2018版高中数学第一章立体几何初步1.1.1构成空间几何体的基本元素学案含解析新人教B版必

1.1.1 构成空间几何体的基本元素

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1.以长方体的构成为例,认识构成几何体的基本元素,同时在运动变化的观点下,体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系.(重点)

2.了解轨迹与圆形的关系.(重点)

3.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系.(重点)

4.理解平面的无限延展性,学会判断平面的方法.(难点)

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[基础·初探]

教材整理1 几何体与长方体

阅读教材P3“第4自然段”以上内容,完成下列问题.

1.只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小,而不考虑其他因素,则这个空间部分叫做一个几何体.

2.长方体

长方体可以看作由六个矩形(包括它的内部)所围成的几何体.

(1)长方体的面:围成长方体的各个矩形,叫做长方体的面,它共有6个面.

(2)长方体的棱:相邻两个面的公共边,叫做长方体的棱,它共有12条棱.

(3)长方体的顶点:棱和棱的公共点,叫做长方体的顶点,它共有8个顶点.

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下列说法正确的是________.

(1)长方体是由六个平面围成的几何体;

(2)长方体可以看作一个矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所围成的几何体;

(3)长方体一个面上的任一点到对面的距离相等.

【解析】(1)错.因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成,注意“平面”与“矩形”的本质区别;(2)正确;(3)正确.

【答案】(2)(3)

教材整理2 构成空间几何体的基本元素

阅读教材P3“倒数第4自然段”~P4“倒数第2自然段”以上内容,完成下列问题.

1.构成空间几何体的基本元素 点、线、面是构成空间几何体的基本元素.

2.平面及其表示方法

(1)平面的概念:

平面是处处平直的面,它是向四面八方无限延展的.

(2)平面的表示方法:

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(1)

(2)

(3)面动成体:面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体.

下列说法:

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①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面;

②一个几何体可以没有顶点;

③一个几何体可以没有棱;

④一个几何体可以没有面.

其中正确的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】 球只有一个曲面围成,故①错,②对,③对,由于几何体是空间图形,故一定有面,④错.

【答案】 B

教材整理3 空间点、线、面的位置关系

阅读教材P4“倒数第4自然段”~P5“练习”以上内容,完成下列问题.

1.空间中直线与直线的位置关系

空间中直线与直线有相交、平行与既不相交也不平行三种位置关系.

2.空间中直线与平面的位置关系

(1)直线在平面内;

(2)直线与平面平行:直线与平面没有公共点;

(3)直线与平面相交:直线与平面有且只有一个公共点.

①直线与平面垂直:

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图1-1-1

如图1-1-1,观察直线AA1和平面AC,我们看到直线AA1和平面内的两条相交直线AB和AD都垂直,容易想象,当AD在平面AC内绕点A旋转到任何位置时,都会与AA1垂直.直线AA1给我们与平面AC垂直的形象,这时我们说直线AA1和平面AC垂直,点A为垂足.记作直线AA1⊥平面AC.直线AA1称作平面AC的垂线,平面AC称作直线AA1的垂面.

②点到平面的距离:

在上图中,容易验证,线段AA1为点A1到平面AC内的点所连线段的最短的一条.线段AA1的长称作点A1到平面AC的距离.

3.空间中平面与平面的位置关系

(1)两个平面相交:

两个平面相交于一条直线,此时我们说这两个平面相交.如果两个平面相交,并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线,这两个平面就给我们互相垂直的形象,这时,我们就说两个平面互相垂直.

(2)两个平面平行:

如果两个平面没有公共点,则说这两个平面平行.

如图1-1-1,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,如果面ABCD和面A1B1C1D1分别作为长方体的底面,则棱AA1,BB1,CC1,DD1都与底面垂直且等长,我们知道它们都是这个底面上的高,它们的长度称作两个底面间的距离.

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下列关于长方体的叙述不正确的是( )

A.将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体

B.长方体中相对的面都相互平行

C.长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离

D.两底面之间的棱互相平行且等长

【解析】A中只有移动相同距离才能形成长方体.

【答案】 A

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[小组合作型]

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①平面是无限延展的;

②一个平面长3 cm,宽4 cm;

③两个平面重叠在一起,比一个平面厚;

④通过改变直线的位置,可以把直线放在某个平面内.

【精彩点拨】抓住平面的特征对每个小题进行判断看它们是否符合平面的所有特征.

【自主解答】①正确.平面是无限延展的.

②不正确.平面没有大小.

③不正确.平面没有厚薄.

④正确.平面可以看成是直线平行移动形成的,所以直线通过改变其位置,可以放在某个平面内.

【答案】①④

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1.准确理解平面与平面图形的区别与联系是解题的关键.

2.平面是无限延展的、无厚薄、无大小的图形,但平面图形,如三角形、平行四边形、圆等是有大小的.

3.可以用三角形、平行四边形、圆等平面图形表示平面,但不能说它们是平面.

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[再练一题]

1.已知下列四个结论:

①铺得很平的一张白纸是一个平面;②平面的形状是平行四边形;③一个平面的面积可以等于1 m2.

其中正确结论的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

【解析】在立体几何中,平面是无限延展的,所以①③错误;通常我们画一个平行四边形来表示一个平面,但并不是说平面就是平行四边形,故②错.

【答案】 A

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如图

形.

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①②③

图1-1-2

【精彩点拨】线的运动可以形成平面或曲面,观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向,可以尝试画出形成的图形.

【自主解答】

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①②③

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1.点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关,如果直线与旋转轴平行,那么形成圆柱面,如果与旋转轴斜交,那么形成圆锥面.

2.在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时,可以借助身边的实物来模拟.

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[再练一题]

2.本例若改为AB与l有如图1-1-3所示的关系,请画出旋转一周形成的几何图形.

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图1-1-3

【解】

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[探究共研型]

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探究1

【提示】水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周,可形成平面.其它情况,可形成曲面.

探究2 如图1-1-4所示,该几何体是某同学课桌的大致轮廓,请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面,并将它们列举出来.

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图1-1-4

【提示】面可以列举如下:

平面A1A2B2B1,平面A1A2D2D1,平面C1C2D2D1,平面B1B2C2C1,平面A1B1C1D1,平面A2B2C2D2.

线可以列举如下:

直线AA1,直线BB1,直线CC1,直线DD1,直线A2B2,直线C2D2等;

点可以列举如下:

点A,点A1,点B,点B1,点C,点C1,点D,点D1,点A2,点B2,点C2,点D2.

它们共同组成了课桌这个几何体.

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如图1-1-5所示,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,如果把它的12条棱延伸为直线,6个面延展为平面,那么在这12条直线与6个平面中:

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图1-1-5

(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个?

(2)与直线B′C′垂直的平面有哪几个?

(3)与平面BC′平行的平面有哪几个?

(4)与平面BC′垂直的平面有哪几个?

【精彩点拨】细心观察图形,判定与直线B′C′和平面BC′平行、垂直的平面.

【自主解答】(1)与直线B′C′平行的平面有:平面AD′,平面AC.

(2)与直线B′C′垂直的平面有:平面AB′,平面CD′.

(3)与平面BC′平行的平面有:平面AD′.

(4)与平面BC′垂直的平面有:平面AB′,平面A′C′,平面CD′,平面AC.

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1.解决此类问题的关键在于识图,根据图形识别直线与平面平行、垂直,平面与平面平行、垂直.

2.长方体和正方体是立体几何中的重要几何体,对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、线、面的基本关系.

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[再练一题]

3.若本例中的题干不变,将问题(1)(2)中的“直线B′C′”改为“直线BC′”,再去解答前两个小题.

【解】(1)与直线BC′平行的平面有:平面AD′.

(2)所给6个平面中,与直线BC′垂直的平面不存在.

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1.下列命题中正确的个数为( )

①书桌面是平面;②9个平面重叠起来,要比7个平面重叠起来厚;③有一个平面的长是50 m,宽是20 m;④平面是绝对平的、无厚度的、可以无限延展的抽象的数学概念.

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】由平面的概念知,只有④正确.

【答案】 A

2. 如图1-1-6所示的是平行四边形ABCD所在的平面,有下列表示方法:①平面ABCD;

②平面BD;③平面AD;④平面ABC;⑤AC;⑥平面α.其中不正确的是( )

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图1-1-6

A.④⑤

B.③④⑤

C.②③④⑤

D.③⑤

【解析】③中AD不为对角线,故错误;⑤中漏掉“平面”两字,故错误.

【答案】 D

3.下列结论正确的个数有( )

①曲面上可以存在直线;②平面上可存在曲线;③曲线运动的轨迹可形成平面;④直线运动的轨迹可形成曲面;⑤曲面上不能画出直线.

A.3个

B.4个

C.5个

D.2个

【解析】只有⑤不正确.

【答案】 B

4.线段AB长为5 cm,在水平面上向右移动4 cm后记为CD,将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′,再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′,依次连接构成长方体ABCD-A′B′C′D′.

(1)该长方体的高为________;

(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________;

(3)点A到平面BCC′B′的距离为________.

【解析】如图,

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在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=5 cm,BC=4 cm,CC′=3 cm,∴长方体的高为3 cm;平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm;点A到平面BCC′B′的距离为5 cm.

【答案】(1)3 cm (2)4 cm (3)5 cm

5.如图1-1-7,画出(1)、(2)中L围绕l旋转一周形成的空间几何体.

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(1) (2)

图1-1-7

【解析】(1)L绕直线l旋转一周,所得几何体是由两个底面重合的圆锥拼接而成的,如图(1);(2)L绕直线l旋转一周,所得几何体是由圆台挖去一个与其上底面同底的圆锥,再拼接一个与其下底面同底的圆锥而成的,如图(2).

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