2013年理科(培优)圆锥曲线

1已知椭圆C ：

12

22

2=+

b

y a

x （0>>b a ）经过)1,1(与???

?

??23,

26两点，过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MB MA =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：

2

2

2

|

|2|

|1|

|1OM OB OA +

+

为定值．

1（1所以椭圆C 的方程为

13

23

2

2

=+

y x

．

（2）由||||MB MA =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，

由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．

①若点A 、B 在椭圆的短轴顶点上，则点M 在椭圆的长轴顶点上，此时 211

2211|

|2|

|1|

|1222

2

2

2

2

2

=??? ??+=+

+

=

+

+

b a

a

b

b

OM OB OA ．……（1分）

同理，若点A 、B 在椭圆的长轴顶点上，则点M 在椭圆的短轴顶点上，此时 211

2211|

|2|

|1|

|1222

2

2

2

2

2

=??? ??+=+

+

=

+

+

b a

b

a

a

OM OB OA ．……（2分）

②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为kx y =（0≠k ）， 则直线OM 的方程为x k

y 1-

=．设),(11y x A ，),(22y x M ，

由?

?

???=+=132322y x kx y ，解得2

21213k x +=，22

21213k k y +=，……（4分） 所以2

2

2

12

12

2

21)1(3||||k

k y x OB OA ++=

+==，同理可得2

2

2

2)1(3||k

k OM ++=

，

所以2)

1(3)2(2)

1(321)

1(321|

|2

|

|1|

|12

2

2

22

22

2

2

=+++

+++

++=

+

+

k k k k

k k

OM OB OA ．…综上，

2

2

2

|

|2|

|1|

|1OM OB OA +

+

为定值2．…

2.设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点．

(1)若2p =，求线段A F 中点M 的轨迹方程； (2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n =

，当焦点为

1,02F ??

???

时，求OAB ?的面积；(3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．

解：(1) 设00(,)A x y ，(,)M x y ，焦点(1,0)F ，

则由题意00

12

2

x x y y +?=????=??，即00212x x y y =-??=?...所求的轨迹方程为244(21)y x =-，即221y x =- (2)

2

2y x =，1

2(,0)F ，直线1

2()212y x x =-=-，……由2

221

y x y x ?=?

=-?得，210y y --=，2

511212

=

-+

=y y k

AB d =

， 4

52

1=

=

?AB d S OAB …(3)显然直线

MA 、MB 、MF

的斜率都存在，分别设为12

3

k 、k 、k ．点A 、B 、M 的坐标为

11222

p

A (x ,y )、

B (x ,y )、M (-,m )．设直线AB ：2p y k x ??=- ??

?，代入抛物线得22

20p y y p k --=，

…所以212y y p =-，……又2112y px =，2

222y px =，

因而()2

2

2

1

111222

2y p p x y p

p

p

+

=+

=

+，()2

422

2

21

2

2

1

1

2

22

22

2y p p p

p p x y

p

p

py y +

=

+

=

+

=

+

因而()

()

()

22

12

1112122

2

2

2

11122222

2

p y m p

y m y y m y m m k k p p p

p y p p y p

x x ??-- ?

---??

+=

+

=

+

=-

+++

+…分

而30222m m k p

p p

-=

=-

??

-- ???

，故1232k k k +=．…

1.如图，椭圆222

2

:

1(0)

x y E a b a

b

+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于 ,A B

两点，2ABF ?的周长为8，且12AF F ?面积最大时，12AF F ?为正三角形．

（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交

于点Q ．试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？

② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？ 若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由． 解：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以,,=,=A （0b ）a 2c 4a 8

2

2

=4,=3b ∴a ，椭圆E 的方程为

2

2

+

=14

3

x

y

（2）①由2214

3y kx m

x y =+???+=?

?，得方程222

(43)84120k x km x m +++-=

由直线与椭圆相切得22

0,0,430.m k m ≠?=?-+= 求得43(,

)k P m

m

-

，(4,4)Q k m +，PQ 中点到x 轴距离 2

2

3(2)2

2m d k m

=++

2

2

2

2

2

12()(1)0(4302)2

k PQ d k m m k m

-=->-+=?≠。

所以圆与x 轴相交。

（2）②假设平面内存在定点M 满足条件，由对称性知点M 在x 轴上，设点M 坐标为1(,0)M x ，

1143(,),(4,4)k M P x M Q x k m m m

=--=-+

。

由0M P M Q ?= 得2111(44)430k x x x m

-+-+=所以2

11144430x x x -=-+=，即11x =所以定点为

(1,0)M 。

2.设直线0,11≠+=p p x k y L ：交椭圆)0(122

22>>=+Γb a b

y

a x ：于D C 、两点，交直线x

k y L 22=：于点E ．（1）若E 为CD 的中点，求证：2

221a

b k k -

=?；（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题

为真；（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．

解：（1）解法一：设),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E

02)(1

2222212212222221=-+++??????=++=b a p a x pa k x k a b b y

a

x p x k y 2

1

2

2

21212k a b pa

k x x +-=

+∴ ，

p k a b pa

k k y y 222

1

2

2

21121++-?

=+2

1

2

2

22k a b pb

+=

又2

121

22

1021022x x y y k y y y x x x ++=????

????

+=+=2

12

22pa

k pb

-=

2

221a

b k k -

=?∴…解法二（点差法）：设

),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E

)1(12

2

12

2

1=+

b

y a

x ，

)2(12

2

22

2

2=+

b

y a

x

两式相减得

0)

)(()

)((2

21212

2121=+-+

+-b

y y y y a x x x x

即

0)

(2)

(22

2102

210=-+

-b

y y y a

x x x (2)

2

2

2

02

2

1211k a b

y a x b x x y y k ?-

=??-=

--=

∴

2

221a

b k k -

=?∴ …（2）逆命题：设直线p x k y L +=11：交椭圆)0(122

22

>>=+Γb a b

y

a x ：于D

C 、

两点，交直线x k y L 22=：于点E ．若2

221a

b k k -

=?，则E 为CD 的中点．……证法一：由方程组

02)(1

2222212212222221=-+++??????=++=b a p a x pa k x k a b b y

a

x p

x k y 因为直线p x k y L +=11：交椭圆Γ于D C 、两点，

所以0>?，即022212>-+p b k a ，设),(11y x C 、),(22y x D 、),(00y x E

则2

1

22

212

102

k a b pa

k x x x +-=

+=

∴ ，2

1

2

2

22

102

k a b pb

y y y +=

+=

??

??

?

=-=????=+=x

k y k k p x x k y p x k y 21221

又因为2

221a

b k k -

=? ，所以

???

?

???=+===+-=-=0

21

222

20

2

12212

12y k a b p b x k y x k a b p k a k k p

x ，故E 为CD 的中点．…证法二：设),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E 则

)1(12

2

12

2

1=+

b

y a

x ，

)2(12

2

22

2

2=+

b

y a

x

两式相减得

0)

)(()

)((2

21212

2121=+-+

+-b

y y y y a

x x x x

即)

()(212

212

2

1211y y a x x b x x y y k +?+?-=

--=

…

又0

022

221,x y k a

b k k =

-

=? ，

02

121y x x x y y =++即

02

12211x p kx x x p

x k p x k +=

++++ …

12

112x p k x x p k +

=++∴

得0212x x x =+0212y y y =+∴，即E 为CD 的中点．…（3）设直线0,11≠+=p p x k y L ：交双曲线)0,0(122

22

>>=-Γb a b

y

a x ：于D C 、两点，交直线x k y L 22=：于点E ．则E 为CD 中点的充要

条件是2

221a

b k k =

?．

1.已知椭圆M的对称轴为坐标轴,

离心率为

且抛物线2y=的焦点是椭圆M的一个焦

点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆M相交于A、B两点，以线段,

OA OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点. 求点O到直线的距离的最小值．

解：（I）由已知抛物线的焦点

为0),故设椭圆方程为

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>，

则

2

2, 2.

c e a b

====

由得所以椭圆M的方程为

22

1.

42

x y

+=…

（II）当直线斜率存在时，设直线方程为y kx m

=+，则由消去y得，

222

(12)4240

k x kmx m

+++-=

，222222

164(12)(24)8(24)0

k m k m k m

?=-+-=+->，

①设A B P

、、点的坐标分别为

112200

(,)(,)(,)

x y x y x y

、、

，则：

01201212

22

42

,()2

1212

km m

x x x y y y k x x m

k k

=+=-=+=++=

++，

由于点P在椭圆M上，所以

22

001

42

x y

+=. 从而

222

2222

42

1

(12)(12)

k m m

k k

+=

++

，化简得

22

212

m k

=+，经检验满足①式. 又点O到直线的距离为：

d===≥=

当且仅当0

k=时等号成立当直线无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，

从而点P的坐标为(2,0)(2,0)

-或，直线的方程为1

x=±，所以点O到直线的距离为1 .

所以点O

到直线的距离最小值为 .

2.已知点A是椭圆()

22

:10

9

x y

C t

t

+=>的左顶点，直线:1()

l x my m

=+∈R与椭圆C相交于,E F两

点，与x轴相交于点B.且当0

m=时，△AEF的面积为

16

3

.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线AE，AF与直线3

x=分别交于M，N两点，试判断以MN为

直径的圆是否经过点B？并请说明理由.

解：（Ⅰ）当0

m=时，直线的方程为1

x=，设点E在x轴上方，

由

22

1,

9

1

x y

t

x

?

+=

?

?

?=

?

解得(1,

E F,

所以EF=.

因为△AEF

的面积为

116

4

23

?=，解得2

t=.所以椭圆C的方程为

22

1

92

x y

+=.

（Ⅱ）由得22

(29)4160

m y my

++-=，显然m∈R.设

1122

(,),(,)

E x y

F x y,

则

1212

22

416

,

2929

m

y y y y

m m

--

+==

++

，

11

1

x my

=+,

22

1

x my

=+.

又直线AE的方程为1

1

(3)

3

y

y x

x

=+

+

，由

1

1

(3),

3

3

y

y x

x

x

?

=+

?

+

?

?=

?

解得1

1

6

(3,)

3

y

M

x+

，

同理得2

2

6

(3,)

3

y

N

x+

.所以12

12

66

(2,),(2,)

33

y y

BM BN

x x

==

++

,

12

12

66

(2,)(2,)

33

y y

BM BN

x x

?=?

++

1212

1212

3636

44

(3)(3)(4)(4)

y y y y

x x my my

=+=+

++++

1212

2

1212

4(4)(4)36

4()16

my my y y

m y y m y y

+++

=

+++

222

22

16(436)164164(29)

3216(29)

m m m

m m

-+-?+?+

=

-++

222

6457664128576

9

m m m

---++

=0

=.所以BM BN

⊥

,所以以MN为直径圆过点B.

3.在平面直角坐标系xOy中，动点P

到两点(0)

，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲

线C ，直线过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ，B 两点．Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（Ⅱ）是否存在△AOB 面积的最大值，若存在，求出△AOB 的面积；若不存在，说明理由.

解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C

是以(0)

，0)为焦点，长半轴长为2 的椭圆．故曲线C 的方程为

2

2

14

x

y +=．

（Ⅱ）存在△AOB 面积的最大值. 因为直线过点(1,0)E -，可设直线的方程为 1x my =-或0y =（舍）．

则整理得 22(4)230m y my +--=．由22(2)12(4)0m m ?=++>．

设1122()()A x y B x y ，，，． 解得

1y =

2y =

则

21||y y -=

因为12

12

AOB

S

OE y y ?=

?-

=

=

设1

()g t t t

=+

，t =

t ≥

．

则()g t

在区间)+∞上为增函数．

所以()g t ≥

．所以AOB S ?≤

0m =时取等号，

即max ()AOB S ?=

．所以AOB S ?

5.曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆．点M 的坐标是（0,1），线段MN 是1C 的短轴，是2C 的长轴.直线:(01)l y m m =<<与1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与2C 交于B,C 两点（B

在C 的左侧）．（Ⅰ）当

， 54

AC =

时，求椭圆12,C C 的方程；（Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的

取值范围．

解：（Ⅰ）设C 1的方程为

22

2

1x y a

+=,C 2的方程为

22

2

1x y b

+=,其中1,01a b ><<．..2分

C 1 ,C 2的离心率相同，所以

2

2

2

11a b a

-=-,所以1ab =，… ∴C 2的方程为222

1a x y +=． 当

时，

A (2

a -

,C 1(

2a

．

. 又 54

AC =,所以，

1

522

4

a a

+

=

，解得a=2或a=

12

(舍)， …

∴C 1 ,C 2

的方程分别为

2

214

x

y +=，22

41x y +=．（Ⅱ）

A(-,m),

B(-,m)

．

OB

∥

AN,∴OB AN k k =,

∴

=,∴2

11

m a =- ． 2

2

2

1a e a

-=

，∴22

11a e

=

-，

∴2

2

1e m e

-=

． 01m <<，∴2

2

101e e

-<

<，

1e <<．.

.6.知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ）

，直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N .（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标； （Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.

解：（Ⅰ）将()2,2E 代入22y px =，得1p =所以抛物线方程为22y x =，焦点坐标为1(,0)2

（Ⅱ）设

2

11(

,)2

y A y ，2

22(

,)2

y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，法一因为直线不经过点E ，所以直线一定有斜率设

直线方程为(2)y k x =-

与抛物线方程联立得到 ，消去x ，得：2

240ky y k --=则由韦达定理得：

121224,y y y y k

=-+=

直线AE 的方程为：()12

12222

2

y y x y --=

--，即()12222

y x y =

-++，

令2x =-，得1124

2M

y y y -=+ 同理可得：2224

2N y y y -=+ 又 4

(2,),(2,)

m m OM y ON y -=-=- 所以

12122424

4422

M N y y OM ON y y y y --?=+=+?

++

121212124[2()4]4[2()4]

y y y y y y y y -++=+

+++ 44(44)

444(44)

k k

--+=+

-+

+ 0= 所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2

法

二：设直线方程为2x my =+

与抛物线方程联立得到 22

2x my y x

=+??=?，消去x ，得：2240y my --=则由韦达定理得：

12124,2y y y y m

=-+=

线AE 的方程为：()12

12222

2

y y x y --=

--，即

()12222

y x y =

-++，令2x =-，得11242

M

y y y -=

+ 同

理可得：

22242

N y y y -=

+ 又

4

(2,),(2,)

m m

OM y ON y -=-=- ，

12124(2)(2)44(2)(2)M N y y OM ON y y y y --?=+=+++ 121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++4(424)44(424)

m m --+=+

-++ 0= 所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值

π2

4已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为，且经过点(4,1)M ，直线:=+l y x m 交椭圆于

不同的两点A B 、．

（2）求椭圆.2）求m 的取值范围；（2）若直线不过点M ，求证：直线MA MB 、的斜率互为相反数． （Ⅰ）设椭圆的方程为

222

2

1x y a

b

+

=，因为e =

22

4a b =，

又因为(4,1)M ，所以

2

2

1611a

b

+

=，解得22

5,20b a ==，故椭圆方程为

2

2

120

5

x

y

+

=．

（Ⅱ）将y x m =+代入

2

2

120

5

x

y

+

=并整理得22

584200x mx m ++-=，

22

=(8)-20(4-20)>0m m ?，

解得55m -<<． （Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则

2

12128420

,5

5

m m x x x x -+=-=

．

12122112121211(1)(4)(1)(4)4

4

(4)(4)

y y y x y x k k x x x x ----+--+=

+=

----122112122

(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)

2(420)

8(5)

8(1)0

5

5

x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=

-

--=分子 所以直线MA MB 、的斜率互为相反数

8.()11:

2

2

2>=+a y a

x C 的上顶点为A ,左焦点为F ,直线AF 与圆0726:2

2

=+-++y x y x M 相切.

过点??

?

?

?-

21,0直线与椭圆C 交于Q P ,两点(I)求椭圆C 的方程;(II)当APQ ?面积达到最大时,求直线方程. 解:(I)将圆M 的一般方程07262

2

=+-++y x y x 化为标准方程()()3132

2

=-++y x ,则圆M 的圆心()1,3-M ,半径3=

r .由()()(

)

10,,1,02

-=

-a c c F A 得直线AF 的方程为0=+-c cy x .

由直线AF 与圆M 相切,得

3132

=

++--c

c c ,所以2=c 或2-=c (舍去).

当2=

c 时,312

2=+=c a ,

故椭圆C 的方程为

13

2

2

=+y x

.(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为k ,则直线的方程为

2

1-

=kx y .因为点??

?

?

?

-

21,0在椭圆内, 所以对任意R ∈k ,直线都与椭圆C 交于不同的两点. 由???????

=+-=1

3

,2122y x kx y 得()04933122=--+kx x k

设点Q P ,的坐标分别为()()2211,,,y x y x ,则

()

2

212

2122113149,313,2

1,2

1k

x x k

k x x kx y kx y +-

=+=

+-

=-

=,

所以()()2

122

12y y x x PQ -+-=

()()[]

21221

241x x x x

k -++=

()()

2

2

2

314113

k

k k +++=

.又因为点()1,0A 到直线2

1-

=kx y 的距离1

232

+=

k d ,

所以APQ ?的面积为(

)

2

2

31441921k k d PQ S ++=

?=

.…设2

311k

t +=

,则10≤

1312

-

=

t

k ,

()

3

423

14

93

3

44

93

1344

92

2

+

--

=-

=

-

?

=

t t

t t

t S .

因为10≤

=+k

,即0=k .

故当APQ ?的面积达到最大时,直线的方程为2

1-

=y .…

9.已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点(

)2,0F F 作直线，交椭圆于,A B 两点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线的斜率． （Ⅰ）由已知，程为

2

2

110

6

x

y

+

=．（Ⅱ）若直线l x ⊥轴，则平行四边形AOBC 中，点C 与点O 关于直线

对称，此时点C 坐标为()2,0c ．因为2c a > ，所以点C 在椭圆外，所以直线与x 轴不垂直．

于是，设直线的方程为()2y k x =-，点()11,A x y ，()

22,B x y ，则()22

1,1062,x y y k x ?+=?

??=-?

整理得，

()2

2

2

2

352020300k

x k x k +-+-= 2122

2035k

x x k

+=

+， 所以 122

1235k y y k

+=-

+．

因为 四边形AOBC 为平行四边形所以 OA OB OC += ，所以 点C 的坐标为222

2012,3535k k

k k ??

- ?++?

?

， 所以 2

2

222201235351106

k k k k ???

?- ? ?

++????+=， 解得2

1k =，所以1k =±．

10.如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，

22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；

（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：

12

k k 为定值．

（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． 将其代入24y x =，消去x ，整理得 2

480y my --=． 从而128y y =-． （Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ． 则

2

2

1

2

3434112122

2

2

34

12

3

1234

4

444

4

y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=

?

=

?

=---+-

． 设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ，整理得 2

440y ny --=． 所以 134y y =-． 同理可得

244y y =-． 故

11212122

34

1

2

444

k y y y y y y k y y y y ++=

=

=

--+-+． 由（Ⅰ）得

12

2k k =，为定值．

圆锥曲线培优讲义

圆锥曲线培优讲义 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

一 原点三角形面积公式 1. 已知椭圆 的离心率为，且过点 ．若点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，则点称为点M 的一个“椭点”． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若直线l ：y=kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB 的面积． 2. 己知椭圆 x 2+2y 2=1，过原点的两条直线 l 1 和 l 2 分别与椭圆交于点 A ，B 和 C ，D ．记 △AOC 的面积为 S ． （1）设 A (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)．用 A ，C 的坐标表示点 C 到直线 l 1 的距 离，并证明 S =1 2∣x 1y 2?x 2y 1∣； （2）设 l 1:y =kx ，C (√33, √3 3)，S =1 3，求 k 的值． （3）设 l 1 与 l 2 的斜率之积为 m ，求 m 的值，使得无论 l 1 与 l 2 如何变 动，面积 S 保持不变． 3. 已知椭圆()0,01:22 22 >>=+b b y x C αα的左、右两焦点分别为()()0,1,0,121F F -, 椭圆上有一点A 与两焦点的连线构成的21F AF ?中，满足 .12 7,12 1221π π = ∠= ∠F AF F AF （1）求椭圆C 的方程； （2）设点D C B ,,是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称，设直线OC OB CD BC ,,,的斜率分别为4321,,,k k k k ，且4321k k k k ?=?，求 22OC OB +的值. 4. 在平面直角坐标系xoy 内，动点(,)M x y 与两定点(2,0),(2,0)-，连线的斜率 之积为1 4 -

高考数学培优 第44讲以圆锥曲线为背景的取值范围问题专题

第四十四讲 以圆锥曲线为背景的取值范围问题专题 一、选择题 1．已知椭圆 x 2a 2+ y 2b 2 =1(a >b >0)，与双曲线 x 2 m 2? y 2n 2 =1(m >0,n >0)具有相同焦点 F 1、F 2，且在第一象限交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，若∠F 1PF 2＝π 3， 则e 12+e 22的最小值是 A ． 2+√32 B ． 2＋√3 C ． 1+2√32 D ． 2+√3 4 【答案】A 【解析】 根据题意，可知|PF 1|+|PF 2|=2a,|PF 1|?|PF 2|=2m ， 解得|PF 1|=a +m,|PF 2|=a ?m ， 根据余弦定理，可知(2c)2=(a +m)2+(a ?m)2?2(a +m)(a ?m)cos60°， 整理得c 2= a 2+3m 2 4， 所以e 12+e 22=c 2 a 2+c 2 m 2=a 2+3m 24a 2 + a 2+3m 24m 2 =1+14( 3m 2 a 2 +a 2 m 2)≥1+ √3 2 = 2+√32 ， 故选A. 2．已知点E 是抛物线C:y 2=2px(p >0)的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在ΔEFP 中，若sin∠EFP =μ?sin∠FEP ，则μ的最大值为（ ） A ． √2 2 B ． √3 2 C ． √2 D ． √ 3 【答案】C 【解析】 由题意得，准线l:x =?p 2 ，E (?p 2 ,0)，F (p 2 ,0)，过P 作PH ⊥l ，垂足为H ，则由抛物线 定义可知PH =PF ，于是μ=sin∠EFP sin∠FEP =PE PF =PE PH =1cos∠EPH =1 cos∠PEF ，∵y =cosx 在(0,π)上为减函数，∴当∠PEF 取到最大值时（此时直线PE 与抛物线相切），计算可得直线PE 的斜率为1，从而∠PEF =45°，∴μmax = √2 2 =√2,故选C.

圆锥曲线培优

高三培优专题 圆锥曲线 一.离心率与焦点三角形 1. 已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点， 且，则此椭圆的离心率的取值范围为________ 2. 已知是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D,且2BF FD =u u u r u u u r , 则椭圆C 的离心率为 3.直线l 经过.双曲线22 221x y a b -=的右焦点F ，与一条渐近线垂直且垂足为A ，与另一条渐 近线交于B ，且12AF FB =uu u r uu r ，则双曲线的离心率为 4 .若椭圆22 1x y m +=（1)m > 与 双曲线221(0)x y n n -=>有公共焦点12,F F ，P 是椭圆与双曲线的一个公共交点，则12PF F D 的面积为 5（2016年浙江高考） 已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n –y 2 =1(n >0)的焦点重 合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m 1 D ．m

高二数学培优课程第8讲-直线与圆锥曲线的位置关系(8个考点+练习)

第八讲 直线与圆锥曲线的位置关系 【知识梳理】 1.直线与圆锥曲线C 的位置关系 将直线l 的方程代入曲线C 的方程,消去y 或者消去x ,得到一个关于x （或y ）的方程 02=++c bx ax 进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法. （1）交点个数 ①当 a =0或a ≠0,⊿=0时,曲线和直线只有一个交点； ②当 a ≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点； ③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点； （2） 弦长公式： 斜率为k 的直线被曲线截得弦AB ,若A 、B 两点的坐标分别是A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,则 21|| AB x x - 一定要注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用. 2.求动点轨迹方程 ①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法 ②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法 ③一动点随另一动点的变化而变化,一般用代入转移法 【考点一：中点弦问题】 【例1】已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 相交于A 、B 两点,且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上,求此椭圆的离心率. 【课堂练习】 （1）椭圆14 162 2=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分,求此弦所在直线的方程.

【考点二：中点问题】 【例2】已知点A 、B 的坐标分别是()()0,1-0,1， .直线BM AM ,相交于点M ,且它们的斜率之积为－2. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若过点?? ? ??1,21N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点, 且N 为线段C D 的中点,求直线l 的方程. 【课堂练习】 （2）已知椭圆22 221x y a b +=（a >b >0）的离心率e ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ,已知点A 的坐标为（-a ,0）. （i ）若AB 5 ||=,求直线l 的倾斜角； （ii ）若点Q y 0（0，）在线段AB 的垂直平分线上,且QA QB=4.求y 0的值. 【考点三：弦长问题】 【例3】已知椭圆14 :22 =+y x G .过点（m ,0）作圆122=+y x 的切线l 交椭圆G 于A ,B 两点. （Ⅰ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （Ⅱ）将AB 表示为m 的函数,并求AB 的最大值.

高中数学 知识点练习答案圆锥曲线培优补差(二)

椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系 知识点回顾 1、椭圆、双曲线、抛物线 椭圆双曲线抛物线 定义1．到两定点F1,F2的距离之 和为定值2a(2a>|F1F2|)的 点的轨迹 2．与定点和直线的距离之 比为定值e的点的轨迹. （01） 与定点和直线的距离相等的 点的轨迹. 轨迹条件点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜ =2a,｜F 1F2｜＜2a＝ 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}. 点集{M｜｜MF｜=点M到直 线l的距离}. 图形 方程 标准 方程 1 2 2 2 2 = + b y a x (b a>>0) 1 2 2 2 2 = - b y a x (a>0,b>0) px y2 2= 参数 方程为离心角） 参数θ θ θ ( sin cos ? ? ? = = b y a x 为离心角） 参数θ θ θ ( tan sec ? ? ? = = b y a x ? ? ? = = pt y pt x 2 22(t为参数) 范围─a≤x≤a，─b≤y≤b |x| ≥ a，y∈R x≥0 中心原点O（0，0）原点O（0，0）

补充： 双曲线： (1)等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率 2=e . (2)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-22 22b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： 02 22 2=-b y a x . 抛物线： （1）抛物线2 y =2px(p>0)的焦点坐标是( 2p ,0)，准线方程x=-2 p ，开口向右；抛物线2y =-2px(p>0)的焦点坐标是(-2p ,0)，准线方程x=2 p ，开口向左；抛物线2x =2py(p>0)的 焦点坐标是(0,2p )，准线方程y=-2 p ，开口向上；抛物线2 x =-2py （p>0）的焦点坐标是 （0,-2p ），准线方程y=2 p ，开口向下. （2）抛物线2 y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离2 0p x MF +=；抛物线 2y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离02 x p MF -= （3）设抛物线的标准方程为2 y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2 p ，顶点到 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴 x 轴，y 轴； 长轴长2a,短轴长2b x 轴，y 轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. x 轴 焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0) )0,2 (p F 准 线 x=±c a 2 准线垂直于长轴，且在椭圆 外. x=±c a 2 准线垂直于实轴，且在两顶点的 内侧. x=- 2 p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等. 焦距 2c （c=22b a -） 2c （c=22b a +） 离心率 )10(<<= e a c e )1(>= e a c e e=1

第4讲 圆锥曲线大题题型培优学生

第4讲 圆锥曲线大题题型 培优题型一 范围、最值问题 例1 (2020·开封质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23 －y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围． 例2 已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点 M ，使QP →＝PM →. (1)求点M 的轨迹E 的方程； (2)过点C (m ,0)作圆O 的切线l ，交(1)中的曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．

1.(2018·浙江)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上． (1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； (2)若P 是半椭圆 x 2＋y 24 ＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围． 2.已知曲线C ：y 2＝4x ，曲线M ：(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)若OA →·OB →＝－4，求证：直线l 恒过定点； (2)若直线l 与曲线M 相切，求P A →·PB →(点P 坐标为(1,0))的取值范围． 3.(2020·邢台模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．

圆锥曲线培优1

宁师中学“五三二”教学模式高三数学(文)学科训练稿 主编人：曾小玲 审稿人：高三文科数学组 使用日：2016.12.13 班 级： 学 号： 姓 名： 课题:圆锥曲线 一、选择题 1、已知双曲线22 22x y a b -=1的渐近线方程为y=13x ±，则此双曲线的离心率为（ ） A.3 B C ．3 D 2、 已知抛物线2 x =-的焦点与双曲线14 2 2=+y a x 的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ） A ． 2 5 B ．5 C D 3、已知F 1、F 2为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，以P 为圆心，|PF 1|为半径的圆与以F 2为圆心，1 2 |F 1F 2|为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ．2 C ．3 D ．4 4、己知直线ax+by 一6=0（a>0,b>0）被圆x 2+ y 2—2x - 4y=0截得的弦长为 ab 的最大值是 (A) 52 (B) 4 (C) 9 2 (D) 9 5、设M 、N 是抛物线C: y 2 =2px (p>0)上任意两点，点E 的坐标为（一λ，0）（λ≥0）若EM EN ? 的 最小值为0，则λ= (A)0 (B) 2 p (C) p (D) 2p 6、已知双曲线122 22=-b y a x （a>0,b>0）的渐近线方程y=x 21±，且焦点到渐近线的距离为3，则双曲 线的方程为 A.1422=-y x B.112322=-y x C.131222=-y x D.14 22 =-y x 7、已知抛物线22(0)y px p =>上一点M (0x ,4) 到焦点F 的距离|MF |＝ 5 4 0x ，则直线 MF 的斜率MF k = （A ）2 （B ） 43 （C ）34 （D ）12 8、已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点是圆22(3)4x y -+=的圆心，则抛物线的方程是 A ．212x y = B ．26x y = C ．212y x = D ．26y x = 9、已知双曲线22221x y a b -=的一个焦点与抛物线2 4y x = ，则 该双曲线的方程为（ ） A.22 4515y x -= B.22154x y -= C.22154y x -= D.22 5514 y x -= 10、已知21,F F 分别是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，若 ∠F 1PQ ＝45°，｜PQ 1|PF ，则椭圆的离心率为( ) A ．1 2 B ． 2 2 C 1 D ．2 11、已知(0,2πθ∈，则曲线 222194sin x y θ-=与曲线22 2194cos 4 x y θ-=-的（ ） A ． 离心率相等 B ．焦距相等 C ． 虚轴长相等 D ． 顶点相同 12、12,F F 分别为椭圆2 2 21x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点为M ，且 11211()2F M F F F P =+ ，则点M 到坐标原点O 的距离是（ ） A. 14 B. 1 2 C. 1 D. 2 13、设直线l ：y ＝3x-2与抛物线x y 42 =Γ：交于A,B 两点，过A,B 两点的圆与抛物线Γ交于另外两个不同的点C,D ，则直线CD 的斜率k 为 A.-6 B.-2 C.-3 D.1 3 － 二、填空题 1、已知抛物线y 2= 2px(p>0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A 、B 两点（A 点位于x 轴上方），若△AOF 的面积为 p= ．

2021届高三数学精准培优专练 圆锥曲线综合(文) 学生版

2021届高三精准培优专练 例1：过双曲线22 1916 x y -=的右焦点2F 作倾斜角为45的弦AB ，求： （1）弦AB 的中点C 到点2F 的距离； （2）弦AB 的长． 例2：设抛物线2 :2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于||1AF -． （1）求抛物线C 的方程； （2）已知经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，证明： 11 |||| AF BF +为定值． 培优点 圆锥曲线综合 一、弦长问题 二、定值问题

例3：已知两定点(2,0)A -，(2,0)B ，O 为坐标原点，动点P 满足：直线PA ，PB 的斜率之积为 12 -． （1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）设过点(1,0)D -的直线l 与（1）中曲线C 交于M ，N 两点，求OMN △的面积的最大值． 三、最值问题

例4：已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点1(3,)2 A ，且点(3,0)F 为其右焦点． （1）求椭圆C 的方程； （2）是否存在直线l 与椭圆C 交于B ，D 两点，满足22 5 OB OD ?=，且原点到直线l 的距离为3？ 若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 四、存在性问题

一、选择题 1．已知经过椭圆2 215 x y +=的右焦点且与x 轴正方向成60?的直线与椭圆交于A ，B 两点，则||AB =（ ） A ． 51 + B ． 10 C ． 5 D ． 10或51+ 2．已知双曲线2 2 1mx ny -=与直线12y x =+交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的 斜率为 3 ，则m n 的值是（ ） A ．3- B ．3 C ．3 - D ． 3 3．等边三角形OAB 的三个顶点都在抛物线2 2(0)y px p =>上，O 为坐标原点，则这个三角形的边长 为（ ） A ．3p B ．23p C ．43p D ．2p 4．若过椭圆 22 12516 x y +=上一点P 作圆22(3)1x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则APB ∠的 最大值为（ ） A ．30? B ．60? C ．90? D ．120? 5．已知双曲线2 2 :14 y C x -=，P 是双曲线C 上不同于顶点的动点，经过P 分别作曲线C 的两条渐近线的平行线，与两条渐近线围成平行四边形OAPB ，则四边形OAPB 的面积是（ ） A ．2 B ．1 C ． 5 D ．5 6．00(,)P x y 是抛物线2 :2(0)C y px p =>上一定点，A ，B 是C 上异于P 的两点，直线PA ，PB 的 斜率PA k ，PB k 满足PA PB k k λ+=(λ为常数，0λ≠)，且直线AB 的斜率存在，则直线AB 过定点 对点增分集训

高考数学培优 第43讲圆锥曲线小题精选

第四十三讲圆锥曲线小题精选 A 组 一、选择题 1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆()22 22:10x y C a b a b += >>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A ．13 B ．1 2 C ．2 3 D ．34 【答案】A 【解析】 如 图 取 P 与 M 重合，则由 2 (,0),(,)b A a M c a --? 直线 2 2:()(0,) b b a AM y x a E c a a c =+?-+-同理由 222221 (,0),(,)(0,)33 b b b b B a M c G a c e a a c a c a c -??=?=?=+-+,故选A. 2．如图，12,F F 分别是双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与 双曲线分别交于点,A B ，若2ABF ?为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）

A ．3±．2± C. 6 D ．2±【答案】C 【解析】 由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又 2ABF ?为等边三角形，所以121AF AF BF -= 2a =，所以24BF =.在12AF F ?中，16AF a =，24AF a =，122F F c =， 1260F AF ∠=?，由余弦定理得22243616264cos60c a a a a =+-????，所以 227c a =，22226b c a a =-=，所以 6b a = C. 3．已知命题p ：直线220x y +=与直线220x y +-=之间的距离不大于1，命题q ：椭圆2 2 22754x y +=与双曲线2 2 916144x y -=有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ） A ．()p q ∧? B ．()p q ?∧ C. ()()p q ?∧? D ．p q ∧ 【答案】B 【解析】 对于命题p ，将直线l 平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为20x y m ++=，联 立方程组224120x y x y m ?+=?++=?，消去y 得22 2210x mx m ++-=.由0?=得，所以 2m =±，椭圆上的点到直线l 最近距离为直线220x y +=与l 的距离 d = 226210112 -+=>+，所以命题p 为假命题，于是p ?为真命题.对于命题q ， 椭圆2 2 22754x y +=与双曲线2 2 916144x y -=有相同的焦点()5,0±，故q 为真命题.

【高考数学培优专题】第38讲 圆锥曲线离心率综合问题

【高考数学培优专题】 第三十八讲 圆锥曲线的离率问题 A 组 一、选择题 1 为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 【答案】A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是2 2 2 x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所 2．已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b -=>>：，抛物线2 24C y x =：， 1C 与2C 有公共 的焦点F ， 1C 与2C 在第一象限的公共点为M ，直线MF 的倾斜角为θ，且 12cos 32a a θ-= -，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（） A. 仅有两个不同的离心率12,e e 且()()121,2,4,6e e ∈∈ B. 仅有两个不同的离心率 12,e e 且()()122,3,4,6e e ∈∈ C. 仅有一个离心率e 且()2,3e ∈ D. 仅有一个离 心率e 且()3,4e ∈ 【答案】C 【解析】24y x = 的焦点为()1,0 ， ∴ 双曲线交点为()1,0，即1c = ，设M 横坐 标 为 x ， 则 0000011,1,121p a x ex a x x a x a a ++ =-+=-= - ，

试卷第2页，总25页 001 111 112cos 1132111a x a a a x a a θ+----=== ++-+- ， 可化为2520a a -+= ， ()2 2112510,2510g e e e a a ?? ?-?+==-+= ??? ， ()()()()200,10,20,30,1,2510g g g g e e e >∴-+= 只有一个根在()2,3 内， 故选C. 3．已知12,F F 是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近 线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且22 1 3 AF F B =,则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】由()2 ,0F c 到渐近线b y x a = 的距离为d b == ，即有2AF b = ，则23BF b = ，在2AF O ? 中， 22,,,b OA a OF c tan F OA a ==∠= 224tan 1b b a AOB a b a ? ∠==?? - ??? ，化简可得222a b = ，即有222232c a b a =+= ，即有2 c e a = = ，故选A. 4．设A 是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点， (),0F c 是右焦点，若抛物线 2 2 4a y x c =-的准线l 上存在一点P ，使30APF ∠=，则双曲线的离心率的范围是 （ ） A. [)2,+∞ B. (]1,2 C. (]1,3 D. [ )3,+∞ 【答案】A 【解析】抛物线的准线方程为2 a x c =,正好是双曲的右准线.由于AF= c a -,所以AF 弦,

圆锥曲线的几何性质

培优点十七 圆锥曲线的几何性质 1．椭圆的几何性质 例1：如图，椭圆()22 22+10x y a b a b =>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中 心为O ，则:ABF BFO S S =△△（ ） A ．(2:3 B ．() 3:3 C ．(2:2 D ．() 3:2 【答案】B 【解析】由ABF ABO BFO S S S =-△△△，得( )() :: :A B F B F O A B O B F O B F O S S S S S a b b c b c = -=-△△ △△ △ 而c a = () :3:3ABF BFO S S =△△，故选B ． 2．抛物线的几何性质 例2：已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在抛物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为MAF △的面积为（ ） A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 设准线l 与x 轴交于点N ，所以2FN =，因为直线AF 的斜率为60AFN ∠=?，

所以4AF =， 由抛物线定义知，MA MF =，且60MAF AFN ∠=∠=?，所以MAF △是以4为边长的正三 2 4=C ． 3．双曲线的几何性质 例3：已知点P 是双曲线2213664 x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆()2 2104x y ++=和 () 2 2101x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为_________． 【答案】15 【解析】在双曲线22 13664x y -=中，6a =，8b =，10c =， ()110,0F ∴-，()210,0F ，12212PF PF a -==， 11MP PF MF ≤+，22PN PF NF ≥-，112215PM PN PF MF PF NF ∴-≤+-+=． 一、单选题 1．抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为1，则p =（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】C 【解析】抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值， 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知： 12 p =，2p ∴=．本题选择C 选项． 2．设点1F ，2F 是双曲线2 2 13y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若1234PF PF =， 则12PF F △的面积等于（ ） A ． B ． C ． D ．对点增分集训

高考数学专题 17 圆锥曲线的几何性质专题

高考专题训练 培优点十七 圆锥曲线的几何性质 1．椭圆的几何性质 例1：如图，椭圆()22 22+10x y a b a b =>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中 心为O ，则:ABF BFO S S =△△（ ） A ．(2:3 B ．() 3:3 C ．(2:2 D ．() 3:2 【答案】B 【解析】由ABF ABO BFO S S S =-△△△，得()():::ABF BFO ABO BFO BFO S S S S S ab bc bc =-=-△△△△△ 而c a = () :3:3ABF BFO S S =△△，故选B ． 2．抛物线的几何性质 例2：已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在抛物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为MAF △的面积为（ ） A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 设准线l 与x 轴交于点N ，所以2FN =，因为直线AF 的斜率为60AFN ∠=?，

所以4AF =， 由抛物线定义知，MA MF =，且60MAF AFN ∠=∠=?，所以MAF △是以4为边长的正三 2 4=．故选C ． 3．双曲线的几何性质 例3：已知点P 是双曲线2213664 x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆()2 2104x y ++=和 () 2 2101x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为_________． 【答案】15 【解析】在双曲线22 13664x y -=中，6a =，8b =，10c =， ()110,0F ∴-，()210,0F ，12212PF PF a -==， 11MP PF MF ≤+，22PN PF NF ≥-，112215PM PN PF MF PF NF ∴-≤+-+=． 一、单选题 1．抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为1，则p =（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】C 【解析】抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值， 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知： 12 p =，2p ∴=．本题选择C 选项． 2．设点1F ，2F 是双曲线2 2 13y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若1234PF PF =， 则12PF F △的面积等于（ ） A ． B ． C ． D ．对点增分集训

专题09 圆锥曲线-2021年高考数学尖子生培优题典(新高考专版)(解析版)

2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版） 专题09 圆锥曲线 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、单选题 1．椭圆22 154 x y +=的长轴长是（ ） A ．2 B ．4 C ． D ．10 【答案】C 【解析】因为椭圆的方程是22 154 x y +=， 所以25a =， 解得a = 所以长轴长是2a = 2．双曲线22 22 1124x y m m -=+-的焦距是（ ） A ．4 B ． C ．8 D ． 【答案】C 【解析】由题意可得，c 2＝a 2+b 2＝m 2+12+4＝m 2＝16 ＝c ＝4 焦距2c ＝8 3．抛物线2 14 y x = 的焦点坐标是（ ）

A ．1,016?? ??? B ．()1,0 C ．1- ,016?? ??? D ．()0,1 【答案】D 【解析】2 14 y x = 即24x y =，所以其焦点在y 轴正半轴，坐标为()0,1 4．抛物线2 1 2 x y = 的准线方程为（ ） A ．18y =- B ．18 y = C ．1 2 x =- D ．12 x = 【答案】A 【解析】解：由于抛物线2 2x py =的准线方程为2 p y =- ， 则有抛物线2 12x y = 的准线方程是18 y =-． 5．已知12F F 、是双曲线22 22:1x y E a b -=的左、右焦点，过点1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点 ,M N ，已知2MF N ?是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）． A B ．2 C ．1+ D ．2+ 【答案】C 【解析】由题意得222222210,11b c c a ac e e e e a =?-=?--=>?=+ 6．焦点在x 轴上的椭圆22 2125 x y a += 焦距为8， 两个焦点为12,F F ，弦AB 过点1F ，则2ABF 的周长为（ ） A ．20 B ．28 C ． D ．【答案】D

培优辅导专题6： 圆锥曲线中的轨迹问题

专题六 圆锥曲线中的轨迹问题 轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了．根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是高考的常考点：一方面，求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面，求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想． 模块1 整理方法 提升能力 曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找条件或用待定系数法，难度不大；第二种题型是曲线类型未知，该题型常用的方法有以下3种： 1．定义法：如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义），则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法． 2．直接法：如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含未知数x 、y 的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接法． 3．参数法：求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x 、y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法叫做参数法．一般来说，引进了N 个未知数与参数，要得到未知数x 与y 之间的关系，需要找1N -个方程．常见的消参手法是：加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等．相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况． 例1 已知点()2,2P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． （1）求M 的轨迹方程； （2）当OP OM =时，求l 的方程及△POM 的面积． 【解析】（1）法1（定义法）：圆心()0,4C ，由垂径定理可知CM PM ⊥，于是点M 在以CP 为直径的圆上，所以M 的轨迹方程为()()()2420x x y y -+--=，即 ()() 22 132x y -+-=．

高考数学专题十八圆锥曲线综合精准培优专练文

培优点十八 圆锥曲线综合 1．直线过定点 例1：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C ，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，且PQ = （1）求C 的方程； （2）若直线l 是圆228x y +=上的点()2,2处的切线，点M 是直线l 上任一点，过点M 作椭圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，设切线的斜率都存在．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1）22 184 x y +=； （2）证明见解析，()2,1． 【解析】（1）由已知，设椭圆C 的方程为()22 2210x y a b a b +=>>， 因为PQ = (P c -，代入椭圆方程得2222 1c a b +=， 又因为c e a = = ，所以212 12b +=，b c =，所以24b =，2228a b ==， 所以C 的方程为22 184 x y +=． （2）依题设，得直线l 的方程为()22y x -=--，即40x y +-=， 设()00,M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ， 由切线MA 的斜率存在，设其方程为()11y y k x x -=-， 联立() 112218 4y y k x x x y -=-+=?????得，()()()2 221111214280k x k y kx x y kx ++-+--=， 由相切得()()()22 2211111682140Δk y kx k y kx ??=--+--=?? ， 化简得()2 21184y kx k -=+，即()22211118240x k x y k y --+-=， 因为方程只有一解，所以11111 22 111 822x y x y x k x y y ===---，所以切线MA 的方程为()1 111 2x y y x x y -=- -， 即1128x x y y +=，同理，切线MB 的方程为2228x x y y +=，

2021年高考数学尖子生培优 专题09 圆锥曲线

2021年高考数学尖子生培优 专题09 圆锥曲线 一、单选题（共8题；共16分） 1.直线 x ?y =0 与双曲线 2x 2?y 2=2 有两个交点为 A ， B ，则 |AB|= （ ） A. 2 B. 2√2 C. 4 D. 4√2 【答案】 C 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【解答】由 { 2x 2?y 2=2 x ?y =0 ，得 {x 1=√2y 1=√2 ， {x 2=?√2y 2=?√2 ， ∴ |AB|=√(2√2)2+(2√2)2=4 . 故答案为：C ． 【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，直接解得焦点坐标，再计算两点间的距离即可得到答案。 2.已知动点 M 的坐标满足方程 5√x 2+y 2=|3x +4y ?12| ，则动点 M 的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】 C 【考点】圆锥曲线的轨迹问题 【解析】【解答】设点 M(x,y) ，由 5√x 2+y 2=|3x +4y ?12| 可得出 √x 2+y 2=√32+42 ， 由题意可知，点 M 到原点的距离等于点 M 到直线 3x +4y ?12=0 的距离， 由抛物线的定义可知，点 M 的轨迹为抛物线. 故答案为：C. 【分析】将题干中的等式变形为 √x 2+y 2=√32+42 ，利用距离的几何意义以及抛物线的定义可得出点 M 的轨迹的形状. 3.已知抛物线 y 2=2px(p >0) 的焦点为 F ，准线为l ，过点F 且斜率为 √3 的直线交抛物线于点 M ( M 在第一象限)， MN ⊥l ，垂足为 N ，直线 NF 交 y 轴于点 D ，若 |MD|=2√3 ，则抛物线的方程是（ ） A. y 2=x B. y 2=2x C. y 2=4x D. y 2=8x 【答案】 C 【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【解答】由题意如图，过点 F 且斜率为 √3 的直线交抛物线于点 M(M 在第一象限），

培优辅导专题8：圆锥曲线中的“定”问题

专题八圆锥曲线中的“定”问题 近些年，关于圆锥曲线的命题，不管是高考真题还是高考模拟题，都不约而同地大量涌 现出一类“定”问题，即定值、定点以及定直线问题，考生遇见这样的问题都因不得要领，从而内心感到惧怕，但因为这类题在解答之前并不知道其定值、定点之结果，更增添了它的难度，有着很好的区分度，于是这一类题就成为了命题者们青睐的考题，相信在今年或往后的高考中会成为一种趋势. 圆锥曲线中的“定”问题常有以下3类题型： 题型1:定值问题一一解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值. 定值问题的解法：选好参数，求出题目所需的代数表达式，然后对表达式进行直接推理、计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值.这种方法可简记为：一选（选好参变量）、二求（对运算能力要求颇高）、三定值（确定定值）. 题型2:定点问题一一解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线（中的参数）如何变化，直线和曲线都经过某一个定点. 定点问题的两种解法：一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明?二是把直线 或曲线方程中的变量X、y当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零.既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于X、y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. 题型3：定直线问题一一对于求证某个点不管如何变化，始终在某条直线上的题目，其本质就是求动点的轨迹方程.

2 【解析】（1）由已知可得椭圆方程为 L 2 .2 ,所以直线方程为 y UIIn UIuI OP OQ X P X Q y p y Q 1 . 【点评】从直线的斜率和点这两个角度，共引入了 5个参数：k 、x 1、y 1、x 2、y 2 ,用 这5个参数将点P 和点Q 的坐标表示出来（因为点 P 的纵坐标为0,所以可以不求点 Q 的纵 UiU UuU 坐标），然后进行消参，最后求出 OP OQ 的定值. 尽管题目是要求点 P 异于A 、B 两点，但是我们可以大胆假设点 P 和点B 重合，此时点Q UlU UUIU 就是点P ,从而我们可以猜出 OP OQ 的定值为1.猜出定值，能使定值问题有清晰明确的方 向，也能 X 2 1 ,设I 的方程为y 1 kx ,则由 y 2 y_ 2 kx 1 ,消去y 可得2 k 2 x 2 2kx 1 1 0 .设 C X 1,y 1 , D X 2, y 2 ,则 CD .1 k 2 x 1 x 2∣ d k 2 2 2 2k 4 2 k 2 2 k 2 2 2 1 k 2 ^^2 k 2 解得k 2 2 ,所以 【证明】（2）设I 的方程为 kx ( k 0 且 k 1）,则点 1 P 的坐标为 一 ,0 .直线 k BD 的方程为y — X 1 ,直线AC 的方程为y x 1 1 2 x 1 ,联立两条直线方程，可得 x 2 1 点Q 的横坐标为X Q Xh X 2y 1 y 1 y 2 X 1y 2 X 2y 1 y 1 y 2 x 1 x 2 2kx 1x 2 k x 1 X 2 k x 1 X 2 x 1 X 2 2 ,由（1）可知 X 1 X 2 2k k 2 X 1X 2 k ,代入上式，可得 2k 2 k 2 2k 2 k 2 k x 1 4k 2 k 2 k x 1 X 2 2 k 2 X 1 X 2 4 2 k 2 X 1 X 2 曰 疋