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高等数学AII作业

第九章多元函数微分法及其应用

习题9-1 多元函数的基本概念

（A ）

一、判断题（正确者打“√”,错误者打“×” ）

1.函数)(ln 1y x x z -=与z x x y 2=+-ln ln()表示同一个函数; 【】

2.若A y x f kx y y x =→=→),(lim 0

)0,0(),(对任意k 都成立,则A y x f y x =→),(lim )

0,0(),( ; 【】

3.设z f x y =(,)在点()000,P x y 处连续,那么

),(lim )

,(),(00y x f y x y x →一定存在. 【】

二、求下列各函数的定义域，并画出其定义域的草图: 1.)12ln(2+-=x y z ; 2.y

x y

x z -+

11 ; 3.y x z -=

; 4.2

arccos

x z u +=.

三、设 )1(-+=x f y z , 其中0,0≥≥y x ，且当1=y 时，x z =. 试确定函数 f 和 z .

四、设,),(22y x x

y x f -=+ 求),(y x f .

五、计算下列极限：

0,1(),()ln(lim

y x e x y y x ++→; 2.

k y x xy 1)

,0(),()1(lim +→ ,其中0≠k ; 3.

y x y x 1

sin

lim 22)

0,0(),(）（+→.

六、证明y x y

x y x 22)0,0(),(sin sin tan sin lim

+→不存在.

（B ）

七、设3424

4)(),(y x y x y x f +=，证明: (1)沿任何直线有0),(lim )0,0(),(=→y x f y x ， (2) ),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在.

八、设?????=≠=,0,

0,)(sin ),(x x x xy y x f 讨论f x y (,)在(0,)a 处的连续性.

习题9-2 偏导数

（A ）

一、判断题（正确者打“√”,错误者打“×” ）

1.若),(y x f z =在(00,y x )处的两个一阶偏导数都存在, 那么),(y x f z =在(00,y x ) 处一定连续; 【】

2.若),(y x f z =在区域D 内有二阶偏导数,则x y z

y x z ???=

???22; 【】 3.22y x z +=不但在点)00(,处连续,而且在)00(,处偏导数也存在. 【】二、计算下列各题：

1.设?????=≠+=,0,

0,),(22x x y x y x f 求(0,0),(0,0)x y f f ;

2. 设33xy y x z -=,求x z ,y z ;

3. 已知)2sec(xyz u =，求,,x y z u u u ;

4.设tan(3)8

y x

u x y +=-+，求,x y u u ; 5. 设求x

y z =，y

x z

x z ?????222,;

6.设),sin(2

y x x z += 求y

x z

???2; 7. 设 ln(),z x xy =求32z x y ???.

三、求曲线?????=++=1

2x y x z 在点(,,)113处的切线与y 轴正向的夹角.

（B ）

四、设?????=≠+=).0,0(),(,0),

0,0(),(,),(242y x y x y x y

x y x f 证明：函数f x y (,)在点(0,0)处不连续，但

(0,0), (0,0x y f f 存在.

习题9-3全微分

（A ）

一、判断题（正确者打“√”,错误者打“×” ）

1.若函数f x y (,)具有一阶连续的偏导数，那么f x y (,)一定可微; 【】

2.对于),(y x f z =，若f f x y (,)(,)00000==，则f x y (,)在点)00(,处的全微分是零; 【】

3.若(,)f x y 在00(,)x y 处可微,那么(,),(,)x y f x y f x y 在00(,)x y 处一定连续; 【】

4.若f x y (,)在)00(,的某一个邻域有定义,且0)0,0(,0)0,0(==y x f f ,则函数f x y (,)在(0,0)处可微的充要条件是

0,0(),(lim

)

0,0(),(=+-→y

x f y x f y x . 【】

二、计算题

1.求函数xy y x z +=sin 2的全微分;

2. 求函数yz x u =的全微分.

3. 求当2,1,0.01,0.03x y x y ==?=?=时,函数22

z x y =-全微分的值;

4. 求函数)2cos(y x y z -=当,,,4

x y dx dy π

ππ=

=时的全微分;

（B ）

三、设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm ，内高为20cm ，内半径为4cm ，求容器外壳体积的近似值.

四、利用全微分计算3397.102.1+的近似值.

习题9-4 多元复合函数的求导法则

（A ）

一、计算题：

1.设22, , z u v u x y v x y =+=+=-,求y

z x z ????,; 2.设32,sin ,t y t x e z y x ===-, 求

dz ; 3. 设2222, cos u x y z z x y =++=，求y

u x u ????,; 4. 设)3()2(y x y x z -+=，求

z x z ????,;

5. 设2()y

z f x x y x =+，其中f 具有连续偏导数，求y

z ??;

6. 设22()y z f x y =-，其中f 是可导函数，验证：2

11z z z

x x y y y

????+=; 7. 设[()]z f x y y ?=+，且(),()f u y ?具有二阶导数 , 求22y

??;

8. 设),,(2x

ye xyz f u =其中f 具有二阶连续偏导数, 求x u ??，z

x u

???2.

习题9-5 隐函数的求导公式

（A ）

一、计算题 1. 设y x z =sin , 求

x z ????,

;

2. 设ln arctan

=, 求dy dx ;

3. 设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+, 求

x z ????,

; 4. 设22()x y yf x z +=-, 其中)(u f 可导，求,z z x y

????; 5. 设???=++=++xyz z y x a z y x 33

33, 求dx dz

dx dy ,; （B ）

二、设(,),(,)x x u v y y u v ==是由方程组10xu y x yv +=??-=?

所确定的函数，求u y

u x ????. 三、设,ln y z z x = 求y x z

???2;

习题9-6 多元函数微分学的几何应用

（A ）

一、求曲线t z t y t t x 3c os 1,2s i n 3,c os +=+=-=在t =

处的切线及法平面方程 .

二、求曲线231,1,x t y t z t =-=+=在点)120(,,的切线与法平面方程.

三、设曲线32,,t z t y t x ===，求曲线上的点，使得曲线在该点的切线平行于平面

42=++z y x .

四、求曲线???==x

y xyz 21

在)1,1,1(0P 处的切线和法平面方程.

五、求曲面1222=++cz by ax 上点),,(000z y x 处的切平面方程. 六、在椭圆抛物面14

2-+=y x z 上求一点，使它的切平面与平面20x y z ++=平行,并求该点的切平面和法线方程.

（B ）

七、证明曲面3a xyz =的切平面与坐标面所围的四面体的体积是常数.

习题9-7 方向导数与梯度

（A ）

一、判断题（正确者打“√”,错误者打“×” ）

1.若),(y x f z =的两个偏导数都存在,则它沿任意方向的方向导数都存在; 【】

2.函数),(y x f z =在000(,)P x y 点沿任意方向的方向导数都存在,),(y x f z =在000(,)P x y 点一定连续; 【】

3. 函数),(y x f z =在000(,)P x y 可微,则在000(,)P x y 点沿任意方向的方向导数一定存在;

【】 4. 若),,(z y x f u =可微,那么向量????

????????z u ,y u ,x u 的方向是u 在( x ,y ,z )处变化率最大的方向. 【】

二、计算题

1. 求22y xy x z +-=在M (1,1)点沿方向)8,6(=l 的方向导数;

2. 求函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向)2,2,3(-B 的方向导数;

3. 求z y y x z y x f 2332),,(-=在点(1,2,1)M -处的梯度及其模;

4．求函数z e xy u +=在点(1,1,0)处的梯度及该点处沿l )1,1,1(-= 的方向导数.

（B ）

四、设u ,v 都是x , y , z 的函数,且u , v 有一阶连续的偏导数,证明 (1) (+)=+u v u v grad grad grad ; (2) ()=+uv u v v u grad grad grad .

五、问函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求出该方向导数. 六、设点),,(0000z y x P 位于第一卦限的球面1222=++z y x 上，求函数z y x u ++=在点0P 处

的沿球面在该点的外法线方向的方向导数.

习题9-8多元函数的极值及其求法

（A ）

一、求函数1),(22+-+++=y x xy y x y x f 的极值.

二、求函数4

151)1ln(2

y x y x z --+++=的驻点.

三、求内接于椭球面14

=++z y x 的长方体（各侧面平行于坐标面）在第一卦限内的顶点，使该长方体的体积最大.

四、用拉格朗日乘数法求抛物线y x =2与直线20x y --=间的最短距离.

五、某工厂生产两种产品A 与B ，售出单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品A 与生产y 单位的产品B 的总费用(单位：元)是：22400230.01(33)x y x xy y +++++.问：要获得最大利润，两种产品的产量应各为多少？

六、求表面积为36，而体积为最大的长方体体积.

（B ）

七、分解正数a 为n 个正数之积,使其倒数之和为最小.

自测题九（A ）

一、计算题 1.

y x y x x +→+)1(lim )

1,0(),( ; 2.

y xy y x )

tan(lim

)0,2(),(→ ; 3. xy

xy y x 42lim )0,0(),(+-→.

二、计算题

1.设1)arctan(

+=xy z ，而x e y =，求dx dy

. 2. 设12+=y x z 确定了函数),(y x z z =，求x z ，y z ; 3. 设,3sin x x z y = 求dz ;

4.设2(,)(32),u x y y F x y =+其中F 可导，当21

()2u x x =，时，求(,)u x y 及y

u ??;

5. 22()(,),,z f xy g x x y f g =++ 其中f ,g 可微，求

z ??; 6. 设(,)f x y 可微，且22(,2),x f x x x f x x x ==（，），求(,2)y f x x 设; 7.设(,)z z x y =是由方程023

=+-y xz z 所确定的函数,求y x z x z ?????2,

; 8.设2

(,,2)u f x y yz xz =+，其中f 具有二阶连续偏导数.求

2,.u u x x z

????? （B ）

三、在椭球面122

2222=++c

z b y a x 位于第一卦限的部分上求一点,使过该点的切平面与三坐标面

所围成的四面体的体积最小,并求出最小体积.

第十章重积分

习题10-1 二重积分的概念、性质

(A)

一、利用二重积分的定义证明??=D

d σσ （其中σ为区域D 的面积）.

二、填空题

1．若),(y x f 在闭区域1:22≤+y x D 上连续，且0),(≥y x f ，则二重积分

??D

dxdy y x f ),(在几何上表示 ;

2.D 由x 、y 轴与直线1=+y x 围成，则??+D

d y x σ2)( ??+D

d y x σ3)(;

3.D 由圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成，则??+D

d y x σ2)( ??+D

d y x σ3)(;

4.D 是三角形闭区域，它的三个顶点分别为)0 ,1(，)1 ,1(，)0 ,2(，则

??+D

d y x σ)ln( ??+D

d y x σ2

)][ln(; 5.D 是矩形闭区域 : 35,01x y ≤≤≤≤，则??+D

d y x σ)ln( ??+D

d y x σ2)][ln(;

6.D 是矩形闭区域:ππ≤≤≤≤y x 0 ,0,则 ??≤≤D

yd x σ2

2sin sin ;

7.D 是圆形闭区域 : x y 224+≤,则 ??≤++≤D

d y x σ)9(22 .

（B ）

三、判断题（正确者打“√”,错误者打“×” ） 1. 设12:11,22;:01,02 , D x y D x y -≤≤-≤≤≤≤≤≤则

dxdy y x dxdy y x D D ????+=+2

)(4)(2222 ; 【】

2. 设222212:1;:1,0,0D x y D x y x y +≤+≤≥≥，则

4D D xydxdy xydxdy =????. 【】

习题10-2 （1）二重积分的计算法

(A)

一、填空题

1. 将下列二重积分分别化为两种积分次序下的二次积分： (1) D 是由直线x y =及抛物线y x 24= 所围成的闭区域，则

f x y dxdy D

(,)??= = ;

(2) D 是由直线x y = ，2=x 及双曲线y x

x =

0()所围成的闭区域，则 f x y dxdy D

(,)??= = .

2. 改变下列二次积分的次序

(1) 2 2

2 0

(,)y

dy f x y dx ??= ;

(2) ??--2

2 2 2

1 ),( x x x dy y x f dx = ;

(3) ??

e x

dy y x f dx 1 ln 0 ),( = ;

(4) ??

+3 1

2-3

0 1

),( ),( 2

x x dy y x f dx dy y x f dx = .

二、在直角坐标系下计算下列二重积分(画出积分区域草图) 1.10,10:,)(22≤≤-≤≤+??x x y D dxdy y x D

;

2. x ydxdy D

?? ，其中D 是由两条抛物线x y =，2x y =所围的闭区域;

3. e dxdy x y D

+?? ，D 是由直线x y -=1，1-=x y 及y 轴所围的闭区域;

4. x y

dxdy D

2??

，其中D 是由2=x ，x y =，1=xy 围成的闭区域. 三、计算下列各题

1. 设平面薄片所占闭区域D 是由直线2=+y x ，x y =及x 轴围成，其面密度

22),(y x y x +=μ，求该薄片的质量;

2. 计算由平面0=x ，0=y ，1=+y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面z

y x -=+622

截得的立体体积.

四、设D 是由直线x y =，a y =，b x =)(a b >所围成的闭区域，),(y x f 在D 上连续，证明

dx y x f dy dy y x f dx b

b a

),( ),( ?

（B ）

五、证明 ???---=a

x a m a y

x a m dx x f e x a dx x f e

dy 0

)( 0

)

()()()(.

六、计算dy e dx y x 2

2 2

??. 七、计算 ??

dxdy y x f ),(，其中?

?≤≤-≤≤+= ,0,

10,10,),(x x y y x y x f }10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .

习题10-2（2）二重积分的计算法

(A)

一、画出积分区域草图，把积分f x y dxdy D

(,)??表示为极坐标系下的二次积分：

1. )0(0,2:22>>≤+R x Ry y x D ;

2. )0(2:22>≤+a ax y x D ;

3. D : a x y b 2222≤+≤ )0(b a <<.

二、化下列二次积分为极坐标系下的二次积分： 1. ??

--1

0 1 1 2

),(x x dy y x f dx ; 2

． 2 0

dx f dy ??.

三、利用极坐标计算下列各题：

1．e dxdy x

y D

+??，其中D 是由圆周x y 224+=所围成的闭区域;

??D

dxdy x y arctan ，其中D 是由x y 224+=，x y 22

1+=及0=y ，x y =所围成的在第一象限内的闭区域;

3. ??

-+a

x ax dy y x y dx 2 0 2 0

222 )(;

4. ??

+1 0

222

dy y x dx .

其它，

（B ）

四、画出积分区域，把下列积分表示为极坐标系下的二次积分：

1. f x y dxdy D

(,)?? ,其中D 是由ax y x 222=+和ay y x 222=+所围成的闭区域 ;

2. ??

?-+++R

R x R R x

dy y x dx dy y x dx 2

222

2 )( )(.

五、求由曲面az y x =+22和 )0( 222>+-=a y x a z 围成的立体的体积.

习题10-3（1）三重积分

(A)

一、化下列三重积分为三次积分：

1. 设Ω为曲面z x y =+22 及平面1=z 所围的闭区域，则

???Ω

dxdydz z y x f ),,(= ;

2. 设Ω为x y 221+=及平面1=z ，2=z 所围成的闭区域，则

???Ω

dxdydz z y x f ),,(= ;

3. 设Ω为平面3=++z y x ，2=x ，1=y 及三个坐标面围成的闭区域，则

???Ω

dxdydz z y x f ),,(= .

二、计算下列各题： 1. 计算???

+++3

)1(z y x dxdydz

，其中Ω是由平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的四

面体;

2. 计算???Ω

-dxdydz y x )( ，其中Ω是由平面0=y ，2y =，0=z 及柱面21x z -=所围成的

闭区域;

3.设有一物体占有空间闭区域10 , 10 , 10:≤≤≤≤≤≤Ωz y x ，在点),,(z y x 处密度为

z y x z y x ++=),,(μ，求该物体的质量.

三、用“先二后一法”计算下列各题： 1.计算积分???Ω

=zdxdydz I ，其中Ω是由锥面22y x R

z +=

与平面0) 0,( >>=h R h z 所围成的闭区域;

2. 求由曲面22y x z +=和平面 4=z 围成的立体的体积.

(B)

四、将积分???Ω

=dv z y x f I ),,(化为直角坐标系下的三次积分，其中Ω为曲面

222,x y y x z =+=及平面1=+y x , 0=z 围成的闭区域.

习题10-3（2）三重积分

(A)

一、利用柱面坐标计算三重积分：

1.???Ω

dv z 2,其中Ω是由柱面222a y x =+,平面0=z 及h z =围成的闭区域;

2.???Ω

+dxdydz y x )(22，其中Ω是由曲面z y x 222=+与2=z 所围成的闭区域 ;

3.???Ω

zdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=与22y x z +=所围成的闭区域.

二、利用球面坐标计算三重积分

1. ???Ωzdv ，其中Ω是由上半球面222y x a z --=和锥面22y x z +=

围成的闭区域 ;

2. ???Ω

++dv z y x 222，其中Ω是由球面z z y x =++222所围成的闭区域.

三、求第一卦限中由曲面221y x z --=，x y =，x y 3=及0=z 所围成的立体的体积. 四、选用适当的坐标计算下列积分:

1. ???Ω

+dv y x z 22 ，其中Ω是柱面y x x =-22及平面0=z ，a z = )0(>a ，0=y 所围

成的闭区域;

2. ???Ω

+dxdydz y x )(22，其中Ω

是由平面0=z 和两个半球面

222y x A z --=

)0(,,222>>--=a A y x a z 所围成的闭区域;

3. ???Ω

zdv , 其中Ω是由平面0=x ,2=x ,0=y ,1=y ,0=z 及4=++z y x 围成的闭区域.

（B ）

五、将三次积分?

?--+-2

22 21 0

0 y x y

x x dz z dy dx 分别化为柱面坐标和球坐标系下的三次积分，再求

出其值.

习题10-4 重积分的应用

(A)

一、填空题

1. 光滑曲面),(y x f z =在xOy 平面上的投影区域为D ，则该曲面的面积可用二重积分表示为 ;

2. 半球面z =x y 222

1+=内部分的面积可用二重积分表示为 ; 3. 设D 是xOy 平面内的一块密度为),(y x μμ=的薄板，,??=D

dxdy M μ

,100????==

D ydxdy M y xdxdy M x μμ 则M 表示该薄板的，点(,)x y 00是薄板的 ; 4. 设物体占有空间闭区域Ω，密度为),,(z y x μμ=，质量为M . 则该物体的质心坐标为 =x ,=y , =z . 二、计算下列各题： 1. 求平面14

2=++

y x 被三个坐标面所割出部分的面积; 2.求曲面z x y =

+22含在圆柱面222)(R b y x =-+内部分的面积;

3.求抛物面22y x z += 被锥面2z =-所截下部分的面积;

4. 设面密度为μ的均匀薄片所占闭区域D 是介于两圆θρcos a =和

θρcos b = )0(b a <<之间的部分，求此薄片的质心；

5．求由圆锥面z x y =-+122与平面0=z 所围立体的质心 (体密度μ为常数)； 6. 求由不等式

222211y x z y x --+≤≤+所确定的立体对z 轴的转动惯量（设体密度

1=μ）.

（B ）

三、求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积 . 自测题十

(A)

一、填空题

1. 设D ：,222x y x ≤+ 则在直角坐标系下二重积分??D

d y x f σ),(化为先y 后x 的二次积分

是 , 在极坐标系下二重积分??D

d y x f σ),(化为二次积分是 ;

2. 设Ω是由锥面22y x z +=及半球面222y x z --=所围成的闭区域，则在直角坐标系下dv z y x f ???Ω

),,(化为三次积分是 ,在柱面坐标系下dv z y x f ???Ω

),,(化为三次

积分是 ,在球面坐标系下dv z y x f ???Ω

),,(化为三次积分是 .

二、计算??

d y x σ1

，其中D 是以)0,1( -，)0,3( ，)2,3( )2,1( -为顶点的矩形闭区域. 三、计算 ??+D

dxdy y )1(，其中D 是由直线042=-+x y ，02=-+x y 及x 轴围成的闭区域.

四、计算 ??+D

dxdy y x )sin(22，其中D 是由直线x y =，圆周2

22π

+y x 及x 轴围成的在第一

象限的闭区域.

五、计算x y dxdy D

22+??， D 是由圆x y a x ax y 2222220+=-+=,)0(>a 及y 轴围成的在

第一象限的闭区域.

六、计算??D

dxdy xy ||，其中D 是由直线1=+y x ，1=-y x 及y 轴围成的闭区域.

七、求球面x y z a 2

++= 在圆柱面)0(4

>=+a a y x 内的面积. 八、求球面)0(2222>=++R Rz z y x 与锥面22y x z +=所围成立体的体积. 九、求由上半球面222y x R z --=及锥面22y x z +=所围成的均匀物体的质心.

（B ）

十、计算???Ω

+dv y x )(2

，其中Ω是由曲线y z

x 220==???绕z 轴旋转而成的曲面与平面2=z ，

8=z 围成的闭区域.

十一、求由2y x =及直线1=x 所围图形对直线1-=y 的转动惯量（面密度1=μ）.

第十一章曲线积分与曲面积分

习题11-1 对弧长的曲线积分

（A ）

一、计算下列对弧长的曲线积分：

1.?L

xyds ，其中L 为圆222a y x =+在第一象限的部分；

2.?

ds y ，其中L 为摆线的一拱)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -= (0>a ，

)20π≤≤t ;

3. ds y x L

?+)(，其中L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段；

ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22)0(>a ；

5. ?+L

y x ds e

2，其中L 为圆周222a y x =+)0(>a ，直线x y =，及x 轴在第一象限内所围

成的扇形的整个边界.

二、计算下列对弧长的曲线积分：

1. 计算?Γ

zds ,Γ为螺旋线θθθb z a y a x ===,sin ,cos 上相应于θ从0到π2的一段弧；

2．ds z y x ?

Γ++2

221，其中Γ为曲线t

t t e z t e y t e x ===,sin ,cos 上相应于t 从０到2的段弧； 3．?Γ

++ ds z y x )(,其中Γ为从)3,2,1(到)1,1,0(-的直线段.

（B ）

三、半圆形铁丝L : t a y t a x sin ,cos == (π≤≤>t a 0,0), 其上每一点的密度与该点到x 轴的距离成正比,求铁丝的质量和质心.

习题11-2 对坐标的曲线积分

(A)

一、计算下列对坐标的曲线积分：

1．?-L

dx y x )(22，其中L 是抛物线2x y =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；

2．?L

dx xy ，其中L 为圆周)0()(222>=+-a a y a x 及x 轴所围成的在第一象限内的区域的

整个边界(按逆时针方向绕行)；

?+--+L

x dy y x dx y x 22)()(，其中L 为圆周2

22a y x =+)0(>a 按逆时针方向绕行. 二、计算曲线积分?-++=L

dy y x dx y x I )()(，积分线路为(如图) (1)

线AOB .

三、计算下列对坐标的曲线积分：

1．?Γ

-+-dz x dy yz dx z y 2222)(，其中Γ是曲线32,,t z t y t x ===上由0=t 到1=t 的一段弧;

2．?Γ

+-ydz dy dx ，其中Γ为有向直线段AB ，各点的坐标分别为)1,0,1(A 、)2,1,0(B .

（B ）

四、设L 为抛物线2x y =上从点(0,0)到点(1,1)的曲线弧.把对坐标的曲线积分

dy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的曲线积分.

五、一力场，场力为j i F )()1(22y x y +++=，一质点沿曲线2x y α=自点（0，0）移动到点（1，α），求α的值，使场力所作的功最小.

习题11-3（1）格林公式及其应用

(A)

一、利用格林公式计算下列曲线积分： 1.

dy y x dx y x L

)()(222+++?

，L 为闭区域10≤≤x ，x y x ≤≤2的正向边界曲线;

2．设),(y x f 在闭区域1222≤+y x 上具有连续的二阶偏导数，L 是椭圆周1222=+y x ，其方向为顺时针方向，求[]dy y x f dx y x f y y L

x ),(),(3++?;

二、利用格林公式计算曲线积分 ?+L

xdy xdx y 2tan tan ，其中L 为上半圆周21x y -=上由点

(1,0)A 到点)0,1(-B 的一段弧.

三、利用曲线积分与路径无关计算曲线积分 dy y x dx y x L

)sin ()(22?+--，其中L 是圆周

22x x y -=上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧;

四、证明下列曲线积分在整个xOy 平面内与路径无关，并计算积分值:?

-+-=)4,3()

2,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy I .

五、利用曲线积分计算星形线3

2a y x =+)0(>a 所围成的闭区域的面积A .（星形线的参数方程为t a x 3cos =，t a y 3sin =）.

（B ）

六、计算曲线积分?+-L y x xdy ydx )

(222，其中L 为圆周2)1(2

2=+-y x ，L 的方向为逆时针方向.

七、计算?

++-L y

x xdy

ydx ，其中L 为曲线1=+y x ，其方向为正向.八、设),(y x P ，)

,(y x Q 都是具有二阶连续偏导数的二元函数，且使曲线积分?+L

Pdy Qdx 与路径无关，试证明: 积分

dy x P

dx x Q L ???+??也与路径无关. 九、设有平面力场3222(2cos )(12sin 3)xy y x y x x y =-+-+F i j ，一质点沿曲线L : 22y x π=从

点(0,0)O 运动到点)1,2

(π

A ，计算力场F 所作的功.

习题11-3（2）格林公式及其应用

(A)

一、验证下列dy y x Q dx y x P ),(),(+在整个xOy 平面内是某一函数),(y x u 的全微分，并求这样的一个),(y x u :

1．dy x xydx 22+； 2．dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++. 二、求下列全微分方程的通解:

1． 0)2()(2=-++dy y x dx y x ; 2． 02)(22=++xydy dx y x ;

3． ()

02=-+dy y xe dx e y y ; 4． 0)1(2=-+dy y

dx x y .

（B ）

三、确定常数λ，使在右半平面0>x 上的向量

j i A λλ)()(2),(24224y x x y x xy y x +-+=

为某二元函数),(y x u 的梯度，并求),(y x u .

习题11-4 对面积的曲面积分

（A ）

一、计算下列对面积的曲面积分:

1. 2y dS ∑

??，其中∑是平面1x y z ++=在第一卦限中的部分;

2. ??∑

--+dS y x z 2222，其中∑是锥面22y x z +=介于0=z 及1=z 之间的部分；

3. dS y x )(22??∑

+，其中∑是锥面22y x z +=及平面1=z 所围成的闭区域的整个边界曲

面；

4．??∑

+dS z xy )(，其中∑是锥面22y x z +=被柱面ax y x 222=+)0(>a 所截得的部分；

5．dS z y x )(??∑

--，其中∑是平面1=+y x 在第一卦限介于平面0=z 及1=z 之间的部分.

二、在球面22222a z y x =++)0(>a 上，求满足222y x z +≥的那部分的面积.

（B ）

三、求抛物面壳)10()(2122≤≤+=

z y x z 的质量，此壳的密度函数为μ=

习题11-5 对坐标的曲面积分

（A ）

一、计算下列对坐标的曲面积分:

1.??∑

+++dxdy y x z y x 22222)(，其中∑是下半球面221y x z ---=的下侧；

2.??∑

+xdydz zdxdy ，其中∑是柱面122=+y x 上由0,0≥≥y x 及30≤≤z 所限定的部分的前

侧；

3.??∑

-dxdy z )1(，其中∑是由三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的

外侧.

二、计算??∑

+dS y x z γcos )3

2(，其中∑是平面1432=++z y x 在第一卦限的部分，γ是∑的

法向量??

??41,31,21与z 轴正向所成的角.

（B ）

三、计算[][][]dx dy z z y x f dz dx y z y x f dy dz x z y x f ++--+??∑

),,(),,(2),,(，其中),,(z y x f 为连续

函数，∑是平面1=++z y x 在第一卦限部分的上侧.

习题11-6 高斯公式通量与散度

（A ）

一、利用高斯公式计算曲面积分:

1.??∑

++dxdy z dzdx y dydz x 333，其中∑为球面2222a z y x =++)0(>a 的内侧；

2．

??∑

++-+dxdy z y xy dzdx z y x

dydz xz )2()(232

2，其中

∑为上半球体

2220y x a z --≤≤)0(>a 的整个表面的外侧;

3. ??∑

++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑为上半球面222y x R z --=)0(>R 的上侧；

4. ??∑

xdydz ，∑为柱面9)2(22=+-y x 介于21≤≤z 之间的部分的外侧.

（B ）

二、设),,(z y x u 、),,(z y x v 是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数,∑是空间闭区域Ω的整个边界曲面.

n u ??、n

??依次表示),,(z y x u 、

),,(z y x v 沿∑的外法线方向n 的方向导数，22

2222z

y x ??+??+??=?. 证明格林第二公式：

高等数学作业上-1 (答案)

第一章函数极限连续 §1函数 1．解：（1）要使24sin x -有意义，必须.2,042≤≥-x x 即使所以定义域为[-2，2]. （2）当时，且1 3≠≠x x 3 41 2+-x x 有意义;而要使2+x 有意义，必须,2-≥x 故函数的定义域为：).,3()3,1()1,2[+∞-、、（3）,1010.101110ln 110ln arccos e x e e x e x x ≤≤∴≤≤≤≤-，即有意义，则使要使即定义域为].10,10 [ e e （4）要使)1(+x tg 有意义，则必有.,2,1,0,2 1 ±±=+≠ +k k x ππ ;即函数定义域为 .,2,1,0,12? ?? ?? ?±±=-+≠∈ k k x R x x ππ且（5）当有意义，时有意义；又当时x arctg x x x 1 033≠-≤故函数的定义域为： ].3,0()0(、，-∞ （6）x k k x k sin )2,1,0()12(2时当 ±±=+≤≤ππ有意义；有要使216x -有意义，必须有.44≤≤-x 所以函数的定义域为：].,0[],4[ππ、 -- 2． .2)2 1(,2)21 (,2)0(,1)2(,2)3(2 1-=-====f f f f f 3．解：3134,34)]([22≤≤-+--+-= x x x x x x g f 有意义；必须因此要使，即[])(x g f 的定义域为[1，3]。 4．解? ?? ??>-=<=???? ???>-=<=; 0,1,0,0,0, 1,1, 1,1, 0, 1,1)]([x x x e e e x g f x x x ?????????>=<==, 1,1,1,1,1,)]([) (x e x x e e x f g x f 。 5．有意义，时当)(sin 1sin 0x f x ≤≤故其定义域为).2,1,0]()12(,2[ ±±=+k k k ππ。 6．???-<++-≥+=+?? ?<+-≥-=-; 1,52, 1,32)1(;1,52, 1,12)1(2 2 x x x x x x f x x x x x x f

高等数学作业下-2 (答案)

第八章习题答案 8．1 多元函数基本概念 1．解：=),(y x f )225(9 1 22y x xy --。 2．解：).sin sin())(,(),sin sin(sin )],([x x x x f x g y x y x y x g f =?= 3．解：（1）0。（2）a e 。（3）1。（4）0。（利用有界量乘以无穷小量仍为无穷小量。）（5）y x y x y x y x y x 1102222+≤++≤++≤ ，且.0)11(lim =+∞ →∞→y x y x 从而.0lim 22=++∞ →∞→y x y x y x （6）22)21()( 022x x y x xy ≤+≤ ，且0)21(lim 2=+∞→x x ，所以原式0=。 4．解：不存在。因沿不同路径趋近时极限值不同。 5．解：⑴),(y x f 的定义域为0≠+y x 。 )(a 当0≠+y x ，1≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数，故连续。 )(b 当100=+y x 时，=-++-+=→+→+211 )11ln(11lim ),(lim y x y x y x f y x y x =+→20)1ln(1 lim t t t ),(200y x f =，即),(y x f 在 100=+y x 时也连续。故),(y x f 的间断线为0=+y x 。 ⑵)(a 当02 2 ≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数，故连续。 )(b 当02 2 =+y x 时，2222001)1(lim ),(lim k k x k kx y x f x kx y x +=+=→=→，显然k 取不同值时得不同极限，即),(lim 0 0y x f y x →→不存在，故),(y x f 在)0,0(点不连续。 ⑶)(a 当022≠+y x 时),(y x f 连续。)(b 当02 2=+y x 时，因y x y x f +≤),(，故 0),(lim 00 =→→y x f y x ，从而)0,0(0),(lim 0 f y x f y x ==→→，即),(y x f 处处连续。 8．2 偏导数与全微分 1.解：（1） )2cos(4),2cos()2sin(2222222y x ye y z y x e y x xe x z x x x +=??+++=??。

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

高等数学(同济五版)第五章-定积分-练习题册

42 / 9 第五章定积分第一节定积分的概念与性质一、填空题：在 ? +10 3 1dx x 与? +1 41dx x 中值比较大的是．二、选择题(单选)： 1．积分中值定理 ? -=b a a b f dx x f ))(()(ξ，其中： (A) ξ是[]b a ,上任一点； (B) ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； (D) ξ是[]b a ,的中点．答：( ) 2．曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： (A) ?-10)(dx ex e x ； (B) ?-e dy y y y 1 )ln (ln ； (C) ? -e x x dx xe e 1 )(； (D) ?-1 )ln (ln dy y y y ．答：( ) 第二节微积分基本公式一、填空题： 1．=-? -212 12 11dx x ． 2． 0)32(0 2=-? k dx x x )0(>k ，则=k ．二、选择题(单选)：若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则 2 )(lim x dt t f x x ?→ (A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在．答：( ) 三、试解下列各题： 1．设??? ??>≤+=1,2 11 ,1)(32x x x x x f ，求?20 )(dx x f ．

43 / 9 2．设?? ???><≤≤=ππ x x x x x f ,0,00,sin 21 )(，求?=x dt t f x 0 )()(?在),(∞+-∞上的表达式．四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，? ? += x a x b t f dt dt t f x F ) ()()(．证明： (1)2)('≥x F ； (2)方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根．第三节定积分的换元法和分部积分法

高等数学同济第七版7版下册习题全解

数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)：从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，，A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的W K域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学上册练习题

高数练习题一、选择题。 4、1 1lim 1 --→x x x （）。 a 、1-= b 、1= c 、=0 d 、不存在 5、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（）。 a 、x 1sin b 、x x sin c 、12--x d 、x ln 7、()=--→1 1sin lim 21x x x （）。 a 、1 b 、2 c 、0 d 、2 1 9、下列等式中成立的是（）。 a 、e n n n =??? ??+∞ →21lim b 、e n n n =? ?? ??++∞→2 11lim c 、e n n n =??? ??+∞→211lim d 、e n n n =?? ? ??+∞ →211lim 10、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（）。 a 、是低阶无穷小量 b 、是同阶无穷小量 c 、是等阶无穷小量 d 、是高阶无穷小量 11、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（）。 a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件 12、数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) . （A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 13、当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x (B) x (C)1 ln(12) 2x + (D) x (x +2) 14、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（）. （A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值

（B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值（C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在（D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 15、如果0 lim ()x x f x →+ 与0 lim ()x x f x →- 存在，则（）. （A ）0 lim ()x x f x →存在且00 lim ()()x x f x f x →= （B ）0 lim ()x x f x →存在但不一定有00 lim ()()x x f x f x →= （C ）0 lim ()x x f x →不一定存在（D ）0 lim ()x x f x →一定不存在 16、下列变量中（）是无穷小量。 0) (x e .A x 1-→ 0) (x x 1 sin .B → )3 (x 9x 3x .C 2→-- )1x (x ln .D → 17、=∞→x x x 2sin lim （） 2 18、下列极限计算正确的是（） e x 11lim .A x 0x =??? ??+→ 1x 1sin x lim .B x =∞→ 1x 1sin x lim .C 0x =→ 1x x sin lim .D x =∞→ 19、下列极限计算正确的是（） 1x x sin lim .A x =∞→ e x 11lim .B x 0x =??? ??+→ 5126x x 8x lim .C 232x =-+-→ 1x x lim .D 0x =→ A. f(x)在x=0处连续 B. f(x)在x=0处不连续，但有极限 C. f(x)在x=0处无极限 D. f(x)在x=0处连续，但无极限 23、1 lim sin x x x →∞ =（）. （A ）∞ （B ）不存在（C ）1 （D ）0 24、221sin (1) lim (1)(2) x x x x →-=++（）. （A ）13 （B ）13- （C ）0 （D ）23 ) ( , 0 x 1 x 2 0 x 1 x ) x ( f . 20、则下列结论正确的是设

高等数学作业下-5 (答案)

第十一章习题答案 1． 1常数项级数的概念及基本性质 1．解：（1） +?+?+ ?+?+ ?6515 414 31321211 （2） -+ -+ -5 14 13 12 11 (3) +++ ++5 4 3 2 5 !54 ! 43 !32 !21!1 (4) +????????+ ??????+ ????+??+ 10 8642975318 64275316 425314 2312 1 2．解：（1）1 21-= n u n （2）1 2+-= n n u n （3）) 2(6422 n x u n n ??= （4）1 2) 1(1 1 +-=++n a u n n n 3．解：（1）013 1lim lim ≠==∞→∞ →n n n n u ，∴级数发散（不满足级数收敛的必要条件）。（2）原级数可写为 )4 13 12 11(3 1 +++ + 。∵括号内级数为调和级数发散，∴原级数发散。（3）原级数为公比等于2 3的几何级数，∵ 123>，∴原级数发散。（4）原级数为发散的调和级数 +++++ 5 14 13 12 11去掉前三项，∴原级数发散。（5）原级数为公比等于9 8-的几何级数，19 8<- ，∴原级数收敛。（6）∵级数 ++ + 3 2 2 12 12 1收敛（公比 12 1<的几何级数），级数 ++ + 3 2 3 13 13 1收敛（公比 13 1<的几何级数），∴原级数收敛（收敛级数可以逐项相加减）。 4．解：（1）a a a a a a a a a a S n n n n -= - ++- +- +-=+-+1 21 2125 73 53)()()()( ， a a a S n n n n -=-=+∞ →∞ →1)(lim lim 12，∴此级数收敛。（2）]) 2)(1(1) 1(1 [ 21 ) 2)(1(1 ++- += ++= n n n n n n n u n +?- ?+ ?- ?+ ?- ?= ∴)5 414 31 (21 )4 31321 ( 21)3 212 11 ( 21 n S ])2)(1(1 ) 1(1 [ 21 ++- ++ n n n n =]) 2)(1(1 21[21++-n n ， 4 1 ])2)(1(121[21lim =++-= ∞ →n n S n n ，∴此级数收敛。

华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案

第9章（之1）（总第44次）教学内容:§微分方程基本概念 *1．微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是（）（A ）3；（B ）4；（C ）6；（D ）7．答案（A ）解微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2．下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是（）（（A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=；（B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=；（C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=；（D ）)2cos(α+=x C y ．答案（D ）解二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数．（A ）中的函数只有一个任意常数C ；（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数；（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ，由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ，故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解．

《高等数学基础》作业

高等数学基础形成性考核册专业：建筑学号：姓名：牛萌河北广播电视大学开放教育学院（请按照顺序打印，并左侧装订）

高等数学基础形考作业1：第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ?? ?≥<-=0, 10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→=

高等数学习题册参考答案

《高等数学》习题册参考答案说明本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄错. 第一册参考答案第一章 §1.1 1.??? ????+≤≤--<≤<≤+=--. ),(2, , , 0 , 211010101T t T T t a v T t v t at v v a v a v v a v v 图形为： 2.B. 3.)]()([)]()([)(2 121x f x f x f x f x f --+-+=，其中)]()([)(21x f x f x F -+=为偶函数，而)]()([)(2 1x f x f x G --=为奇函数. 4.??? ????=<≤-<≤-<≤=.6 ,0, 64 ,)4(, 42 ,)2(, 20 ,)(22 2x x x x x x x x f 5.???.)]([,)2()]([,)1(单调减单调性相反，则单调增；单调性相同，则x g f g f x g f g f 6.无界. 7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同. §1.2 1.（1）)1 ,0()0 ,1(?-=D ；（2）} , ,{2 Z ∈+≠=k k k x x D πππ；（3）)1 ,0(=D . 2.1 ,4-==b a . 3.?????>-=<=,0 ,1,0 ,0 , 0 ,1 )]([x x x x g f ???? ???>=<=-. 1 ,,1 ,1 ,1 , )]([1x e x x e x f g 4.（1）]2 ,0[,)1arcsin(2 =-=D x y ；（2）Y ∞ =+=+=0 2 2),( , )(tan log 1k a k k D x y πππ. 5.（1）x x x f f 1 )]([-= ；（2）x x f f 1 )(1][=. 6.+∞<<=-h r V r h h r 2 ,2312 2π. 7.（1）a x =)(?；（2）h x x +=2)(?；（3）h a a h x x ) 1()(-= ?. §1.9 1.1-=e a . 2.（1）1=x 和2=x 都是无穷间断点（属第Ⅱ类）；（2）1 ,0==x x 和1-=x 是间断点，其中：1是可去间断点（极限为21）（属第Ⅰ类）； 0是跳跃间断点（左极限1-，右极限1）（属第Ⅰ类）；-1 是无穷间断点（属第Ⅱ类）；（3）0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类），1=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类）（注意：+∞==∞ +-→- e e x x x 11 lim ，而0lim 11 ==∞--→+ e e x x x ）；

高等数学(下)课后习题答案

高等数学（下）习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则

222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M（0，0， 14 9 ）. 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：()() ++=++ a b c a b c. 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解： 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D 1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试以AB=c，BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解： 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M'，则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量

高等数学基础作业答案

高等数学基础第一次作业点评1 第1章函数第2章极限与连续 (一)单项选择题 ⒈下列各函数对中,(C )中的两个函数相等. A 、 2 )()(x x f =,x x g =)( B 、 2)(x x f = ,x x g =)( C 、 3 ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D 、 1)(+=x x f ,1 1)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于( C )对称. A 、坐标原点 B 、 x 轴 C 、 y 轴 D 、 x y = ⒊下列函数中为奇函数就是( B ). A 、 )1ln(2 x y += B 、 x x y cos = C 、 2 x x a a y -+= D 、 )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数就是( C ). A 、 1+=x y B 、 x y -= C 、 2 x y = D 、 ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的就是( D ). A 、 12lim 2 2 =+∞→x x x B 、 0)1ln(lim 0 =+→x x C 、 0sin lim =∞→x x x D 、 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时,变量( C )就是无穷小量. A 、 x x sin B 、 x 1 C 、 x x 1 sin D 、 2)ln(+x 点评:无穷小量乘以有界变量为无穷小量 ⒎若函数)(x f 在点0x 满足( A ),则)(x f 在点0x 连续。 A 、 )()(lim 00 x f x f x x =→ B 、 )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C 、 )()(lim 00 x f x f x x =+→ D 、 )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= 二、填空题 ⒈函数)1ln(3 9 )(2x x x x f ++--= 的定义域就是 .}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(,则=)(x f .x x -2 ⒊=+ ∞→x x x )211(lim .21 e

高等数学练习册

高等数学（下）练习册专业班级：___________________________________________ 姓名：___________________________________________ 学号：___________________________________________ 西南科技大学城市学院数学教研室编

第七、八章向量、空间解析几何、多元微分法一、填空题 1、从点)7,1,2(-A 沿向量k j i a 1298-+=的方向取一段长34||=，则点B （_______）. 2、已知两个力)3,2,1(1=，)4,3,2(2--=F ，则合力的大小||F =________，合力的方向为___________________． 3、设向量+=2，b a k B +=，其中1||=，2||=，且⊥，若⊥，则k =_____． 4、已知3+=，3+=，则ABC ?得面积是________． 5、已知平面π过点)21,3(-且过直线1 2354z y x =+=-，则平面π的方程为_____________．二、选择题 1、方程0242222=++-++z y x z y x 表示的曲面是（） A 、球面 B 、椭球面 C 、柱面 D 、锥面 2、若直线l ：3 7423z y x =-+=-+，平面π：3224=--z y x ，则l 与π（） A 、平行 B 、垂直 C 、相交而不垂直 D 、l 在平面π内 3、设直线l 为?? ?=+--=+++0 31020 123z y x z y x 平面π为0224=-+-z y x ，则（） A 、l ∥π B 、l ?π C 、l ⊥π D 、l π但l 与π不垂直 4、已知向量)1,1,2(-=a ，)1,3,1(-=，求，b 所确定的平面方程为（） A 、02=+-z y x B 、03=-+z y x C 、01632=---z y x D 、a ，b 不共面无法确定平面 5、球面92 22=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xoy 面上的投影方程是（） A 、082222=--+x y x B 、082222=--+z z y C 、92 2 =+y x D 、? ??==--+00 82222z x y x 三、设)4,1,1(=a ，)2,2,1(-=b ，求b 在方向上的投影向量．

华东理工大学高等数学(下册)第11章作业答案

第 11 章（之1）（总第59次）教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题： **（1）. 函数连续区域是 ??????? ．答： **（2）. 函数，则（） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续答：（A ） **2. 画出下列二元函数的定义域：（1）= u y x -；解：定义域为：{ } x y y x ≤) ,(，见图示阴影部分：（2）)1ln(),(xy y x f +=；解：{} 1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线1-=xy 用虚线表示）．（3）y x y x z +-= ．解：()()? ? ?-≠≥????≠+≥+-?≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000．

***3. 求出满足2 2, y x x y y x f -=?? ? ??+的函数()y x f ,. 解：令?? ? ??=+=x y t y x s ， ∴?? ???+=+=t st y t s x 11 ∴()() ()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22 222，即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限： ()() 2 2 0,0,11lim y x xy y x +-+→．解：()( )( ) ( )( ) 2 222 2 22 2 112111110y x xy y x y x xy xy y x xy ++++≤ +++= +-+≤ () 01 122 2→+++= xy y x （()()0,0,→y x ） ∴ ()() 011lim 2 2 0,0,=+-+→y x xy y x ． **5. 说明极限()()2 22 20,0, lim y x y x y x +-→不存在．解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同．首先，0=x 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ，其次，0=y 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ，故极限()()2 22 20,0,y y lim +-→x x y x 不存在． **6. 设1 12sin ),(-+= xy x y y x f ，试问极限 ),(lim ) 0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数 1 12sin ),(-+= xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．

版更新高等数学作业题参考答案新

东北农业大学网络教育学院高等数学作业题（2014更新版）一、单项选择题 1. x y 1 sin =在定义域内是（）。 A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数 2. 24 lim 22--→x x x =（） A . -6 B. 4 C. 0 D . 2 3. x e x f 2)(=，则 )1(f '=（） A . 2e B . 2 2e C. e D. 2 4. ?= dx e x ( ) A ． 2C e x + B ．2 C e x + C ．C e x + D ．C e x 1+ 5. 若曲线上任一点切线的斜率与切点横坐标成正比，则这条曲线是（） A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线 6. 下列函数是初等函数的是（）。 A. 3sin -=x y B.1sin -=x y C. ??? ??=≠--=1,01, 112x x x x y D. ?? ?≥<+=0 ,0 , 1x x x x y 7. x x x sin lim 0→的值为（）。 A.1 B.∞ C.不存在 D.0 8. )12ln(-=x y ，则)1(f '=（） A . 0 B. 2 C. 1 D. 3

9. 若 ()()x f x F= '，则() ()= ?dx x f d （） A. ()x f B. ()dx x f C. ()x F D. ()dx x F 10. 方程 2= -'y y的通解是（） A x y sin = B x e y2 4 = C x ce y2 = D x e y= 11. 下列函数是初等函数的是（）。 A. 3 sin- =x y B. 1 sin- =x y C. ?? ? ? ? = ≠ - - = 1 , 1 , 1 1 2 x x x x y D. ? ? ? ≥ < + = , , 1 x x x x y 12. x x x 2 sin lim → A. 1 B. 2 C. 0 D. 1 - 13. )1 2 ln(- =x y，则)1( f' =（） A . 0 B. 2 C. 1 D. 3 14. 若 ()()x f x F= '，则() ()= ?dx x f d （） A. ()x f B. ()dx x f C. ()x F D. ()dx x F 15. 方程 2= -'y y的通解是（） A x y sin = B x e y2 4 = C x ce y2 = D x e y= 16. 下列函数是初等函数的是（）。 A. 3 sin- =x y B. 1 sin- =x y C. ?? ? ? ? = ≠ - - = 1 , 1 , 1 1 2 x x x x y D. ? ? ? ≥ < + = , , 1 x x x x y 17. 下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量。 A．e 1 x x ,() →∞ B. sin ,() x x x→∞

高等数学下(B)作业题

《高等数学B （下）》练习题提交作业要求： 1、在规定的时间内，按下列格式要求准确上传作业！（不要上传别的科目作业, 也不要上传其他学期的作业，本次作业题与其他学期作业题有很大变化） 2、必须提交word 文档！（1）不按要求提交，会极大影响作业分数（上学期很多同学直接在网页上答题，结果只能显示文本，无法显示公式，这样得分会受很大影响）（2）若是图片，请将图片大小缩小后插入到一个word 文件中。（3）图片缩小方式：鼠标指向图片，右键，打开方式，画图，ctrl w ，调整大小和扭曲，依据（百分比），将水平和垂直的原始数值100都改为40，另存为jpg 格式。这样处理后，一个大约3M 的照片会缩小至几百K ，也不影响在word 中的清晰度。网上上传也快！ 3、直接上传单个的word 文件！（不要若干张图片压缩成一个文件）一、判断题 1. 设函数(,)f x y 在00(,)x y 点的偏导数连续，则(,)f x y 在00(,)x y 点可微. 答：对 2. 设函数(,)f x y 在00(,)x y 点可微，则(,)f x y 在00(,)x y 点的偏导数连续. 答：错 3. 二重积分(,)d D f x y σ??表示以曲面(,)z f x y =为顶，以区域D 为底的曲顶柱体的体积. 答：错 4. (,)0f x y ≥若，二重积分(,)d D f x y σ??表示以曲面(,)z f x y =为顶，以区域D 为底的曲顶柱体的体积. 答：对 5. 若积分区域D 关于y 轴对称，则32sin()d 0.D x y σ=?? 答：对 6. 微分方程4()1y y y ''''-=-是四阶微分方程. 答：错 7. 微分方程cos sin sin cos x ydx y xdy =是变量可分离微分方程. 答：对 8. 微分方程cos sin sin cos x ydx y xdy =是一阶线性微分方程. 答：错

高等数学下册复习题及答案

一、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、( 本大题5分 ) 设L 由y =x 2及y =1所围成的区域D 的正向边界，求 ?+++L dy y x x dx y x xy )()(2 4233 2、(本小题5分) 设f (x ,y )是连续函数，交换二次积分??2 3 ),(10x x dy y x f dx 的积分次序。 3、(本小题5分) 设()f x 是以2π为周期的函数，当 x ∈-?? ?? ?ππ232, 时， ()f x x =。又设()S x 是()f x 的以2π为周期的Fourier 级数之和函数。试写出()S x 在 []-ππ,内的表达式。二、解答下列各题(本大题共7小题，总计42分) 1、(本小题6分) 设z=z(x,y)由方程x 2 +y 2 +z 2 =ln(y z )确定，求z z x y ,。 2、(本小题6分) 设z y xy x =++232 ()，求z z x y ,。 3、(本小题6分) 设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。

利用极坐标计算二次积分 5、(本小题6分) 求微分方程''-'+=y y y x e x 22的一个特解。 6、(本小题6分) 求幂级数n n x n )3 2(11 -∑ ∞ =的收敛域。 7、(本小题6分) 求微分方程0)42()2(32=-+++dy y x y x dx y y 的通解。三、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题7分) 求曲面x xy xyz ++=9在点(,,)123处的切平面和法线方程。 2、(本小题6分) 试求由x 2+y 2+z 2≤4与x 2+y 2≤3z 所确定的立体的体积。四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分)

吉林大学作业及答案-高数A1作业答案

高等数学作业 AⅠ 吉林大学数学中心 2017年8月

第一次作业学院班级姓名学号一、单项选择题 1．下列结论正确的是( A )．（A ）x arctan 是单调增加的奇函数且定义域是），（∞+∞- ；（B ）x arc cot 是单调减少的奇函数且定义域是），（π0；（C ）x arctan 是无界函数；（D ）4 -22arccos π =． 2．下列函数中不是奇函数的为( B )．（A ）x x x x e e e e --+-；（B ）x x cos 3+；（C ）)1ln(2 x x ++；（D ）x arcsin ． 3．函数x x y 3cos 2sin +=的周期为( C )．（A ）π；（B ）π3 2 ；（C ）π2；（D ）π6． 4．. ??? ??-??? ??-??? ? ? -∞→22211311211lim n n Λ=（ C ）（A ）0；（B ）1；（C ）0. 5；（D ）2． 5.已知数列{}n x 是单调增加的.则“数列{}n x 收敛”是“数列{}n x 有上界”的（ A ）条件（A ）充分必要；（B ）必要非充分；（C ）充分非必要；（D ）即非充分也非必要． 6．设数列{}n a （Λ,2,1,0=>n a n ）满足,0lim 1 =+∞→n n n a a 则( D )．（A ）{}n a 的敛散性不定；（B ）0lim ≠=∞ →c a n n ；（C ）n n a ∞ →lim 不存在；（D ）0lim =∞ →n n a ．二、填空题

1．=???? ??-+ +-+-∞→n n n n n 2 2241 2 411 41 lim Λ 0. 5 ． 2．设? ? ?<+≥+=,0,2, 0,12)(2 x x x x x f 42)(-=x x g . 则)]([x g f = ? ??<+-≥-2,181642, 742x x x x x ． 3．函数1 )(+=x x e e x f 的反函数)(1x f -= )1,0(,1ln ∈-x x x ． 4．“数列{}n x 2及数列{}12+n x 同时收敛”是“数列{}n x 收敛” 必要条件. 5. =++--+++∞ →])2()11(1sin [lim 1 n n n n n n n n n 22e + ．三、计算题 1．设6 331 34)11(x x x f ++=+ ，求)(x f ．解：令31 1x t +=，则3 1 1-=t x 代入已知的式子中得， 2)1)1(34)(-+-+=t t f t 即有 22)(t t f ++=t 2．求n n n x 13)|1(lim | +∞ →，解：(1)当1||>x 时由于311 33||2)||1(|| x x x n n n <+< 以及 331||||2lim x x n n =∞ → 所以有 313||)|1(lim x x n n n =+∞ →| （2）当1||≤x 时

高等数学AII作业

高等数学作业上-1 (答案)

高等数学作业下-2 (答案)

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高等数学(同济五版)第五章-定积分-练习题册

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

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高等数学作业下-5 (答案)

华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案

《高等数学基础》作业

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