关系运算----关系演算

2.4 关系运算(二)——关系演算

关系代数是将整个关系看作变元，并以其作为基本运算单位，同时以集合方法为关系运算的理论基础。如果将组成关系的基本成分例如元组或者属性域看作变量，以其作为基本运算单位，同时以数理逻辑中谓词演算为相应关系演算的理论基础，就得到了另外一种形式的关系数据语言——关系演算。

关系演算基于谓词演算。在谓词演算中，如果谓词中的变元是关系中的元组，则得到所谓元组关系演算；如果谓词中的变元是关系中的属性域，则得到所谓域关系演算。这样，关系演算就分为元组关系演算和域关系演算两类。

在 2.4节和2.5节，均以本章 2.3.4节中的关系数据库{S,C,SC}为背景举例。这里S (S#,Sn,Sex,Sa,Sd)；C (C#,Cn,P#,Tn)；SC (S#,C#,G)，其中各个属性的含义见2.3.4节。

2.4.1 元组关系演算

如果在一阶谓词演算表达式中，变量是以元组为演算单位，就称其为元组关系演算(Tuple Relation Calculus)，其中元组变量表示关系中的元组，变量取值范围是整个关系。

1. 关系的元组演算表示

(1) 关系与谓词的对应

为了得到关系操作的元组关系演算表达式，需要考虑关系与谓词的联系。

z由关系R确定的谓词P

在数理逻辑中我们知道，关系可用谓词表示，n元关系可以由n元谓词表示。

设有关系R，它有元组(r1,r2,…,r m)，定义关系R对应如下一个谓词

P (x1,x2, …,x n)。

当t =(r1,r2, …,r m)属于R时，t为P的成真的真值指派，而其他不在R中的任意元组t则是P 的成假指派。即是说，由关系R定义一个谓词P具有如下性质：

P(t) = T (当t在R中)；

P(t) = F (当t不在R中)。

z由谓词P表示关系R

由于关系代数中R是元组集合，一般而言，集合是可以用满足它的某种特殊性质来刻画与表示。如果谓词P表述了关系R中元组的本质特性，就可以将关系R写为：

R={t | P(t)}

这个公式就建立了关系(元组集合)的谓词表示，称之为关系演算表达式。

(2) 元组关系演算表达式

元组关系演算表达式的严格数学描述是由“归纳定义”方式完成的。按照通常的思路，元组演算表达式是由“关系演算公式”组成；“关系演算公式”是由“原子公式”组成。

①原子公式

下述三类称为元组演算原子公式，简称原子公式：

z谓词R(t)是原子公式。

z u(i)θv(j)是原子公式。

z u(i)θa是原子公式。

其中，t =(r1,r2,…,r m)是P的成真指派；u(i)表示元组u的第i个分量，v(j)表示元组v的第j 个分量；a是常量，u(i)θa表示u的第i个分量与常量a有关系θ。

② 关系演算公式

利用原子公式可以递归定义关系演算公式：

z 原子公式是公式。

z 如果φ1，φ2是公式，则φ1∧φ2，φ1∨φ2，φ1→φ2和?φ1均是公式。

z

如果φ是公式，r 是φ中自由变元，则?r(φ)，?r(φ)是公式。

z 所有公式由且仅由上述三种方式经过有限次操作生成。

在公式中，各种运算的优先次序规定如下：

z 比较运算符：<、>、≤、≥、=、≠。 z

量词：、?。

?z 否定词：?。

z 合取、析取、蕴含运算符：∧、∨、→。

③ 关系演算表达式

有了公式φ的概念，以公式φ作为特性就构成一个有若干元组组成的集合，即关系R ，这种形式的元组集合就称其为关系演算表达式。关系演算表达式的一般形式为： {t | φ(t)}

其中，φ(t)为公式，t 为φ中出现的自由变元。关系演算表达式也简称为关系表达式或者表达式。

2. 关系操作的元组演算表示

关系操作由5种基本操作，它们在关系代数中分别对应5种基本运算，这5种基本运算可以用一阶谓词演算中的公式表示。

设有关系R 、S ，其谓词表示为R(t)和S(t)，此时有

z R S={t | R(t)S(t)}；

∪∨z

R – S = (t | R(t)?S(t))； ∧z

σF (R)= {t | R(t)F} ，其中F 是一个谓词公式； ∧z

(k)ui1,ui2,uik (R)={t |(u)R(u)∏?…t(1)=u(i1)t(2)=u(i2)t(k)=u(ik)}∧∧∧∧

其中t (k)所表示的元组有k 个分量，而t(i)表示t 的第i 个分量，u(j)表示u 的第j 个分量。

(r+s)R S={t |u v(R(u)S(v)t(1)=u(i1)t(2)=u(i2)

t(r)=u(ir)t(r+1)=v(j1)t(r+2)=v(j2) t(r+s)=v(js))}

×??∧∧∧∧∧∧∧∧∧

例2-20 查询计算机科学系(CS)全体学生

S cs ={t | S(t)∧t[5]= 'CS' }

例2-21 查询年龄大于20岁的学生姓名：

S 20={t | S(t)∧t[4]<20 }

例2-22 查询学生姓名和所在系：

S 1={t (2)| (?u)(S(u)∧t[1]=u[2]∧t[1]=u[5] )

2.4.2 域关系演算

1. 关系的域演算表示

域关系演算(Domain Relation Calculus)简称为域演算，它是关系演算的另外一种形式。域关系和元组关系演算十分类似，这是因为它们都建立在谓词演算之上；两者又有区别，这

是因为有两点不同：其一是谓词变元的不同，元组演算以元组为变元，域演算以元组的分量即属性域为变元，而在实际上，人们就将关系的属性名视为域变元；其二是元组变元的变化范围为整个关系，而域变元的变化范围是某个属性域。域演算表达式的一般形式为：

{t 1,t 2,…,t k | P(t 1,t 2,…,t k )}

其中，t 1,t 2,…,t k 是域变量，P(t 1,t 2,…,t k )是域演算表达式。

为了揭示域演算表达式的语义，我们同样需要进行递归定义。

(1) 原子公式

下述三类称为域演算原子公式，简称原子公式：

z 如果R(t 1,t 2,…,t k )表示命题“以t 1,t 2,…,t k 为分量的元组在关系R 之中”，则R(t 1,t 2,…,t k )

是原子公式，其中，R 是k 元关系，t i 是t 的第i 个分量；

z t i θC 或者C θt i 是原子公式，其中t i 是元组变量的第i 个分量，C 是常量，θ是算数比较

符；

z t i θ u j 是原子公式，其中，t i 表示元组变量t 的第i 个分量，u j 表示元组变量u 的第j 个分

量，它们之间满足运算θ。

例如 t 1=>u 4表示t 的第一个分量大于等于u 的第四个分量。

(2) 域演算公式

域演算公式(简称为公式)可以递归定义如下：

z 原子公式是公式。

z 如果φ1，φ2是公式，则φ1∧φ2，φ1∨φ2，φ1→φ2和?φ1均是公式。

z

如果φ1是公式，?t i (φl )，?t i (φl )是公式。

z 所有公式由且仅由上述三种方式经过有限次操作生成。

例如φ(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=S(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)∧(x 5>21)∨?x 4='M'是一个域演算公式。

域演算公式φ中变量的自由出现与约束出现、公式中自由变量x 的型T(x,φ)以及域演算合法公式、域常量带入公式的规则和公式的解释规则等均与元组演算类似。下面举例说明。

例2-23 设φ=z[Sex](S(x ?1 x 2 z x 4 22))∧?z='M'，则x 1，x 2，x 4在φ中为自由变量，x 3为约束变量。

例2-24 设φ=x ?2[Sn ，Sex] y ?1(C#)(S(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)∧x 5

例2-25 查询所有女生的S#、Sn ，Sex 、Sa 和Sd 。

{x 1[S#]x 2[Sn]x 3[Sex]x 4[Sa]x 5[Sd] | XS(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5) ∧x 3='F'}

例2-26 查询所有男生的S#、Sa 。

{x 1[S#]x 2[Sa] | ?y 1y 2y 3y 4y 5(XS(y 1，y 2，y 3，y 4，y 5))∧x 3='M' ∧y 1=x 1 y ∧4=x 2}

例2-27 查询所有年龄小于20岁的男生的S#、C#和G 。

{x 1[S#]x 2[C#]x 3[G] |y ?1y 2y 3y 4y 5(XS(y 1,y 2,y 3,y 4,y 5))∧x 3='M'∧y 4<20z ∧?1z 2z 3 (XSC(z 1z 2z 3)z ∧1=y 1 z ∧2=x 2 z ∧3=x 3)y 2=x 1}

2.4.3 关系运算的安全性

1. 安全性问题的提出

对于任何一个计算机系统来说，它都要受到两个“有限”的制约：

z 系统的存储容量是有限的，它不可能存储无限关系。这里所说的“无限关系”是指

元组个数为无限的关系。

z

系统的计算速度是有限的，在计算机上进行无限次运算是无法得到正确结果的，因为运算总是不会完结。

为了使关系运算能够在一个计算机系统中有效进行，应当避免上述两种情况的发生，需要对关系运算符加上必要的限制，采取一定措施。在数据库技术中，称不出现无限关系和无限运算的关系运算过程是安全的，相应的关系运算表达式就称为是安全表达式，为了得到安全表达式所采取的措施称为安全性限制或安全性约束。 2. 关系运算中安全性分析

关系代数基于集合理论，关系演算基于数理逻辑，两者之间有着密切关系，这就使得我们可以有统一的观点来分析关系运算中的安全性问题。

在实际运算当中，人们实际上是自觉或不自觉地假定所涉及的初始对象是“有限”的，但这并不能自动得到运算过程或者运算结果就一定“不涉及”到无限。例如在集合运算中，即使初始集合是“有限”的，但如果对其进行“补”运算，有限集合的“补集”就有可能是无限集合。

在关系代数当中，任何一个关系代数表达式，只要是有限关系，由于其中只包含有限次代数运算，而这些运算只能是并运算、差运算、广义笛卡尔乘积运算、选择运算和投影运算5种基本运算，不存在集合的“补运算”，所以关系代数运算总是安全的。

在关系演算当中，尽管初始情形可以是有限的，也有可能出现无限关系的问题和无限运算的过程。例如在元组关系演算表达式中，就有下述两种情况：

z 对于表达式{t| R(t)}，其语义是所有不在关系R 中的元组集合。如果关系中某一

属性的定义域是无限的，则{t|??R(t)}就是一个具有无限元组的集合，此时该式表示的关系就是一个无限关系的问题，要求出它的所有元组是不可能的。

z 另外，如果要判定表达式(?t)(w(t))为假，必须对t 的所有可能取值进行验证，当且

仅当其中没有一个值为真时，才可判定该表达式为假，如果t 的取值范围是无穷的，则验证过程就是无限的。

由此可见，在关系演算中，必须要有安全限制的相应措施，方可保证关系演算表达式是安全的。

3. 关系演算中的安全性限制

对元组演算表达式进行安全性限制，通常的做法是对其中的公式φ进行限制。对于φ来说，定义一个有限的符号集DOM(φ)，φ的符号集DOM(φ)由两类符号组成：

z φ中的常量符号。

z φ中涉及的所有关系的所有元组的各个分量。

由于DOM(φ)是有限集合，如果将关系演算限制在DOM(φ)上就是安全的，不会出现任何的无限问题。

一般认为，一个表达式{t | φ(t)}要成为安全的，其中的公式φ就应该满足下面三个条件： z 若t 满足公式φ，即t 使得φ为真，则t 的每个分量必须是DOM(φ)中的元素； z 对φ中每一个形为 (?t)(w(t))的子公式，如u 满足W ，即u 使得w 为真，则u 的

每一个分量一定属于DOM(φ)；

z 对φ中每一个形为(t)(w (t))的子公式，如u 不满足W ，即u 使得w 为假，则u

的每一个分量一定属于DOM(φ)；也就是说，若u 的某个分量不属于DOM(φ)，则w(u)为真。

?对于域关系演算的安全性，也可以做类似的讨论，这里从略。

2.4.4 关系代数、元组演算、域演算的等价性

关系代数和关系演算所依据的理论基础是相同的，因此可以进行相互间的转换。

在我们讨论元组关系演算时，实际上就研究了关系代数中5种基本运算与元组关系演算间的相互转换；在讨论域关系演算时，实际上也涉及了关系代数与域关系演算间的相互转换，由此可以知道，关系代数、元组关系演算、域演算三类关系运算是可以相互转换的，它们对于数据操作的表达能力是等价的。结合安全性的考虑，经过进一步的分析，人们已经证明了如下重要结论：

z每一个关系代数表达式都有一个等价的安全的元组演算表达式。

z每一个安全的元组演算表达式都有一个等价的安全的域演算表达式。

z每一个安全的域演算表达式都有一个等价的关系代数表达式。

按照上述三结论，即得到关系代数、元组关系演算和域演算的等价性。

事件之间的关系与运算课时练习-新人教B版高中数学必修2

课时练习（十五） 事件之间的关系与运算 A 级——学考水平达标练 1．打靶三次，事件A i 表示“击中i 发”，其中i ＝0,1,2,3.那么A ＝A 1＋A 2＋A 3表示( ) A ．全部击中 B ．至少击中1发 C ．至少击中2发 D ．以上均不正确 解析：选B 由题意可得事件A 1、A 2、A 3是彼此互斥的事件，且A 0＋A 1＋A 2＋A 3为必然事件， A ＝A 1＋A 2＋A 3表示的是打靶三次至少击中一发． 2．(多选题)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有( ) A ．恰有一名男生和全是男生 B ．至少有一名男生和至少有一名女生 C ．至少有一名男生和全是男生 D ．至少有一名男生和全是女生 解析：选AD A 是互斥事件．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B 不是互斥事件；C 不是互斥事件；D 是互斥事件．至少有一名男生与全是女生不可能同时发生． 3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.70 D ．0.68 解析：选B 利用对立事件的概率公式可得P ＝1－(0.3＋0.32)＝0.38. 4．如果事件A ，B 互斥，记A ，B 分别为事件A ，B 的对立事件，那么( ) A ．A ＋B 是必然事件 B.A ∪B 是必然事件 C.A 与B 一定互斥 D ．A 与A 不可能互斥 解析：选B 用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，A ∪B 是必然事件，故选B. 5．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，若所选3人中至少有1名女生的概率为4 5 ，那么所选3人中都是男生的概率为________． 解析：设A ＝{3人中至少有1名女生}，B ＝{3人都为男生}，则A ，B 为对立事件，所以

1.2集合间的基本关系及运算

集合间的基本关系及运算 【知识要点】 1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集, 记作 A B 或 B A. 2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一 个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B,记作A=B 3、真子集：如果 A B,且A B,那么集合A称为集合B的真子集,A B . 4、设A S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作C S A 5、元素与集合、集合与集合之间的关系 6、有限集合的子集个数 1 )n 个元素的集合有2n个子集 2)n 个元素的集合有2n-1 个真子集 3)n 个元素的集合有2n-1 个非空子集 4)n 个元素的集合有2n-2 个非空真子集 7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A Bo 8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A B o 9 、集合的运算性质及运用 知识应用】 1.理解方法：看到一个集 合A里的所有元素都包含在另一个集合里B,那么A就是B的子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x A能推出x Bo 【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系 (1)A={-1,1} ，B=Z (2)A={1,3,5,15} ，B={x|x 是15的正约数} 【L】例 2.已知集合A={x|-2 x 5},B={x|m+1 x 2m-1},若B A,求实数m取值范围。

【C】例3.已知集合A {0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请

集合之间的关系与运算

集合之间的关系与运算 一、知识回顾 1、集合间的关系：①子集：若集合A的元素都属于集合B，称A是B的子集，记为。 ②若A?B，这个式子有两层意思，即且 ③相等 2、空集：，记为 3、集合的运算：{| A B x = U}，A B= I{x| } 若U为全集，则集合A相对于U的补集，记为C U A=｛x| ｝ 二、例题： 1、判断下列说法是否正确，对的打“√”错的打“×” （1）{0}＝?；（2）０∈?； （3）??{0} （4）} , { } {b a a∈ 2、设U={|x x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则A B= U， A B= I，C U A= ，() U A C B= I 3、设集合A={|12} x x -<<，集合B={|13} x x <<， 则A B= U，A B= I， R C A= 4、设S={|x x是平行四边形或梯形}，A={|x x是平行四边形}，B={|x x是菱形}， C={|x x是矩形}，则B C= I，C S A= 5、若C=}1 2 ) , {(= -y x y x，D=}5 4 ) , {(= +y x y x，则C∩D= 6、若} , 6 { }, , 3 {N m m x x N N k k x x M∈ = = ∈ = =,则N M,的关系为（） A、N M?B、N M=C、M N?D、N M? 7、集合{,} a b的真子集个数为（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8．已知全集U={2，4，1-a}，A={-1}，C U A={2，2 2+ -a a},则实数a= 9. 已知U＝R，A＝｛x|－1≤x≤3｝，B＝｛x|x－a＞0｝． A B A B

第1讲 必修1第一章集合的基本含、集合间的基本关系以及基本运算-学生版

新知三： 子集、真子集、空集 ①如果集合A B ?，并且存在元素x B ∈且x A ?，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 。 ②不含任何元素的集合叫做空集，记作?，并规定：空集是任何集合的子集。 ★例3：写出集合{1,0,1}-的所有子集，并指出哪些是它的真子集. ★★变式3：已知集合{}{}1,21,2,3,4,5P ??，那么满足条件的集合P 的个数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【点评】若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22 n -个。 ★★例4：已知集合{13}A x x =-≤≤，2{,}B y y x x A ==∈，{2,}C y y x a x A ==+∈，若满C B ?足，求 实数a 的取值范围。 ★变式4：集合{}1,2,3,4A =，2{0}B x N x a =∈-=，若满足B A ?，求实数a 的值组成的集合。 ★★例5：已知集合A ={|25}x x -<≤，{|121}B x m x m =+-≤≤且B A ?，求实数m 的取值范围。 ★★变式5：若集合{} 2|20M x x x =--=，{}|10N x ax =-=，且N M ?，求实数a 的值。 【点评】当出现“A B ?”这一关系时，首先是讨论A 有没有可能为空集，因为A =? 时满足A B ?。 【考点3】集合的新定义问题 ★★例6 若集合A 具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A ；(Ⅱ)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1 x ∈A .

集合之间的关系(子集

集合之间的关系(子集 篇一：集合之间的关系教案 1.2集合之间的关系与运算 1.2.1 集合之间的关系 【学习要求】 1.理解子集、真子集、两个集合相等的概念． 2.掌握有关子集、真子集的符号及表示方法，能利用Venn图表达集合间的关系． 3.会求已知集合的子集、真子集． 4.能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号准确地表示出来． 【学法指导】 通过使用基本的集合语言表示有关的数学对象，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义；培养用集合的观点分析问题、解决问题的能力；学习用数学的思维方式解决问题、认识世界. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.子集：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A?B或B?A，读作“A包含于B”，或“B包含A”． 2.子集的性质：①A?A(任意一个集合A都是它本身的子集)；

②??A(空集是任意一个集合的子集)． 3.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A B (或B A)，读作“A真包含于B ”，或“B真包含A ”． 4.维恩图：我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图. 5.集合相等：一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B ，记作A＝B .用数学语言表示为：如果A?B ，且B?A ，那么A＝B . 6.一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A?B，则x∈A?x∈B，即p(x)?q(x) .反之，如果p(x)?q(x)，则A?B 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 已知任意两个实数a，b，则它们的大小关系可能是ab，那么对任意的两个集合A，B，它们之间有什么关系？今天我们就来研究这个问题． 探究点一子集与真子集的概念 导引前面我们学习了集合、集合元素的概念以及集合的表示方法．下面我们来看这样三组集合： (1)A＝{1,3}，B＝{1,3,5,6}；(2)C＝{x|x是长方形}，D＝{x|x是平行四边形}；(3)P＝{x|x是菱形}，Q＝{x|x是正方形}． 问题1 哪些集合表示方法是列举法？哪些集合表示方法是描述

集合的基本关系及运算

集合的基本关系及运算 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义． 2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 【要点梳理】 要点一、集合之间的关系 1.集合与集合之间的“包含”关系 集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ； 子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)??或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)??或 要点诠释： （1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈． （2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ?B (或B ?A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含 A ”）． 真子集：若集合A B ?，存在元素x ∈B 且x A ?，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A) 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系 A B B A ??且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B 要点诠释： 任何一个集合是它本身的子集，记作A A ?． 要点二、集合的运算 1.并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示：

新教材高中数学课时跟踪检测(十五)事件之间的关系与运算新人教B版必修第二册

新教材高中数学课时跟踪检测（十五）事件之间的关系与运算新 人教B版必修第二册 课时跟踪检测（十五）事件之间的关系与运算 A级——学考水平达标练 1．打靶三次，事件A i表示“击中i发”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1＋A2＋A3表示( ) A．全部击中B．至少击中1发 C．至少击中2发D．以上均不正确 解析：选B 由题意可得事件A1、A2、A3是彼此互斥的事件，且A0＋A1＋A2＋A3为必然事件，A＝A1＋A2＋A3表示的是打靶三次至少击中一发． 2．(多选题)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有( ) A．恰有一名男生和全是男生 B．至少有一名男生和至少有一名女生 C．至少有一名男生和全是男生 D．至少有一名男生和全是女生 解析：选AD A是互斥事件．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B不是互斥事件；C不是互斥事件；D是互斥事件．至少有一名男生与全是女生不可能同时发生． 3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是( ) A．0.62 B．0.38 C．0.70 D．0.68 解析：选B 利用对立事件的概率公式可得P＝1－(0.3＋0.32)＝0.38. 4．如果事件A，B互斥，记A，B分别为事件A，B的对立事件，那么( ) A．A＋B是必然事件 B.A∪B是必然事件 C.A与B一定互斥D．A与A不可能互斥 解析：选B 用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，A∪B是必然事件，故选B. 5．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，若所选3人中至少有1名女生的

高一数学集合之间的关系与运算知识精讲

高一数学集合之间的关系与运算 【本讲主要内容】 集合之间的关系与运算 子集、全集、补集、交集、并集等概念，集合的运算性质。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. （1）子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 。 记作：A B B A ??或，A ?B 或B ?A 当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作：A ?/B 或B ?/A 注：B A ?有两种可能： （1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。 （2）集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A ＝B 。 （3）真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ?，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集。 记作：A B 或B A ，读作A 真包含于B 或B 真包含A 。 注：空集是任何集合的子集。Φ?A 空集是任何非空集合的真子集。Φ A 若A ≠Φ，则Φ A 任何一个集合是它本身的子集。A A ? 易混符号 ①“∈”与“?”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如 ,,1,1R N N N ??-∈Φ?R ，{1}?{1，2，3} ②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合。 如Φ?{0}。不能写成Φ＝{0}，Φ∈{0} 2. 全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示。 3. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ?），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集），记作A C S ，即C S A ＝ },|{A x S x x ?∈且 4. 交集：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合，叫做A ，B 的交集。记作A B （读作“A 交B ”），即A B ＝｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝。

集合的基本关系及运算(基础)

集合的基本关系及运算 A 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义． 2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 学习策略： 数形结合思想，如常借助于数轴、维恩图解决问题；分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论． 二、学习与应用 “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ 1．集合元素的特征 性、性、性. 2．元素与集合的关系： (1)如果a是集合A的元素，就说a A，记作a (2)如果a不是集合A的元素，就说a A，记作a 3．集合的分类 (1)空集：元素的集合称为空集(empty set)，记作：. (2)有限集：元素的集合叫做有限集.

(3) 无限集： 元素的集合叫做无限集. 4．常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作 正整数集，记作 *或 + 整数集，记作 有理数集，记作 实数集，记作 要点一：集合之间的关系 1.集合与集合之间的“包含”关系 集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 集合A ； 子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系， 称集合A 是集合B 的子集(subset).记作： ，当集合A 不包含于集合B 时，记作 ， 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)??或 要点诠释： （1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素， 即由任意的x A ∈，能推出x B ∈． （2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ?B (或B ?A )”， 读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）． 真子集：若集合A B ，存在元素x B 且x A ，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作： (或 ) 规定：空集是任何集合的 集，是任何非空集合的 集. 2.集合与集合之间的“相等”关系 A B B A ??且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A B 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID ：#3072#388901

集合的基本关系及运算A

集合的基本关系及运算 A 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义． 2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 学习策略： 数形结合思想，如常借助于数轴、维恩图解决问题；分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论． 二、学习与应用 1．集合元素的特征 性、 性、 性. 2．元素与集合的关系： (1)如果a 是集合A 的元素，就说a A ，记作a (2)如果a 不是集合A 的元素，就说a A ，记作a 3．集合的分类 (1)空集： 元素的集合称为空集(empty set)，记作： . (2)有限集： 元素的集合叫做有限集. “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记． 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

(3)无限集：元素的集合叫做无限集. 4．常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作 正整数集，记作*或+ 整数集，记作 有理数集，记作 实数集，记作 要点一：集合之间的关系 1.集合与集合之间的 “包含 ”关系 集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B集合A； 子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系， 称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A) ?? 或 要点诠释： （1）“A是B的子集”的含义是：A的任何一个元素都是B的元素， 即由任意的x A ∈，能推出x B ∈． （2）当A不是B的子集时，我们记作“A?B(或B?A)”， 读作：“A不包含于B”（或“B不包含A”）． 真子集：若集合A B，存在元素x B且x A，则称集合A是集合B 的真子集(proper subset).记作：(或) 规定：空集是任何集合的集，是任何非空集合的集. 2.集合与集合之间的“相等”关系 A B B A ?? 且，则A与B中的元素是一样的，因此A B 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID：#3072#388901

1.1.3集合的基本运算

教学目的： 知识与技能： 1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 3、能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 过程与方法：针对具体实例，通过类比实数间的加法运算引入了集合间“并”的运算，并在此基础上进一步扩展到集合的“交”的运算和“补”的运算。类比方法的使用体现了知识之间的联系，渗透了数学学习的方法。 情感、态度与价值观： 1、类比方法让学生体会知识间的联系； 2、Venn 图表达集合运算让学生体会数形结合思想方法的应用对理解抽象概念的作用； 3、通过集合运算的学习逐渐发展学生使用集合语言进行交流的能力。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 教学过程： 一、复习回顾： 1：什么叫集合A 是集合B 的子集？ 2：关于子集、集合相等和空集，有哪些性质？ （1） .A A ?； （2） 若A B ?，且B A ?，则.A B =； （3） 若,,A B B C ??则C A ?； （4） A ??． 二、创设情境，新课引入 问：实数有加法运算，两个集合是否也可以相加呢？考察下列各个集合，你能说出集合C 与集合A ，B 之间的关系吗？ （1）{ }{}{}6,5,4,3,2,1,6,4,2,5,3,1===C B A ； （2）{}是有理数x x A =，{}是无理数x x B =，{} 是实数x x C =．

学生讨论并引出新课题． 三、师生互动，新课讲解： 1、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union） 记作：A∪B读作：“A并B”即： A∪B={x|x∈A，或x∈B} 例1：（1）设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求：A∪B。 （2）设集合A={x|－1

高中数学：集合之间的关系与运算练习

高中数学：集合之间的关系与运算练习 1．设A ＝{正方形}，B ＝{矩形}，C ＝{平行四边形}，D ＝{梯形}，则下列包含关系中不正确的是 ( ) A ．A ? B B ．B ?C C ．C ? D D ．A ?C 2．下列命题中正确的是( ) A ．空集没有子集 B ．空集是任一集合的真子集 C ．空集中的元素个数为零 D ．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 3．集合A ＝{x|0≤x<3，且x∈N }的真子集个数为( ) A ．16 B ．8 C ．7 D ．4 4．用恰当的符号填空(＝，?，?)． (1)已知集合M ＝{1,3,5}，集合P ＝{5,1,3}，则M__________P ； (2)设集合A ＝{x|(x －3)(x ＋2)＝0}，B ＝{x|x －3x ＋3＝0}，则A__________B. 5．用适当的符号填空． (1)a____{a ，b ，c}； (2)0____{x|x 2＝0}； (3)?____{x|x 2＋1＝0}； (4){0,1}____N ； (5){0}____{x|x 2＝x}； (6){2,1}____{x|x 2－3x ＋2＝0}． 1．若集合A ＝{正方形，}B ＝{菱形}，C ＝{矩形}，D ＝{平行四边形}，则下列关系中错误的是…… ( ) A ．A B C B ．A B D C ．A C D D ．A C B 2．若集合M ＝{(x ，y)|xy>0且x ＋y>0}，N ＝{(x ，y)|x>0，y>0}，则有( ) A ．N∈M B．N M C ．N M D ．M ＝N 3．设集合M ＝{x|x>1}，P ＝{x|x 2>1}，则下列关系中正确的是( ) A ．M ＝P B ．P M C ．M P D ．M∪P＝R 4．已知集合A ＝{x|x 2＝a 2，a>0}，B ＝{x|nx ＝a}，若B A ，则n 的取值集合为__________． 5．已知A ＝{a,0，－1}，B ＝{c ＋b ，1a ＋b ，1}，且A ＝B ，则a ＝__________，b ＝__________，c ＝__________. 6．已知a∈R ，x∈R ，A ＝{2,4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a}，C ＝{x 2＋(a ＋1)x － 3,1}． 求：(1)使A ＝{2,3,4}的x 值；

集合的概念与运算例题及答案

1 集合的概念与运算（一） 目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题 2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质， 3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法． 重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用; 2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 基本知识点： 知识点1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集） （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 知识点2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + { }Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {} 整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {} 数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表 示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 知识点3、元素与集合关系（隶属） （1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? 注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写 知识点4、集合中元素的特性 （1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复 （3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 知识点5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 例题精析1： 1、下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所有很大的实数 （不确定） （2）好心的人 （不确定） （3）1，2，2，3，4，5．（有重复） 2、设a,b 是非零实数，那么 b b a a + 可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__ 3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ） （A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素 4、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证：

事件的关系及运算

§1.3事件的关系及运算 ⑴如果事件A 的发生必然导致事件B 的发生，则称事件B 包含事件A ，或称事件A 包含于事件B ，记作 B A A B ??或. ⑵如果事件B 包含事件A ，且事件A 包含事件B ，即 B A A B ??且； 也就是说，二事件A 与B 中任一事件发生必然导致另一事件的发生，则称事件A 与B 相等，记作 B A =. ⑶“二事件A 与B 中至少有一事件发生”这一事件叫做事件A 与B 的并，记作 B A . “n 个事件n A A A ,,,21 中至少有一事件发生”这一事件叫做事件n A A A ,,,21 的并，记作 )(121i n i n A A A A = 简记为. ⑷“二事件A 与B 都发生”这一事件叫做事件A 与事件B 的交，记作 。或AB B A “n 个事件n A A A ,,,21 都发生”这一事件叫做n A A A ,,,21 的交，记作 ).(12121i n i n n A A A A A A A = 简记为或

⑸如果二事件A 与B 不可能同时发生，即 ,φ=AB 则称二事件A 与B 是互不相容的(或互斥的). 通常把两个互不相容事件A 与B 的并记作 B A +. 如果n 个事件n A A A ,,,21 中任意两个事件不可能同时发生，即 ),1(n j i A A j i ≤≤≤=φ 则称这n 个事件是互不相容的(或互斥的). 通常把n 个互不相容事件n A A A ,,,21 的并记作 ).(121∑=+++n i i n A A A A 简记为 ⑹如果二事件A 与B 是互不相容的，并且它们中必有一事件发生，即二事件A 与B 中有且仅有一事件发生，即 ,Ω=+=B A AB 且φ 则称事件A 与事件B 是对立的(或互逆的)，称事件B 是事件A 的对立事件(或逆事件)，同样事件A 也是事件B 的对立事件(或逆事件)，记作 - -==B A A B 或. 对于任意的事件A ，我们有

1.2集合之间的关系和运算

1.2集合之间的关系与运算 1.2.1集合之间的关系与运算 教学目标： （1）了解两个集合包含、相等关系的含义； （2）理解子集、真子集的概念，了解全集、空集的意义， （3）掌握有关子集、全集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力； （4）会求已知集合的子集、真子集； （5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想； （6）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力． 教学重点： 子集、真子集的概念 教学难点： 弄清元素与子集、属于与包含之间的区别 教学用具： 幻灯机 教学过程设计 （一）导入新课 上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识． 【提出问题】已知，，，问： 1．哪些集合表示方法是列举法． 2．哪些集合表示方法是描述法． 3．将集M、集从集P用图示法表示． 4．分别说出各集合中的元素． 5．将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来．将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来． 6．集M中元素与集N有何关系．集M中元素与集P有何关系． 【找学生回答】

1．集合M 和集合N ；（口答） 2．集合P ；（口答） 3．（笔练结合板演） 4．集M 中元素有－1，1；集N 中元素有－1，1，3；集P 中元素有－1，1．（口答） 5． ， ， ， ， ， ， ， （笔练结合板演） 6．集M 中任何元素都是集N 的元素．集M 中任何元素都是集P 的元素．（口答） 思考1：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？ 【引入】在上面见到的集M 与集N ；集M 与集P 通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题． （二）新授知识 1．子集 （1）子集定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 。 记作： 读作：A 包含于B 或B 包含A 当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作：A B 或B A ． 性质：① （任何一个集合是它本身的子集） ② （空集是任何集合的子集） 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系： 【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？ 【解疑】不能把A 是B 的子集解释成A 是由B 中部分元素所组成的集合． 因为B 的子集也包括它本身，而这个子集是由B 的全体元素组成的．空集也是B 的子集，而这个集合中并不含有B 中的元素．由此也可看到，把A 是B 的子集解释成A 是由B 的部分元素组成的集合是不确切的． （2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果 ，并且 ，我们就说集合A 合B 的真子集，记作： （或 ），读作A 真包含于B 或B 真包含A 。 【思考】能否这样定义真子集：“如果A 是B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于那么集合A 叫做集合B 的真子集．” 集合B 同它的真子集A 之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A ，B ．

集合间的基本关系与运算

1.2集合间的基本关系及运算 【知识要点】 1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A?B或B?A. 2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一 个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B。 3、真子集：如果A ?B，且A ≠B，那么集合A称为集合B的真子集,A ?≠B . 4、设A ?S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作 S C A 5、元素与集合、集合与集合之间的关系 6、有限集合的子集个数 （1）n个元素的集合有n2个子集 （2）n个元素的集合有n2-1个真子集 （3）n个元素的集合有n2-1个非空子集 （4）n个元素的集合有n2-2个非空真子集 7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A?B。 8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A?B。 9、集合的运算性质及运用 【知识应用】 1.理解方法：看到一个集合A里的所有元素都包含在另一个集合里B，那么A就是B的 子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A能推出x∈B。 【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系 （1）A={-1,1}，B=Z （2）A={1,3,5,15}，B={x|x是15的正约数} 【L】例2.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A，求实数m取值范围。

【C】例3. 已知集合A?{0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请一一写出。 2.解题方法：证明2个集合相等的方法：（1）若A、B两个集合是元素较少的有限集，可 用列举法将元素一一列举出来，比较之或者看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等。（2）利用集合相等的定义证明A?B,且B?A，则A=B. 【J】例1.下列各组中的两个集合相等的有（） （1）P={x|x=2n,n∈Z}, Q={x|x=2(n-1)，n∈Z} （2）P={x|x=2n-1,n∈N +}, Q={x|x=2n+1,n∈N + } (3) P={x|2x-x=0}, Q={x|x=1(1) 2 n +- ,n∈Z} 【L】例2.已知集合A={x|x=1 2 kπ+ 4 π ，k∈Z}，B={x|x= 1 4 kπ+ 2 π ,k∈Z},判断集合A与 集合B是否相等。 【C】例3.设集合A={x| 3 2 x x - - ≤0},集合B={x|(x-3)(x-2) ≤0},判断A与B相等吗？ 3.理解方法：如果集合A中的元素都包含于集合B，并且集合B中有集合A所没有的元素，那么集合A就是集合B的真子集。 【J】例1.设集合A={2,8,a}, B={2, 2a-3a+4},且B ? ≠A，求A的值。 【L】例2. 满足{a}?M ? ≠{a,b,c,d}的集合M有哪几个？

集合间的关系与运算练习及答案

集合间的关系与运算 一．选择题(每小题4分，共32分) 1. 已知集合}24|{

7. 不等式02 >++c bx ax 的解集是}21|{<<-x x ，那么不等式 ax c x b x a 2)1(}1(2>+-++的解集是（ A ） A ．}30|{<-=≤<+或,若A ?≠B,则实数a 的取值范 围是 。 13. 已知集合}2,,{d m d m m A ++=，},,{2 mq mq m B =，其中0≠m ，且B A =， 则 =q __________ 。 14. 设I 为全集，非空集合Q P ,满足I Q P ≠ ≠ ??，写出一个含Q P ,的集合运算表达式， 使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是____________（只要写出一个你认为正确的一个即可）。

高中数学第一章集合1.2集合之间的关系与运算3同步练习

1.2 集合之间的关系与运算 3 1．集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则(?U A)∪(?U B)为( ) A．{1,6} B．{4,5} C．{2,3,4,5,7} D．{1,2,3,6,7} 2．设集合S＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则( ) A．(?S A)?(?S B) B．(?S?S B) C．(?S A)(?S B) D．(?S A)＝(?S B) 3．设全集U和集合A、B、P，A＝?U B，B＝?U P，则A与P的关系是( ) A．A＝?U P B．A＝P C．． 4．已知全集U＝{非负实数}，集合A＝{x|0

事件的关系和运算

事件的关系和运算 1.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则() A．A?B B．A?B C．A与B互斥 D．A与B互为对立事件 解析：选C由互斥事件的定义可知，C正确．故选C. 2．[多选]从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A ＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是() A．A与C互斥B．B与C互斥 C．任何两个都互斥D．A与B对立 解析：选ABC由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥，因A＝{三件产品不全是正品}，故样本点有三种情况：①{两件正品一件次品}，②{一件正品两件次品}，③{三件全是次品}＝B，所以A与B不对立，D错误，故选A、B、C. 3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为() A．至多有2件次品B．至多有1件次品 C．至多有2件正品D．至少有2件正品 解析：选B至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．故选B. 4．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列

说法中正确的是() A．全是白球与全是红球是对立事件 B．没有白球与至少有一个白球是对立事件 C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系 D．全是红球与有一个红球是包含关系 解析：选B从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个．故选B. 5．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则() A．A?B B．A＝B C．A∪B表示向上的点数是1或2或3 D．AB表示向上的点数是1或2或3 解析：选C设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选C. 6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝{______}． 解析：E＝{向上的点数为偶数}＝{2,4,6}． F＝{向上的点数为质数}＝{2,3,5} ∴E∩F＝{向上的点数为2}． 答案：向上的点数为2 7．打靶三次，事件A i表示“击中i次”，i＝0,1,2,3，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________．解析：因A0，A1，A2，A3彼此互斥，“至少有一次击中”包含击