y tg 221.sec '

'=?''=?'=αααα 3

1y k dx y ds ''=?'+=又

高等数学上册复习要点及解题技巧

高等数学上册复习要点及解题技巧第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧高数解题的四种思维定势 ●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

线性代数解题的八种思维定势 ●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 ●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 ●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。 ●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。 ●第五句话：若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理 ●第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 ●第七句话：若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。 ●第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。概率解题的九种思维定势 ●第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式 ●第二句话：若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式 ●第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组 ●第四句话：若题设中给出随机变量X ~ N 则马上联想到标准化 ~ N(0,1)来处理有关问题。 ●第五句话：求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。 ●第六句话：欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的区域的公共部分。 ●第七句话：涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作（0－1）分解。即令

武汉大学大一上学期高数期末考试题

高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 2. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 3. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共 16分) 4. 　）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 5. ) ( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 6. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1) -二阶可导且'>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 7. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 8. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ．　求，，设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 ()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在 =0x 处的连续性. 13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1(1)9y 的解. 四、解答题（本大题10分） 14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线 x y ln =及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的 [,]∈01q ，1 ()()≥??q f x d x q f x dx . 17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且 )(0 =?π x d x f ， cos )(0 =? π dx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设 ?= x dx x f x F 0 )()(）

大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用

高等数学（通用复习）师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意第一章函数与极限函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★）函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影：性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面（1）椭圆锥面：222 22z b y a x =+；（2）椭圆抛物面：z b y a x =+22 22；（旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转））（3）椭球面：1222222=++c z b y a x ；（旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转））（4）单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ；（旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

大一高数总复习资料

第一章第一节 (),U a δ(),U a δo 第二节【证明示例】ε1．由n x a -∴N g =??2．即对>?ε有不等式∴{}x n x ∞ →lim 第三节 ○0x x →【证明示例】ε1．由()f x -∴(εδg =2．即对>?ε∴(f x x →0 lim ○∞→x 【证明示例】ε1．由()f x -∴(g X =2．即对>?ε不等式(f ∴(x f x ∞ →lim 第四节函数(x f 函数(x f ()x g 为无穷小，若()x f 为若()x f 为无（或∞→x ） 0x =的任一去心D x ∈上有界；） 0x 时的无穷小； ∞时的无穷小；） n m a ()()0000,00f x f x ≠=

式 3 x→= 其中x 解： x→ ∵?x x→lim f )1

第九节【题型示例】介于a 与b 【证明示例】 1．闭区间[,a 2．∵()a ???3．得()=ξ?4第二章第一节【题型示例】处可导，求a ，【求解示例】 1．∵()()00f f -+'?=??'=??2∴1,a b =【题型示例】求（或：过f y =方程）【求解示例】 1．()x f y '='2第二节 1特别地，当23第三节

【求解示例】第六节第七节 (x f dy '=第三章第一节【题型示例】使得()f ξ【证明示例】 1．()0,π2．又∵(0?(?π即?3()0,ξπ?∈【证明示例】 1．显然函数()1,x 2(1x e e -=又∵e ξ >化简得x e >【证明示例】 1．， 0sin 02 x =

2018最新大一高等数学期末考试卷(精编试题)及答案详解

大一高等数学期末考试卷（精编试题）及答案详解一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

高等数学期末复习要点

高等数学期末考试复习要点定积分部分知识点及典型例题 1.若函数()y f x =在闭区间[,]a b 连续，则在()y f x =在闭区间[,]a b 上可积。典型例题：下列函数中，在区间[2,2]-可积的函数是：。 22111,,ln(1),,sin 11 y y x y x y y y x x x ===+===+-。 2.变上限定积分求导数：()()x a d f t dt f x dx =?。典型例题：（1 ） 0sin x d dx =? ；（2 ）1sin x d dx =? ；（3）2 1 cos 2 lim t x x e dt x -→=? 。 3.定积分的计算牛顿—莱布尼兹公式()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-?，其中主要用到不定积分主要公式? dt t α、 ?dt t 1、?dt e t 、?tdt sin 、?tdt cos ，凑微分法等。典型例题：计算下列定积分（1 ）8 ? ，（2 ）0 ?，（3 ）2 1 e ?，（4 ）1 ? 。 4.对称区间奇偶函数的定积分的性质：若()f x 是奇函数，则 ()0a a f x dx -=? ；若()f x 是偶函数，则 ()2()a a a f x dx f x dx -=? ?；。典型例题：（1）1 21sin 1-=+?x dx x ；（2）cos ||-=?x dx ππ ；（3 ） 3 23 (sin x x --=? ；（4 ）1 31 (4--=?x ； 5.定积分的几何意义。典型例题：利用几何意义直接求下列积分（1 ）3 -? ；（2 ）0 ? 。 6.0>a ，广义积分dx x a ? +∞ α1 收敛、发散的充要条件。典型例题：（1）指出反常积分 11 +∞ ?p dx x 何时收敛，何时发散? （2 ）判断下列积分的敛散性：1+∞?，311dx x +∞?，611 dx x +∞?。 7.定积分应用： 1）求平面曲线所围成图形的面积：由曲线()(()0)y f x f x =≥，直线,x a x b ==以及x 轴围成的曲边梯形的面积为()b a f x dx ?； 2）旋转几何体的体积：由曲线()(()0)y f x f x =≥，直线,x a x b ==以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周形成的旋转几何体的体积为2[()]b a f x dx π?。 3）已知边际函数()f x '，则0 ()(0)()x f x f f t dt '=+?。典型例题：（1）计算由曲线x y =、1=xy 及2=x 围成的平面图形的面积。

高等数学下知识点总结

高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：（三）空间直线及其方程

1、一般式方程：?????=+++=+++0 22221111D z C y B x A D z C y B x A 2、对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=- 方向向量：),,(p n m s =ρ ，过点),,(000z y x 3、两直线的夹角：),,(1111 p n m s =ρ ，),,(2222p n m s =ρ ， ?⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；?21//L L 2 1 2121p p n n m m == 4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， ?∏//L 0=++Cp Bn Am ；?∏⊥L p C n B m A == 第九章多元函数微分法及其应用 1、连续： ),(),(lim 00) ,(),(00y x f y x f y x y x =→ 2、偏导数： x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?), (), (lim ),(00000 00 ；y y x f y y x f y x f y y ?-?+=→?) ,(),(lim ),(0000000 3、方向导数： βαcos cos y f x f l f ??+??=??其中 β α,为 l 的方向角。 4、梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ρ ρ),(),(),(000000+=。 5、全微分：设),(y x f z =，则d d d z z z x y x y ??= +?? （一）性质 1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

大学高等数学期末考试题及答案详解(计算题)

大学数学期末高等数学试卷（计算题）一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ．求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求二、解答下列各题

高等数学考试知识点

《高等数学》考试知识点一、函数、极限、连续考试内容： 1．函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数简单应用问题的函数关系的建立； 2．数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限； 3．无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较； 4．极限的四则运算；极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限，； 5．函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）；考试要求： 1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法； 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性； 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念； 4．掌握基本初等函数的性质及其图形； 5．会建立简单应用问题中的函数关系式； 6．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系； 7．掌握极限的性质及四则运算法则； 8．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法； 9．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；

10．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型； 11．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质；二、一元函数微分学考试内容： 1．导数和微分的概念；导数的几何意义和物理意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数； 2．导数和微分的四则运算；复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法； 3．高阶导数的概念；某些简单函数的n阶导数； 4．一阶微分形式的不变性； 5．罗尔（Roll)定理；拉格朗日（Lagrange）中值定理；柯西（Cauchy）中值定理；泰勒（Taylor）定理； 6．洛必达（L’Hospital）法则； 7．函数的极值及其求法；函数单调性函数；图形的凹凸性、拐点及渐近线；函数最大值和最小值的求法及简单应用； 8．弧微分、曲率的概念；曲率半径；考试要求： 1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系； 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分； 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数； 4．会求分段函数的一阶、二阶导数；

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影：性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面（1）椭圆锥面：222 22z b y a x =+；（2）椭圆抛物面：z b y a x =+2222；（旋转抛物面： z a y x =+2 2 2（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转））（3）椭球面：1222222=++c z b y a x ；（旋转椭球面： 122 222=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转））（4）单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ；（旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

大学高等数学(微积分)下期末考试卷(含答案)

大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷学院：专业：行政班：姓名：学号：座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在

二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。

(整理)高数复习重点

万变不离其宗！短短一个月后，就要考试了，面对复习不能手足无措，要有目的地复习。主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分五.定积分六定积分的应用浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。一函数与极限熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理本章公式：两个重要极限：常用的8个等价无穷小公式：当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2）（e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数

三.微分中值定理与导数的应用：洛必达法则：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在

关于大学高等数学期末考试试题与答案

关于大学高等数学期末考试试题与答案 Last revision on 21 December 2020

（一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（）。 A 、 B 、

5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内（）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限（1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分（1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ；（2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ；（3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分（1 ）；（2 ）；（3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x

高等数学A2复习要点

高等数学A2 第7章向量代数与空间解析几何 1. 求向量的模。（课本9页，例7-7） 2. 求向量的单位向量。（课本9页，例7-7） 3. 求向量的方向角，方向余弦。（课本10页，例7-8） 4. 求向量a →在b → 方向上的投影。（课本17页，习题3） 5. 求向量的点积a b →→?，叉积a b →→?。（课本15页，例7-13） 6. 求空间平面的方程（点法式方程，一般式方程，截距式方程）。（寻找法向量）（课本29页，例7-24，7-25） 7. 求空间直线的方程（点向式方程，参数式方程，一般式方程）。（寻找方向向量）（课本35页，例7-29、7-30）第8章多元函数微分学 1. 求多元函数的定义域。（课本44页，例8-3） 2. 求多元函数的极限。（课本46页，例8-6） 3. 求多元函数的偏导数。（课本51页，例8-11） 4. 求多元函数的全微分。（课本56页，例8-16） 5. 求多元复合函数的导数。（课本60页，公式8-13，例8-22） 6. 求多元隐函数的导数。（课本65页，公式8-23，例8-26） 7. 多元函数偏导数在几何上的应用。（课本67页，例8-27；8-28） 8. 求多元函数的极值。（课本71页，例8-30，课本74页，拉格朗日乘子法）

第9章多元函数积分学 1. 二重积分的性质4. （课本79页，性质4） 2. 直角坐标系下二重积分的计算。（课本86页，例9-5） 3. 直角坐标系下二重积分交换积分次序。（课本87页，例9-6） 4. 极标系下二重积分的计算。（极标系下二重积分计算的转换公式，课本88页，公式9-5，例9-8）第10章无穷级数 1. 常用级数等比级数（课本125页，例10-2），P级数（课本131页，例10-6）的收敛性。 2. 利用定义法（课本125页，例10-1）；逆否命题法（课本128页，例10-4），比较判别法（课本133页，例10-7），比值判别法（课本135页，例10-8）等判断级数的收敛性。 3.判断常数项级数收敛还是发散，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛。（利用正项级数，交错级数判别法）（课本138页，例10-10） 4.求幂级数的收敛半径，收敛域。（课本143页，例10-11）第11章微分方程 1. 理解微分方程、解、通解、特解的概念。（课本159页） 2. 会判断微分方程的阶。（课本160页，课后习题1） 3. 求解可分离变量的微分方程。（一阶）（课本161页，例11-4）

高等数学(下)知识点总结

主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三）空间直线及其方程

同济大学大一高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷课程名称：《高等数学》试卷类别：A 卷考试形式：闭卷考试时间：120 分钟适用层次：适用专业；阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）一、单选题（共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）． A ．条件收敛 B ．绝对收敛 C ．发散 D ．敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

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