关键词拍卖中最优保留价的研究
一３０一
管理科学学报２０１０年４月
后，其广告主向搜索引擎支付一定数额的广告
费．支付数额也有两种方式来确定：首先就是上
面提到的广义二阶价格（ＧｓＰ），广告主支付次高位广告主的报价；其次是直接支付该广告主提交
的报价，即所谓的广义一阶价格（ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ
ｆｉｒｓｔ
ｐｒｉｃｅ
ａｕｃｔｉｏｎ，ＧＦＰ）．
图ｌ票搜泵引覃关于”笔记本电脑”一词的搜黍结果页面
Ｆｉｇ．１
ｎｅｉＩＩｔｅｒｆ如ｅｆｏｒｔＩＩｅ燃ｈ嗍ｄｔｆｏｒ
ｎｌｅ
ｋ州ｏｒｄｏｆ“ａｎｏｔｅｂｏｏｋ
Ｐｃ”ｂｙ
ａ蝴ｍｈ肌ｇｉｎｅ
当然，在竞价排名广告的实践中，还存在着现实情形．当引入预算问题后，以上均衡的性质这两种基本支付方式的各种变形，比如，很多搜将发生改变，比如即使是ＶｃＧ机制在预算情形索引擎采取的是支付次高位广告主的报价加一个
下也失去了其讲真话（ｔｍｔｈｆｕｌ）的性质．事实上，
最小的货币单位（比如０．０ｌ元）．广告排名采取
当广告主存在预算时，并不存在一个非平凡的讲
综合排序法的，支付的数额也可能不仅与报价有
真话的机制［５］．其它有关预算问题的重要文献还关，而且会与排序中使用的其它因素有关．比如有文献［６］和文献［７］．而当存在保留价时，上述
百度竞价排名广告中向广告主提供的综合指数中
均衡的性质也将发生变化，其中文献［８］通过给
就融合了与广告主网页质量有关的一个变量——
每个广告位设定保留价而推广了文献［４］的结
质量度．
果，文献［９］则假定每个广告主存在一个保留价，从以上可以看出，在关键词拍卖中，广告主
推广了文献［２］中的结论．
的报价反映了广告主对单位点击估价的私有信
关于如何从最优机制的角度出发来研究关键息，而排序的方式决定了广告主对广告资源的预
词拍卖中的最优保留价问题，至今作者还没有看期分配和预期支付，最后用户的点击使广告资源
到．事实上，对搜索引擎来说，如何为成千上万实现了分配，而搜索引擎获得了相应的支付．
个关键词确定保留价格以使搜索引擎的收益最大从博弈论的角度看，关键词拍卖是一种连续
化是个重要而基本的工作．在理论上，ｍｌｅｙ和
的重复博弈，所以就产生一个基本的问题：在搜索Ｓ锄ｕｅｌｓｏｎ［１叫在研究私有估价下单物品拍卖的最
引擎普遍使用的ＧｓＰ机制下，是否存在着动态博优机制时，得出了一个关于最优保留价格的经典弈的均衡？很显然，ＧｓＰ机制并没有占优策略的
公式．本文试图沿着这一思路，考察在关键词拍均衡，但存不存在其它均衡呢？Ｅｄｅｌｌｌｌａｎ等人心１卖的环境中，如何为每一个关键词设定最优保留证明在ＧｓＰ下存在一种有限制的均衡——局部
价格，这无论在理论上还是在实践中都具有重要无妒忌均衡（１０ｃａⅡｙ
ｅｎｖｙ－ｆｒｅｅ
ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ），在这
的意义．
种均衡下，广告主没有动机改变自己的排序．这在方法上，本文将关键词拍卖抽象成一种可与Ｖ耐卸［３１提出的对称的纳什均衡（ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ
分单物品的拍卖．这是因为对一次即将到来的点
Ｎ鹪ｈｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ）是等价的．ＡｇｇａｒｗａｌＨ。也作了类
击而言，其落在每个广告上面的概率和为ｌ，这
似的分析．但是，这些均衡的存在没有考虑到广就相当于对”用户的点击”这一物品进行了分割．告主的预算和搜索引擎对广告主设置的保留价等
关于可分物品的拍卖，现有的大多数文献都关注
第４期戎文晋等：关键词拍卖中最优保留价的研究一３５一
简成
ｎ—ｌ
２石一１：一．——生生一一一一
∑Ｇｊ石叫（１一菇）¨ｃ砚
』＝ｌ
（１３）
当竞价者人数只有一人时⑧，即儿＝１，由上式可
以得到最优的保留价为
。１菇。
戈２丁＋丽
这个结果要大于ｌ／２，大的程度与搜索引擎的持有价值成正比，而与最高广告位置的点击率成反比在实践中，只有一个广告主竞价的关键词多数属于专业性强的词汇，搜索量小，其持有价值也小，但点击率却很高，从而最优保留价应略大于Ｏ．５．这与古诺模型［１６］或文献［１０］中的结果有着内在的一致性．
如果再假定Ｃ豫＝（Ｏ．１，０．０９，０．０８，０．０７，０．０６，Ｏ．０５，０．０４，０．０３，０．０２，Ｏ．０１），‰＝０．１，这些量固定不变．下表１与图２分别给出了在竞价者人数分别为１至１０的情况下，由式（１２）确定的调整系数与由式（１０）确定的最优保留价．
表ｌ不同竞价者人数情形下的最优保留价与调整系数７ｒａｂｌｅｌ０ｐｔｉ眦ｌ弛８ｅｒｖｅｐｒｉｃｅ８ａｎｄａｄｊｕ８ｔｍｅｎｔ
ｆｈｃｔｏｒｓｕｎｄｅｒｄｊｆｆｂｒｅｎｔｎｕｍｂｅｒｏｆｂｉｄｄｅ招
竞价者人数最优保留价调整系数
凡茗Ａ（霄’，ｎ）
ｌｌｌＯ
２ｌ１０
３１ｌＯ
４０．６６０２３．２０４２
５Ｏ．５５９５１．１８９５
６Ｏ．５２６５Ｏ．５３０１
７０．５１２９Ｏ．２５７２
８０．５０６５０．１３０７
９Ｏ．５０３４Ｏ．０６８４
１０Ｏ．５０ｌ８Ｏ．０３６６
图２中虚线表示式（１３）左端的直线２茗一ｌ，而实线是式（１３）右端的函数表达的曲线，从上到下依次取几为ｌ至１０．虚线与实线的交点对应的横坐标就是定理ｌ确定的最优保留价，其数值列在表ｌ中．从表中还可以看出，随着竞价者人数的增多，调整系数Ａ（菇，ｎ）迅速下降，虽然无法从解析式（１２）得到证明，但这一结论对估价并的任意分布Ｆ（茗）都是正确的．在经典的拍卖理论中，Ｒｉｌｅｙ和ｓａｍｕｅｌｓｏｎ的结果常用古诺垄断模型解释（譬如文献［１６］），即方程式（１０）左边就是卖者的边际收益，而右边的项可解释成边际成本．类似地，有
枷…与掣，
们强ｍ川孙鲁
图２不同竟价者人数时最优保留价的确足
Ｆｉｇ．２
Ｄｅｔｅ瑚ｉｎａｔｉｏｎ０ｆｏｐｔｉｍａｌＭ∽ｒｖｅ
ｐｒｉｃｅ
ｕｎｄｅｒ
ｄｉｆｂｒｅｎｔｎｕｍｂｅｒｏｆｂｉｄｄｅ”
姗和朋Ｃ分别表示边际收益与边际成本．利用这些术语，方程（１０）意味着，随着竞价者人数的增多，搜索引擎的边际成本下降，因为持有价值并。在短期内是不会改变的．
４结束语
本文对搜索引擎的关键词拍卖建立了一个可分单物品的拍卖模型，并考察了广告主之间博弈的纳什均衡，从搜索引擎的角度出发，求得了最优保留价满足的方程．这一个结论能直接用于指导搜索引擎在关键词广告出售中的实践活动，其
⑧这种情况在实践中并不是少见的，广告主似乎总想避免竞争，不断搜索没有广告主竞价的关键词，以获得较低的点击价格和垄断地
位．Ｍｕｔｈｕｋｒｉｓｈｎ”等人证明广告主尽可能的选择便宜的关键词是他的一个最优策略或近似最优策略‘７１．