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垂径定理 教学设计

垂径定理 教学设计
垂径定理 教学设计

第三章圆

3.垂径定理

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础:学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质,以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。

学生的活动经验基础:在平时的学习中,学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。同时,在平时的教学中,我们都鼓励学生独立探索和四人小组互相合作交流,使学生形成一些数学活动的经验基础,具备一定探求新知的能力。

二、教学任务分析

圆是一种特殊图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形。该节内容分为2课时。本节课是第1课时,学生通过前面的学习,能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。其对称轴是任一条过圆心的直线。具体地说,本节课的教学目标是:

知识与技能:

1.理解圆的轴对称性及其相关性质;

2.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.

过程与方法:

1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

情感态度与价值观:

1.培养学生独立探索,相互合作交流的精神。

2.通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。

教学重点:利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.

教学难点:和圆有关的相关概念的辨析理解。

三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节:课前准备(制作实验器材、完成预习提纲)、创设问题情境引入新课、讲授新课、课堂小结、创新探究、课后作业。

第一环节课前准备

活动内容:(提前一天布置)

1.每人制作两张圆纸片(最好用16K打印纸)

2.预习课本P88~P92内容

活动目的:通过第1个活动,希望学生能利用身边的工具去画图,并制作图纸片,培养学生的动手能力;在第2个活动中,主要指导学生开展自学,培养良好的学习习惯。

实际教学效果:

1.学生在制作图纸片时,有时可能没有将圆心标出来,老师要对其进行启

发引导,找出圆心。

2.预习提纲,要简明扼要,学生基本上能通过阅读教材就能较好完成。

第二环节创设问题情境,引入新课

活动内容:

教师提出问题:轴对称图形的定义是什么?我们是用什么方法研究了轴对称图形?学生回忆并回答。

活动目的:通过教师与学生的互动,一方面使学生能较快进入新课的学习状态,另一方面也提高学生的学习的兴趣,让他们带着问题去学习,揭开了探究该节课内容的序幕。

实际教学效果:

1.由于学生在七年级学习了轴对称图形的内容。部分学生可能遗忘了定义,

因此教师要通过一些学生熟悉的轴对称图形来引导同学正确叙述其定

义,比如通过矩形。教师作出演示,学生会更容易表达。

2.通过几何图形去记忆或理解几何概念性质定理,是学生学好几何知识的

有效途径。

第三环节讲授新课

活动内容:

(一)想一想圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?你是用什么方法解决上述问题的?

(二)认识弧、弦、直径这些与圆有关的概念。

(三)探索垂径定理。

做一做

1.在一张纸上任意画一个⊙O,沿圆周将圆剪下,把这个圆对

折使圆的两半部分重合.

2.得到一条折痕CD.

3.在⊙O上任取一点A,过点A作CD折痕的垂线,得到新的折痕,其中,点M是两条折痕的交点,即垂足.

4.将纸打开,新的折痕与圆交于另一点B,如右图

问题:(1)观察右图,它是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?

(2)你能发现图中有那些等量关系?说一说你的理由。

总结得出垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。

(四)讲解例题及完成随堂练习。

[例1]如右图所示,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中

CD,点O是CD的圆心),其中CD=600m,E为CD上一点,

且OE⊥CD,垂足为F,EF=90 m.求这段弯路的半径.

练习:完成课本P92随堂练习:1

(五)探索垂径定理逆定理并完成随堂练习。

想一想:

如下图示,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径Array CD,交AB于点M.

同学们利用圆纸片动手做一做,然后回答:(1)上图是轴对称

图形吗?如果是,其对称轴是什么?(2)你能发现图中有那些等量关

系?说一说你的理由。

总结得出垂径定理逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。

练习:完成课本P92随堂练习:2

活动目的:内容(一)的主要目的就是通过学生动手实验,采用折叠的方法认识圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线;内容(二)的主要目的就是让学生弄清和圆有关的这些概念,便于以后内容的学习研究;内容(三)的主要目的就是通过学生做一做,观察,猜想,验证等的过程得到新知,同时也培养学生合作交流的能力,以及再次体会研究图形的多种方法。

内容(四)的主要目的让学生应用新知识构造直角三角形,并通过方程的方法去解决几何问题。内容(五)的主要目的与内容(三)相似。

实际教学效果:

对于活动(一),学生在探索圆是轴对称图形时,应该把机会留给学生,让他们相互交流,发表自己的想法;对于活动(二),要注意让学生借助图形去认识,并弄清他们之间的联系和区别,还应该注意补充一些概念,如半圆,

劣弧,优弧等;对于活动(三)

生通过观察,猜想到理论验证垂径定理,

如推理格式:如图所示

CO⊥AB,CD为⊙O的直径

AM=BM,AD=BD,AC=BC。

另外在证明垂径定理时,学生对如何证明平分弦所对的弧

会较难表述。教师要运用轴对称性启发引导。对于活动(四),

教师要引导学生如何应用垂径定理去更好衔接上,至于这一逆

定理的探索过程与前面垂径定理的探索过程类似,在完成随堂练习

时,教师要提示学生,符合条件图形有三种情况:圆心在平行弦外,在其中一条弦上、在平行弦内,但说理的思路都是一样。

第四环节课堂小结

活动内容:师生互相交流总结:

1.本节课我们探索了圆的轴对称性;

2.利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理;

3.垂径定理和勾股定理相结合,构造直角三角形,可解决计算弦长、半

径、弦心距等问题。

活动目的:通过回顾本节课经历的各个环节,鼓励学生畅谈自己的收获和感想,培养学生良好的学习习惯。

实际教学效果:学生在互相交流中,对于归纳出来的内容,会有各种表述,只要合理,教师都应该鼓励。

第五环节课后作业

1.课本习题3.2,1,2。试一试1

2.预习课本P94~97内容。

四、教学反思

1.本教学设计会侧重学生对新知识形成过程的认识和理解,采用通过实验、

观察、猜想、验证的手法去探求几何定理。对培养学生的动手能力,直

觉思维、逻辑思维有较大的帮助。

2.较好体现了学为主体,教为主导的教学策略,师生在该节课的教与学互

动性会得到充分的展示,学生也会得到充分的发挥机会;另外通过创新

探索的内容,会使学生进一步体会数学在生活中的应用,培养学生探索

精神。

3.本教学设计在实试过程中,时间会较为紧迫,因此,相应的练习安排得

较少,这样可能会影响了学生对新定理的应用的训练,同时教师要鼓励

学困生敢于发表自己的看法,并帮助他们去记忆和运用垂径定理及其逆定理。

27.3垂径定理教案

27.3(1) 垂径定理 崇明县三乐学校秦健 一、教学内容分析 学情分析:学生已经知道,在同圆或等圆中,圆心角、圆心角所对的弧和弦及其弦心距这四组量之间有密切的联系。(即“四等定理”)本节利用圆的轴对称性,进一步得到圆的直径与弦及弦所对的弧之间也存在着密切的关联.因为圆是轴对称图形,且任意一条直径所在直线都是它的对称轴,所以课本对于这些量之间关系的讨论,从垂直于弦的直径的性质开始展开,并加以推理证明; 教材分析:垂径定理及其推论揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系,是圆的轴对称性的具体化;也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据;同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据;在垂径定理得出的过程中,体验了从感性到理性、从具体到抽象思维过程,有助于培养思维的严谨性. 二、教学目标 1、经历垂径定理的探索和证明过程,掌握垂径定理; 2、在研究过程中,进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法; 3、能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题. 三、教学重点及难点 重点:掌握垂径定理的内容并初步学会运用. 难点:垂径定理的探索和证明. 四、教学过程 (一)情景引入 1300 多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4米,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫拱形高)为7.2米,求桥拱的半径(精确到0.1米)说明:通过实际问题引入新课激发学生学习兴趣

52D C B A O 1、观察与思考: 圆是怎样的对称图形?对称轴与对称中心分别是什么? (二)学习新课 1、思考 如图,CD 是⊙O 的直径,AB 是⊙O 的弦,且AB ⊥CD ,垂足为 M ,则图中有哪些相等的线段和弧?(半圆除外)为什么? (学生观察,猜想,并得出以下结论) ①CO=DO (同圆的半径相等) ②AM=BM,弧AD=弧BD ,弧AC=弧BC (如何证明?) (学生讨论,并得出推导过程,教师板书) 联结OA 、OB ,则OA=OB. ∵ AB ⊥CD, ∴ AM=BM (等腰三角形三线合一), ∠AOD=∠BOD, ∴ 弧AD=弧BD (同圆中,相等的圆心角所对的弧相等). ∵ ∠AOC=∠BOC, ∴ 弧AC=弧BC. 2、定理:如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,且平分这条弦所对的弧. 结合图形写成符号语言: ∵直径CD ⊥弦AB ,垂足为M ∴ AM=BM ∴ 弧AD=弧BD (同圆中,相等的 圆心角所对的弧相等). 弧AC=弧BC. 3、抢答题:如图:已知⊙O 的半径OC 垂直于弦AB,垂足为点D , AD 长2厘米,弧AB 长5厘米,则AB= 弧 AC= . 4、例题分析 例1、 已知:如图,以点O 为圆心的两个圆中, 大圆的弦AB 交小圆于点C 、D 两点,

九年级数学下册 3.3 垂径定理教案 (新版)北师大版

垂径定理 一、教学目标 1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理; 2.运用垂径定理及其逆定理解决问题. 二、教学重点和难点 重点:利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理. 难点:垂径定理及其逆定理的证明,以及应用时如何添加辅助线 三、教学过程 (一)情境引入: 1.如图,AB 是⊙O 的一条弦,作直径CD ,使CD ⊥AB ,垂足为M . (1)该图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能图中有哪些等量关系? (3)你能给出几何证明吗?(写出已知、求证并证明) (二)知识探究: 【探究一】通过上面的证明过程,我们可以得到: 1.垂径定理_____________________________________________________ 2.注意: ①条件中的“弦”可以是直径;②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。 ③定理中的两个条件缺一不可——______________,______________. 3.给出几何语言 如图,已知在⊙O 中,AB 是弦,CD 是直径,如果CD ⊥AB,垂足为E, 那么AE=_______,? AC =______,? BD =________ 4.辨析:判断下列图形,能否使用垂径定理? 1.,作一条平分AB 于点M . (1)下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)图中有哪些等量关系?说一说你的理由.

2.垂径定理的推论:______________________________________________________________ 3.辨析:“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.”如果该定理 少了“不是直径”,是否也能成立? 反例: 4.如图,在⊙O 中,AB 是弦(不是直径),CD 是直径, (1)如果AE=BE 那么CD____AB,? AC =____? BD =____ (2)如果? AC =? BC 那么CD____AB ,AE______BE ,? BD =____ (3)如果? AD =? BD 那么CD____AB ,AE_____BE ,? AC =______ (三)典例讲解: 1.例:如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心),其中CD =600m ,E 为⌒CD 上的一点,且OE ⊥CD ,垂足为F ,EF =90m. 求 这段弯路的半径. 2.如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?为什么? (四)巩固训练: 题组一 1.如图,在⊙O 中,AB 为弦,OC ⊥AB 于C ,若AO=5,OC=3,求弦AB 的长。 2.⊙O 的弦AB 为5cm ,所对的圆心角为120°,求圆心O 到这条弦AB 的距离。 D

湘教版九年级数学下册 垂径定理教案

《垂径定理》教案 教学目标 知识与技能 1.理解圆是轴对称图形,由圆的折叠猜想垂径定理,并进行推理验证. 2.理解垂径定理,灵活运用定理进行证明及计算. 过程与方法 在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中,培养我们观察,比较,归纳,概括的能力. 情感态度 通过对圆的进一步认识,加深我们对圆的完美性的体会,陶冶美育情操,激发学习热情. 教学重点 垂径定理及运用. 教学难点 用垂径定理解决实际问题. 教学过程 一、情境导入,初步认识 教师出示一张图形纸片,同学们猜想一下: ①圆是轴对称图形吗?如果是,对称轴是什么? ②如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB于点M,能发现图中有哪些等量关系? (在纸片上对折操作) 【教学说明】 (1)是轴对称图形,对称轴是直线CD. (2)AM=BM,AC BC AD BD ,. == 二、思考探究,获取新知 探究1垂径定理及其推论的证明. 1.由上面学生折纸操作的结论,教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论,学生们说出已知、求证,再由小组讨论推理过程. 已知:直径CD,弦AB,且CD⊥AB,垂足为点M. 求证:AM=BM,AC BC AD BD , == 【教学说明】连接OA=OB,又CD⊥AB于点M,由等腰三角形三线合一可知AM=BM,再由⊙O关于直线CD对称,可得AC BC AD BD ,. == 2.得出垂径定理:

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.还可以得出结论(垂径定理推论):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 3.学生讨论写出已知、求证,并说明. 学生回答: 【教学说明】已知:AB为⊙O的弦(AB不过圆心O),CD为⊙O的直径,AB交CD 于点M,MA=MB. 示证:CD⊥AB,AC BC AD BD ,. == 证明:在△OAB中,∵OA=OB,MA=MB,∴CD⊥AB.又CD为⊙O的直径,∴ == ,. AC BC AD BD 4.同学讨论回答,如果条件中,AB为任意一条弦,上面的结论还成立吗? 学生回答: 【教学说明】当AB为⊙O的直径时,直径CD与直径AB一定互相平分,位置关系是相交,不一定垂直. 探究2垂径定理在计算方面的应用. 例1如课本图,弦AB=8cm,CD是圆O的直径,CD⊥AB,垂足为E,DE=2cm,求圆O的直径CD的长. 例2已知⊙O的半径为13cm,弦AB∥CD,AB=10cm,CD=24cm,求AB与CD间的距离. 解:(1)当AB、CD在O点同侧时,如图①所示,过O作OM⊥AB于M,交CD于N,连OA、 OC.∵AB∥CD,∴ON⊥CD于N.在Rt△AOM中,AM=5cm,OM12cm.在 Rt△OCN中,CN=12cm,ON5cm.∵MN=OM-ON,∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时,如图②所示,由(1)可知OM= 12cm,ON=5cm,MN=OM+ ON,∴MN=17cm.∴AB与CD间的距离是7cm或17cm. 【教学说明】1.求直径往往只要能求出半径,即把它放在由半径所构成的直角三角形中去. 2.AB、CD与点O的位置关系没有说明,应分两种情况:AB、CD在O点的同侧和AB、CD 在O点的两侧. 探究3与垂径定理有关的证明. 例3证明:圆的两条平行线所夹的弧相等.已知:如课本图,在圆O中,弦AB与弦CD平行.证明:弧AC等于弧BD.

《垂径定理》一课两讲的评课

增城市实验中学九年级数学备课组 2012年9月21日在增城二中进行了《垂径定理》两节全市公开课,两位老师的上课模式都是以生本教育理念为基础,充分发挥学生的主体作用,采用自主探究、合作交流的学习方式,让学生积极参与到学习中,构成积极、欢乐、高效的课堂。 我们的课堂教学应该是有效的教学,有效备课,备好学生,两为老师的备课是非常充分的,从教师的教案来看,老师对教材的难点重点把握很到位,练习能结合学生的学习特点和掌握情况进行评讲。在教学过程中,两位老师的课堂是有效的上课,教师让学生体验到教育给他带来的无穷快乐,两位老师在课堂上给学生充足的空间,让孩子们自主交流、展示成果、互相质疑,在合作、交流、质疑中主动学习,获取知识和解决问题的能力,经过自己的实践获得知识,他们特别有成就感,自信心增强,在这种氛围中学习,学生们很放松,他们得到了释放,在课堂上很放的开,对学习更加有兴趣了。 用生本教育模式上课,对我们教师的要求更高,在生本高效课堂中,更要突出教师的主导地位,也就是说教师主要起引导作用。如何引导学生参与课堂,成了我们要思考的问题。我们要适当的引领,对于展示的好的地方要给予鼓励,对于展示不到位的要及时给予提示,尽量使得环节完整。在学生展示的过程中还要及时点拨,尤其是重难点知识。点拨尽量做到语言精简、方法恰当、并列举恰当的实例进行补充。这样便于我们的学生在以后的展示过程中抓住重难点。对于学生的语言表达能力、知识归纳的能力的提高会有很大的帮助。这些都是我们在今后的教学中要注意的地方。

小楼中学九年级备课组 听了增城二中赖金佑老师上完一节成功的生本课后,再对比自己备组设置的教案与上课方式给予我们备组很大的启发。赖老师上课方式与教学内容的设置都充分体现她的严谨教学风格。首先从教学内容的设置上看,他设置的教学内容非常严谨,井井有条。特别是习题的设置,层次分明,层层递进,题型各异,而且每道题目都是围绕中考的类型设置。让学生不但熟练掌握本节的内容,而且熟悉中考的题型。整节的内容含量恰当。从教法上看,赖老师的生本教育理念,注重引导学生自己去发现问题,在重点内容的讲解上细致又严谨,时间把握得非常恰当。赖老师能给学生建立一个民主平等的平台,营造一种自觉学习、合作探究的氛围,从而使学生的个性得到张扬,生命得以激扬,综合能力得到提升。

垂径定理 (3)

28.4垂径定理* 教学目标 1.理解垂径定理的证明过程,掌握垂径定理及其推论. 2.会用垂径定理进行简单的证明和计算. 3.了解直径、弦、弧之间的特殊关系. 教学重难点 【重点】垂径定理及其应用. 【难点】探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题. 教学过程 复习提问: 1.什么是轴对称图形? 2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 3.你是用什么方法解决上述问题的? 4.直径是圆的对称轴正确吗? 【师生活动】学生思考后回答,教师点评,指出“直径是圆的对称轴”这个结论的错误原因.师生共同归纳:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线(或直径所在的直线). 一、垂径定理 教师引导操作、思考、回答: 在自己课前准备的纸片上作图: 1.任意作一条弦AB. 2.过圆心O作弦AB的垂线,得直径CD交AB于点E. 3.观察图形,你能找到哪些线段相等?哪些弧相等? 4.沿着CD所在的直线折叠,观察有哪些相等的线段、弧. 5.图形中的已知是什么?你得到的结论是什么?你能写出你的证明过程吗? 6.你能用语言叙述这个命题吗?

7.你得到的结论怎样用几何语言表示? 【师生活动】学生在教师的引导下操作、观察、思考、尝试证明,然后小组合作交流,共同探究结论.教师在巡视过程中,帮助有困难的学生.学生回答问题,并展示自己的证明过程,教师适时点评,规范学生的证明过程,师生共同回忆操作过程,归纳结论. 【课件展示】如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,且CD⊥AB,垂足为E.求证AE=BE,,. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 几何语言: ∵如上图所示,在☉O中,CD为直径,CD⊥AB, ∴AE=BE,,. 二、垂径定理的推论 【课件展示】如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E. 【思考】 (1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗?与(或与)相等吗?说明你的理由. (2)若(或),能判断CD与AB垂直吗?AE与BE相等吗?说明你的理由. 【师生活动】学生独立思考,小组合作交流,独立书写解答过程,小组代表展示,教师对学

垂径定理的教案

§24.1.2 《 垂直于弦的直径》教案 教学目标: 1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程,掌握垂径定理及其推论;并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题; 2、在研究过程中,进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法; 3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中,体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。 教学重点:使学生掌握垂径定理及其推论、记住垂径定理的题设和结论。 教学难点:对垂径定理的探索和证明,并能应用垂径定理进行简单计算或证明。 教学过程: 一、复习引入 1、我们已经学习了圆怎样的对称性质?(中心对称和轴对称) 2、圆还有什么对称性质?作为轴对称图形,其对称轴是什么特殊位置?(直径所在的直线) 3、观察并回答: (1)在含有一条直径AB 的圆上再增加一条直径CD ,两条直径的位置关系? (相交,而且两条直径始终是互相平分的) (2)把直径AB 向下平移,变成非直径的弦,弦AB 是否一定被直径CD 平分? 二、新课 (一)猜想,证明,形成垂径定理 1、猜想:弦AB 在怎样情况下会被直径CD 平分?(当C D ⊥AB 时)(用课件观察翻折验证) 2、得出猜想:在圆⊙O 中,CD 是直径,AB 是弦,当C D ⊥AB 时,弦AB 会被直径CD 平分。

3、提问:如何证明该命题是真命题?根据命题,写出已知、求证: 如图,已知CD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,且AB⊥CD,垂足为M。 求证:AE=BE。 4、思考:直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等?如何证明?(参照数本P81) 5、我们给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径。并给出垂径定理:如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,且平分这条弦所对的弧。 (二)分析垂径定理的条件和结论以及探讨垂径定理的推论 1、引导学生说出定理的几何语言表达形式 ① CD是直径、AB是弦 ① AE=BE ②C D⊥② 2、利用反例、变式图形对定理进一步引申,揭示定理的本质属性,以加深学生对定理的本质了解。 例1 看下列图形,是否能直接使用垂径定理? 3、引申定理:定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式: ①经过圆心得到(结论)①平分弦 一条直线具有(条件): AC=BC AD=BD

垂径定理学案、教学设计

24.1.2垂直于弦的直径导学案 广水市实验中学张运才 【学习目标】 1.理解圆的轴对称性. 2.理解垂径定理及其推论,并能应用它们解决有关弦的计算和证明问题. 【学习重点】垂直于弦的直径的性质、推论以及证明. 【学习难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题. 【学习过程】 【我能行】学生自学课本P80---P81,按照提示思考下面问题: (一)情景导入:观看赵州桥视频。聪明的同学们,你能求出赵州桥桥拱所在圆的半径吗? (二)自主探究:先自主探究,后小组交流。 探究一:把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得出什么结论? 我发现: (1)把圆纸片沿着它的任意一条直径所在的直线对折叠时,两个半圆. (2)上面的实验说明:圆是____ __,对称轴是经过圆心的每一条____ ___.圆有条对称轴. 探究二:请同学们按下面的步骤做一做: 第一步,把一个⊙O对折,使圆的两半部分重合,得到一条折痕CD; 第二步,在⊙O上任取一点A,过点A作CD折痕的垂线,再沿垂线折叠,得到新的折痕,其中点E 是两条折痕的交点,即垂足; 第三步,将纸打开,新的折痕与圆交于另一点B,画出折痕AB、CD.观察你所折纸片:(1)在上述的操作过程中,由圆的轴对称性你能得到哪些相等的线段和相等的弧? (2)你能用一句话概括上述结论吗? (3)请作出图形并用符号语言表述这个结论. 练习:如下图,哪些能使用垂径定理?为什么? 【交流学】先独立完成,后小组交流。 1.垂径定理结构:条件:①直径CD过圆心O②CD⊥AB结论:③AE=BE ④弧AC= 弧BC ⑤弧AD=弧BD.如果交换定理的题设和结论的部分语句,如①③作为题设,②④⑤作为结论,命题成立吗?例如在⊙O中,CD是直径,AB是的弦,CD与AB交于点E.如果AE=BE,那么CD与AB垂直吗?注意分情况讨论: (1)若AB是⊙O的直径,CD与AB垂直吗?为什么? (2)若AB不是⊙O的直径,CD与AB垂直吗?为什么? 思考:你能用一句话概括上述结论吗? 推论: 如果交换定理的题设和结论的部分语句,会有一些什么样的新结论呢?它们成立吗? 发现:

24.1.2垂直于弦的直径 教学设计

公开课教案

讲解新课: 1 、证明猜想 ⑴提问: 什么是猜想的题设? 什么是猜想的结论? ⑵要求学生根据“猜想”的题设和结论说出已知和求证. ⑶用大屏幕打出证明过程. 结合证明过程提问: (1)证明利用了圆的什么性质? (2)证明CE=DE还有其它方法吗? 教师小结:通过证明,我们知道猜想是正确的,因此我们可以把 它叫做“垂径定理”. 2、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的 ﹤2﹥﹤1﹥﹤3﹥﹤4﹥﹤5﹥ 两条弧.(优弧、劣弧) 为运用方便,将原定理叙述为:⑴过圆心;⑵垂直于弦;⑶平分 弦⑷平分弦所对的优弧;⑸平分弦所对的劣弧. 练习1 ⑴若AB为⊙O的直径, CD⊥AB于E , ⑵在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线段或的圆弧. 3、例题讲解 例1已知:如图,在⊙O中,弦AB的长为8㎝,圆心O到AB的距离 为3㎝. 求:⊙O的半径.(学生回答,教师板书过程) 学生积极思考作答。 积极观察、思考,得 出新的证明方法。 引导学生剖析定理的 条件,结论,有利于 学生的深刻理解和全 面把握。 巩固定理的条件和结 论。

教 学 过 程 学 生 活 动 解:连结OA,作OE ⊥AB,垂足为 E. ∵OE ⊥AB, ∴AE=EB. ∵AB=8 ㎝ ,∴AE=4㎝. 又∵OE=3 ㎝ , 在Rt △AOE 中, ()cm AE OE OA 5432222=+=+= ∴⊙O的半径为5㎝. 教师强调:从例1可以看出“弦心距”是一条很重要的辅助线,弦心距的作用就是平分弦,平分弦所对的弧,它和直径一样. 练习2 ⑴半径为5 ㎝的⊙O中,弦AB=6 ㎝,那么圆心O 到弦AB 的距离是 ; ⑵⊙O的直径为10㎝,圆心O 到弦AB 的距离为3 ㎝,那么弦AB 的长是 ; ⑶半径为2㎝的圆中,过半径的中点且垂直于这条半径的弦长是 . 例2①已知:在以O 为圆心 的两个同心圆中,大圆的 直径AB 交小圆于C 、D 两点. 求证:AC=BD. 例2②已知:在以O 为圆心的 两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点. 求证:AC=BD. 课堂小结 ⑴垂径定理相当于说一条直线如果具备:⑴过圆心;⑵垂直于弦;则它有以下的性质:⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧;⑸平分弦所对的劣弧. ⑵在圆中解决有关于弦的问题时,经常是过圆心作弦的垂线段(弦心距),连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件. 作业: ① 证明垂径定理(用等腰三角形三线合一性质证明) 书中P88 3 P89 4 ② 目标P90. 学生口述证明过程,教师板书。 引导学生总结出圆的一条重要辅助线。 巩固定理内容。 通过例题的变式,分层教学,使学生达到不同的目标。

垂径定理练习题

垂径定理练习题 1、已知:AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点P ,CD =10cm ,AP:PB =1:5,则⊙O 的半径为_______。 2、在⊙O 中,P 为其内一点,过点P 的最长的弦为8cm ,最短的弦长为4cm ,则OP =____ _。 3、已知圆的半径为5cm ,一弦长为8cm ,则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。 4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3,则两条平行弦之间的距离为_ ____。 5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8cm ,另一条弦长为6cm ,则这两条弦之间的距离为_____ _。 6、如图,在⊙O 中,OA 是半径,弦AB =310cm ,D 是弧AB 的中点,OD 交AB 于点C ,若∠OAB =300,则⊙O 的半径____cm 。 7、在⊙O 中,半径OA =10cm ,AB 是弦,C 是AB 弦的中点,且OC:AC=3:4,则AB=_____。 8、在弓形ABC 中,弦AB=24,高CD=6,则弓形所在圆的半径等于 。 9.如图,在以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点,AB =10cm ,CD =6cm ,则AC 的长为_____。 10、如图,AB 是⊙O 的直径,CD ⊥AB 于E ,CD=10,BE=1,则AB= 。 11、如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦,CD ⊥AB 于E ,则下列结论中不一 定成立的是( ) A .∠COE =∠DOE B .CE =DE C .OE =BE D .BD =BC 12、如图所示,P 为弦AB 上一点,CP ⊥OP 交⊙O 于点C ,AB =8,AP:PB = 1:3,求PC 的长。 O A B C D 10题图 O A P B C 11题图 C D A O B E 6题图

垂径定理公开课优秀教案Word版

24.1.2 垂直于弦的直径

垂直于弦的直径 教学设计 初中数学 白水县城关一中 刘春芳 垂直于弦的直径 教学设计 教学目标:1.使学生理解圆的轴对称性;2.掌握垂径定理 3.学会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题。 过程与方法:通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力2.锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活。 情感、态度与价值观:通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。 教学重点:垂径定理及应用 教学难点:垂径定理的理解及其应用

学情分析:学生在生活中经常遇到圆方面的图形,对本节课会比较有兴趣,并且学过轴对称图形相关知识。同时九年级的同学仍然是比较好奇、好动、好表现的。但在合作交流、探索新知等方面发展的极不均衡。在学习的主动性、积极性等方面也有较大的差异。 教学用具:圆形纸片,多媒体 教学过程: 一、创设情景:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,赵洲桥主桥拱的半径是多少?怎样求?学完本节课后就可以解决这个问题了 二、引入新课---揭示课题: 1、运用教具与学具(学生自制的圆形纸片)演示,让每个学生都动手实验,把圆形纸片沿直径对折,观察两部分是否重合,通过实验,引导学生得出结论: (1)圆是轴对称图形 (2)经过圆心的每一条直线(注:不能说直径)都是它的对称轴 (3)圆的对称轴有无数条 (4)圆也是中心对称图形.(出示教具演示)。 2、再请同学们在自己作的圆中作图:(1)任意作一条弦AB;(2)作直径CD垂直弦AB 垂足为M。(出示教具演示)引导学生分析直径CD与弦AB此时的关系,说明直径CD 垂直于弦AB的,并设问:垂直于弦的直径它除了上述性质外,是否还有其他性质呢? 三、讲解新课---探求新知 (1)实验--观察--猜想:让学生将上述作好的圆沿直径CD对折,观察重合部分后,发现有哪些线段相等、弧相等,并得出猜想:在圆O中,CD是直径,AB是弦,CD垂直AB于M.那么AM=BM,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD. (2)证明:引导学生用“叠合法”证明此定理 (3)对定理的结构进行分析 (4)结合图形用几何语言表述 (5)垂径定理的变式

新北师大版九年级数学下册《三章 圆 .3 垂径定理》教案_13

《垂径定理》教学设计 一、学生起点分析 学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质,等腰三角形的对称性,以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识,在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识,具备探索证明几何定理的基本技能. 二、教学任务分析 该节内容为1课时.圆是一种特殊图形,它是轴对称图形,学生通过类比等腰三角形的轴对称性,能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理.具体地说,本节课的教学目标是: 知识与技能 1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理; 2.运用垂径定理及其逆定理解决问题. 过程与方法 经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法. 情感与态度 通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神. 教学重点:利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理. 教学难点:垂径定理及其逆定理的证明,以及应用时如何添加辅助线.三、教学设计分析 本节课设计了四个教学环节: 类比引入,猜想探索,知识应用,归纳小结.

第一环节类比引入 活动内容: 1.等腰三角形是轴对称图形吗? 2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折,可以发现什么结论? 3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心,腰长为半径画 圆,得到的图形是否是轴对称图形呢? 活动目的: 通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡,引导学生思考,培养学生类比分析的能力. 第二环节猜想探索 活动内容: 1.如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD ⊥AB,垂足为M. (1)该图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能图中有哪些等量关系?说一说你的理由. 条件:①CD是直径;②CD⊥AB 结论(等量关系):③AM=BM; ④⌒AC=⌒ BC;⑤⌒ AD= ⌒ BD. 证明:连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB,OM=OM, ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合, ⌒AC和⌒ BC重合, ⌒ AD和 ⌒ BD重合. ∴⌒ AC=⌒BC,⌒ AD= ⌒ BD.

九年级数学下册第3章圆3.3垂径定理教案

3.3垂径定理;; 一、教学目标;; 1.通过手脑结合,充分掌握圆的轴对称性. 2.运用探索、推理,充分把握圆中的垂径定理及其逆定理. 3.拓展思维,与实践相结合,运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明. 二、课时安排 1课时 三、教学重点 运用探索、推理,充分把握圆中的垂径定理及其逆定理. 四、教学难点 运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明. 五、教学过程 (一)导入新课 引导学生说出点与圆的位置关系: (二)讲授新课 活动内容1: 探究1:圆的相关概念——弧、弦、直径 1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 2.连接圆上任意两点的线段叫做弦. 3.经过圆心的弦叫做直径 探究2: AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.

小明发现图中有: 理由: 连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB,OM=OM, ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, 和重合和重合 AC BC,AD BD. ∴== AC BC,AD BD. 活动2:探究归纳 定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.

(三)重难点精讲 例1.如图,在⊙O 中,CD 是直径,AB 是弦,且CD⊥AB,已知CD = 20,CM = 4,求 AB. 证明:连接OA , ∵ CD = 20,∴ AO = CO = 10. ∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6. 在⊙O 中,直径CD ⊥AB , ∴ AB =2AM , △OMA 是直角三角形. 在Rt △OMA 中,AO = 10,OM = 6, 根据勾股定理,得:2 22AO OM AM =+, AM 8===, ∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16. 例2.如图,两个圆都以点O 为圆心,小圆的弦CD 与大圆的弦AB 在同一条直线上.你认为AC 与BD 的大小有什么关系?为什么?

垂径定理教学设计

垂径定理(第一课时)教学设计 兰甲明 【教学内容】§7.3垂径定理(初三《几何》课本P 76~P 78) 【教学目标】 1.知识目标:①通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性; ②掌握垂径定理,理解其证明,并会用它解决有关的证明与计算问题; ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 2.能力目标:①通过定理探究,培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力; ②向学生渗透“由特殊到一般,再由一般到特殊”的基本思想方法。 3.情感目标:①结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透; ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】垂径定理的证明。 【教学方法】探究发现法。 【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。 【教学设计】 一、实例导入,激疑引趣 1.实例:同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文(初二语文第三册第一课·茅以 升),其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥 (如图)。因它位于现在的历史文化名城河北省赵 县(古称赵州)而得名,是世界上现存最早、保存 最好的巨大石拱桥,距今已有1400多年历史,被 誉为“华北四宝之一”,它的结构是当时世界桥梁 界的首创,这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 2.导入:赵州桥的桥拱呈圆弧形的(如图1),它的跨度(弧所对的弦长)为37.4 米,拱高(弧的中点到弦AB 的距离, 也叫弓高)为7.2米。请问:桥拱的 半径(即AB 所在圆的半径)是多少? 通过本节课的学习,我们将能很容易解决这一问题。 (图1) ⌒

二、尝试诱导,发现定理 1.复习过渡: ①如图2(a),弦AB 将⊙O 分成几部分?各部分的名称是什么? ②如图2(b),将弦AB 变成直径,⊙O 被分成的两部分各叫什么? ③在图2(b)中,若将⊙O 沿直径AB 对折,两部分是否重合? (a) (b) (a) (b) (c) (图2) (图3) 2.实验验证: 让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折,观察两部分是否重合;教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质—— 圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线(或直径所在的直线)都是它的对称轴。 3.运动变换: ①如图3(a),AB 、CD 是⊙O 的两条直径,图中有哪些相等的线段和相等的弧? ②如图3(b),当AB ⊥CD 时,图中又有哪些相等的线段和相等的弧? ③如图3(c),当AB 向下平移,变成非直径的弦时,图中还有哪些相等的线段和相等的弧?此外,还有其他的相等关系吗? 4.提出猜想:根据以上的研究和图3(c),我们可以大胆提出这样的猜想—— (板书) ?????===????⊥BD AD BC AC BD AE CD E AB,CD O 垂足为弦的直径是圆 5.验证猜想:教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD 对折,这条特殊直径两侧的图形能够完全重合,并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。 三、引导探究,证明定理 1.引导证明: 猜想是否正确,还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。 ①证明“AE=BE ”,可通过连结OA 、OB 来实现,利用等腰三角形性质证明。 ②证明“弧相等”,就是要证明它们“能够完全重合”,可利用圆的对称性证明。 B B B ⌒ ⌒ ⌒ ⌒

垂径定理教学设计

《24.1.2 垂径定理》教学设计柳城县寨隆镇中学覃光洋

学 案 导 案 (教学流程) 设计意图 2.你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么? 相等的线段: . 相等的弧: = ; = . 3.你能用一句话概括这些结论吗? 垂径定理:垂直于弦的直径 弦,并且 的两条弧. 4.你能用几何方法证明这些结论吗? 5.你能用符号语言表达这个结论吗? 如图2 CD 是直径(或CD 经过圆心),且CD AB ⊥ ∴ = ; = ; = (三)探究垂径定理的推论 如上图,若直径CD 平分弦AB 则 1.直径CD 是否垂直且平分弦所对的两条弧?如何证 明? 2.你能用一句话总结这个结论吗?(即推论:平分弦的直径也垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧) ③如果弦AB 是直径,以上结论还成立吗? 推论: _______________________________________________________________________. 符号语言:∵CD 是⊙O 的直径 又∵AE=BE ∴CD AB ⊥ = ; = . (四)探究:用垂径定理解决问题 已知:⊙O 的直径为10cm ,圆心O 到AB 的距离为3cm , 求弦AB 的长 归纳:圆中常用辅助线---作弦心距,构造Rt △.弦的一半(2 a )、弦心距(d)、半径(r )三个量的数量关系为 . 教师出示问题 学生小组讨论,发现垂径定理的证明方法,并由学生代表发言。 学生尝试将文字转变为符号语言,用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正。 教师提出问题,引导学生进行思考和讨论。 学生尝试得出垂径定理和推论,教师规 范并板书。 教师提醒学生此中的弦一定不能是直径。 学生先独立完成,再小组交流讨论,让一名学生展示。 教师讲评,引导学生联系弦、半径、弦心距等因素,从而构成直角三角形,利用 勾股定理解决问题。 培养学生的观察能力,概括能力,分析能力, 从而调动学生学习积极性,使学生主动的获得知识。 让学生进一步熟悉垂径定理的条件与结论,并为探索垂径定理的推论打基础。 让学生亲自探索出各条推论,以使学生以后在应用中可明明白白的应用。 巩固并熟练垂径定理的使用方法。 总结规律,培养学生的归纳总结能力。 C A B D E O C A B D E O (图2) (图1)

垂径定理的应用教案

课题:垂径定理的应用 一、引入:简要复习垂径定理及其推论的内容。 二、题组训练: 教学意图:通过题组训练强化学生对垂径定理及其推论的应用,在此过程中逐步渗透用方程思想来解决几何运算的问题,并介绍弓形的高的概念,目的是分解课本上例3“赵州桥问题”的难度,为下面顺利建立数学模型解决此例题做好准备。 1、已知:如图,⊙O 中, AB 为 弦,于D ,AB = 8cm ,OD = 3cm. 求 ⊙O 的半径OA. (直接应用垂径定理) 2、已知:如图,⊙O 中, AB 为 弦, OC 交AB 于D 且D 为AB 的中点,AB = 8cm ,OA = 5cm. 求CD. (应用垂径定理的推论) 3、已知:如图,⊙O 中, AB 为 弦,C 为 弧AB 的中点,OC 交 AB 于D ,AB = 6cm ,CD = 2cm. 求 ⊙O 的半径OA . (应用垂径定理的推论和方程的思想) 4、如图,在弓形ACB 中,AB =16cm ,弓形的高CD 为4cm ,求弓形所在的圆的半径。 (强化垂径定理和方程思想的运用,逐步渗透数学建模的思想。) 5、小结:对于一个圆中的弦长a 、圆心到弦的距离d 、圆半径r 、弓形高 h ,这四个量中,只要已知其中任意两个量,就可以求出另外两个量,如图有: (1)h d r +=;(2)222)2(h a r += 三、解决“赵州桥问题” 例3 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧 形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 米,拱高(弧的中点到弦的 距离,也叫弓形高)为7.2米,求桥拱的半径(精确到0.1米). 教学程序及意图说明: 1、先用图片和文字介绍赵州桥的历史和特点,激发学生学习的兴趣; 2、展示赵州桥的平面示意图,帮助学生理解题意并初步建立数学模型。 3、分析、讲解建模的过程,给出解题过程。 四、建模强化训练: 1、在直径为650mm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示.若油面 宽AB = 600mm ,求油的最大深度. 2、如图,某城市住宅社区,在相邻两楼之间修建一个上面是半圆,下面是矩形的仿古通道,其中半圆拱的圆心距地面2米,半径为1.3米,现有一辆高2.5米,宽2.3 米的送家具的卡车,问这辆卡车能否通过通道,请说明理由。 五、小结和布置作业。 ·A B O C D ·A B O C D A B

圆的垂径定理 优秀教学设计(教案)

24.1.2 垂直于弦的直径 一、教材分析 本节教学内容是新人教版九年级(上)第二十四章第一节圆的第二课时.本节教材是在学生学习了有关轴对称和中心对称性质之后对垂直于弦的直径和这弦的关系的学习,研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系.垂径定理的推证是以轴对称图形的性质和圆是轴对称图形的性质为依据的.本节内容是本章基础,是圆的有关计算和圆的有关证明一个重要工具.本节课的学习也为下节课奠定基础. 二、学情分析 通过对赵州桥历史的了解,让学生感受数学在生活中的运用,激发学习热情。同时在探究活动中,培养不断发现问题、通过合作交流解决问题。这样学生学会与人合作,并能与他人交流思维和得出探究的结果。通过探究活动,体验数学思维的严谨性。 三、教学目标1.理解圆是轴对称图形。 2.明确垂径定理的题设和结论及定理的推理过程。 3.能初步应用垂径定理进行计算和证明。 四、教学重点难点重点 垂径定理及应用。 难点 垂径定理的证明及应用。 五、教学过程设计1.问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?设计意图:创设问题情境,引入新课 2.把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论? 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 设计题图:复习圆是轴对称图形,直径所在直线是对称轴!

B A C E D O 3.如图,AB 是⊙O 的一条弦,做直径CD ,CD ⊥AB ,垂足为 E 。 (1)圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什 么? (2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什 么? 线段:AE=BE 弧:AC BC AD BD ==, 得垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。 设计意图:通过学生的观察,归纳,证明出垂径定理 4.得垂径定理推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 5.利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题 设计意图:利用垂径定理来解决实际问题,体现数学来源于生活,应用于生活! 6.随堂检测 1、如图1,如果AB 为⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为E ,那么下列结论中,?错误的是( ) A 、CE=DE B 、B C B D = C 、∠BAC=∠BAD D 、AC >AD 图1 图2 图3 2、如图2,⊙O 的直径为10,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3,则弦AB 的长是( ) A 、4 B 、6 C 、7 D 、8 3、某居民小区一处圆形下水管道破裂,维修人员准备更换一段新管道,如图3所示,污水水面宽度为60cm ,水面到管道顶部距离为10cm ,则修理人员应准备_________cm 内径的管道(内径指内部直径). 4、如图3,在⊙O 中,弦AB 的长为8cm ,圆心O 到AB 的距离为3cm.求:⊙O 的半径. 设计意图:灵活利用垂径定理来解决问题,体现出垂径定理的重要性! _B _A _O _M A B O

《垂径定理》公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】

《垂径定理》教学设计 圆是一种特殊图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形。该节内容分为2 课时。本节课是第1课时,学生通过前面的学习,能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。其对称 轴是任一条过圆心的直线。 【知识与能力目标】 1.理解圆的轴对称性及其相关性质; 2 .利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。 【过程与方法目标】 经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 【情感态度价值观目标】 1. 培养学生独立探索,相互合作交流的精神。 2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。 【教学重点】 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。 【教学难点】 和圆有关的相关概念的辨析理解。 (提前一天布置) 1. 每人制作两张圆纸片(最好用16K 打印纸) 2. 预习课本P 74~P 76内容 第一环节 复习提问

1、什么是轴对称图形?我们在学过哪些轴对称图形? 如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。 2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 归纳:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。 第二环节讲授新课 活动内容: (一)探索垂径定理。 做一做 1.在一张纸上任意画一个⊙O,沿圆周将圆剪下,把这个圆对折使圆的两半部分 重合。 2.得到一条折痕CD。 3.在⊙O上任取一点A,过点A作CD折痕的垂线,得到新的折痕,其中,点M 是两条折痕的交点,即垂足。 4.将纸打开,新的折痕与圆交于另一点B,如右图 问题:(1)观察右图,它是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些等量关系?说一说你的理由。 在⊙O中,AB为弦,CD为直径,CD⊥AB 提问:你在图中能找到哪些相等的量?并证明你猜想的结论。 证明过程见PPT。 几何语言

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