集合元素个数的计数公式

集合元素个数的计数公式

原创/O客

crad(A)表示集合A的元素个数。

如，crad（空集）＝0，

若crad（A）＝n，则A的子集有2^n个。n∈N。等等。

集合元素个数的计数公式

crad（A∪B）＝crad(A)+crad(B)-crad(A∩B)

用韦恩图很容易说明。

两个集合并集的元素个数，等于每个集合的元素个数相加，再减去它们交集的元素个数（因为被加了两次）。

同理

crad（A∪B∪C）＝crad(A)+crad(B)＋crad(C)-crad(A∩B)- crad(B ∩C)- crad(A∩C)+ crad(A∩B∩C)

三个集合并集的元素个数，等于每个集合的元素个数相加，再减去它们两两交集的元素个数，然后加上它们交集的个数（因为被加了三次，减了三次）。

应用举例

有一支测绘队,需24人参与测量,20人计算,16人绘图,测绘队的同学很多是多面手,有8人即参加了测量又参加了计算,有6人即测量又绘图,有4人即计算又绘图,另外还有一些人3样都参加,请问这个测绘队至少有多少人?

用三个集合元素的并集个数计算公式

x≥24＋20＋16－8－6－4

＝42（人）

这个测绘队至少有42人

高一数学集合

一、集合 ⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象 的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面 点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 例：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： ⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流； ⑶非负奇数；⑷某校2011级新生； ⑸血压很高的人； 例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。 练：A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32?A. 7.集合的分类 观察下列三个集合的元素个数 1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2. {x∈R∣0

阅读与思考集合中元素的个数 (5)

研究性学习课：集合中元素的个数(学案) 【课前导学】[知识回顾] 1．集合的含义及表示 (1)集合的含义：把研究对象叫做，一些元素组成的总体叫做．集合中元素的性质：、、．(2)元素与集合的关系：①属于，记为；②不属于，记为 . (3)集合的表示方法：、和．(4)常用数集的记法：自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集 . 2．集合间的基本关系 3．集合的基本运算

4.集合问题中的几个基本结论 (1)集合A 是其本身的子集，即 ；(2)子集关系的传递性，即A ?B ，B ?C ? ； (3)A ∪A ＝A ∩A ＝ ，A ∪?＝ ，A ∩?＝ ，?U U ＝ ，?U ?＝ . 对于2．集合间的基本关系和3．集合的基本运算，我们要关注文字语言、符号语言和图形语言以及记法之间的对应，相互理解与转化。它们反映了高中数学多语言的一大特点，相互转化理解是认知数学对象的有效方法。 [阅读思考] 阅读教材第13-14页，思考并完成下列问题： 1、什么叫有限集？集合按元素个数可分几类？ 2、有限集A 中元素的个数如何表示？=)(φcard ？在用Venn 图表示时该怎样书写？ 3、集合A B 中元素的个数等于集合A 与集合B 中元素个数之和吗？即()()()card A B card A card B =+成立吗？如果不成立，()card A B =？你能用Venn 图表示这个公式吗？ 4、你能通过具体的例子并结合Venn 图研究出三个有限集,,A B C 的并集的元素的个数计算公式吗？（用(),(),(),(),(),(),()card A card B card C card A B card A C card B C card A B C ）表示。 5、对于有限集合中元素的个数可以一一数出来比较。而对于元素个数无限的两个集合比较元素个数多少，你设计怎样的比较方法？例如：A={1,2,3,4,...,n ，...},B={2,4,6,8,...,2n ，...}谁的元素个数多？直线和线段都是点构成的集合，那么他们中元素点一样多吗？ 4.集合关系与运算的常用结论 (1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集个数为 个，非空子集个数为 个，真子集有 . (2)A ?B ?A ∩B ＝ ?A ∪B ＝ .

高一数学集合的元素个数

集合的元素个数 一、知识回顾 专题:集合中元素的个数 在研究集合时,经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集,用card(A)表示集合A 中元素的个数。例如:集合A={a,b,c}中有三个元素,我们记作card(A)=3、 结论:已知两个有限集合A,B,有:card(A ∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)、 二、例题导入 例1:学校先举办了一次田径运动会,某班有8名同学参赛,又举办了一次球类运动会,这个班有12名同学参赛,两次运动会都参赛的有3人,两次运动会中,这个班共有多少名同学参赛？ 解设A={田径运动会参赛的学生},B={球类运动会参赛的学生}, A∩B={两次运动会都参赛的学生},A ∪B={所有参赛的学生} 因此card(A ∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=8+12-3=17、 答:两次运动会中,这个班共有17名同学参赛、 演练: 1、 在某校高一(5)班的学生中参加物理课外小组的有20人参加数学课外小 组的有25人,既参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人,既未参加物理课外小组又未参加数学课外小组的有15人,则 这个班的学生总人数就是 A 、 70 B 、 55 C 、 50 D 、 无法确定 2、 给出下列命题: 给出下列命题: ① 若card(A)=card(B),则A=B; ② 若card(A)=card(B), 则card(A∩B)=card(A ∪B) , ③ 若A∩B=Φ 则card(A ∪B)-card(A)=card(B) ④ 若A=Φ ,则card(A∩B)=card(A) ⑤ 若A ?B,则card(A ∩B)=card(A) , 其中正确的命题的序号就是③④ 作业: 填空 1．已知全集U Z =,2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==,则U A C B I 为 2．设a b ∈R ，,集合{}10b a b a b a ??+=???? ，，，，,则b a -= 3．设集合M =},2 14|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=,则M N 。 (选填、、、?、＝、 N M ?、N M ?) 4．设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ? ?????∈≥+=R x x x x B ,03, 则A ∩B = 5．设P 与Q 就是两个集合,定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈?，且,如果{}2|log 1P x x =<,

第一讲 集合中的计数问题

第一讲---集合中的计数问题 一． 基本问题 1． 含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数； 2． 领悟容斥原理并简单的应用之. 二． 学习目标 1． 通过探究含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数，培养学生猜证结合的数学思想，渗透乘法计数原理和等比数列的基本内容； 2． 通过容斥原理的探究，加深学生对集合运算的理解，提高学生的逻辑推理能力. 3． 通过针对性的习题训练，培养学生分析问题的能力. 三． 课程内容 1．含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数 引例：（1）用列举法表示集合 9|_______9N x N x ??∈∈=? ?-?? ， （2）上述集合有多少个子集？ 答案：（1）{}9,3,1 （2）共有8个子集. 注：要求学生把8个子集列举出来. 问：如何探究含有n 个元素的集合的子集的个数规律呢？ 发现了什么样的规律呢？ 猜测：含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数为n n a 2=. 如何证明这一猜测呢？ 方法一 含有n+1个元素的集合的子集个数与含有n 个元素的集合的子集个数有什么关系吗？ 发现：集合每增加一个新元素x 时，若将元素x 加入到其原有的每一个子集，就可以得到同等数量的新的子集，故可知集合每增加一个元素，其子集个数翻倍。 即：)(21N n a a n n ∈=+. 又,21=a 所以n n n n n a a a a 222211221=====--- . 方法二 我们还可以发现：把一个子集的产生过程分成n 步，逐个确定每一个元素是否被选入，完成这一过程一共有多少种不同的方式，就对应多少个子集.

依据乘法计数原理：完成一件事需要n 步，每一步分别有n M M M ,,,21 种的方式，则完成这件事共有n M M M ??? 21种不同的方式. 可得含有)(N n n ∈个元素的集合的子集的个数为n n n a 2222=???= 例1 如果{}2,1,1-? A ?{}31|≤-∈x Z x ，则满足条件的集合A 有_______个. 解:{} {}4,3,2,1,0,1,231|--=≤-∈x Z x 所以满足条件的集合A 的个数等于集合{}4,3,0,2-的非空子集的个数，共15个. 总结：探究新问题时，要从简单的具体的情况入手，归纳多种特殊情况下结论的共性或关联，而后在想办法进行一般性论证。 2． 容斥原理及其应用 引例：如果集合A 中有10个元素，集合B 中有8个元素，问： （1） 集合中最多有多少个元素？最少有多少个元素？ （2） 如果集合B A ?中有15个元素，那么集合B A 中有多少个元素？ 由此例，可以总结出怎样的规律？ 设)(A N 表示集合A 中元素的个数，则)()()()(B A N B N A N B A N -+= 这就是统计两个集合元素个数的基本原理---容斥原理. 容斥原理可以拓展为求n 个集合元素总数的情形，它是以两个集合的容斥原理为基础的. 例2某学校先后举行数学、物理、化学三科知识竞赛，共有965人参赛，事后统计表明：数学答卷807份，物理答卷739份，化学答卷437份，又统计出有593人都参加了数学和物理竞赛，有371人都参加了数学和化学竞赛，有267人都参加了物理和化学竞赛，问： （1）其中参加数学或物理竞赛的同学共有多少人？没有参加数学或化学竞赛的共多少人？ （2）共有多少人参加了三科竞赛？ 解：设参加数学竞赛的同学构成集合A ，参加物理竞赛的同学构成集合B ，参加化学竞赛的同学构成集合C ，由已知可知：437)(,739)(,807)(===C N B N A N 而267)(,371)(,593 )(===C B N C A N B A N ，且965)(=C B A N （1） 参加数学或物理竞赛的总人数953593739807)(=-+=B A N ，而没有参加数 学或化学竞赛的人数为1371437807965)(965=+--=-C A N 92= （2） 所求?)(=C B A N 依据容斥原理，可以得到如下公式： )()()()()()()()(C B A N C B N C A N B A N C N B N A N C B A N +---++=所以213267371593437739807965)(=+++---=C B A N

高中数学《第一章集合与函数概念1.1集合阅读与思考集合中元素的个数...》437教案教学设计讲

教学设计 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课 型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题

中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3. 思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

多个集合并集中元素计算公式

多个集合并集中元素计算公式 (容斥定理的应用组合数学的内容 card(A∪B)=card（A）+card（B）-card（A∩B） card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（A∩C）-card（B∩C）+card（A∩B∩C） card（A∪B∪C∪D）=card（A）+card（B）+card（C）+card（D）-card（A∩B）-card（A∩C）-card（B∩C）-card（A∩D）+card（A∩B∩C）+card（A∩B∩D）+card（B∩C∩D）-card（A∩B∩C∩D） 更一般的容斥定理： n(A1∪A2∪...∪Am)=∑n(Ai)1≤i≤m－∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m＋ ∑n(Ai∩Aj∩Ak)－…＋(-1)m-1n(A1∩A2…∩Am)1≤I,j,k≤m 注：m-1是-1的指数。就是说求几个集合的并集可以先把他们统统加起来 但是这样做有些地方就多加了，那么就要减掉一些（由公式来判断什么需要减去），但是这样做有些地方就多减了，那么就要加上一些（由公式来判断什么需要加上）。 ...... 举个例子吧 集合 a1 , a2 , a3 a1={ 1 , 2 , 3 ，4 } a2={ 2 , 3 , 4 ，5 } a3={ 3 , 4 , 5 ，1 } 求三个集合的并集 按照这个公式 ∑n(Ai)1≤i≤m = a1 + a2 + a3 = { 1 , 2 , 3 ，4 , 2 , 3 , 4 ，5 , 3 , 4 , 5 ，1 } ∑n(Ai∩Aj)1≤i≤j≤m = (a1∩a2 + a2∩a3 + a3∩a1) = { 2 , 3 , 4 } +{ 3 , 4 , 5 } + { 3 ，4 , 1} ∑n(Ai∩Aj∩Ak)1≤i≤j≤m = (a1∩a2∩a3) = { 3 , 4 } 代入公式 三个集合的并集= a1 + a2 + a3 - (a1∩a2 + a2∩a3 + a3∩a1) + (a1∩a2∩a3) = { 1 , 2 , 3 ，4 , 2 , 3 , 4 ，5 , 3 , 4 , 5 ，1 } - ( { 2 , 3 , 4 } +{ 3 , 4 , 5 } + { 3 ，4 , 1 } ) + ( { 3 , 4 } ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

高一数学必修一各章知识：集合的中元素的三个特

高一数学必修一各章知识：集合的中元素的 三个特 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队

员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系

元素与集合之间的基本关系

第一课元素与集合之间的关系 、考点 1、 集合、元素 某些指定的对象集在一起就成为一个集合（常用大写字母表示），其中每一个对 象叫做元素（常用小写字母表示）。 元素三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 集合与元素之间的关系 （1） 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ,记做a A 。 （2） 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ,记做a A 。 3、 集合的表示法：列举法、描述法 4、 集合的分类：空集、有限集、 5、 常用数集 实数集：R 有理数 集： 整数集：Z 自然数集： 正整数集: 6集合与集合之间的关系 7、集合之间的运算 、典型例题 o 无限集 A 、( 0,2 ) B 、[0,2] C {0,2} D 、 {0,1,2} 2、设 P = {1,2,3,4} , Q= {4,5,6,7,8}, 定义 P*Q = {(a , b)|a € 中兀素的个数为（ ) A. 4 B .5 C 19 D .20 3、已知集合A={ (x , y ) |x , y 为实数， 且x 2 y 2 1} , B={(: y=x}，则 A B 的兀素个数为（） A 、0 B 、1 C 、 2 D 、3 4、设集合A x x-a 1, x R , B x x -b 2, x R , 必满足（ ) |x , y 为实数，且 B ，则实数a , b a-b a-b 5、已知集合A Rx 2 ，集合 B x R x -m x-2 0 ，且 A B -1, n ，则m 1 已知集合 A={x||x| < 2, x R}, 3 A B P , b € Q a 工 b}，贝U P*Q x , y ) 若A a b a b 3 B={x| 、、x w 4, x Z}，则 A B=()

1.设集合,则中元素的个数为

1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B 中元素的个数为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．“a b >”是 “22a b >”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．双曲线22 2214x y a a -=(0)a >的离心率为 5．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-） ，若a b ⊥，则tan α的值为 A. 2- B. 2 C.12 D. 1 2 - 6．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1 (2,)2 ，则其反函数的解析式为 A. 4x y = B.4log y x = C.2x y = D. 1 ()2 x y = 7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1 40名职工进行调查.则应从40-508．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤?? ≤??-≤? ， ，表示的平面区域的面积为 图1 A. 14 B.5 C. 3 D. 7 9．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则； B.若,,//m l m l αα⊥⊥则； C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则； D.若,//,,//,//m m l l αββααβ??则. 10. 对任意的a 、b R ∈，定义：min{,}a b =,().()a a b b a b

集合元素个数的计数公式

集合元素个数的计数公式 原创/O客 crad(A)表示集合A的元素个数。 如，crad（空集）＝0， 若crad（A）＝n，则A的子集有2^n个。n∈N。等等。 集合元素个数的计数公式 crad（A∪B）＝crad(A)+crad(B)-crad(A∩B) 用韦恩图很容易说明。 两个集合并集的元素个数，等于每个集合的元素个数相加，再减去它们交集的元素个数（因为被加了两次）。 同理 crad（A∪B∪C）＝crad(A)+crad(B)＋crad(C)-crad(A∩B)- crad(B ∩C)- crad(A∩C)+ crad(A∩B∩C) 三个集合并集的元素个数，等于每个集合的元素个数相加，再减去它们两两交集的元素个数，然后加上它们交集的个数（因为被加了三次，减了三次）。 应用举例

有一支测绘队,需24人参与测量,20人计算,16人绘图,测绘队的同学很多是多面手,有8人即参加了测量又参加了计算,有6人即测量又绘图,有4人即计算又绘图,另外还有一些人3样都参加,请问这个测绘队至少有多少人? 用三个集合元素的并集个数计算公式 x≥24＋20＋16－8－6－4 ＝42（人） 这个测绘队至少有42人

人生中每一次对自己心灵的释惑，都是一种修行，都是一种成长。相信生命中的每一次磨砺，都会让自己的人生折射出异常的光芒，都会让自己的身心焕发出不一样的香味。 我们常常用人生中的一些痛，换得人生的一份成熟与成长，用一些不可避免的遗憾，换取生命的一份美丽。在大风大雨，大风大浪，大悲大喜之后，沉淀出一份人生的淡然与淡泊，静好与安宁，深邃与宽厚，慈悲与欣然…… 生活里的每个人，都是我们的一面镜子，你给别人什么，别人就会回待你什么。当你为一件事情不悦的时候，应该想想你给过人家怎样负面的情绪。 世界上的幸福，没有一处不是来自用心经营和珍惜。当你一味的去挑剔指责别人的时候，有没有反思过自己是否做得尽善尽美呢？ 假如你的心太过自我，不懂得经营和善待，不懂得尊重他人的感受，那么你永远也不会获得真正的爱和幸福…… 人生就像一场旅行，我们所行走的每一步都是在丰富生命的意义。我们一边穿越在陌生的吸引里，一边咀嚼回味着一抹远走光阴的旧味，一切都是不可预料，一切又似在预料之中。 人生看的多了，走的多了，经历的多了，也就懂得多了。每一份深刻的感悟大多来自一个人深刻的经历。 人生总有那么一两件重大的事情让你成熟和改变。这份错失，会让你反思自己，检讨自己，叩问自己，也让你意识到了自己真正的缺失，这或许就是一份痛苦的领悟吧！ 人生可以平平淡淡，亦可以异彩纷呈。相信只要自己的德馨足够善美，上天就会把最好的一切赐予你。予人快乐，收获快乐；予人幸福，收获幸福；予人真情，收获厚意。人生的一切往来皆有因果，生活只善待有心人…… 假如你有一颗计较的心，你就会很难获得一份幸福。当一个人放下了自己内心的那份累心的奢求，你的心空就会变得更加蔚蓝干净。 宽容，不仅是一种豁达的态度，更是一种心灵的品德，是一种处事的修行，宽容别人不是低矮了自己，而是释放了自己，升华了自己。你把世界宽待在心中，世界也同样装饰了你的一份美丽。 当你简约、释然了自己的时候，你会发现另一份生命中的快乐。那快乐是发自一颗简单的心，那快乐是从心灵的草地里欢快的迸发出来，通过你温柔的眼眸和开心的笑声来传递。

集合子集个数

一集合A的子集个数 1 n个元素每个都有两种选择，即有或没有，那么n个元素就有2^n种 2 有n个元素，每个元素进行一次判断要不要把它选出来放进子集里，。。。这样子判断n次，产生了2^n种不同子集 二若集合A有n个元素，则集合A的子集个数为2^n（即2的n次方）真子集个数是什么非空真子集个数是什么并证明 最佳答案 2^n - 1, 2^n - 2 证：设元素编号为1, 2, ... n。每个子集对应一个长度为n的二进制数, 数的第i位为1表示元素i在集合中，0表示元素i不在集合中。 00...0(n个0) ~ 11...1(n个1) [二进制] 一共有2^n个数，因此对应2^n个子集，去掉11...1(即全1，表示原来的集合A)则有2^n-1个真子集，再去掉00...0(即全0，表示空集）则有2^n-2个非空真子集 比如说集合{a, b, c}元素编号为a--1, b--2, c--3 111 <--> {a, b, c} --> 即集合A 110 <--> {a, b, } --> 元素1(a), 元素2(b)在子集中 101 <--> {a, , c} --> 元素1(a), 元素3(c)在子集中 ... ... 001 <--> { , , c} 000 <--> { , , } --> 即空集 如果你学过排列组合，可以有更简单的证明。 三关于含有n个元素的集合的真子集个数问题 最近发现这么一类问题，让你求对于含有n个元素的集合，其含有m个元素真子集的个数是多少？（n>m） 这里有一道例题： 1个集合里有10个元素，那么他有3个元素的子集是多少个？ 首先，我们来逐步解决这个问题。 引入一：1个集合里有10个元素，那么他有1个元素的子集是多少个？ 答：这个貌似不用说都知道吧。。。10个。。。这个小学生都会做。。。即有n个 引入二：1个集合里有10个元素，那么他有2个元素的子集是多少个？ 答：这个就有一些难度了，但并不很难，这里有一个思路： 先定住一个元素，然后另一个元素逐渐往后移动，可能我说不清楚，请看图解： （◎定住元素★移动元素☆其他元素，下同） ◎★☆☆☆☆☆☆☆☆ 下一步是：

2第二讲 集合中的计数问题

第二讲 集合中的计数问题 知识要点：n 个元素的集合的子集个数；容斥原理。 1. 已知集合,,A B C (不必相异)的并集{},,,A B C a b c d =，求满足条件的有序三元组(,,)A B C 的个数. 2. 求满足{}1 2312,,,m n A A A A a a a =的集合组12(,,,)m A A A 的个数. 3. 称有限集S 的所有元素的乘积为S 的“积数”，给定数集111,, ,23100M ??=????, ①求 M 的所有非空子集的“积数”之和 ②求集M 的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和 4. 对于集合{}1,2,,n 和它的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把集合中的 数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（例如{}1,2,4,6,9的交替 和是964216,-+-+=而{}5的交替和就是5）.对于7n =，求所有这些交替和的总和. 5.设集合{}1,2.1000M =,现对于M 的任一非空子集x .令x ?表示x 中最大数与最小数 之和，那么所有这样的x ?的算术平均值为多少？ 6． 设集合{}1,2,3, ,100A ?,且对,x y A ?∈，有2x y ≠，求子集A 中所含元素个数的 最大值.

7.已知集合{}7,6,5,4,3,2=A 对于,X A ?定义()S X 为X 中所有元素之和，求全体() S X 的总和. 8.设{}1995,,2,1 =M ,,M A ?且当A x ∈时，A x ?15,求)(A card 的最大值. 9.设{ }B n n A ,12,2,,3,2,1+= 是A 的一个子集，且B 中的任意三个不同元素z y x ,,，都 有z y x ≠+，求B 的最大值. 10.设A 是{ }2000,,2,1 的子集，)(A card ,1000≥证明：要么A 中有一个数为2的幂，要么A 中存在两个数b a ,，使b a +为2的幂. 11. 已知集合S 中有10个元素，每个元素都是两位数，求证：一定可以从S 中取出两个无 公共元集的子集，使两个子集的元素和相等.

高中数学《第一章集合与函数概念1.1集合阅读与思考集合中元素的个数...》491教案教学设计讲

§1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感、态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二．重点难点 1.重点：集合的基本概念与表示方法 2.难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。

三．教学方法： 引导发现和归纳概括相结合的教学方法。 四．教学手段： 多媒体。 五．教学过程： 1.导入新课 军训前学校通知：8月15日8点，高一年级学生到操场集合进行军训.试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是 高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学 习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体。 2 .初中时你听说过“集合”这一词吗？你在学习那些知识点中提到了“集合” 这一词？（试举几例）问题设计意图：结合学生已有知识经验，启发学生思考，激发学生学习兴趣。 （引导学生回忆、举例，对学生活动评价） 不等式的解集:一般地，一个含有未知数的不等式的解组成的集合，如组成这个不等式X-7<3的解的集合。

圆:集合中，圆的概念是用集合描述的，到一个定点的距离等于定长的点的集合。 数集：自然数的集合，有理数的集合，分数的集合等。 3． 教学内容 1】 集合的含义 下面再来看课本第2页中间的八个例子。 提问 1、教材第2页的（3）-(8)例子中元素是什么？集合是什么？ 2、2008年厦门市中考所有考生，元素是什么？集合是什么？ 3、本教室内所有人，元素是什么？集合是什么？ 4、一副扑克牌，元素是什么？集合是什么？ 5、《魔兽》游戏超级爱好者，能否组成集合？ 通过上面的教学大家现在对集合、元素已有一定的概念，那么从特殊到一般，我们对元素、集合给出一个定义。 1、那么什么叫元素？集合？ 概念：一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 （通俗一点说：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集

高一集合__易错题解析

高一数学----集合的“三性”及应用 集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错． 下面就集合元素的这三个性质及应用加以说明． 一、注意正确理解其意义 1．确定性： 即对任意给定的对象，相对于某个集合来说，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，二者必居其一，关键是理解“确定”的含义．2．互异性： 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的），即同一个集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入任一个集合时，只能作为这个集合的一个元素． 3．无序性： 由于集合中元素是确定且是互异的，元素完全相同的集合是相等的集合，因此，集合中的元素与顺序无关． 二、注意正确利用三性解题 例1下列命题正确的有哪几个？ ⑴很小的实数可以构成集合； ⑵集合｛1，5｝与集合｛5，1｝是不同的集合； ⑶集合｛（1，5）｝与集合｛（5，1）｝是同一个集合；

⑷由1，，，∣－∣，0.5 这些数组成的集合有5个元素． 分析：这类题目主要考查对集合概念的理解，解决这类问题的关键是以集合中元素的确定性、互异性、无序性为标准作出判断． 解：⑴很小是一个模糊概念，没有明确的标准，故我们很难确定某一个对象是否在其中，不符合集合元素的确定性，因此，“很小的实数”不能构成集合，故⑴错． ⑵｛1，5｝是由两个数1，5组成的集合，根据集合元素的无序性，它与｛5，1｝是同一个集合，故⑵错． ⑶｛（1，5）｝是由一个点（1，5）组成的单元素集合，由于（1，5）与（5，1）表示两个不同的点，所以｛（1，5）｝和｛（5，1）｝是不同的两个集合，故⑶错． ⑷＝，∣－∣＝0.5，因此，由1，，，∣－∣，0.5 这些数组成的集合为｛1，，0.5｝，共有3个元素．因此，⑷也错． 例2已知集合A＝｛，＋，＋2｝，B＝｛，，｝，其中，A＝B，求的值． 分析：本题最常见的错误是认为这两个集合的对应项相同，列出相应的关系式，然后求出的值，这显然违背了集合的无序性． 解：∵A＝B，及集合元素的无序性， ∴有以下两种情形： ① 消去，解得＝1，此时＝＝，与集合中元素的互异性矛盾，∴1． ②消去，解得＝－，或＝1（舍去），故的值为－．

高中数学《第一章集合与函数概念1.1集合阅读与思考集合中元素的个数...》494教案教学设计讲

思路在练中清晰，目标在练中明确，知识在练中巩固，能力在练中形成，技巧在练中掌握，成绩在练中提高! 《解三角形》知识点总结2016.12.29 一.正弦定理： 1.正弦定理： RCcBbAa2sinsinsin（其中R是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sinsinsinsinsinsinabcabcCC． 2）化边为角：CBAcbasin:sin:sin::； ;sinsinBAba ;sinsinCBcb ;sinsinCAca 3）化边为角：CRcBRbARasin2,sin2,sin2 4）化角为边： ;sinsinbaBA ;sinsincbCB;sinsincaCA 5）化角为边： RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。(注意解的个数)

如：①已知32,2,60baA,求B(有一个解) ②已知32,2,60abA,求B(有两个解) 二.三角形面积 1.BacAbcCabSABCsin21sin21sin21 2. rcbaSABC)(21,其中r是三角形内切圆半径. 三.余弦定理 1.余弦定理Abccbacos2222 Baccabcos2222 Cabbaccos2222 2.变形：bcacbA2cos222 acbcaB2cos222 abcbaC2cos222 注意整体代入，如：21cos222Bacbca 3．用余弦定理判断三角形形状：设a、b、c是C的角、、C 的对边，则：①若，，所以为锐角 ②若为直角Aabc222 ③若， 则为钝角，是钝角三角形 思路在练中清晰，目标在练中明确，知识在练中巩固，能力在练中形成，技巧在练中掌握，成绩在练中提高! 四、应用题

《集合中元素的个数》研究性学习设计

《集合中元素的个数》研究性学习设计 作者姓名任职单位 学科数学年级高一 单元标题集合中元素的个数 研究性学习名称集合中元素的个数 所需时间1课时 一、【学习目标】（或概述） 1、知识目标：通过集合中元素的个数问题的研究，探求有限集合中元素个数间的关系，比较几个集合中元素个数的多少的方法。 2、能力目标：能多方面、多角度、多层面来探究问题，运用知识来解决问题，培养学生的发散思维和创新思维能力。 3、情感目标：学该课题的研究，激发学生的学习热情和学习兴趣，享受探索成功的乐趣，培养科学态度与科学精神。 二、【情境】 借助多媒体展示学生身边的三个问题激发学生好奇心，引导学生思考如何计算集合中元素的个数，探求有限集合中元素个数间的关系，比较几个集合中元素个数的多少的方法。 三、【任务与预期成果】 1、任务：集合中元素个数的探究 探究求集合中元素个数的方法 2、预期成果 （1）通过集合中元素的个数问题的研究，探求有限集合中元素个数间的关系，比较几个集合中元素个数的多少的方法。 （2）能多方面、多角度、多层面来探究问题，运用知识来解决问题，培养学生的发散思维和创新思维能力。

四、【过程】（过程要体现研究性学习的主要环节） 1、出示活动内容与思考的问题（5分钟） （1）、学校小卖部进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？回答两次一共进了10（6+4）种，对吗？应如何解答？有哪些方法？因此可以得出什么结论（集合中元素个数间的关系）？ （2）、学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？应如何解答？由此解出以下结论（集合中元素个数间的关系）？又如：某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人是多少？应如何解答？ （3）涉及三个及三个以上，集合的并、交问题，能用类似的结论吗？应怎样表达？如：学校开运动会，设，，。若参加一百米的同学有5人，参加二百米跑的同学有6人，参加四百米跑的同学有7人，参加一百、二百同学有2人，参加一百、四百的同学有3人，参加二百、四百的同学有5人，三项都参加的人有1人，求有多少人参赛？ （4）设计比较集合A与集合B中元素的个数的多少的方法。 2、活动分工及时间安排（25分钟） 全班以大组为单位（共四个大组）来研究以上4个问题。第一大组研究（1）问题，第二大组研究（2）个问题，第三大组研究（3）个问题，第四大组研究（4）个问题。要求每组由学生自行确定一位负责人，并由此同学组织具体活动，明确该同学是下步活动交流中心发言人。有余力的组可协助思考其它组的问题。教师下到各组视察，了解情况，并作必要的指导。 3、活动交流（15分钟）

高中数学中集合的概念与运算的解题归纳

§1.1 集合的概念与运算 一、知识导学 1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合. 2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元. 3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若A a ?则B a ∈），则称 集合A 为集合B 的子集，记为A ?B 或B ?A ；如果A ?B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A. 4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ?B 、B ?A ，则A=B. 5.补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记 为 A C s . 6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常 记作U. 7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集， 记作A ?B. 8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并 集，记作A ?B. 9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ. 10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集. 11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集. 12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）. 13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N +或N *，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R . 二、疑难知识导析 1.符号?，，?，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“?”包括“”和“=”两种情况，同样“?”包括“”和“=”两种情况.符号∈，?表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别. 2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”. 3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质. 4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式 中，B =Φ易漏掉的情况. 5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之. 6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏. 7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来.

元素与集合练习题(内含详细答案)

元素与集合练习题（内含详细答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．_____ 横线上可以填入的符号有（） A．只有B．只有 C．与都可以D．与都不可以 2．设集合，，则集合是（）A．B．C．D． 3．已知，则实数的值为（） A．B．C．D． 4．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（）A．B．C．D． 5．若集合A＝，则下列关系错误的是( ) A．B．C．D． 6．若，则实数的值为（） A．B．1 C．1或D．1或3 7．若集合M={x|x≤6}，a=2，则下面结论中正确的是（） A．B．C．D． 二、填空题 8．若，则的值为________． 9．用符号“”或“” ________． （1）；（2）；（3）；（4）．10．集合，则集合A中所有元素之积为_______.

11．设集合，，，，且在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对表示的点中，任取一个，其落在圆内（不含边界）的概率恰为，则的所有可能的正整数值是______． 12．已知集合中只有一个元素，则实数k的值为______． 三、解答题 13．已知, ,求实数的值. 14．已知集合，7，，，且，求集合B． 15．已知集合1，，且，试写出集合A的子集．

答案 一、单选题 1．_____ 横线上可以填入的符号有（） A．只有B．只有 C．与都可以D．与都不可以 【答案】C 【解析】 【分析】 利用元素与集合的关系、集合与集合的关系直接求解． 【详解】 解：， 或． 故选：C． 【点睛】 本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．设集合，，则集合是（）A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 【分析】 解方程得到集合；根据，即可求出集合. 【详解】 解方程得或， 因为，所以或， 因此，或，故，，