三重积分独家解法

§重积分

重积分是定积分延伸，定积分是如图（1）

所示，由上曲线和下曲线在定义域内所

围成面积S ；二重积分的已知条件是一

平面区域作为二重积分的“定义域”，被积函数是两个

空间曲面函数的差值，如 xydθD

,其实，它的二重积分的原始形式为 [f x ?g x ]dθD

,即f x ?g x =xy 。其中，f （x ）和g （x ）均为空间

曲面的函数表达式。而如果把二重积分以定积分的

形式表现则比较牵强： xydθA B

，A 与B 的差值就是二重积分的定义区域，但是，A 和B 只是作者假设

的虚拟值，实际并不存在，为了简洁地表达二重积分，引入了“ ”符号，这是二重积分的高度抽象化，单从这个符号是看不出二重积分的几何意义的。

§三重积分

三重积分是在体积的基础上的四维积分。定积分的定义域在一维数轴上（X ）反映，积分函数为曲线，对应积分几何意义为面积；二重积分的定义域在二维数轴（X-Y ）上反映，积分函数为曲面，对应几何意义为体积；三重积分的被积函数没有固定的意义，积分也就没有固定的意义，比如， xdxdydz Ω

，被积函数为f(x)=x ，当x 表示密度

时， xdxdydz Ω

表示质量，当x 表示单位粒子能量时， xdxdydz Ω

表示内能…即：密度、单位粒子能量都是一种四维变量。

这些变量是关于x 、y 、z 的函数，我们

暂设为h(x,y,z)。即

(x ,y,z)dxdydz Ω

.以高等数学（第六版 下册 同济大学数学系编）P159

页例1（计算三重积分 xdxdydz Ω

，其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1

所围成的闭区域）为例，闭区域Ω如图所示，

xdxdydz Ω

中的h(x,y,z)=x 是x 的一元一次函数，与y,z 无关，我们采用微分思想，把三棱锥C-OAB 分成若干份，则阴影部分的体积为dV=yzdx .阴影部分的三重积分为xyzdz （x 为被积函数h(x,y,z)=x ）.则

所求重积分为 xyzdx x 2x 1,但是y,z 必须用x 的函数关系式表示，即

z=-x+1，y=

1?x 2,三重积分 xyzdx 10= [x ? 1?x 2 ? ?x +1 ]dx 10=14 x ?2x 2+x 3 dx 10=148，所以，同样， 只是三重积分的高度抽象化的表达式，反映不出三重积分的几何意义。

附同济六版解法：作闭区域Ω如图所示.

将Ω投影到xOy 面上，得投影区域D xy 为三角形闭区域

OAB .直线OA 、OB 、及AB 的方程依次为y=0、x=0及x+2y=1，

所以

D xy = (x ,y) 0≤y ≤1?x 2,0≤x ≤1 .

在D xy 内任取一点 x ,y ，过此点作平行于z 轴的直线，

该直线通过平面z=0穿入Ω内，然后通过平面z=1-x-2y穿出Ω外.

于是xdxdydz=

Ω

dx

1

dy

1?x

2

xdx

1?x?2y

=xdx

1

1?x?2y

1?x

dy

=1

4

x?2x2+x3dx

1

=1

48

.

利用三重积分求体积，是当被积函数h(x,y,z)=1时，所得的结果

在数值上与体积相等，但是单位却不同，h(x,y,z)=1只是表示四维变量为常数1，与利用二重积分求面积是同样的道理，被积函数为1时的二重积分求得的是单位高度的体积，即V=S*1，也仅仅只是数值相等而已，意义是不同的。

一道非常难的不定积分题目的解法

求∫arcsinx * arccosx dx的不定积分 解题思路：反复运用换元，将arcsinx 换成sinx的形式，将arccox 换成cosx的形式，最终简化题目的难度！ 解题过程：第一步换元：将arccosx=t (xε[0,1]，tε[0,π/2])，从而得出cost=x.将∫arcsinxarccosx dx换成∫t arcsin(cost) d(cost)。接下来怎么解呢？ 先看看∫arcsinx dx=arcsinx *x- ∫xd(arcsinx) 从而简化题目的难度！那么你是否会产生一个想法，上面那条题目是否可以转化呢！ 于是∫t* arcsin(cost)* d(cost)= ∫ td(arcsin(cost)cost+sint)= t(arcsin(cost)cost+sint)- ∫(arcsin(cost)cost+sint)dt 从而求∫ arcsin(cost)cost dt 第二步换元：将arcsin(cost)=p ,从而 sinp=cost,t=arccos(sinp).最终∫arcsin(cost)cost dt=∫psinp d(arccos(sinp))= ∫p sinp *(-1/√ 1-(sinp)^2)*cosp dp=∫p sinp*(-1/cosp)*cosp dp=-∫psinp dp=∫p dcosp=pcosp-∫cosp dp=pcosp-sinp+c 第三步：总结出答案，表示成x的形式。 ∫arcsin(cost)cost dt= arcsin(cost)(√ 1-cos^t)-cost+c

∫(arcsin(cost)cost+sint)dt= arcsin(cost)(√ 1-cos^t)-cost-cost+c= arcsin(cost)(√ 1-cos^t)-2cost+c ∫arcsinxarccosx dx=arcsinx(√1-x^2)-2x+c 这条题目很难，但是换元转化的思想很重要！！！ 淮师 3/25/2010

二重积分及三重积分的计算

第一部分 定积分的计算 一、定积分的计算 例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a n n a a a a n . 解 原式=?∑=??? ? ??=∞→1011lim a a n i n x n n i dx = a a x a += ++11 11 1. 例2 求极限 ? +∞→10 2 1lim x x n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知n n x x x ≤+≤ 2 10，于是? +≤1 2 10x x n ?≤1 n x dx dx . 而?1 0n x ()∞→→+=+= +n n n x dx n 01111 01，由夹逼准则得?+∞→1021lim x x n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理 ()()x g x f b a ? ()()?=b a x g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号） ， ().101111 2 1 02 ≤≤+= +? ? n n n n dx x dx x x ξξ 由于11102≤+≤ n ξ ，即 211n ξ +有界， ()∞→→+=?n n dx x n 0111 0，故?+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 （1）当被积函数为( )22,x a x R +或() 22,a x x R -型可作相应变换. 如对积分() ?++3 1 2 2 112x x dx ，可设t x tan =； 对积分 ()0220 2>-? a dx x ax x a ，由于 () 2 222a x a x ax --=-，可设 t a a x s i n =-. 对积分dx e x ? --2 ln 0 21，可设.sin t e x =- （2）()0,cos sin cos sin 2 ≠++=?d c dt t d t c t b t a I π 的积分一般方法如下：

常用求导积分公式及不定积分基本方法定稿版

常用求导积分公式及不定积分基本方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?

6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 22 csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;

三重积分及其计算和多重积分72254

第四节 三重积分及其计算和多重积分 在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n 维空间中去. 类似于第三节,我们先定义一个R 3中集合的可求体积性. 同样可以给出一列类似的结论. 读者自己推广. 这里将不再赘述. 一、 引例 设一个物体在空间R 3中占领了一个有界可求体积的区域V ，它的点密度为()z y x f ,,，现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V 分割为若干个可求体积的小区域n V V V ,...,,21，其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21，即},||sup{|i i V Q W WQ d ∈=, (i =1,2,…,n ）, |WQ|表示W, Q 两点的距离．设 },...,,m ax {21n d d d =λ，则当λ很小时，()z y x f ,,在i V 上的变化也很小．可以用这个小 区域上的任意一点()i i i z y x ,,的密度()i i i z y x f ,,来近似整个小区域上的密度，这样我们可以求得这个小的立体的质量近似为()i i i i V z y x f ?,,，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值．即 ()i i i i n i V z y x f M ?≈∑=,,1 ． 当0→λ时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即 ()i i i i n i V z y x f M ?=∑=→,,lim 1 λ． 从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分． 二、 三重积分的定义 设()z y x f ,,是空间3 R 中的一个有界可求体积的闭区域V 上的有界函数，将V 任意分割 为若干个可求体积的小闭区域n V V V ,...,,21，这个分割也称为V 的分划，记为P : n V V V ,...,,21. Φ=?o o j i V V (空, j i ≠), 其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21．设 },...,,m ax {21n d d d =λ,或记为||P ||. 在每个小区域中任意取一点()i i i i V z y x ∈,,，作和 ()i i i i n i V z y x f ?∑=,,1 (称为Riemann 和)，若当0→λ时，这个和式的极限存在，则称其极

不定积分的解题方法与技巧

不定积分的解题方法与技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

一． 直接积分法（公式法） 利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分 二． 第一类换元法 1.当遇到形如? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>?时，可将原式化为()()21x x x x --， 其中，21,x x 为c bx ax ++2的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ?? ?------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成() () ? --2 k x k x d 。然后根据基本积分 公式即可解决。 （3）当0

[整理]三重积分的计算方法小结与例题76202

三重积分的计算方法介绍： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲

不定积分解法总结

不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中，很多情况需要使用微分法的逆运算——积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用，为读者在学习不定积分时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。 1 换元积分法 换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。 1.当出现 22x a ±，22a x -形式时，一般使用t a x sin ?=，t a x sec ?=， t a x tan ?=三种代换形式。 C x a x x a dx C t t t t a x x a dx +++=+++==+? ??222 22 2 ln tan sec ln sec tan 2.当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。 C x x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==???sin 2cos 2sin 2cos 2) cos cos (2sin 2sin 但当根号内出现高次幂时可能保留根号， c x dt t dt t t dt t t t dt t t t t x x x dx +- =--=--=--=??? ? ??-?-? = --? ????66 12 12 5 12 6 212 12arcsin 6 1 11 6 1 111 11 1 11 1 3.当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。 使用万能代换2 tan x t =，

(精选)三重积分的计算方法与例题

三重积分的计算方法： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲

常见不定积分的求解方法

常见不定积分的求解方法的讨论 马征 指导老师：封新学 摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。 关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.

0引言 不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义 积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础， 要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是 常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法 则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运 算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出 来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10<

二、三重积分的计算技巧

二、三重积分的计算技巧 重积分的计算中，对积分区域的熟悉非常重要，以下关于重积分的几种计算技巧均是基于积分区域的特点分析归纳得出。 一、积分区域为圆（二重积分）或球（三重积分） 1、 在闭区域D 为2 2 2 a y x ≤+的圆，区域关于原点，坐标轴均对称，则有 （1） dxdy y dxdy x a y x a y x ????≤+≤+= 2 222222 2 （2）若n m ,中有一个为奇数有 .02 22=??≤+dxdy y x a y x m n 例1．求 dxdy y x a y x ?? ≤++2 22)3(2 2 解：根据对称性， 原式=dxdy y x a y x ??≤++2 22)(2 2 2 =.24 200 3a dr r d a πθπ =?? 例2．求 dxdy y x a y x 2 2 22)3(??≤++ 解：原式= .2 5)(5)69(4 2 22 22 22222a dxdy y x dxdy xy y x a y x a y x π=+=++?? ?? ≤+≤+ 例3．求 .)53(2 2222 dxdydz z y x a z y x ??? ≤++++（积分区域为球） 解：原式= .)10306259(2 222222dxdydz xz yz xy z y x a z y x ??? ≤+++++++ = .32854.335.)(335552222 22 2a a dxdydz z y x a z y x ππ==++???≤++ 2、 在闭区域D 为2 2 2 )(a y a x ≤+-的圆上 例4．求 dxdy x a y a x ??≤+-2 22)( 解：原式= .)(3 2 )(2 22a dxdy a a x a y a x π=+-??≤+-

(初稿)三重积分计算方法小结

江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文 三重积分的计算方法小结Methods of Calculation of Triple Integral 姓名：蒋晓颖 学号： 1007012048 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 指导老师：蒋新荣（副教授） 完成时间：2014年1月23日

三重积分的计算方法小结 蒋晓颖 【摘要】三重积分的计算是数学分析中的难点，本文结合教材以及相关资料较全面地给出了三重积分计算中的四种处理方法。第一，利用降低三重积分重数的思想，将其化为累次积分；第二，采用坐标变换的方法，将积分体表示成适当的形式；第三，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，简化计算；第四，利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分计算。希望这几种方法能对学习者具有一定的指导意义。 【关键词】三重积分累次积分坐标变换对称性高斯公式

Methods of Calculation of Triple Integral Jiang Xiaoying 【Abstract】The calculation of triple integral is the difficulty in Mathematics analysis．In this paper，unifying the teaching and related materials ，we give four instructive methods of the calculation of triple integral for learner．The four methods are as follows：the first，lower the multiplicity of triple integral and replace it with iterated integral；the second，with the method of coordinate alternate，we can transform the integral volume into appropriate form；the third，fully use the parity of integrand and symmetry of integral area to simplify calculation；finally，we can calculate the triple integral with the Gauss formula that could transform triple integral into a surface integral． 【Key words】triple integral iterated integral coordinate alternate symmetry Gauss formula

不定积分解题方法及技巧总结

? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(??

三重积分概念及其计算

§5 三重积分 教学目的 掌握三重积分的定义和性质． 教学内容 三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换． 基本要求 掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变 换和球面坐标变换计算三重积分的方法． 教学建议 (1) 要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可 积．由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较． (2) 对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题． 一、三重积分的概念 背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤， 利用求柱体的质量方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 定义1 设()z y x f ,,是定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于V 的任何分割T ，当它的细度δ

则()z y x f ,,必在V 上可积. 二、化三重积分为累次积分 定理21.15 若函数()z y x f ,,在长方体V =[][][]f e d c b a ,,,??上的三重积分存在，且对任何x ∈[]b a ,，二重积分 ()x I =()dydz z y x f D ??,, 存在，其中D =[][]f e d c ,,?，则积分 ?b a dx ()??D d z y x f σ ,, 也存在，且 ()???V dxdydz z y x f ,,=?b a dx ()??D d z y x f σ ,,. (1) 为了方便有时也可采用其他的计算顺序．若简单区域V 由集合 ()()()()(){} b x a x y y x y y x z z y x z z y x V ≤≤≤≤≤≤=,,,,,,2121 所确定，V 在xy 平面上的投影区域为 D =()()(){ }b x a x y y x y y x ≤≤≤≤,,21 是一个x 型区域，设()z y x f ,,在上连续， ()y x z ,1，()y x z ,2在D 上连续，()x y 1，()x y 2上[]b a ,连续，则 ()???V dxdydz z y x f ,,= ()()???D z y x z dz z y x f dxdy 21,,,=()()()() ???b a x y x y z y x z dz z y x f dy dx 212 1,,,， 其他简单区域类似． 一般区域V 上的三重积分，常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来计算． 例1 计算 ???+V dxdydz y x 221 ，其中V 为由

不定积分求解方法

探讨不定积分的解题方法 班级学号姓名 20124111 2012411151 杨洁珊 摘要 在数学分析中，不定积分占有非常重要的地位，是高等数学教学的难点和重点．具有很高的灵活性，可以开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三、触类旁通的教学效果。 为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。 研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想运算能力以及应用能力。求解不定积分的过程对学生的科学思维和文化素质的培养所起的作用极为明显。 求解不定积分的方法主要有直接积分法（即直接利用积分公式求解）、换元积分法（第一换元积分法、第二换元积分法）、分部积分法。关键词 不定积分、直接积分法、换元积分法、分部积分法、分解积分法。前言 正如假发有逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法。我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，相反：求一个未知函数使其导函数恰好是某

一已知函数。提出这个逆问题，首先是因为它出现在许多实际问题之中，如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的，求曲线方程等等这些都是积分在生活中的应用，特别是在物理学中的应用，变力做功，质点做变速直线运动的路程以及引力问题。所以掌握不定积分的求法，在我们的数学物理科学研究工作中显得尤为重要。 标题一、直接积分法 我们已经知道积分法是微分的逆运算，即直接积分法就是利用最基本的积分公式求解积分。要掌握这一方法首先就应该熟记，并懂得灵活运用。 下面的基本积分表就必须掌握 1.0dx c =? 2 adx ax c =+? 3. ()1 0,01 a a x x dx c a x a +=+≠>+? 4()1 ln ||0dx x c x x =+≠? 5.x x e e c =+? 6.(0,1)ln x x a a dx c a a x =+>≠?

不定积分总结

不定积分

一、原函数 定义1 如果对任一I x ∈，都有 )()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。 例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。 2 211)1ln([x x x +='++，即)1ln(2x x ++是 2 11x +的原函数。 原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。 注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。 设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。 注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即C x G x F =-)()(（C 为常数） 注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。 二、不定积分 定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为?dx x f )(。 如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则 C x F dx x f +=?)()(，（C 为任意常数）

三、不定积分的几何意义 图 5—1 设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x F y =在平面上表示一条曲线，称它为 )(x f 的一条积分曲线．于是)(x f 的不定积分表示一族积分曲线，它们是由) (x f 的某一条积分曲线沿着y 轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x 的点处有互相平行的切线，其斜率都等于)(x f ． 在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式C x F y +=)(，再从中确定一个满足条件 00)(y x y = (称为初始条件)的原函数)(x y y =．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点),(00y x 的积分曲线． 四、不定积分的性质（线性性质） [()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±??? ()() kf x dx k f x dx =??k （为非零常数）

高等数学三重积分计算方法总结

高等数学三重积分计算方法总结 1、利用直角坐标计算三重积分： （1）投影法（先一后二）： 1）外层(二重积分)：区域Ω在xoy 面上的投影区域Dxy 2）内层(定积分)： 从区域Ω的底面上的z 值，到区域Ω的顶面上的z 值。 （2）截面法（先二后一）： 1)外层(定积分): 区域Ω在z 轴上的投影区间。 2)内层(二重积分):Ω垂直于z 轴的截面区域。 2、利用柱坐标计算三重积分 3、利用球面坐标计算三重积分 定限方法: (1)转面定θ(2)转线定φ (3)线段定r 4、利用对称性化简三重积分计算 设积分区域Ω关于xoy 平面对称， (1)若被积函数 f (x,y,z ) 是关于z 的奇函数，则三重积分为零。 (2)若被积函数 f (x,y,z ) 是关于z 的偶函数，则三重积分等于：在xoy 平面上方的半个Ω，区域上的三重积分的两倍. 使用对称性时应注意： 1）积分区域关于坐标面的对称性； ２）被积函数关于变量的奇偶性。 (cos ,sin ,)f z d d dz ρθρθρρθΩ???(,,)f x y z dv Ω=??? (,,)f x y z dxdydz Ω??? (sin cos ,sin sin ,cos )f r r r φθφθφΩ=???2 sin r drd d φφθ

例 计算 ，其中Ω是由曲面z = x 2 + y 2和x 2 + y 2 + z 2 =2所围成的空间闭区域. 解： 是关于x 的奇函数，且Ω关于 yoz 面对称 故其积分为零。 2x 2 y 是关于y 的奇函数,且关于 zox 面对称 ???Ω++dxdydz z y x x 2)(2 )(z y x x ++ 22222222)(zx xyz y x z y x x +++++=xyz z y x x 2)(222+++ ,022???Ω=∴ydv x ???Ω++=∴dxdydz z y x x I 2)(,22???Ω=zdxdydz x ???Ωθρρ??θρ=dz d d z 22cos 2????θρρθ=zdz d d 23cos 2 ??πρρ-ρ-θρθ=20104 223)2(cos d d 245π=222ρ-ρπ20

不定积分的解题方法与技巧

一．直接积分法（公式法） 利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分 二．第一类换元法 1.当遇到形如 ? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>?时，可将原式化为 ()()21x x x x --， 其中，21,x x 为c bx ax ++2 的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ???------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成 () () ?--2 k x k x d 。然后根据基本积分公式即可 解决。 （3）当0

三．分部积分法 口诀：反对幂指三，谁后谁先微。意思是：反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数，谁在后面谁先被微分。 分部积分法一般用于两个函数相乘且两个函数属于口诀中五种函数中的两个。 四．有理函数的积分 1.形如 () k a -x 1 的有理函数，它所对应的部分分式是 ()()() k k 221a -x A a -x A a -x A +??++ 2.形如 () k q px ++2 x 1 的有理函数，它所对应的的部分分式是 ( )( ) () k 2 k k 2 22 2211x x x q px C x B q px C x B q px C x B ++++ ??+++++ +++ 3.非以上二者形式的有理函数，采取固定分项步骤（其实，就是上述两种方法的综合）： 部分分式项数为原有理函数的分母整体的次数和。当部分分式分母次数为1时（指的是x 的次数，并非整体次数），拆开时，分子所设x 的次数相应减一。 例如：当部分分式分母x 次数为1时，分子所设应为A ；当部分分式分母x 次数为2时，分子所设应为Ax+B 。 上述三种方法解题时可用待定系数法或者特殊值法确定各未知量。 3.不能拆的时候，可采用凑微分的方法，将分子凑出分母的微分，再拆开求解。（这样的题用到arctan 和ln 很多）。 4．类似 二次多项式 常数 形式，分母配方，使用arctan 。 5.带根号的，想办法无理化有理，要么三角代换，要么根号整体分式代换。 6.对于分母是多项式平方的有理分式，依然要配方，再凑微分。然后一步三角换元，所得各个三角量利用三角形，找出表达式。

三重积分概念及其计算

§ 5三重积分 教学目的掌握三重积分的定义和性质. 教学内容三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换. 基本要求掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变 换和球面坐标变换计算三重积分的方法. 教学建议⑴要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积?由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较. (2)对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题. 、三重积分的概念 背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤, 利用求柱体的质量方法来得到结果?一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义. 定义1设f x, y,z是定义在三维空间可求体积的有界闭区域V上的函数，J是一个确定的数，若对任给 的正数「总存在某个正数：，使对于V 的任何分割T , 当它的细度T :：： '?时，属于T的所有积分和都有 N 瓦f Gl,q)眄-J o \=1 f x，y,z在V上的三重积分，记作 ill f x,y,z dvdydz J = V 其中f x，y，z称为三重积分的被积函数，x,y,z称为积则称f x，y,z在V上可积，数J称为函数 分变量，称为V积分区域. 可积函数类 (i) 有界闭区域V上的连续函数必可积. (ii) 有界闭区域V上的有界函数f x，y，z的间断点集中在有限多个零体积的曲面上, 则f x, y, Z必在v上可积? 二、化三重积分为累次积分

定理21.15若函数fx，y，z在长方体v=a，" c，dl e，fl上的三重积分存在，且对任何x a，b I二重积分 H f(x,y,z dydz I x = D 存在，其中D =C，d 1 e，f】，则积分 b dx f x, y,zd r a D b in f x,y, z dxdydz . dx f x,y,zd二 也存在，且V =a D . (1) 为了方便有时也可采用其他的计算顺序?若简单区域v由集合 V J；X y, z|z x, y

二重积分计算方法

这里讨论的计算方法指的是利用现有的MATLAB函数来求解，而不是根据具体的数值计算方法来编写相应程序。目前最新版的2009a有关于一般区域二重积分的计算函数quad2d（详 细介绍见https://www.wendangku.net/doc/6b9940496.html,/viewthread.php?tid=873479），但没有一般区域三重 积分的计算函数，而NIT工具箱似乎也没有一般区域三重积分的计算函数。 本贴的目的是介绍一种在7.X版本MATLAB（不一定是2009a）里求解一般区域二重三重积 分的思路方法。需要说明的是，上述链接里已经讨论了一种求解一般区域二重三重积分的 思路方法，就是将被积函数“延拓”到矩形或者长方体区域，但是这种方法不可避免引入 很多乘0运算浪费时间。因此，新的思路将避免这些。由于是调用已有的MATLAB函数求解，在求一般区域二重积分时，效率和2009a的quad2d相比有一些差距，但是相对于"延拓"函数的做法，效率大大提高了。下面结合一些简单例子说明下计算方法。 譬如二元函数f(x,y) = x*y，y从sin(x)积分到cos(x)，x从1积分到2，这个积分可以 很容易用符号积分算出结果 1.syms x y 2.int(int(x*y,y,sin(x),cos(x)),1,2) ] 3.结果是 -1/2*cos(1)*sin(1)-1/4*cos(1)^2+cos(2)*sin(2)+1/4*cos(2)^2 = -0.635412702399943 复制代码 如果你用的是2009a，你可以用 1.quad2d(@(x,y) x.*y,1,2,@(x)sin(x),@(x)cos(x),'AbsTol',1e-12) 复制代码 得到上述结果。 如果用的不是2009a，那么你可以利用NIT工具箱里的quad2dggen函数。 那么我们如果既没有NIT工具箱用的也不是2009a，怎么办呢？ 答案是我们可以利用两次quadl函数，注意到quadl函数要求积分表达式必须写成向量化 形式，所以我们构造的函数必须能接受向量输入。见如下代码 1.function IntDemo 2.function f1 = myfun1(x) 3.f1 = zeros(size(x)); 4.for k = 1:length(x) 5.f1(k) = quadl(@(y) x(k)*y,sin(x(k)),cos(x(k))); 6.end 7.end 8.y = quadl(@myfun1,1,2) 9.end