1.2.1-3函数的值域教学设计

青岛为明学校高效课堂教学设计

课题名称函数的值域

教师姓名何龙授课班级高一1,2班课时1课时

课程标准

描述

会求简单函数的值域，并掌握基本的值域求解方法；

考试大纲

描述

了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；

教材内容分析函数包含定义域，值域，解析式三要素，要求会求简单函数的值域，复合函数的解析式

学生分析函数问题比较抽象，对于掌握求解方法，存在一定的难度，要多练习，掌握基本题型，掌握基本的解题技巧，孰能生巧

教学目标1、理解函数值域的定义，并用集合来表示；

2、常用函数值域，如给定区间二次函数等；

3、掌握常用求函数值域的方法：配方法、换元法等。

重点常用的求函数值域的方法.

难点能灵活运用求函数值域的方法来解决实际问题.

导学过程教师活动学生活动设计意图

导

回忆初中学习过的一次

函数，二次函数，反比例函

数的值域，引入函数的值域

求解方法

认真思考老师提出的问题，

带入学习情境中

激发学习欲望，引发学习本

节的兴趣

思

针对导学提纲，思考不同

类型的函数可用那类方式

求解值域，针对二次型，反

比例型等函数模型值域的

求法进行思考；

参照课本，按照提纲解决相

关问题，提出问题

了解相关概念，抓住概念的

重点，培养学生独立思考能

力

议

针对函数的值域，解析式

求解方法进行讨论，具体题

型集体讨论可行的解题方

案

（起立）参照提纲，两人讨

论，然后小组内讨论各问题

结果，解决小组内同学提出

的问题；各小组讨论各题目

的解答方式以及答案

培养团结合作、分组竞争的

能力；通过讨论加深对各类

知识的理解，相互沟通，结

合小组内各同学的理解，提

高对相关知识的掌握，并强

化解题能力与解题技巧

检查结果及修改意见：

合格【】不合格【】

备课组长（签字）：

检查日期：年月日展请各小组展示讨论结果，展示各题的解题过程，引导学生发现问题，并鼓励学生独立解决问题，总结各类解题技巧

通过小组，个人展示讨论结果，发现共性问题，并解决问题培养学生发现问题并解决问题的能力，强化对知识的理解，加强解题能力与解题技巧评总结函数值域的求解方法：二次函数法、换元法、分离常数法等；回忆本节内容，进一步强化对本节知识的理解，辨析易错点，解读难点强化对相关概念的理解，形成完整的知识体系，辨析易错点，加强对同类题型解题方式的理解与记忆检通过典型例题，强化函数值域，学以致用，自我检查，做到堂清，可以熟练应用本节所学内容解决相关问题

进一步检查对本节知识的理解，查漏补缺，强化记忆教学评价

设计

教学反思理解函数的值域由函数的定义域来确定，因此求值域时要先求定义域，掌握各类值

域的求法，不同类别的函数值域要掌握不同的求解方法。多积累，多练习。

高中数学函数(值域二次函数)教案新人教版必修1

函数(值域、二次函数) 、教学目标 1 ?函数的值域 2. 二次函数 3. —元二次方程实根的分布 说明二次函数及有关内容是高考命题的重要题材，为此作适当补充? 、考点、热点回顾 1 .函数的值域 与求函数的定义域相比，求函数的值域往往比较困难，我们只能求一些比较简单的函数的值域例1 求下列函数的值域： (1) y X2一1；(2)y 4 3 2x x2. x 1 例2求函数y 1 3x 例3求函数y 2x x的值域.

2.二次函数 在已知某些条件求二次函数的解析式时，常用待定系数法常见的二次函数的表示形式有 a 0 : ①标准 式： y ax2bx c ； ②顶点 式： y a(x k)2m ； ③零点式：y a(x xj(x X2)(式中2 x1、x2为一元二次方程ax bx c 0的两个实数 根). 例4 已知二次函数y f (x)有最小值3， 1 且当x 3和x 2时f (x)的值都是9—,求f (x) 2 求a、b、c的值. 已知抛物线y ax2bx c的顶点是2,9，抛物线与x轴两个交点之间的距离是6,

3. —元二次方程实根的分布 设 f x ax bx c a 0，则一元二次方程 f x 0实根的分布情况，可以由 y 象或由韦达定理来确定. 如果 f m f n 0 m n ,由二次函数 y f x 的图象知，一元二次方程f x 间m,n 内必有一个实数根. 0的两个实数根x 1、x 2的分布情况，可有如 下几种(m 、n 为常数)： (1 )若片 x 2 m ，则应有 b 2 4a c 0, 或 x 1 m x 2 m 0, x 1 m x 2 m 0. (2)若m x 1 x 2，则应有b 2 4ac 0, f m 0, b m, 2a 二次函数f(x) ax 2 bx c a 0的图象与坐标轴分别交于点 1,0 和 0, 1，且抛 物线的顶点在第四象限，求 a b c 的取值范围 f x 的图 0在区 .次方程f x

函数的值域和最值教案

函数的值域和最值教案 【教学目标】1．让学生了解求函数值域（最值）常用的方法； 2．让学生了解各种方法的适用题型，并能灵活运用各种方法解函数的值域． 【教学重点】直接法、利用函数单调性求值域（最值）、数形结合法 【教学难点】判别式法和数形结合方法的使用 【例题设置】例1（强调定义域的重要性），其它例题主要指出各种方法适用的题型及 注意点． 【教学过程】 第一课时 〖例1〗已知函数3()2log f x x =+（19x ≤≤），求函数22()[()]()g x f x f x =+的最值． 错解：令3log [0,2]t x =∈，则 22222233()[()]()(2log )(2log )(2)22(3)3g x f x f x x x t t t =+=+++=+++=+- ∴当0t =时，min ()6g x =；当2t =时，max 2()()|22t g x g x ===． 错因分析：当2t =时，9x =，2(9)[(9)](81)g f f =+无意义．产生错误的原因主要是忽略了定义域这个前提条件． 正解：由2 1919 x x ≤≤??≤≤?，得()g x 的定义域为[1,3]，3log [0,1]t x =∈，则 22222233()[()]()(2log )(2log )(2)22(3)3g x f x f x x x t t t =+=+++=+++=+- ∴当0t =时，min ()6g x =；当1t =时，max 2()()|13t g x g x ===． ★点评：1．求函数的值域(最值)同样得在定义域上进行； 2．运用换元法解题时，一定要注意元的取值范围，这步较容易被忽略； 3．配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可用此法解决．该法常与换元法结合使用． 〖例2〗 求下列函数的值域： ⑴ 121 21 x x y ++=+； 法一：（直接法）1212(21)11 2212121 x x x x x y +++-===-+++ 由20x >，211x +>，1 0121 x < <+，故12y <<，即原函数的值域为(1,2)

函数——值域(教案)

函数（3）——值域 二．教学目标：1. 会求常见函数的值域； 2. 掌握几种函数值域的常规求法：观察法、配方法、部分分式法、换元 法等。 （一）复习：（提问） 1．函数的三要素； 2．函数的定义域：自变量x 的取值的集合； 函数的值域：自变量x 在定义于内取值时相应的函数值的集合。 （二）新课讲解： 例1、试画出下列函数图象。 （1）f(x)=x+1, (2)f(x)=(x-1)2+1,[)1,3x ∈ 练习：已知函数与分别由下表给出，那么 ((1))_____;((2))______((3))______; ((4))_______f f f g g f g g ==== 1．观察法求函数值域 例1．求下列函数值域： （1）32y x =-+ [1,2]x ∈- （2）2 1y x =- {2,1,0,1,2}x ∈-- （3）3 1y x =+ （4）1,00,01,0 x y x x >??==??-

∴min 4y =- ∴值域为[4,)-+∞． （2）∵2 23y x x =+-的图象如图， 当0x =时，min 3y =-， ∴当[0,)x ∈+∞时，值域为[3,)-+∞． （3）根据图象可得： 当1x =-时，min 4y =-， 当2x =时，max 5y =， ∴当[2,2]x ∈-时，值域为[4,5]-． （4）根据图象可得： 当1x =时，min 0y =， 当2x =时，max 5y =， ∴当[1,2]x ∈时，值域为[0,5]． 说明：（1）函数的定义域不同，值域也不同； （2）二次函数的区间值域的求法：①配方；②作图；③求值域。 练习：已知函数 2 31213y x x =-+，求它在下列各区间上的值域： （1）[1,1]-； （2）[1,4]； （3）(1,3]． 3．部分分式法求分式函数的值域 例3．求函数 54 1x y x += -的值域。 解： 545(1)99 5111x x y x x x +-+===+ ---， ∵9 01 x ≠- ∴5y ≠ 即函数值域为(,5)(5,)-∞+∞． 说明：形如 cx d y ax b +=+ (0,)c bc ad ≠≠的值域为{|} c y y a ≠． 4．利用“已知函数的值域”求值域 例4．求下列函数的值域： （1 ）y =； （2 ） y = （3 ）y （4） 21 23y x x =++． 解：（1）0y ≥； （2 ）y ≥ （3）05y ≤≤； （4）1 02 y <≤ ． 5．换元法求函数值域 例5 ．求函数y x =- 解：令u = （0u ≥），则211 22 x u =- +，

函数的定义域和值域教学设计

《函数的定义域和值域》教学设计 【课题】：函数的定义域和值域【学科】：数学 【对象】：高职1班【任课教师】：郑雪梅 【教学目标】： 知识目标： 熟练掌握函数定义域的求法，会求函数的值域或最值。 能力目标： 提高学生对函数定义域、值域及相关问题的解题能力和运算能力，使学生准确而快速地求出函数定义域和值域（最值）。 情感目标： 增强学生备战高职高考的信心。 【学情简析】： 通过第一轮复习，学生对各章节的知识内容有了较系统的认识，掌握了基本的解题思路，对函数的定义域和值域有了初步的认知，可以解决一些简单的定义域、值域问题。 【教学重、难点】：熟练地求解函数的定义域和值域（最值）。 【课型设计】： （1）通过前置作业，学生归纳总结求解函数的定义域、值域（最值）的方法。（2）通过竞赛形式调动学生学习的主动性，活跃课堂氛围。 （3）通过教师指点和适当的引导，完善对考点的掌握。 【教学过程】：

+∞-+∞(2,) (1,) +在区间(0,内的最小值是1

A 组： 1、若函数()f x = ） .A [1,1]- .B (,1)-∞- .C (,1][1,)-∞-+∞ .D [1,)+∞ 2、函数0()(1)f x x =-的定义域是( ) .A [1,2] .B [1,,3] .C [2,3] .D (3,)+∞ 3、若0x ≥，则函数235y x x =+-的值域是（ ） .A (,)-∞+∞ .B [0,)+∞ .C [7,)-+∞ .D [5,)-+∞ 4、已知2x >，则函数4 2 y x x =+-的最小值是（ ） .A -2 .B 2 .C 4 .D 6 5、已知函数()3sin(2)24 f x x π =-+ +，则函数()f x 的最大值、最小值分别是（ ） .A 1，-1 .B 5，-3 .C 2，-1 .D 5，-1

1.2.1函数的概念(教学设计)(优秀经典公开课比赛教案)

1．2．1函数的概念（教学设计） 教学目的： 1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 教学重点：理解函数的概念 教学难点：函数的概念 教学过程： 一、复习回顾，新课引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？ 问题2：x y =与x x y 2 =是同一函数吗？ 观察对应： 300450600 90212 22 3941 1-12-23-3 3-32-21-1 149 123 123456 (1) (2)(3)(4) 开平方 求正弦 求平方 乘以2 A A A A B B B B 1 二、师生互动，新课讲解： （一）函数的有关概念 设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作 )(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合 {}A x x f ∈|)(（?B ）叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B 的子集。

高三数学一轮复习 函数的值域、函数教案

浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案：函数的值域、函数 ●教材分析: 函数的值域、单调性，奇偶性、周期性的应用在高考中分值较大。选择题中出现的概率很高，大题中是必考题，大多是在高考最后两题中的第一小问中考察。小题难度 居中，大题第一问偏易，是学生的考试的得分点。 ●学情分析：通过本章前六节的复习，学生基本理解掌握了基础知识，但是还是有部分学生容易遗忘，进行知识整理，可以帮助学生归纳知识点，更好的帮助学生练习函数的各种基本性质，同时可先激发学生拾起回忆，渐渐深入探究更深层次的函数应用问题。 ●教学目标：考察学生理解函数单调性、单调区间、值域、奇偶性、周期性定义、性质及解题方法步骤；帮助学生整理函数基本知识点，连贯前后知识，本节知识起到承上启下的 作用。为下一节学习对函数图像性质及应用打下学习基础，培养学生整理知识的习惯，培养学生自主学习的能力。 ●教学重难点: 函数的值域与单调性、函数奇偶性与周期性定义及性质，以及各种题的解题方法。 ●教学过程： ▲知识整理与练习 （一）函数的值域 C1. 函数的值域： 值域是全体所成的集合，一旦和对应法则确定，函数的值域也就随之确定。因此，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑其定义域。 C2. 基本函数的值域： （1）一次函数的值域为； （2）二次函数，当时值域是，当时，值域是； （3）反比例函数的值域为； （4）指数函数的值域是； （5）对数函数的值域是； （6）正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数、余切函数的值域为。 C3. 求值域的基本方法： （1）分析观察法求值域：有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。 B（2）配方法求值域 二次函数或能转化为形如： 型的函数的值域，均可用配方法，但要注意的取值范围。 B（3）不等式法求值域 利用基本不等式可求某些函数的值域，但要注意“全正、定值、取等号”的条件。 A（4）判别式法求值域 把函数转化为关于x的二次方程，通过方程有实根，判别式，从而求得原函数的值域。形如的函数的值域常用此法求得。 （5）反函数法求值域(了解，不作要求) 利用函数与它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。形如的函数值域可用此法。 B（6）利用函数的单调性求值域 如能确定函数在定义域的单调性，则可利用单调性求出其值域。形如（a、b、c、d均为

三角函数值域的求法(教案)

三角函数值域的求法 第二课时 【教学目标】 1．会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域； 2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。 3．通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。体现数学化归、转换、类比等重要的思想方法在解决三角最值问题中的作用。 【教学重点】求三角函数的最值与值域 【教学难点】灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域 知识回顾 求下列函数的值域 1 2 3 问题：求函数的值域 例1 ? 方法1（利用函数的有界性） sin cos y x x = +22cos cos y x x x =+22[,] x ππ ∈-[0,] x π ∈2sin 2cos sin cos 22y )22sin()sin()11 y x y x x y x x y x x ψψψ-= --=-+=-+= +≤≤≤≤?? 解：可化为 又2-sin 2+sin x x y = 2-sin 2+cos x x y =

方法2（运用模型、数形结合） 2 求下列函数的值域 2413830k 334433k k +≤-+≤≤≤ ?+??? 解析：函数的值域可看作求过点P(2,2)的单位圆切线的斜率k 的最大、最小值设切线PA 的方程为：y-2=k(x-2)即：kx-y-2k+2=0 设原点到切线的距离d,则d=1 即：即解得：故所求函数的值域为： ，22 222:cos sin 3 cos sin sin sin 115(sin )24 3 sin x 5y 45 ,] 44y x x x y x x y x x x x π π =+≤ =+=-++=--+ ≤ ∴≤≤≤≤ 例且解：可化为 又 故原函数的值域为[222sin 2cos y=1cos 1-cos x 0 cos x 1sin 2cos 1cos 2sin cos = 1cos 2cos (1cos )1cos 2cos (1 cos ) 11 2(cos ) 22 -1cos x<1 1 4 2 1 ,4] 2 x x x x x x x x x x x x x x x y -≠∴≠- --= -=+=+- ≤∴-≤≤-例3：解：又 又 故原函数的值域为[2 222sin cos =) 4 sin cos =1+2sin x cos x=t 1sin cos 2 1()(2 1 (1) 12 21x x t x t x x t t x x t f t t t t t y π ++≤≤+-=-=+≤=+--≤≤∴-≤≤例4: y=sinx+cosx+sinxcosx 解：设即 又可化为即原函数可化为 又 12 1 ] 2 原函数的值域为

函数的值域、解析式的求法精编(教案)

（一）常见函数的值域 （1）一次函数)0(≠+=k b kx y （2）反比例函数)0(≠= k x k y 的值域为{}0≠y y . （3）二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y ，当0>a 时，值域为?????+∞-,442a b ac ；当0

【解析】令)0(21≥-=t x t ，则212 t x -= 22151()(0)24 y t t t t ∴=-++=--+≥ ∴当2 1 =t ，即83=x 时，45m ax =y ，无最小值。 （4）判别式法（?法） 运用方程思想，把函数转化为关于x 的二次方程0),(=y x F ，依据二次方程有实根，判别式0≥?，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x R ∈的分式； 【例4】求函数3 27 4222++-+=x x x x y 的值域。 【解析】073)2(2)2(2=++-+-y x y x y ，（用判别式之前，首先需讨论2 x 的系数） 显然2≠y ，方程有实根，则2 9 82072022 y y y ?=--+≥?-≤≤ 又2≠y ，∴值域为?? ? ???- 2,29 【变式练习】求函数22410 22 x x y x x -++=++的值域。 【解析】2 (1)2(2)2100y x y x y ++-+-= 显然1y ≠-，方程有实根，则2 41656022y y y ?=-++≥?-≤+且1y ≠- （5）分离常数法 形如(0)cx d y a ax b += ≠+的函数，经常采用分离常数法。 【例5】求函数21 1 x y x -=+的值域。 【解】213211x y x x -==-++，且3 01 x ≠+ ? 2y ≠ 【变式练习】求函数21 (12)1 x y x x -=≤≤+的值域。 【解】213211x y x x -==-++，又12x ≤≤，则213x ≤+≤，所以33112x ≤≤+ 1 12 y ?≤≤ （6）反表示法

2019-2020年高考数学一轮复习必备 第10课时：第二章 函数-函数的值域教案

2019-2020年高考数学一轮复习必备第10课时：第二章函数-函数的值域教案 一．课题：函数的值域 二．教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用． 三．教学重点：求函数的值域． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原则；3．求函数的值域的方法． （二）主要方法（范例分析以后由学生归纳）： 求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等． （三）例题分析： 例1．求下列函数的值域： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）； （7）；（8）；（9） 解：（1）（一）公式法（略） （二）（配方法） 22 12323 323() 61212 y x x x =-+=-+≥ ， ∴的值域为． 改题：求函数，的值域． 解：（利用函数的单调性）函数在上单调增， ∴当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为．∴函数，的值域为． （2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为． 又∵ 22 65(3)44 x x x μ=---=-++≤ ，∴，故， ∴的值域为． （3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，∴原函数的值域为． （法二）分离变量法： 313(2)77 3 222 x x y x x x +-+ ===+ ---， ∵，∴， ∴函数的值域为． （4）换元法（代数换元法）：设，则， ∴原函数可化为 22 14(2)5(0) y t t t t =-+=--+≥，∴， ∴原函数值域为． 说明：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：∵，∴设， 则 cos sin2sin() 4 y π ααα =+=+ ∵，∴，∴，

高一函数的概念教案

教学内容 第一部分 知识梳理 知识点一，函数的概念 1．函数的定义 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：， x A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示． 课题名称 函数及其表示 学科 数学 年级 高一 学校 雷锋中学 课时时长（分钟） 120分钟 知识点 函数的概念 教学目标 会用集合与对应的语言刻画函数； 会求一些简单函数的定义域和值域， 初步掌握换元法的简单运用. 能理解函数与映射的关系与区别。 教学重点 函数概念的理解 教学难点 对于求值域问题能灵活运用各种方法解题

区间表示： {x|a≤x≤b}=[a，b]； ；； . 知识点二、映射与函数 1.映射定义： 设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B. 象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象. 注意： (1)A中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a的象记为f(a). 2.函数： 设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B 的函数，记为y=f(x). 注意： (1)函数一定是映射，映射不一定是函数； (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则； (3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一； (4)原象集合=定义域，值域=象集合. 三、规律方法指导 1.函数定义域的求法 (1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. (2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义. (3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 3.函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和

高中数学-函数的概念教案

高中数学-函数的概念教案 教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画 函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域； 教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数； 教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 教学过程： 一、引入课题 1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系． 二、新课教学 （一）函数的有关概念 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素： 定义域、对应关系和值域 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （由学生完成，师生共同分析讲评） （二）典型例题 1．求函数定义域 课本P19例1 解：（略） 说明： ○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； ○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P22第1题 2．判断两个函数是否为同一函数 课本P20例2

高三数学教案 函数的值域和最值

3、函数的值域和最值 教学目标：理解值域的概念，掌握求函数值域的基本方法，理 解函数的最值与值域的联系，能求函数的最值，熟悉函数值域 与最值的求解方法，能解大应用问题。 教学重难点：目标。 教学过程 一、基础知识： 1、函数的值域经常穿插于高考的大小试题中，函数的值 域与最值的求法：配方法、换元法、判别式法、单调性法、不 等式法、导数法、等价转化等。求值域和最值得前提条件是先 求出函数的定义域。 2、确定函数值域的原则： 当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域y f x 1)() 及其对应法则唯一确定。 2）当函数由实际问题给出时，函数的值域有问题的实际意义确定。 二、例题讲授 考点一：求函数的值域 例一：求下列函数的值域

22212410(03) 43 2)1 1 3)14)5)x x y x x x x y x e y e y x y =-+≤≤+=+-=+=+=） 点评：根据题目特点：（1）是二次函数，可用图像法。 （ 2用判别式法。3）用反求法。 4）用换元法。5）用基本不等式法。 练习：求下列函数的值域 2221)1 2)11()(0)3)22(1)(0)x x x y x x y x x y x x -=-+=+? ?+≤?? =?? ??-?? 考点二：求复合函数的值域和最值

2(1) 1)x x a a -∈例2：已知函数f(x)=1-2a 求函数f(x)的值域 2）若x [-2,1]时，函数f(x)的最小值为-7，求a 并求函数f(x)的最大值。 点评：求函数的值域或最值时，要考虑内层函数的定义域和值域的变化，同时也要考虑适合外层函数解析式结构类型的求值域和最值得常用方法，两者结合才能准确地解决复合函数的值域和最值。 ∈x 322练习：已知f(x)=2+log ,x [1,9]，求函数y=[f(x)]+f(x )的值域。 考点三：含参数的函数值域和最值 281x n x +++∞∞2mx 3 例3：已知f(x)=log 的定义域为（-，+），值域为[0,2]，求m,n 的值。 点评：1）一直函数的定义域和值域，求函数解析式中的参数的值域取值范围，其主要方法是转化为定义遇上恒成立的不等式来求解。 2）解题过程中要注意求函数至于方法的逆用。

高一数学教案：函数的值域的求法

函数的值域 教学目的： （1）理解函数值域的概念 （2）要求学生掌握利用直接法、二次函数、换元法等求函数的值域。 教学过程： 一、复习函数的定义、定义域及值域的概念。 提出课题：函数的值域 二、新授： 1．直接法： 例1、求下列函数的值域 （1）①y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x y 1= ③“题②”中加上条件：“1>x ”则其值域为 。 ④|2||1|-++=x x y （2）x x f -+=15)( （3）1 += x x y 练习：3 12)(-+=x x x f

（4）上题中加上条件：“4>x ”求此函数的值域 （5）1 |||2|1+-= x x y （5）求函数1122+-=x x y 的值域 （6）求函数6 6522-++-=x x x x y 的值域 注：求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值 域的制约作用 2.二次函数（在给定区间上）的值域的求法（配方法） 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： （1）y=x 2-2x-1； （2）y=x 2-2x-1,x ∈[0,3]； 练习：（1）y=x 2-6x-1,x ∈[-2,0]

（2）y=3-4x-2x 2，x ∈[1,2] （3）3 4252+-=x x y 注：求二次函数在给定区间上求值域时，关键是确定二次函数的对称轴与给定 区间的联系，这个关系弄清后，再借助二次函数的图象求值域 3.换元法 例3 （1）求函数y=x+21-x -2的值域 练习：求函数下列函数的的值域 （1）x x y -+=142 ☆（2）22142x x y -+= ☆（2）求函数2224) 1(5+++=x x x y 的值域 本课自我回顾与反思：

高中数学 函数的定义域与值域教案 新人教版

函数的定义域与值域 例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）. A. 1,x y y x == B. 11,y x y +C. ,y x y == 2||,y x y == 解： 变式训练1：下列函数中，与函数 y=x 相同的函数是 （ ） A.y= x x 2 x ) 2x D.y=x 2lo g 2 解： 变式训练2：下列是映射的是………………………………………（ ） (A)1、 2、 3 (B)1、 2、5 (C)1、 3、5 (D)1、2、3、5 变式训练3：下面哪一个图形可以作为函数的图象……………………（ ） (A) (B) (C) (D) 变式训练4：如果（x ，y ）在映射f 下的象为（x ＋y ，x －y ），那么（1，2）的原象是…………（ ） (A )（－23，21） (B) （23，－21） (C) （－23，－21) (D) （23，2 1 ） 例2.给出下列两个条件：（1）f(x +1)=x+2x (2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式 解：（1）令t=x +1,∴t≥1，x=（t-1） 2 则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1,即f(x)=x 2 -1,x∈［1， （2）设f(x)=ax 2 ∴f(x+2)=a(x+2)2 +b(x+2)+c 则f(x+2)-

∴?? ?=+=2244 4b a a ， ?? ?-==1 1b a ，又f(0)=3?c=3,∴f(x)=x 2 - 变式训练2：（1）已知f （12+x ）=lgx ，求f （x ）； （2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ） ； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x 1 ）=3x ，求f （x ） 解：(1)令 x 2+1=t ，则x=12 -t ， ∴f（t ）=lg 12 -t ，∴f（x ）=lg 1 2- x （2）设f （x ）=ax+b ，则 3f （x+1）-2f （x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17， ∴a=2，b=7，故f （x ）=2x+7. （3）2f （x ）+f （ x 1 ）=3x ， ① 把①中的x 换成 x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x 3 ①×2-②得3f （x ）=6x- x 3，∴f（x ）=2x-x 1 . 变式训练3：求满足下列条件的函数解析式： ⑴2 1)11(x x x f -=+ ⑵)(,14))((x f x x f f -=是一次函数. 例3、已知函数f(x)=?? ?????<-=>. 0,1,0, 1,0,2x x x x x （1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f [])1(-f 的值. 解：（1）分别作出f(x)在x ＞0,x=0,x ＜0段上的图象，如图所示，作法略. （2）f(1)=12 =1,f(-1)=-,11 1 =-f [])1(-f =f(1)=1. 变式训练：?? ???≥<<--≤+=2 221 1 |1|)(2 x x x x x x x f ，那么f (f (－2))= ；如果f (a)=3，那么实数 a= .

函数的值域(第一课时)教案

函数的值域（第一课时）教案 学校：宝鸡石油中学学科：高二文科组织者：史文刚 三维目标： 知识目标：1、理解函数值域的定义，并用集合来表示； 2、常用函数值域，如给定区间二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等； 3、掌握常用求函数值域的方法：配方法、换元法、基本不等式法、导数法. 能力目标：通过小组合作、自主探究等多种学习方式进行复习，能灵活运用求值域的方法，迅速并熟练的求出函数值域. 情感目标：发展学生的思维能力，激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神. 教学重、难点： 教学重点：常用的求函数值域的方法. 教学难点：能灵活运用求函数值域的方法来解决实际问题. 教学准备：导学单、多媒体. 教学方法：合作探究. 设计意图： 让学生提前回家预习导学单，从而发现问题，带着问题在本节课中通过小组合作、自主探究等学习方式，及师生互动来解决问题. 目的在于：培养他们的自主学习能力，让他们做课堂学习的主人，能在课堂畅所欲言，各尽其能，从而激发他们学习的积极性和主动性以及竞争意识，同时发展他们的思维能力、提高他们的语言表达能力；让教师从“滔滔不绝”的演讲者变为“画龙

点睛”的组织者. 从而提高课堂教学效率，达到人人参与，人人学有所获. 教学过程: 一、让学生回答预留的导读单上的“走进教材1”的问题(2分钟）： 函数的值域定义与表示 1、{})(x f y y =表示的是函数y=f （x)的什么 ? 2、什么是函数的值域，怎样表示它呢? 那么求函数值域的方法有哪些呢? 为此我们今天来复习：函数的值域（板书）。（课件1） 二、让学生回答预留的导读单上的“走进教材2”的问题：（3分钟） 必要的回顾与思考：高中阶段的几种重要函数的值域. 1、一次函数y=kx+b (k ≠0) 值域是什么？ 2、 反比例函数(0)k y k x =≠的值域是什么？ 3、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值域是什么? 4、指数函数y=a x (a>0,且a 0≠）的值域是什么? 5、对数函数y=x a log (a>0,且a 0≠）的值域是什么? 6、三角函数y=sin x ，y=cos x, y=tan x(x ),2,Z k k x R ∈+≠ ∈ππ的值域分别是什么? 结果： 1、R; 2、}{ 0,y y y R ≠∈且; 3、当a>0,x=a b 2-时，值域为???????+∞-,442a b ac ；当a<0,x=a b 2-时，值域为（-∞，]a b ac 442-； 4、(]0+∞， ； 5、R ； 6、[]1,1-，[]1,1-. 思考：求函数值域首先应该考虑什么?

三角函数的最值与值域的教学设计

三角函数的最值与值域 的教学设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

三角函数的最值与值域的教学设计 安亭中学彭朴 一、内容分析 三角函数的最值与值域问题，是历年高考重点考查的知识点之一。三角函数的最值与值域问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与前面复习过的函数、不等式、联系密切，综合性强，解法灵活，能力要求高，在复习完三角公式后，把三角函数的最值与值域作为专题复习，不仅可以帮助学生灵活运用三角公式，而且可以帮助学生掌握求最值和值域的方法，综合能力得到增强。 二、教学目标制定 1．会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域； 2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。 3．通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。体现数学思想方法在解决三角最值问题中的作用。 三、教学重点分析 本节课的重点是求三角函数的最值与值域，为了突出和强调本节课的重点，课前布置了学生整理求函数值域与最值的方法，设计了一些知识检测题给学生做，在上课之前，老师通过批改学生的作业，了解学生对三角函数的最值与值域的掌握程度。在上课时，首先让学生回顾求函数值域与最值的方法，然后交流作业，通过例题和习题的训练、讨论、分析、归类、方法总结，学生能比较系统掌握求三角函数的最值与值域的常用方法。 四、教学难点分析 求三角函数的最值与值域的方法多样，针对题目，如何在最短的时间内灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域检索方法，迅速解决问题是本节课的难点，为了突破难点，不妨采取“实践---方法———在实践”的策略，即在讲评作业和例题时，对每一道题目的特点进行分析，解完后，引导学生总结方法，找出规律，然后让学生动手训练，加深印象，化解难点。 五、教学过程设计 1提问：求函数最值与值域有哪些常用的方法？

高一数学 函数的值域教案

湖南师范大学附属中学高一数学教案：函数的值域 教材：函数的值域 目的：要求学生掌握利用二次函数、观察法、换元法、判别式法求函数的值域。 过程： 一、复习函数的近代定义、定义域的概念及其求法。 提出课题：函数的值域 二、新授： 1．直接法（观察法）： 例一、求下列函数的值域：1? 1 += x x y 2? x x f -+=15)( 解：1? 1111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵01 1≠+x ∴1≠y 即函数1+=x x y 的值域是 { y | y ∈R 且y ≠1} （此法亦称部分分式法） 2? x x f -+=15)( ∵),0[1+∞∈-x ∴),5[)(+∞∈x f 即函数y =x x f -+=15)(的值域是 { y | y ≥5} 2．二次函数法： 例二、1?若x 为实数，求 y =x 2+2x +3的值域 解：由题设 x ≥0 y =x 2+2x +3=(x +1)2+2 当 x =0 时 y min =3 函数无最大值 ∴函数 y =x 2+2x +3的值域是{ y | y ≥3} 2?求函数 242x x y --=的值域 解：由 4x -x 2 ≥0 得 0≤x ≤4 在此区间内 (4x -x 2)ma x =4 (4x -x 2)min =0 ∴函数242x x y --=的值域是{ y | 0≤y ≤2} 3．判别式法（△法） 例三、求函数6 6522-++-=x x x x y 的值域 解一：去分母得 (y -1)x 2 + (y +5)x -6y -6=0 (*) 当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y +5)2+4(y -1)×6(y +1)≥0 由此得 (5y +1)2≥0 检验 51-=y 时 2)5 6(2551=-?+--=x （代入(*)求根）

必修一函数定义域值域及表示教案

第4讲 函数定义域值域及表示 (1)函数的概念 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使 这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意： 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系 决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) （2）区间的概念及表示法 设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： 1.()f x 是整式时，定义域是全体实数． 2.()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．