2019年中考数学复习 第二单元 方程与不等式 第5讲 一次方程(组)练习

第5讲 一次方程(组)

重难点 一次方程(组)的应用

在元旦期间，某商场计划购进甲、乙两种商品．

(1)已知甲、乙两种商品的进价分别为30元，70元，该商场购进甲、乙两种商品共50件需要2 300元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？

(2)该商场共投入9 500元资金购进这两种商品若干件，这两种商品的进价和售价如下表所示：

若全部销售完后可获利5 000元(利润＝(售价－进价)×销量)，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？

【思路点拨】 (1)首先找出题目中的等量关系：①甲商品数量＋乙商品数量＝50；②购进甲商品费用＋购进乙商品费用＝2 300.根据题中等量关系，有列一元一次方程和列二元一次方程组两种不同的解法；

(2)首先根据题中等量关系：①商场购进甲商品费用＋商场购进乙商品费用＝9 500；②商场销售甲商品利润＋商场销售乙商品利润＝5 000.然后设该商场购进甲商品a 件、乙商品b 件，根据题目中等量关系列方程组解答即可．

【自主解答】 解：(1)解法一：(列一元一次方程求解)设该商场购进甲商品x 件，则购进乙商品(50－x)件．根据题意，得

30x ＋70(50－x)＝2 300.解得x ＝30. 则50－x ＝50－30＝20.

答：该商场购进甲商品30件，乙商品20件．

解法二：(列二元一次方程组求解)设该商场购进甲商品x 件，乙商品y 件．根据题意，得

?????x ＋y ＝50，30x ＋70y ＝2 300，解得?

????x ＝30，y ＝20. 答：该商场购进甲商品30件，乙商品20件．

(2)设该商场购进甲商品a 件，乙商品b 件．根据题意，得

?????30a ＋70b ＝9 500，（50－30）a ＋（100－70）b ＝5 000，解得?

????a ＝130，b ＝80. 答：该商场购进甲商品130件，乙商品80件． 方法指导

1．列方程(组)的关键是寻找等量关系，寻找等量关系常用的方法有：(1)抓住不变量；(2)找关键词；(3)运用常用数量关系和数学公式；(4)根据题目所述情境找；(5)画线段图列表格．

2．在选择是列一元一次方程还是方程组解题时，若题中两个未知量有比较简单的关系，比如倍数关系、差一定或和一定时，可以很方便地用一个变量表示出另一个变量，那我们既可以设一个未知数列一元一次方程求解，也可以设两个未知数列方程组求解．相反，若两个未知量比较独立，关系较复杂，难以简洁地用一个变量表示出另一个变量时，那就设两个未知数列方程组求解．

【变式训练1】 (2018·十堰)我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x 人，物品的价格为y 元，

可列方程(组)为(A )

A .?????8x －3＝y 7x ＋4＝y

B .?

????8x ＋3＝y 7x －4＝y C .x ＋38＝x －47 D .y －38＝y ＋47

【变式训练2】 (2018·青岛改编)5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两

工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少？

解：解法一：设甲工厂5月份用水量为x 吨，乙工厂5月份用水量为y 吨，根据题意，得

?????x ＋y ＝200，（1－15%）x ＋（1－10%）y ＝174，解得?

????x ＝120，y ＝80. 解法二：设甲工厂5月份用水量为x 吨，则

(1－15%)x ＋(1－10%)(200－x)＝174，解得x ＝120. 则200－x ＝80.

答：甲工厂5月份用水量为120吨，乙工厂5月份用水量为80吨．

考点1 等式的性质

1．(2017·杭州)设x ，y ，c 是实数，下列说法正确的是(B )

A ．若x ＝y ，则x ＋c ＝y －c

B ．若x ＝y ，则xc ＝yc

C ．若x ＝y ，则x c ＝y c

D ．若x 2c ＝y 3c

，则2x ＝3y

考点2 一元一次方程及其解法

2．(2017·南充)如果a ＋3＝0，那么a 的值是(B )

A ．3

B ．－3

C .13

D ．－13

3．若方程3(2x －2)＝2－3x 的解与关于x 的方程6－2k ＝2(x ＋3)的解相同，则k 的值为(B )

A .5

9 B ．－89 C .53 D ．－53

4．(2018·攀枝花)解方程：x －32－2x ＋1

3

＝1.

解：去分母，得3(x －3)－2(2x ＋1)＝6.

去括号，得3x －9－4x －2＝6. 移项，得－x ＝17.

系数化为1，得x ＝－17.

考点3 二元一次方程(组)及其解法

5．(2018·北京)方程组?

????x －y ＝3，

3x －8y ＝14的解为(D )

A .???

?

?x ＝－1y ＝2 B .?????x ＝1y ＝－2 C .?????x ＝－2y ＝1 D .?

???

?x ＝2y ＝－1

6．已知关于x ，y 的方程x 2m －n －2

＋4y m ＋n ＋1

＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为(A ) A ．m ＝1，n ＝－1 B ．m ＝－1，n ＝1

C ．m ＝1

3，n ＝－43 D ．m ＝－13，n ＝43

7．(2018·乐山)方程组x 3＝y

2

＝x ＋y －4的解是(D )

A .?

????x ＝－3y ＝－2 B .?????x ＝6y ＝4 C .?????x ＝2y ＝3 D .?

????x ＝3

y ＝2

8．(2018·桂林)若|3x －2y －1|＋x ＋y －2＝0，则x ，y 的值为(D )

A .???

?

?x ＝1y ＝4 B .?????x ＝2y ＝0 C .?????x ＝0y ＝2 D .????

?x ＝1y ＝1

9．(2018·淮安)若关于x ，y 的二元一次方程3x －ay ＝1有一个解是?

????x ＝3，y ＝2，则a ＝4．

10．(2018·随州)已知?????x ＝2，y ＝1是关于x ，y 的二元一次方程组?

????ax ＋by ＝7，

ax －by ＝1的一组解，则a ＋b ＝5． 11．(2018·包头)若a －3b ＝2，3a －b ＝6，则b －a 的值为－2．

12．(2018·武汉)解方程组：?

????x ＋y ＝10，①

2x ＋y ＝16.②

解：②－①，得x ＝6.

把x ＝6代入①，得y ＝4.

则方程组的解为?

????x ＝6，

y ＝4.

13．(2018·嘉兴)用消元法解方程组?????x －3y ＝5，①

4x －3y ＝2②

时，两位同学的解法如下：

解法一：由①－②，得3x ＝3.

解法二：由②得，3x ＋(x －3y)＝2.③ 把①代入③，得3x ＋5＝2.

(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”； (2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答． 解：(1)解法一中的解题过程有错误， 由①－②，得3x ＝3“×”， 应为由①－②，得－3x ＝3.

(2)由①－②，得－3x ＝3，解得x ＝－1.

把x ＝－1代入①，得－1－3y ＝5，解得y ＝－2.

故原方程组的解是?

???

?x ＝－1，y ＝－2.

考点4 一次方程(组)的应用

14．(2018·杭州)某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得＋5分，每答错一道题得－2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x 道题，答错了y 道题，则(C )

A ．x －y ＝20

B ．x ＋y ＝20

C ．5x －2y ＝60

D ．5x ＋2y ＝60

15．(2018·泰安)夏季来临，某超市试销A ，B 两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5 300元，A 型风扇每台200元，B 型风扇每台150元，问A ，B 两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A 型风扇销售了x 台，B 型风扇销售了y 台，则根据题意列出方程组为(C )

A .???

?

?x ＋y ＝5 300200x ＋150y ＝30 B .????

?x ＋y ＝5 300150x ＋200y ＝30

C .?????x ＋y ＝30200x ＋150y ＝5 300

D .?

????x ＋y ＝30150x ＋200y ＝5 300 16．(2018·呼和浩特)文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元”，小华说：“那就多买一个吧，谢谢”，根据两人的对话可知，小华结账时实际付款486元．

17．(2018·海南)“绿水青山就是金山银山”，海南省委省政府高度重视环境生态保护，截至2017年底，全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共49个，其中国家级10个，省级比市县级多5个．问省级和市县级自然保护区各有多少个？

解：设市县级自然保护区有x 个，则省级自然保护区有(x ＋5)个，根据题意，得 10＋x ＋5＋x ＝49，解得x ＝17. ∴x＋5＝22.

答：省级自然保护区有22个，市县级自然保护区有17个．

18．(2018·永州)在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．

解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x 人，女生人数为y 人，依题意，得

?????x ＋y ＝55，x ＝1.5y ＋5，解得?

????x ＝35，y ＝20. 答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人，女生人数为20人．

19．(2018·张家界)列方程解应用题．

《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元．求人数和羊价各是多少？

解：设买羊人数为x 人，则羊价为(5x ＋45)元，由题意，得 5x ＋45＝7x ＋3，解得x ＝21. 则5x ＋45＝150.

答：买羊人数为21人，羊价为150元．

20．(2018·长沙)随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5 200元．

(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？

(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？

解：(1)设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，根据题意，得

?????6x ＋3y ＝600，50×0.8x＋40×0.75y＝5 200，解得?

????x ＝40，y ＝120. 答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．

(2)80×40＋100×120－80×0.8×40－100×0.75×120＝3 640(元)． 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3 640元．

21．(2018·台州)甲、乙两运动员在长为100 m 的直道AB(A ，B 为直道两端点)上进行匀速往返跑训练，两人同时从A 点起跑，到达B 点后，立即转身跑向A 点，到达A 点后，又立即转身跑向B 点，….若甲跑步的速度为5 m /s ，乙跑步的速度为4 m /s ，则起跑后100 s 内，两人相遇的次数为(B )

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

22．(2018·德州)对于实数a ，b ，定义运算“◆”：a◆b＝???a 2＋b 2，a≥b，

ab ，a ＜b ，

例如4◆3，因为4＞3.所以4◆3

＝42

＋32

＝5.若x ，y 满足方程组?

????4x －y ＝8，

x ＋2y ＝29，则x◆y＝60．

23．(2018·威海)用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图1所示的正方

形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片

围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为

图1 图2 图3

24．(2018·荆州)《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金x 两，y 两，则可列方程组为(A )

A .?????5x ＋2y ＝102x ＋5y ＝8

B .?????5x －2y ＝102x －5y ＝8

C .?????5x ＋2y ＝102x －5y ＝8

D .?

????5x ＋2y ＝82x ＋5y ＝8 25．(2018·邵阳)程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：

一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚得几丁．

意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是(A )

A ．大和尚25人，小和尚75人

B ．大和尚75人，小和尚25人

C ．大和尚50人，小和尚50人

D ．大、小和尚各100人

26．(2018·安徽)《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：

今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？ 大意为：

今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？

请解答上述问题．

解：设城中有x 户人家，依题意，得

x ＋x

3＝100，解得x ＝75. 答：城中有75户人家．