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2013年高考数学复习-数列 第1讲 数列的概念与简单表示法教案 理 新人教版

2013年高考数学复习-数列  第1讲 数列的概念与简单表示法教案 理 新人教版
2013年高考数学复习-数列  第1讲 数列的概念与简单表示法教案 理 新人教版

第1讲 数列的概念与简单表示法

【2013年高考会这样考】

1.以数列的前几项为背景,考查“归纳—推理”思想. 2.考查已知数列的通项公式或递推关系,求数列的某项.

3.考查由数列的递推关系式求数列的通项公式,已知S n 与a n 的关系求a n 等. 【复习指南】

1.本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主. 2.对于归纳通项公式的题目,归纳出通项后要进行验证.

3.熟练掌握求解数列通项公式的基本方法,尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法,另外注意累加法、累积法的灵活应用.

基础梳理

1.数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类

3.数列的

表示法

数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式

如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n =f (n )来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 5.S n 与a n 的关系

分类原则 类型 满足条件 按项数分类

有穷数列

项数有限 无穷数列 项数无限

按项与项间的大小关系分类

递增数列

a n +1>a n 其中n ∈N +

递减数列 a n +1<a n 常数列 a n +1=a n

按其他标准分

有界数列

存在正数M ,使|a n |≤M

摆动数列

a n 的符号正负相间,如1,-1,1,

-1,…

已知S n ,则a n =???

??

S 1,n =1,

S n -S n -1,n ≥2.在数列{a n }中,若a n 最大,则?

??

??

a n ≥a n -1,

a n ≥a n +1.若a n 最小,

则?

??

??

a n ≤a n -1,

a n ≤a n +1.

一个联系

数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.因此,在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性. 两个区别

(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列,这有别于集合中元素的无序性.

(2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现. 三种方法

由递推式求通项a n 的方法: (1)a n +1-a n =f (n )型,采用叠加法; (2)

a n +1

a n

=f (n )型,采用叠乘法; (3)a n +1=pa n +q (p ≠0,1,q ≠0)型,采用待定系数法转化为等比数列解决.

双基自测

1.(人教A 版教材习题改编)已知数列{a n }的前4项分别为2,0,2,0,则下列各式不可以作为数列{a n }的通项公式的一项是( ). A .a n =1+(-1)

n +1

B .a n =2sin

n π

2

C .a n =1-cos n π

D .a n =?

??

??

2,n 为奇数

0,n 为偶数

解析 根据数列的前4项验证. 答案 B

2.在数列{a n }中,a 1=1,a n =2a n -1+1,则a 5的值为( ). A .30 B .31 C .32 D .33

解析 a 5=2a 4+1=2(2a 3+1)+1=22

a 3+2+1=23

a 2+22

+2+1=24

a 1+23

+22

+2+1=31. 答案 B

3.已知a n +1-a n -3=0,则数列{a n }是( ). A .递增数列

B .递减数列

C .常数列

D .不确定

解析 ∵a n +1-a n -3=0,∴a n +1-a n =3>0,∴a n +1>a n . 故数列{a n }为递增数列. 答案 A

4.设数列{a n }的前n 项和S n =n 2

,则a 8的值为( ). A .15 B .16 C .49 D .64 解析 由于S n =n 2

,∴a 1=S 1=1.

当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2

-(n -1)2

=2n -1,又a 1=1适合上式. ∴a n =2n -1,∴a 8=2×8-1=15. 答案 A

5.(2012·泰州月考)数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,…中x 的值为________. 解析 观察数列中项的规律,易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和. 答案 21

考向一 由数列的前几项求数列的通项

【例1】?写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,…; (2)12,34,78,1516,31

32,…; (3)-1,32,-13,34,-15,3

6,…;

(4)3,33,333,3 333,….

[审题视点] 先观察各项的特点,然后归纳出其通项公式,要注意项与项之间的关系,项与前后项之间的关系.

解 (1)各项减去1后为正偶数,所以a n =2n +1.

(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23

,24

,…,所以a n =2n

-1

2

n .

(3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(-1)n

;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为2+1,所以a n =(-1)n

·

2+-1n

n

.

也可写为a n

=?????

-1

n

,n 为正奇数,3

n ,n 为正偶数.

(4)将数列各项改写为:93,993,9993,9 999

3

,…,

分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104

-1,…,所以a n =13

(10n -1).

根据数列的前几项求通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:(1)

分式中分子、分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征:把数列的项分成变化的部分和不变的部分;(4)各项符号特征.若关系不明显时,应将部分项作适当的变形,统一成相同的形式,让规律凸现出来.

【训练1】 已知数列{a n }的前四项分别为1,0,1,0,给出下列各式: ①a n =

1--1n

2

;②a n =

1+-1n

2;③a n =sin

2

n π

2

;④a n =

1-cos n π

2

;⑤a n =?

????

1n 为正偶数0n 为正奇数;⑥a n =

1+-1n +1

2

+(n -1)(n -2).其中可以作为数列{a n }的通项

公式的有________(填序号). 答案 ①③④

考向二 由a n 与S n 的关系求通项a n

【例2】?已知数列{a n }的前n 项和为S n =3n

-1,则它的通项公式为a n =________. [审题视点] 利用a n =S n -S n -1(n ≥2)求解. 解析 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n

-1-(3

n -1-1)=2·3

n -1

;当n =1时,a 1=S 1=2也满足

a n =2·3n -1.

故数列{a n }的通项公式为a n =2·3n -1

.

答案 2·3

n -1

数列的通项a n 与前n

项和S n 的关系是a n =?

??

??

S 1,n =1,

S n -S n -1, n ≥2.当n =1时,a 1

若适合S n -S n -1,则n =1的情况可并入n ≥2时的通项a n ;当n =1时,a 1若不适合S n -S n -1,则用分段函数的形式表示.

【训练2】 已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2

-2n +1,则其通项公式为________. 解析 当n =1时,a 1=S 1=3×12

-2×1+1=2;

当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n 2

-2n +1-[3(n -1)2

-2(n -1)+1]=6n -5,显然当n =1时,不满足上式.

故数列的通项公式为a n =???

??

2,n =1,

6n -5,n ≥2.

答案 a n =?

??

??

2,n =1

6n -5,n ≥2

考向三 由数列的递推公式求通项

【例3】?根据下列条件,确定数列{a n }的通项公式. (1)a 1=1,a n +1=3a n +2; (2)a 1=1,a n =

n -1

n

a n -1(n ≥2); (3)已知数列{a n }满足a n +1=a n +3n +2,且a 1=2,求a n .

[审题视点] (1)可用构造等比数列法求解.(2)可转化后利用累乘法求解.(3)可利用累加法求解.

解 (1)∵a n +1=3a n +2,∴a n +1+1=3(a n +1), ∴

a n +1+1

a n +1

=3,∴数列{a n +1}为等比数列,公比q =3, 又a 1+1=2,∴a n +1=2·3n -1

,∴a n =2·3

n -1

-1.

(2)∵a n =

n -1n a n -1(n ≥2),∴a n -1=n -2n -1a n -2,…,a 2=1

2

a 1.以上(n -1)个式子相乘得a n =a 1·12·23·…·n -1n =a 1n =1

n

.

(3)∵a n +1-a n =3n +2,∴a n -a n -1=3n -1(n ≥2), ∴a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=n 3n +12(n ≥2).当n =1时,a 1=

1

2

×(3×1+1)=2符合公式,∴a n =32n 2+n 2

.

已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加、累乘、构造法求解.当出

现a n =a n -1+m 时,构造等差数列;当出现a n =xa n -1+y 时,构造等比数列;当出现a n =a n -1+f (n )时,用累加法求解;当出现

a n

a n -1

=f (n )时,用累乘法求解. 【训练3】 根据下列各个数列{a n }的首项和基本关系式,求其通项公式. (1)a 1=1,a n =a n -1+3

n -1

(n ≥2);

(2)a 1=2,a n +1=a n +ln ?

??

??1+1n .

解 (1)∵a n =a n -1+3

n -1

(n ≥2),∴a n -1=a n -2+3

n -2

a n -2=a n -3+3n -3,

a 2=a 1+31,

以上(n -1)个式子相加得

a n =a 1+31+32+…+3n -1=1+3+32+…+3

n -1

=3n

-1

2

.

(2)∵a n +1=a n +ln ?

??

??1+1n ,

∴a n +1-a n =ln ? ??

??1+1n =ln n +1n

∴a n -a n -1=ln n

n -1,a n -1-a n -2=ln n -1n -2

, …

a 2-a 1=ln 21

以上(n -1)个式相加得, ∴a n -a 1=ln

n

n -1+ln n -1n -2+…+ln 21

=ln n .又a 1=2, ∴a n =ln n +2.

考向四 数列性质的应用

【例4】?已知数列{a n }的通项a n =(n +1)? ??

??1011n

(n ∈N +),试问该数列{a n }有没有最大项?若

有,求最大项的项数;若没有,说明理由. [审题视点] 作差:a n +1-a n ,再分情况讨论.

解 ∵a n +1-a n =(n +2)? ????1011n +1-(n +1)? ????1011n =? ????1011n 9-n 11. 当n <9时,a n +1-a n >0,即a n +1>a n ; 当n =9时,a n +1-a n =0,即a n +1=a n ; 当n >9时,a n +1-a n <0,即a n +1<a n ;

故a 1<a 2<a 3<…<a 9=a 10>a 11>a 12>…,所以数列中有最大项为第9,10项.

(1)数列可以看作是一类特殊的函数,因此要用函数的知识,函数的思想方法来

解决.

(2)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决,判断单调性时常用①作差法,②作商法,③结合函数图象等方法. 【训练4】 已知数列{a n }的前n 项和S n =-n 2

+24n (n ∈N *

). (1)求{a n }的通项公式;

(2)当n 为何值时,S n 达到最大?最大值是多少? 解 (1)n =1时,a 1=S 1=23.

n ≥2时,a n =S n -S n -1=-n 2+24n +(n -1)2-24(n -1)=-2n +25.经验证,a 1=23符合a n

=-2n +25,

∴a n =-2n +25(n ∈N *

).

(2)法一 ∵S n =-n 2+24n ,∴n =12时,S n 最大且S n =144.

法二 ∵a n =-2n +25, ∴a n =-2n +25>0,有n <

25

2

.∴a 12>0,a 13<0, 故S 12最大,最大值为144.

难点突破13——数列中最值问题的求解

从近几年新课标高考可以看出,对求数列中的最大项是高考的热点,一般难度较大.解决这类问题时,要利用函数的单调性研究数列的最值,但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同,其自变量的取值是不连续的,只能取正整数,所以在求数列中的最大(小)项时,应注意数列中的项可以是相同的,故不应漏掉等号.

【示例1】? (2010·辽宁)已知数列{a n }满足a 1=33,a n +1-a n =2n ,则a n

n

的最小值为________.

【示例2】? (2011·浙江)若数列???

?

??n n +4? ????23

n 中的最大项是第k 项,则k =________.

数列的概念与简单表示法(含 解析)

第一节数列的概念与简单表示法 知识要点 1.数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义: ①数列:按照一定顺序排列的一列数. ②数列的项:数列中的每一个数. (2)数列的分类: (3)数列的通项公式: 如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 2.数列的递推公式 如果已知数列{a n}的首项(或前几项),且任一项a n与它的前一项a n (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫数-1 列的递推公式.

3.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关,这有别于集合中元素的无序性.因此,若组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列. (2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现,这也是数列与数集的区别. 4.数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函数,数列的通项公式也就是相应的函数解析式,即f(n) =a n(n∈N*). 题型一:由数列的前几项求数列的通项公式 [例1] 下列公式可作为数列{a n}:1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是( ) A.a n=1 B.a n=C.a n=2- D.a n= [自主解答] 由a n=2-可得a1=1,a2=2,a3=1,a4=2,….[答案] C 变式:若本例中数列变为:0,1,0,1,…,则{a n}的一个通项公式为________. 答案: a n= 由题悟法 1.根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,观察出项与n之间的关系、规律,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整. 2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想.

数列的概念及其表示法

第六章数列 命题探究 解答过程 (1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由已知b2+b3=12,得 b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3,又因为q>0,所以q=2.所以b n=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①.由S11=11b4,可得a1+5d=16②,联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得a n=3n-2. 所以,数列{a n}的通项公式为a n=3n-2,数列{b n}的通项公式为b n=2n. (2)设数列{a2n b2n-1}的前n项和为T n,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,有a2n b2n-1=(3n-1)×4n,故T n=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n, 4T n=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1, 上述两式相减,得 -3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1= - - -4-(3n-1)×4n+1 =-(3n-2)×4n+1-8. 得T n=-×4n+1+. 所以,数列{a2n b2n-1}的前n项和为-×4n+1+ §6.1数列的概念及其表示法 考纲解读 分析解读本节内容在高考中主要考查利用a n和S n的关系求通项a n,或者利用递推公式构造等差或等比数列求通项a n,又考查转化、方程与函数、分类讨论等思想方法,在高考中以解答题为主,题目具有一定的综合性,属中高档题.分值为5分或12分.

五年高考 考点数列的概念及其表示 1.(2016浙江,13,6分)设数列{a n}的前n项和为S n.若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1=,S5=. 答案1;121 2.(2015江苏,11,5分)设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*),则数列前10项的和为. 答案 3.(2013课标全国Ⅰ,14,5分)若数列{a n}的前n项和S n=a n+,则{a n}的通项公式是a n=. 答案(-2)n-1 4.(2015四川,16,12分)设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)记数列的前n项和为T n,求使得|T n-1|<成立的n的最小值. 解析(1)由已知S n=2a n-a1, 有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2), 即a n=2a n-1(n≥2). 从而a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1). 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2. 所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列. 故a n=2n. (2)由(1)得=, 所以T n=++…+=- - =1-. 由|T n-1|<,得--<,即2n>1000. 因为29=512<1000<1024=210, 所以n≥10. 于是,使|T n-1|<成立的n的最小值为10. 教师用书专用(5—6) 5.(2013安徽,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,…,A n,…和B1,B2,…,B n,…分别在角O的两条边上,所有A n B n相互平行,且所有梯形 A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n=a n.若a1=1,a2=2,则数列{a n}的通项公式是. 答案a n=- 6.(2014广东,19,14分)设数列{a n}的前n项和为S n,满足S n=2na n+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.

数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法 [考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 【知识通关】 1.数列的有关概念 n n 若数列{a n }的前n 项和为S n , 则a n =??? S 1,n =1, S n -S n -1,n ≥2. 4.数列的分类 [

求数列的最大(小)项,一般可以利用数列的单调性,即用??? a n ≥a n -1, a n ≥a n +1.(n ≥2, n ∈N *)或?? ? a n ≤a n -1,a n ≤a n +1 (n ≥2,n ∈N *)求解,也可以转化为函数的最值问题或利 用数形结合思想求解. 【基础自测】 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的.( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( ) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.已知数列11×2,12×3,13×4,…,1 n (n +1) ,…,下列各数中是此数列中的项的是( ) A .135 B .142 C .148 D .154 B 3.设数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a 8的值为( ) A .15 B .16 C .49 D .64 A 4.在数列{a n }中,a 1=1,a n =1+(-1)n a n -1(n ≥2),则a 5等于( ) A .32 B .53 C .85 D .23 D 5.根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式a n =________. 5n -4

数列的概念及表示

课题:数列(第一课时) 一、教学目标: 知识目标:(1)了解数列的概念,了解数列的分类,了解数列是一种特殊的数列, 会用列表法和图像法表示数列; (2)理解数列的通项公式,会根据通项公式写出数列的前几项,会 根据简单数列的前几项写出数列的通项公式。 能力目标:通过数列概念的归纳概括,初步培养学生的归纳、抽象、概括的能力, 渗透函数思想。 情感目标:通过有关数列的实际应用,激发学生学习数列的积极性。 二、重点:数列的概念,数列的通项公式及其简单应用. 三、难点:根据数列的前几项归纳概括出数列的一个通项公式. 四、教学方法:观察发现、探究合作、启发引导、讲练结合 五、教学手段:多媒体课件、投影仪 六、教学过程: 1、问题情境 (1)庄子说:一尺之棰,日取其半,万世不竭。每次剩下的部分依次是: 1111,,,,24816 (2)某种细胞,如果每个细胞每分钟分类成2个,那么每过1分钟,1个细胞分裂的个数依次为:1,2,4,8,16,32,┅┅ (3)2012----伦敦奥运,从1984年到2012年,我国共参加了8次奥运会,各次参赛获得的金牌总数依次为:15,5,16,16,28,32,51,38. 问题1:这几组数据有什么共同的特点? 2、学生活动 都是一列有顺序的数。 特点1:都是一列数,2:有一定的次序 3、建构数学 (1)数列的定义:按照一定次序排成一列的数称为数列; 数列中的每个数都叫做这个数列的项; 各项依次叫做这个数列的第1项(首项),第2项,…,第n 项,…,如: 数列 2, 4, 8, 16 问题2:① 1,-1,1,-1,……是数列吗? ② 数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是否是同一个数列? (2)数列的分类:有穷数列,无穷数列。 问题3:下面三个数列哪些是有穷数列,哪些是无穷数列? a 4 a 1 a 2 a 3

数列的概念与简单表示讲义

数列的概念与简单表示讲义 【知识要点】: 知识点一:数列的概念 ⒈数列的定义:按一定顺序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项,第2项,…,第项,….其中数列的第1项也叫作首项。 3. 数列的一般形式:,或简记为,其中是数列的第项 知识点二:数列的分类 1. 根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6,…是无穷数列 2. 根据数列项的大小分: 递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列:各项相等的数列。 摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 知识点三:数列的通项公式与前项和 1. 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 如数列:的通项公式为(); 的通项公式为(); 的通项公式为(); 注意:(1)并不是所有数列都能写出其通项公式; (2)一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,…; 它的通项公式可以是,也可以是. (3)数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项. (4)数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第项,又是这个数列中所有各项的一般表示.

数列的概念及简单表示方法

§ 数列的概念及简单表示法 1. 数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2. 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 a n +1__>__a n 其中n ∈N + 递减数列 a n +1__<__a n 常数列 a n +1=a n 按其他标准分类 有界数列 存在正数M ,使|a n |≤M 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有 些项小于它的前一项的数列 3. 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4. 数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n =f (n )来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 5.已知S n ,则a n =??? ?? S 1 ?n =1? S n -S n -1 ?n ≥2? .

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达. ( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个. ( √ ) (3)数列:1,0,1,0,1,0,…,通项公式只能是a n = 1+?-1? n +1 2 . ( × ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ,则对?n ∈N +,都有a n +1=S n +1-S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中,对于任意正整数m ,n ,a m +n =a mn +1,若a 1=1,则a 2=2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n +1=1 2a n -1,且a 2=1,则可以写出数列{a n }的任何一项. ( √ ) 2. 设数列{a n }的前n 项和S n =n 2 ,则a 8的值为 ( ) A .15 B .16 C .49 D .64 答案 A 解析 ∵S n =n 2 ,∴a 1=S 1=1. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2 -(n -1)2 =2n -1. ∴a n =2n -1,∴a 8=2×8-1=15. 3. 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n +m ,且a 1=1,那么a 10等于 ( ) A .1 B .9 C .10 D .55 答案 A 解析 ∵S n +S m =S n +m ,a 1=1,∴S 1=1. 可令m =1,得S n +1=S n +1,∴S n +1-S n =1. 即当n ≥1时,a n +1=1,∴a 10=1. 4. (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +1 3 ,则{a n }的通项公式是a n =_____. 答案 (-2) n -1 解析 当n =1时,a 1=1;当n ≥2时, a n =S n -S n -1=2 3a n -23 a n -1, 故 a n a n -1 =-2,故a n =(-2)n -1 . 当n =1时,也符合a n =(-2)n -1 . 综上,a n =(-2) n -1 . 5. (2013·安徽)如图,互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1, B 2,…,B n …分别在角O 的两条边上,所有A n B n 相互平行,

数列的概念与简单表示法

高一数学必修5数列新容:数列与等差数列 数列的概念与简单表示法 数列的分类: (1)据数列的项数是否有限可分类为有穷数列、无穷数列. (2)据数列的项大小关系可分类为 ①递增数列:从第二项起,每一项都大于它的前一项的数列; ②递减数列:从第二项起,每一项都小于它的前一项的数列; ③常数数列:各项相等的数列; ④摆动数列:从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 练习: 1、下列给出数列,试从中发现变化规律,并填写括号的数 (1)()() 1,3,6,10,,21,,??????; (2)()() 3,5,9,17,33,,,??????; (3)() 1,4,9,16,,36,??????. 2.下面数列中递增数列是,递减数列是,常数数列是,摆动数列是 (1)0,1,2,3,??????;(2)82,93,105,119,129,130,132;(3)3,3,3,3,3,??????; (4)100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01; (5)1,1,1,1,1, ---??????;(6精确到1,0.1,0.01,0.001,???的不足近似值与过剩近似值分别构成数列1,1.4,1,1.141,1.414,;2,1.5,1.42,1.415, ????????????. 3.据下列数列的前几项,写出下列数列的一个通项公式 (1)1,3,5,7,9??????; (2)9,7,5,3,1,??????; (3) 2222 21314151 ;,;; 2345 ---- (4) 1111 ,,,, 12233445 ---- ???? .

数列的概念与表示方法

第三讲 数列的概念与表示方法 【知识要点】 1.数列的概念 按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列一般形式可以写成a 1,a 2,a 3,…,a n ,…,简记为数列{a n },其中数列的第1项a 1也称首项;a n 是数列的第n 项,也叫数列的通项. 2.数列的表示方法 (1)列举法 (2)图象法 (3) 解析法 (4)递推法 3.数列的分类 4.数列与函数的关系 从函数观点看,数列可以看作定义域为正整数集N * (或它的有限子集)的函数,当自变量从小到大依次取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列. 5.数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f(n),那么这个式子就叫做这个数列的通项公式.不是每个数列都有通项,如果数列有通项公式,但其通项公式在形式上不一定惟一. 6.求数列通项公式的常见类型与方法 (1)已知数列的前n 项,求其通项公式 ①据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征: 分式中分子、分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项符号特征等.并对此进行归纳、联想. ②根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n 或(-1)n+1来调整. ③观察、分析问题的特点是最重要的,观察要有目的,观察出项与项数之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决. 题型一 由数列的前n 项求其通项公式 例1 写出下列各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,… (2) ,32 31,1615,87,43,21

数列的概念与简单表示法

2021年新高考数学总复习第六章《数列》 数列的概念与简单表示法 1.数列的有关概念 概念含义 数列按照一定顺序排列着的一列数 数列的项数列中的每一个数 数列的通项数列{a n}的第n项a n 通项公式 数列{a n}的第n项a n与n之间的关系能用公式a n=f(n)表示,这个公式 叫做数列的通项公式 前n项和数列{a n}中,S n=a1+a2+…+a n叫做数列的前n项和 2.数列的表示方法 列表法列表格表示n与a n的对应关系 图象法把点(n,a n)画在平面直角坐标系中公式法 通项公式把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和a n+1=f(a n)或a1,a2和a n+1=f(a n,a n-1)等 表示数列的方法 3.a n与S n的关系 若数列{a n}的前n项和为S n, 则a n= ?? ? ??S1,n=1, S n-S n-1,n≥2. 4.数列的分类 分类标准类型满足条件 项数 有穷数列项数有限 无穷数列项数无限 项与项间的 大小关系 递增数列a n+1> a n 其中n∈N* 递减数列a n+1< a n 常数列a n+1=a n

概念方法微思考 1.数列的项与项数是一个概念吗? 提示不是,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.2.数列的通项公式a n=3n+5与函数y=3x+5有何区别与联系? 提示数列的通项公式a n=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的定义域是R,a n=3n+5的图象是离散的点,且排列在y=3x+5的图象上. 题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(×) (2)所有数列的第n项都能使用公式表达.(×) (3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.(√) (4)1,1,1,1,…不能构成一个数列.(×) (5)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(×) (6)如果数列{a n}的前n项和为S n,则对?n∈N*,都有a n=S n-S n-1.(×) 题组二教材改编 2.在数列{a n}中,已知a1=1,a n+1=4a n+1,则a3=. 答案21 解析由题意知,a2=4a1+1=5,a3=4a2+1=21. 3.根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式a n=. 答案5n-4 题组三易错自纠 4.已知a n=n2+λn,且对于任意的n∈N*,数列{a n}是递增数列,则实数λ的取值范围是. 答案(-3,+∞) 解析因为{a n}是递增数列,所以对任意的n∈N*,都有a n+1>a n,即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整理,得2n+1+λ>0,即λ>-(2n+1).(*) 因为n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3. 5.数列{a n}中,a n=-n2+11n(n∈N*),则此数列最大项的值是.

数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

第六章数列 §6.1数列的概念与简单表示法 考点梳理 1.数列的概念 (1)定义:按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的________.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________),排在第n位的数称为这个数列的第n项.所以,数列的一般形式可以写成__________,其中a n是数列的第n 项,叫做数列的通项.常把一般形式的数列简记作{a n}. (2)通项公式:如果数列{a n}的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (3)从函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数(离散的),当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________. (4)数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. (5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________. 2.数列的分类 (1)数列按项数是有限还是无限来分,分为__________、__________. (2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和 __________.递增数列a n+1______a n ;递减数列a n+1_____a n;常数列a n+ 1______a n .递增数列与递减数列统称为__________. 3.数列前n项和S n与a n的关系 已知S n,则a n= ? ? ?(n=1)_________, (n≥2)_________. 自查自纠: 1.(1)项首项a1,a2,a3,…,a n,… (2)第n项n(3)函数值(4)a n a n-1 (5)通项公式法(解析式法) 列表法图象法递推公式法 2.(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列 摆动数列常数列><=单调数列 3.S1S n-S n-1 典型例题讲练 类型一数列的通项公式 例题1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…; (2) 2 3 , 4 15 , 6 35 , 8 63 , 10 99 ,…;

数列的概念与简单表示法(第一课时)

数列的概念与简单表示法(第一课时) 教学设计案例 山东省滕州市第一中学时科峰(277500) 一、教材与教学分析 1.数列在教材中的地位 根据新课程的标准,“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念,然后将数列作为一种特殊函数,介绍数列的几种简单表示法,等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课,为达到新课标的要求,从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识,打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手,探索并掌握它们的一些基本数量关系,感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题).2.教学任务分析 (1)了解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例,引入数列的概念,理解数列的顺序性,感受数列是刻画自然规律的数学模型.了解数列的几种分类. (2)了解数列是一类离散函数,体会数列中项与序号之间的变量依赖关系. 3.教学重点与难点 重点:理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型. 难点:认识数列是一种特殊的函数,发现数列与函数之间的关系. 二、教学方法与学习方法 自主学习与合作探究相结合.

五.板书设计 六、教学评价与反思 新课程的编排特点和学习方式的变化,使课堂教学方法发生了重大变化.新课程提倡教学目标综合化、多元化和均衡性,知识的生活化,使学生获得对数学知识理解的同时,在思维能力、观察能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展. 鉴于此,本节课的教学设计要真正体现出学生的主体地位,以学生活动、学生探究为主,把数学与生活实际联系起来,具体说来,新课程的理念有如下体现: (1)体现“双主体”的原则,摆正了教师在教学中的位置 本节课的组织与实施,充分体现了教师的主导和学生的主体性相结合的原则;教师扮演的是组织者、引导者、参与者,学生是学习的主体,通过大量实例激发学

数列的概念及简单表示法

数列的概念及简单表示法 一、选择题 1.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是a n等于( ) A.(-1)n+1 2 B.cos nπ 2 C.cos n+1 2 π D.cos n+2 2 π 解析令n=1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D正确. 答案 D 2.数列2 3 ,- 4 5 , 6 7 ,- 8 9 ,…的第10项是( ) A.-16 17 B.- 18 19 C.-20 21 D.- 22 23 解析所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部分进行分解:符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n}的通项公式a n= (-1)n+1· 2n 2n+1 ,故a10=- 20 21 . 答案 C 3.(2016·保定调研)在数列{a n}中,已知a1=1,a n+1=2a n+1,则其通项公式a n =( ) A.2n-1 B.2n-1+1 C.2n-1 D.2(n-1) 解析法一由a n+1=2a n+1,可求a2=3,a3=7,a4=15,…,验证可知a n =2n-1. 法二由题意知a n+1+1=2(a n+1),∴数列{a n+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴a n+1=2n,∴a n=2n-1. 答案 A

4.数列{a n }的前n 项积为n 2,那么当n ≥2时,a n 等于( ) A.2n -1 B.n 2 C. (n +1)2 n 2 D. n 2 (n -1)2 解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ,则T n =n 2, 当n ≥2时,a n =T n T n -1=n 2 (n -1)2. 答案 D 5.数列{a n }满足a n +1+a n =2n -3,若a 1=2,则a 8-a 4=( ) A.7 B.6 C.5 D.4 解析 依题意得(a n +2+a n +1)-(a n +1+a n )=[2(n +1)-3]-(2n -3),即a n +2- a n =2,所以a 8-a 4=(a 8-a 6)+(a 6-a 4)=2+2=4. 答案 D 二、填空题 6.若数列{a n }满足关系a n +1=1+1a n ,a 8=34 21,则a 5=________. 解析 借助递推关系,则a 8递推依次得到a 7= 2113,a 6=138,a 5=85 . 答案 8 5 7.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n +1(n ∈N *),则a n =________. 解析 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n +1,当n =1时,a 1=S 1=4≠2×1+1,因此a n =???4,n =1, 2n +1,n ≥2. 答案 ???4,n =1,2n +1,n ≥2. 8.(2017·北京海淀期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ≠0(n ∈N *),又 a n a n +1=S n ,则a 3-a 1=________. 解析 因为a n a n +1=S n ,所以令n =1得a 1a 2=S 1=a 1,即a 2=1,令n =2,得a 2a 3

数列的概念与表示(一)

数列的概念与表示导学案 一、基础知识 引例:按一定次序排列的一列数 (1)1,2,3,4,5 (2)1,51,41,31,21 (3),1,1,1,1--…… (4)1,1,1,1,…… (5)1,3,5,4,2 (6)2的精确到1,0.1,0.01,0.001,……的不足近似值排列成一列数 1、概念:(1)数列: 注:①按一定次序排列 ②同一个数在数列中可重复出现 上例中能构成数列的是: 。(1)与(5)相同吗? (2)项: (3)项的序号: 2、表示:数列的一般形式为: ,简化为 。 例:,41,31,21, 1…,1,n …简记为: 1,3,5,7,…12-n ,…简记为 注:}{n a 与n a 的区别: 3、数列与函数的关系: 4、数列的通项公式: 作用:①以序号代n 可求数列各项;②可验证某数是否是数列中的项 注:①通项公式有时不存在;②一个数列的通项公式形式可能不唯一。 5、递推公式: 6、分类: 二、例题解析 例1、根据}{n a 的通项公式,写出它的前5项。 (1)1+=n n a n (2)n a n n ?-=)1( 例2、写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数 (1)1,2,3,4; (2)1,3,5,7; (3)5 15,414,313,2122222----; 例3、已知:}{n a 中,11=a ,以后各项由111-+ =n n a a 给出,写出这个数列的前5项。

三、课后练习 1、根据}{n a 的通项公式,写出它的前5项: (1)1)1(5+-?=n n a (2)1 122++=n n a n 2、根据通项公式,写出它的第7项与第10项 (1))2(+=n n a n (2)32+-=n n a 3、写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数。 (1)1,2,3,4 (2)2,4,6,8 (3)161,81,41,21-- (4)5141.4131,3121,211---- 4、写出下面数列}{n a 的前5项 (1))2(35 11≥+==-n a a a n n (2))2(2211≥==-n a a a n n

数列的概念及其表示方法

数列的概念及其表示方法 一、学习目标 1.了解数列的概念及其表示方法;理解数列通项公式的有关概念; 2.给出数列的通项公式,会写出数列的前几项;给出简单数列的前几项,会写出它的一个通项公式; 3.通过独立思考、小组合作来提升获取知识的能力,增强团结协作的意识,养成善于观察、归纳、类比、联想等良好的思维品质. 二、学习重点与难点 学习重点:数列的概念及其通项公式. 学习难点:用函数的观点理解数列的概念. 三、学习过程 活动一:创设情境 1. 同学们,以下四个问题蕴含着四列数,你能写出来吗? (1)国际象棋的传说:每格棋盘上的麦粒数排成一列数: . (2)古语:如果将“一尺之棰”视为1份,那么每日剩下的部分依次为: . (3)童谣:一只青蛙,一张嘴,两只眼睛,四条腿,这句童谣中蕴含的一列数为: . (4)人们在1740年发现了一颗彗星,并推算出它每隔83年出现一次,则从出现那次算起,这颗彗星出现的年份依次为: . 2. 同学们,你能说说上述几列数有什么共同特点吗? 活动二:数列的概念及其理解 1. 数列的定义:__________________________________________________. 数列的项: __________________________________________________. 2. 数列的分类(按项数分):__________________________________________________.

思考1:1.数列1,2,3,4,5.与数列5,4,3,2,1.相同吗? 2.金,木,水,火,土.是数列吗? 3.数列1,2,3,4,5.与数列1,2,3,4,5,… 相同吗? 3. 数列的表示方法: 数列的一般形式可以写成 . 其中1a 是数列的第 项(或称为 ),2a 是数列的第 项,…, n a 是数列的第 项. 有时,我们把上面的数列简记为 . 思考2:1.此处的n a 与{}n a 有何区别? 2.数列中的项和集合中的元素有何区别? 活动三:探索数列与函数的关系 国际象棋每格棋盘上的麦粒数: 序号n 1 2 3 4 ... 64 项 a n 1 2 22 23 ... 263 请回答: 1.这个数列中,对每一个项的序号n 都有唯一的项 a n 与之对应吗? 2.一般数列中,对每一个项的序号n 存在唯一的项a n 与之对应?

高三理数一轮讲义:6.1-数列的概念及简单表示法(练习版)

第1节数列的概念及简单表示法 最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式); 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 . 知识梳理 1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类标准类型满足条件 项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限 项与项间的大小关系递增数列a n +1 >a n 其中n∈N*递减数列a n+1<a n 常数列a n +1 =a n 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项, 有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 (1)通项公式:如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n=f(n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (2)递推公式:如果已知数列{a n}的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项 a n与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

[微点提醒] 1.若数列{a n }的前n 项和为S n ,通项公式为a n ,则a n =???S 1,n =1, S n -S n -1,n ≥2. 2.数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关. 3.易混项与项数的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ,则对任意n ∈N *,都有a n +1=S n +1-S n .( ) 2.(必修5P33A4改编)在数列{a n }中,a 1=1,a n =1+(-1)n a n -1(n ≥2),则a 5等于( ) A.32 B.53 C.85 D.23 3.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式a n =________. 4.(2019·衡水中学摸底)已知数列{a n }中,a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N *),S n 为其前n 项和,则S 5的值为( ) A.57 B.61 C.62 D.63

(完整版)数列的概念与简单表示法练习题及答案解析

练习一 1.数列1,12,14,…,1 2n ,…是( ) A .递增数列 B .递减数列 C .常数列 D .摆动数列 2.已知数列{an}的通项公式an =1 2[1+(-1)n +1],则该数列的前4项依次是 ( ) A .1,0,1,0 B .0,1,0,1 C.12,0,1 2 ,0 D .2,0,2,0 3.数列{an}的通项公式an =cn +d n ,又知a2=3 2,a4=154,则a10=__________. 4.已知数列{an}的通项公式an =2 n2+n . (1)求a8、a10. (2)问:1 10是不是它的项?若是,为第几项?

练习二 一、选择题 1.已知数列{an}中,an=n2+n,则a3等于( ) A.3 B.9 C.12 D.20 2.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( ) A.1,1 2 , 1 3 , 1 4 ,… B.-1,-2,-3,-4,… C.-1,-1 2 ,- 1 4 ,- 1 8 ,…新课标第一网

D .1,2,3,…,n 3.下列说法不正确的是( ) A .根据通项公式可以求出数列的任何一项 B .任何数列都有通项公式 C .一个数列可能有几个不同形式的通项公式 D .有些数列可能不存在最大项 . 4.数列23,45,67,8 9,…的第10项是( ) A.1617 B.1819 C.2021 D.2223 5.已知非零数列{an}的递推公式为an =n n -1 ·an -1(n >1),则a4=( ) A .3a1 B .2a1 C .4a1 D .1 6.(2011年浙江乐嘉调研)已知数列{an}满足a1>0,且an +1=12an ,则数列{an} 是( ) A .递增数列 B .递减数列 C .常数列 D .摆动数列 二、填空题 7.已知数列{an}的通项公式an =19-2n ,则使an>0成立的最大正整数n 的值为__________.

数列的概念及简单表示方法

§6.1 数列的概念及简单表示法

1. 数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2. 数列的分类 3. 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4. 数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n =f (n )来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 5.已知S n ,则a n =??? S 1 (n =1) S n -S n -1 (n ≥2).

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达. ( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个. ( √ ) (3)数列:1,0,1,0,1,0,…,通项公式只能是a n = 1+(-1) n +1 2 . ( × ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ,则对?n ∈N +,都有a n +1=S n +1-S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中,对于任意正整数m ,n ,a m +n =a mn +1,若a 1=1,则a 2=2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n +1=1 2a n -1,且a 2=1,则可以写出数列{a n }的任何一项. ( √ ) 2. 设数列{a n }的前n 项和S n =n 2 ,则a 8的值为 ( ) A .15 B .16 C .49 D .64 答案 A 解析 ∵S n =n 2 ,∴a 1=S 1=1. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2 =2n -1. ∴a n =2n -1,∴a 8=2×8-1=15. 3. 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n +m ,且a 1=1,那么a 10等于 ( ) A .1 B .9 C .10 D .55 答案 A 解析 ∵S n +S m =S n +m ,a 1=1,∴S 1=1. 可令m =1,得S n +1=S n +1,∴S n +1-S n =1. 即当n ≥1时,a n +1=1,∴a 10=1.

数列的概念及简单表示方法

§6.1 数列的概念及简单表示法 1.数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类 3.

数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4. 数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n =f (n )来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 5.已知S n ,则a n =????? S 1 (n =1) S n -S n -1 (n ≥2) . 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达. ( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个. ( √ ) (3)数列:1,0,1,0,1,0,…,通项公式只能是a n =1+(-1)n +1 2 . ( × ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ,则对?n ∈N +,都有a n +1=S n +1-S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中,对于任意正整数m ,n ,a m +n =a mn +1,若a 1=1,则a 2=2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n +1=1 2a n -1,且a 2=1,则可以写出数列{a n }的任何 一项. ( √ ) 2. 设数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a 8的值为 ( ) A .15 B .16 C .49 D .64 答案 A 解析 ∵S n =n 2,∴a 1=S 1=1. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1. ∴a n =2n -1,∴a 8=2×8-1=15. 3. 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n +m ,且a 1=1,那么a 10等于 ( ) A .1 B .9 C .10 D .55

数列的概念与简单表示法(第一课时)教学设计)

数列的概念与简单表示法(第一课时)教学设计 【课题】数列的概念与简单表示法(第一课时) 【课型】新授课 【授课教师】昆明市第24中学云付泽 一、教材与教学分析 1.数列在教材中的地位 根据新课程的标准,“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念,然后将数列作为一种特殊函数,介绍数列的几种简单表示法,等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课,为达到新课标的要求,从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识,打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问题入手,探索并掌握它们的一些基本数量关系,感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题). 2.教学任务分析 (1) 理解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例,引入数列的概念,理解数列的顺序性,感受数列是刻画自然规律的数学模型.了解数列的几种分类. (2)了解数列是一类离散函数,体会数列中项与序号之间的变量依赖关系. 3.教学重点与难点 重点:理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型. 难点:认识数列是一种特殊的函数,发现数列与函数之间的关系 二、教学方法 小组合作、探究学习模式 通过对问题情境的分析讨论的方式,运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方法,引导学生探究数学归纳法。 三、教学基本流程

四、学习过程设计 【创设问题情境】 1. 传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题: 三角形数:1,3,6,10,… 正方形数:1,4,9,16,25,… 2. 古语:一尺之棰,日取其半,万世不竭.每日所取棰长排成的数: 1,21,41,81,161,32 1,…… , 3. 4月10日至4月17日昆明的日最高气温(单位:℃) 23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19 思考:上述这些问题中的几列数有什么共同特点? (1) 都是一列数;(2)都有一定的顺序 【设计意图】:引出课题------数列的概念与简单表示法 活动一:数列的概念探究 引导学生观察一下几列数具有的共同特征,然后让学生抓住数列的特征,归纳得出数列概念。 (1)1,3,6,10,… 1,4,9,16,25,… 1,21,41,81,161,32 1,…… (2)1,21,31,4 1,…… (3)23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19 (4)1-,1,1-,1,…… (5)1,1,1,1,…… 引导学生:分组讨论,可能会有不同的答案:前数和后数的差符合一定规律;这些 数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定。 教师引导归纳出: 1. 数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数叫数列. 2. 数列的项 数列中的每一个数就是数列的项 3. 数列的一般形式: ,,,,,321n a a a a 简记为{}n a 【设计意图】:利用学生熟悉的生活实例创设情景引入问题,既可以帮助学生直观地理解数列的概念,又可以使学生认识到“数学来自于生活” 活动二:数列和集合的关系 将以上几列数用集合如何表示?请写出相应的集合。观察集合中的元素和原来数列中数有什么差别? 经过以上问题可得出集合和数列的区别是: 第一,集合的对象可以是任意的东西。如全体中华人民共和国的公民组成一个集合,某农场全部拖拉机组成一个集合,所有的化学元素组成一个集合,等等。而数列的对象都

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