李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社

第一章 绪论

1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*

x 的相对误差为*

****

r e x x e x x δ-=

== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **

e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈

2．设x 的相对误差为2%，求n

x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()

|

|()

p xf x C f x = 又

1

'()n f x nx

-=, 1

||n p x nx C n n

-?∴== 又

((*))(*)r p r x n C x εε≈?

且(*)r e x 为2

((*))0.02n r x n ε∴≈

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *

456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) *

*

*

124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234

,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：

*4

1*

3

2*

13*

3

4*

1

51()1021()1021()1021()1021()102

x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=?

***

124***1244333

(1)()()()()

1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***

123*********123231132143

(2)()

()()()

111

1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222

0.215

x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈

**

24****

24422

*4

33

5

(3)(/)

()()

11

0.0311056.430102256.43056.430

10x x x x x x x

εεε---+≈

??+??=

?=

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34

3

V R π=

则何种函数的条件数为

2

3'4343

p R V R R C V R ππ===

(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=

又

(*)1r V ε=

故度量半径R 时允许的相对误差限为1

(*)10.333

r R ε=?≈

6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）

计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？

解：1n n Y Y -=-

10099Y Y ∴=-

9998Y Y =

9897Y Y =-……

10Y Y =-

依次代入后，有1000100Y Y =-

即1000Y Y =

27.982, 100027.982Y Y ∴=-

*

310001()()(27.982)102

Y Y εεε-∴=+=?

100Y ∴的误差限为31

102

-?。

7．求方程2

5610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。 解：2

5610x x -+=，

故方程的根应为1,228x =

故 1282827.98255.982x =≈+=

1x ∴具有5位有效数字

211

280.0178632827.98255.982

x =-=

≈

=≈+

2x 具有5位有效数字

8．当N 充分大时，怎样求

1

2

1

1N N

dx x

++?

？

解

1

2

1

arctan(1)arctan 1N N

dx N N x +=+-+?

设arctan(1),arctan N N αβ=+=。 则tan 1,tan .N N αβ=+=

1

22

11arctan(tan())

tan tan arctan

1tan tan 1arctan

1(1)1

arctan 1

N N dx x N N

N N

N N αβ

αβαβ

αβ++=-=--=++-=++=++? 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2

1cm ？ 解：正方形的面积函数为2()A x x =

(*)2*(*)A A x εε∴=.

当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21

(*)102

x ε-≤

? 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过2

1cm 10．设2

12S gt =

，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 解：

2

1,02

S gt t =

> 2

(*)(*

)S g t t εε∴= 当*t 增加时，*S 的绝对误差增加

2*2*

(*)

(*)*

(*)1()2(*)2r S S S gt t g t t t

εεεε=

=

=

当*t 增加时，(*)t ε保持不变，则*S 的相对误差减少。 11．序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),

若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解：

02 1.41y =≈

201

(*)102

y ε-∴=?

又

1101n n y y -=-

10101y y ∴=- 10(*)10(*)y y εε∴= 又

21101y y =-

21(*)10(*)y y εε∴=

220(*)10(*)......

y y εε∴=

10

10010

28(*)10(*)

1

10102

1

102

y y εε-∴==?

?=?

计算到10y 时误差为

81

102

?，这个计算过程不稳定。

12．计算61)f =

≈1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

, 3

(3-,

， 99- 解：设6

(1)y x =-，

若x =

* 1.4x =，则*11

102

x -ε()=?。

计算y 值，则

***7

**

*7

**1

(1)

6(1)

y x x y x x y x ε()=--6?ε()+ =

ε()+ =2.53ε()

若通过3(3-计算y 值，则

**2****

**(32)6

32y x x y x x

y x ε()=-3?2?-ε() =

ε()- =30ε()

计算y 值，则 ***4

***7

**1

(32)

1

(32)

y x x y x x y x ε()=--3?ε()+ =6?

ε()+ =1.0345ε()

计算后得到的结果最好。 13

．()ln(f x x =,求(30)f 的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多

大？若改用另一等价公式。ln(ln(x x =-

计算，求对数时误差有多大？ 解

()ln(f x x =

, (30)ln(30f ∴=

设(30)u y f == 则*

u =29.9833

*41

2

u -∴ε()=?10

故

**

*

*3

1

0.0167

y u u

u -1ε()≈-ε()30- =

ε()

≈3?10

若改用等价公式

ln(ln(x x =-

则(30)ln(30f =- 此时，

**

*

*7

1

59.9833y u u

u -1ε()=∣-∣ε()30+ =

?ε()

≈8?10

第二章 插值法

1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解：

0120121200102021101201220211,1,2,

()0,()3,()4;()()1

()(1)(2)()()2()()1

()(1)(2)

()()6

()()1

()(1)(1)

()()3

x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------=

=-+--

则二次拉格朗日插值多项式为

2

20

()()k k k L x y l x ==∑

0223()4()

14

(1)(2)(1)(1)23

537623

l x l x x x x x x x =-+=---+

-+=

+- 2．给出()ln f x x =的数值表

用线性插值及二次插值计算的近似值。 解：由表格知，

01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144

x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-

若采用线性插值法计算ln 0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<

2

112

1

221

11122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()

x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----=

=---=+

6.9314

7(0.6)

5.10826(

x x =--- 1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-

若采用二次插值法计算ln 0.54时，

1200102021101201220212001122()()

()50(0.5)(0.6)

()()

()()

()100(0.4)(0.6)

()()()()

()50(0.4)(0.5)

()()

()()()()()()()

x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------=

=----=++

500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5

x x x x x x =-?--+---?--2(0.54)0.61531984

0.

615320L ∴=-≈- 3．给全cos ,090x x ≤≤的函数表，步长1(1/60),h '==若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。

解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。

当090x ≤≤时， 令()cos f x x = 取0110,(

)606018010800

x h ππ===?= 令0,0,1,...,5400i x x ih i =+= 则5400902

x π

=

=

当[]1,k k x x x -∈时，线性插值多项式为

11111()()

()

k k

k k k k k k

x x x x L x f x f x x x x x ++++--=+-- 插值余项为

111

()cos ()()()()2

k k R x x L x f x x x x ξ+''=-=

-- 又

在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且[]cos 0,1x ∈，故计算中有误差传播

过程。

*5

**11

2111*11

11*1*1

(())102

()(())(())

(())(

)

1

(())()

(())

k k k k k k k k k k k k k k k k

k k k k f x x x x x R x f x f x x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x h

f x εεεεεε-++++++++++∴=?--=+----≤+--=-+-=

∴总误差界为

12*1*12*85

5()()

1

(cos )()()(())21

()()(())211

()(())22

1

1.0610102

0.5010610k k k k k k k R R x R x x x x x f x x x x x f x h f x ξεεε++---=+=

---+≤?--+≤?+=?+?=? 4．设为互异节点，求证： （1）

0()n

k k

j j j x l x x =≡∑ (0,1,,)k n = （2）0

()()0n k j

j j x

x l x =-≡∑ (0,1,,)

k n = 证明

（1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,

,j x j n =，则函数()f x 的n 次插值多项式为0

()()n

k n j j j L x x l x ==∑。

插值余项为(1)1()

()()()()(1)!

n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+

又

,k n ≤

(1)()0()0

n n f R x ξ+∴=∴=

0()n

k k

j j

j x l x x =∴=∑ (0,1,,)k n = 0

000

(2)()()

(())()()(())

n

k j j j n n

j i k i k j j j i n

n

i

k i

i k

j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑

0i n ≤≤又 由上题结论可知

()n

k i

j j

j x l x x ==∑

()()0

n

i k i i

k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式

∴得证。

5设[]2(),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证：

21

max ()()max ().8

a x

b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为

10

101010()()

()

x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()

()x b x a

f a f b a b x a

--=+-- 1()()0

()0

f a f b L x ==∴=又

插值余项为1011

()()()()()()2

R x f x L x f x x x x x ''=-=

-- 011

()()()()2

f x f x x x x x ''∴=

-- []012

012102()()

1()()21()41

()4

x x x x x x x x x x b a --??≤-+-????

=-=-又

∴21

max ()()max ().8

a x

b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 6．在44x -≤≤上给出()x

f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使

截断误差不超过6

10-，问使用函数表的步长h 应取多少？

解：若插值节点为1,i i x x -和1i x +，则分段二次插值多项式的插值余项为

2111

()()()()()3!i i i R x f x x x x x x ξ-+'''=

--- 211441

()()()()max ()6i i i x R x x x x x x x f x -+-≤≤'''∴≤---

设步长为h ，即11,i i i i x x h x x h -+=-=+

4343

21().627R x e h ∴≤=

若截断误差不超过6

10-，则

6243

6()10100.0065.R x h h --≤≤∴≤ 7．若442,.n n n n y y y δ=?求及，

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

2n n y =

44(1)n n y E y ?=-

4

404

4044044(1)4(1)4(1)2(21)2j j

n

j j n j

j j j

n

j n n n

E y j y j y j y y -=+-=-=??=- ?????=- ?????=-? ???

=-==∑∑∑ 114

4

2

2()n n y E E y δ-=-

14

422

422

()(1)2n

n

n n E E y E y y ----=-=?==

8．如果()f x 是m 次多项式，记()()()f x f x h f x ?=+-，证明()f x 的k 阶差分

()(0)k f x k m ?≤≤是m k -次多项式，并且1()0m f x +?=（l 为正整数）。 解：函数()f x 的Taylor 展式为

2()(1)11

11()()()()()()2

!(1)!

m m m m f x h f x f x h f x h f x h f h m m ξ++'''+=++

++

++ 其中(,)x x h ξ∈+ 又

()f x 是次数为m 的多项式

(1)()0

()()()

m f f x f x h f x ξ+∴=∴?=+-

2()

1

1()()()2

!

m m f x h f x h f x h m '''=+

++

()f x ∴?为1m -阶多项式

2()(())f x f x ?=?? 2()f x ∴?为2m -阶多项式

依此过程递推，得()k f x ?是m k -次多项式

()m f x ∴?是常数

∴当l 为正整数时， 1()0m f x +?=

9．证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+? 证明

11()k k k k k k f g f g f g ++?=-

111111111()()k k k k k k k k

k k k k k k k k k k k k k k

f g f g f g f g g f f f g g g f f g f g g f +++++++++=-+-=-+-=?+?=?+?

∴得证

10．证明

1

1

0010

n n k k

n n k k k k f g

f g f g g f --+==?=--?∑∑

证明：由上题结论可知

1()k k k k k k f g f g g f +?=?-? 1

01101

1

10

(())()n k k

k n k k k k k n n k k k k

k k f g f g g f f g g f -=-+=--+==∴?=?-?=?-?∑∑∑∑

111

0110022111100

()()

()()()

k k k k k k n k k k n n n n n n f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g ++-=--?=-∴?=-+-++-=-∑

11

0010

n n k k n n k k k k f g f g f g g f --+==∴?=--?∑∑

得证。 11．证明

1

2

00n j n j y y y -=?

=?-?∑

证明

1

1

2

1

()n n j

j j j j y y

y --+==?=?-?∑∑

102110

()()()

n n n y y y y y y y y -=?-?+?-?++?-?=?-?

得证。

12．若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ，

证明：

1

1

00,02;(),1

k n

j

j j k n x f x n k n -=≤≤-?=?'=-?∑

证明：

()f x 有个不同实根12,,

,n x x x

且1011()n n n n f x a a x a x a x --=++

++

12()()()

()n n f x a x x x x x x ∴=--- 令12()()()()n n x x x x x x x ω=---

则

1

1()()k k n

n j j

j j j n n

j x x f x a x ω===''∑

∑

而2313()()()()()()()n

n n x x x x x x x x x x x x x ω'=---+---

121()()

()n x x x x x x -+

+---

1211()()()()()()n

j j j j j j j j n x x x x x x x x x x x ω-+'∴=-----

令(),k g x x =

[]121,,

,()

k n

j

n j n j x g x x x x ω=='∑

则[]121,,

,()k n

j

n j n j

x g x x x x ω=='∑

又[]121

1,,,()k n

j

n j j n

x g x x x f x a =∴

='∑

1

1

00,02;(),1

k n

j

j j k n x f x n k n -=≤≤-?∴=?'=-?∑

∴得证。

13．证明n 阶均差有下列性质：

（1）若()()F x cf x =，则[][]0101,,

,,,,;n n F x x x cf x x x =

（2）若()()()F x f x g x =+，则[][][]010101,,,,,,,,,.n n n F x x x f x x x g x x x =+

证明： （1）

[]120011()

,,

,()

()()

()

j n

n j j j j j j j n f x f x x x x x x x x x x x =-+=----∑

[]120011()

,,

,()

()()()

j n

n j j j j j j j n F x F x x x x x x x x x x x =-+=----∑

011()

()()()()

j n

j j

j j j j j n cf x x

x x x x x x x =-+=

----∑

011()

(

)()()()

()

j n j j j j j j j n f x c x

x x x x x x x =-+=----∑

[]01,,,n cf x x x =

∴得证。

(2)

()()()F x f x g x =+

[]00011()

,

,()

()()()

j n

n j j j j j j j n F x F x x x x x x x x x x =-+∴=----∑

0011()()()()()()

j j n

j j j j j j j n f x g x x

x x x x x x x =-++=

----∑

0011()

)()()()()

j n

j j

j j j j j n f x x

x x x x x x x =-+=

----∑

+

011()

)()()()

()

j n j j

j j j j j n g x x

x x x x x x x =-+----∑

[][]00,,,,n n f x x g x x =+

∴得证。

14．74

()31,f x x x x =+++求0172,2,,2F ???

?及0182,2,,2F ???

?。

解：

74()31f x x x x =+++

若2,0,1,,8i i x i ==

则[]()01()

,,

,!n n f f x x x n ξ=

[](7)017()7!,,,17!7!f f x x x ξ∴===

[](8)018()

,,

,08!

f f x x x ξ==

15．证明两点三次埃尔米特插值余项是

(4)

22

31

1()()()()/4!,

(,)

k

k k

k R x f x

x x

x

x x

ξξ++=--∈ 解：

若1[,]k k x x x +∈，且插值多项式满足条件

33

()(),()()k k k k H x f x H x f x ''== 3113

11()(),()()k k k k H x f x H x f x ++++''== 插值余项为3()()()R x f x H x =- 由插值条件可知1()()0k k R x R x +==

且1()()0k k R x R x +''==

()R x ∴可写成221()()()()k k R x g x x x x x +=--

其中()g x 是关于x 的待定函数，

现把x 看成1[,]k k x x +上的一个固定点，作函数

2231()()()()()()k k t f t H t g x t x t x ?+=----

根据余项性质，有

1()0,()0k k x x ??+==

22

313()()()()()()()()()0

k k x f x H x g x x x x x f x H x R x ?+=----=--=

22311()()()()[2()()2()()]k k k k t f t H t g x t x t x t x t x ?++'''=----+-- ()0k x ?'∴=

1()0k x ?+'=

由罗尔定理可知，存在(,)k x x ξ∈和1(,)k x x ξ+∈，使

12()0,()0?ξ?ξ''==

即()x ?'在1[,]k k x x +上有四个互异零点。

根据罗尔定理，()t ?''在()t ?'的两个零点间至少有一个零点， 故()t ?''在1(,)k k x x +内至少有三个互异零点， 依此类推，(4)

()t ?

在1(,)k k x x +内至少有一个零点。

记为1(,)k k x x ξ+∈使

(4)(4)(4)3()()()4!()0f H g x ?ξξξ=--=

又

(4)3()0H t =

(4)1()

(),(,)4!

k k f g x x x ξξ+∴=∈

其中ξ依赖于x

(4)221()

()()()4!

k k f R x x x x x ξ+∴=--

分段三次埃尔米特插值时，若节点为(0,1,

,)k x k n =，设步长为h ，即

0,0,1,,k x x kh k n =+=在小区间1[,]k k x x +上

(4)22

1(4)

22

1()

()()()4!1()()()()4!

k k k k f R x x x x x R x f x x x x ξξ++=--∴=-- 22(4)122(4)14

(4)44(4)1

()()max ()

4!

1[()]max ()

4!2

11max ()

4!2

max ()384k k a x b k k a x b a x b a x b

x x x x f x x x x x f x h f x h f x +≤≤+≤≤≤≤≤≤≤

---+-≤=?=

16．求一个次数不高于

4

次的多项式

P （x ），使它满足

(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0P P P P P ''=====

解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式

0101010,10,10,1

x x y y m m ====== 1

1

30

2

0100101

2

()()()

()(12

)()(12)(1)j j j j j j H x y x m x x x x x x x x x x x x αβα===+--=---=+-∑∑

2

10110102

()(12

)()(32)x x x x x x x x x x x α--=---=-

202

1()(1)()(1)x x x x x x

ββ=-=-

22323()(32)(1)2H x x x x x x x ∴=-+-=-+

设22301()()()()P x H x A x x x x =+-- 其中，A 为待定常数

3222

(2)1

()2(1)P P x x x Ax x =∴=-++-

14

A ∴=

从而2

21()(3)4

P x x x =

- 17．设2

()/(1)f x x

=+，在55x -≤≤上取10n =，按等距节点求分段线性插值函数()h I x ，

计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 值，并估计误差。 解：

若0105,5x x =-= 则步长1,h =

0,0,1,

,10i x x ih i =+=

2

1

()1f x x

=

+ 在小区间1[,]i i x x +上，分段线性插值函数为

1111()()()i i

h i i i i i i

x x x x I x f x f x x x x x ++++--=

+--

122

111

()

()11i i

i i x x x x x x ++=-+-++ 各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值为 当 4.5x =±时，()0.0471,()0.0486h f x I x == 当 3.5x =±时，()0.0755,()0.0794h f x I x == 当 2.5x =±时，()0.1379,()0.1500h f x I x == 当 1.5x =±时，()0.3077,()0.3500h f x I x == 当0.5x =±时，()0.8000,()0.7500h f x I x ==

误差

12

55max ()()max ()8i i h x x x x h f x I x f ξ+≤≤-≤≤''-≤ 又

21

()1f x x =

+ 22

2233

24

2(),(1)

62

()(1)2424()(1)x

f x x x f x x x x f x x -'∴=+-''=

+-'''=

+

令()0f x '''=

得()f x ''的驻点为1,21x =±和30x =

1,23551

(),()2

2

1

max ()()4

h x f x f x f x I x -≤≤''''==-∴-≤ 18．求2

()f x x =在[,]a b 上分段线性插值函数()h I x ，并估计误差。 解：

在区间[,]a b 上，01,,,0,1,

,1,n i i i x a x b h x x i n +===-=-

01

2

max ()i

i n h h f x x

≤≤-==

∴函数()f x 在小区间1[,]i i x x +上分段线性插值函数为 11112

211()()()

1[()()]i i

h i i i i i i

i i i i i

x x x x I x f x f x x x x x x x x x x x h ++++++--=+--=

-+-

误差为