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2018年浙江省杭州市中考数学试卷

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的。

1．（3分）（2018?杭州）|﹣3|=（）

A．3 B．﹣3 C．D．﹣

2．（3分）（2018?杭州）数据1800000用科学记数法表示为（）

A．1.86B．1.8×106C．18×105D．18×106

3．（3分）（2018?杭州）下列计算正确的是（）

A．=2 B．=±2 C．=2 D．=±2

4．（3分）（2018?杭州）测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是（）A．方差 B．标准差C．中位数D．平均数

5．（3分）（2018?杭州）若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则（）A．AM＞AN B．AM≥AN C．AM＜AN D．AM≤AN

6．（3分）（2018?杭州）某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（）

A．x﹣y=20 B．x+y=20 C．5x﹣2y=60 D．5x+2y=60

7．（3分）（2018?杭州）一个两位数，它的十位数字是3，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1﹣6）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（）

A．B．C．D．

8．（3分）（2018?杭州）如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（）

A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）=40°

C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）=70°D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°

9．（3分）（2018?杭州）四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁

10．（3分）（2018?杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2，（）

A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2

C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2

二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。

11．（4分）（2018?杭州）计算：a﹣3a=．

12．（4分）（2018?杭州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1=45°，则∠2=．

13．（4分）（2018?杭州）因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）=．

14．（4分）（2018?杭州）如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA=．

15．（4分）（2018?杭州）某日上午，甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B 地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是．

16．（4分）（2018?杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=．

三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（6分）（2018?杭州）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）．

（1）求v关于t的函数表达式．

（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？18．（8分）（2018?杭州）某校积极参与垃圾分类活动，以班级为单位收集可回收垃圾，下面是七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量的频数表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．

（2）已知收集的可回收垃圾以0.8元/kg被回收，该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额能否达到50元？

19．（8分）（2018?杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB 于点E．

（1）求证：△BDE∽△CAD．

（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．

20．（10分）（2018?杭州）设一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B （﹣1，﹣1）两点．

（1）求该一次函数的表达式；

（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值．

（3）已知点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数图象上，设m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），

判断反比例函数y=的图象所在的象限，说明理由．

21．（10分）（2018?杭州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数．

（2）设BC=a，AC=b．

①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗？说明理由．

②若AD=EC，求的值．

22．（12分）（2018?杭州）设二次函数y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．

（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．

（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．

（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．

23．（12分）（2018?杭州）如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连结AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设=k．

（1）求证：AE=BF．

（2）连结BE，DF，设∠EDF=α，∠EBF=β．求证：tanα=ktanβ．

（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求的最大值．

2018年浙江省杭州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的。

1．（3分）（2018?杭州）|﹣3|=（）

A．3 B．﹣3 C．D．﹣

【考点】15：绝对值．

【专题】12：应用题．

【分析】根据绝对值的定义，负数的绝对值是其相反数．

【解答】解：|﹣3|=3．

故选：A．

【点评】本题主要考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中，比较简单．

2．（3分）（2018?杭州）数据1800000用科学记数法表示为（）

A．1.86B．1.8×106C．18×105D．18×106

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【专题】1：常规题型．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：1800000=1.8×106，

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）（2018?杭州）下列计算正确的是（）

A．=2 B．=±2 C．=2 D．=±2

【考点】22：算术平方根．

【专题】1：常规题型．

【分析】根据=|a|进行计算即可．

【解答】解：A、=2，故原题计算正确；

B、=2，故原题计算错误；

C、=4，故原题计算错误；

D、=4，故原题计算错误；

故选：A．

【点评】此题主要考查了算术平方根，关键是掌握一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．

【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W7：方差；W8：标准差．

【专题】1：常规题型；542：统计的应用．

【分析】根据中位数的定义解答可得．

【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，

所以将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是中位数，

故选：C．

【点评】本题主要考查方差、标准差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．

5．（3分）（2018?杭州）若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则（）A．AM＞AN B．AM≥AN C．AM＜AN D．AM≤AN

【考点】J4：垂线段最短．

【专题】55：几何图形．

【分析】根据垂线段最短解答即可．

【解答】解：因为线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，

所以AM≤AN，

故选：D．

【点评】此题考查垂线段问题，关键是根据垂线段最短解答．

A．x﹣y=20 B．x+y=20 C．5x﹣2y=60 D．5x+2y=60

【考点】94：由实际问题抽象出二元一次方程．

【专题】521：一次方程（组）及应用．

【分析】设圆圆答对了x道题，答错了y道题，根据“每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分”列出方程．

【解答】解：设圆圆答对了x道题，答错了y道题，

依题意得：5x﹣2y+（20﹣x﹣y）×0=60．

故选：C．

【点评】考查了由实际问题抽象出二元一次方程．关键是读懂题意，根据题目中的数量关系，列出方程，注意：本题中的等量关系之一为：答对的题目数量+答错的题目数量+不答的题目数量=20，避免误选B．

A．B．C．D．

【考点】X4：概率公式．

【专题】1：常规题型；543：概率及其应用．

【分析】根据题意得出所有2位数，从中找到两位数是3的倍数的结果数，利用概率公式计算可得．

【解答】解：根据题意，得到的两位数有31、32、33、34、35、36这6种等可能结果，其中两位数是3的倍数的有33、36这2种结果，

∴得到的两位数是3的倍数的概率等于=，

故选：B．

【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，

其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

8．（3分）（2018?杭州）如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（）

A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）=40°

C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）=70°D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°

【考点】LB：矩形的性质．

【专题】556：矩形菱形正方形．

【分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得∠ABC=θ2+80°﹣θ1，∠BCD=θ3+130°﹣θ4，再根据矩形ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°，即可得到（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°．【解答】解：∵AD∥BC，∠APB=80°，

∴∠CBP=∠APB﹣∠DAP=80°﹣θ1，

∴∠ABC=θ2+80°﹣θ1，

又∵△CDP中，∠DCP=180°﹣∠CPD﹣∠CDP=130°﹣θ4，

∴∠BCD=θ3+130°﹣θ4，

又∵矩形ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°，

∴θ2+80°﹣θ1+θ3+130°﹣θ4=180°，

即（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）=30°，

故选：A．

【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角．

【考点】H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点．

【专题】535：二次函数图象及其性质．

【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．

【解答】解：假设甲和丙的结论正确，则，

解得：，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+4．

当x=﹣1时，y=x2﹣2x+4=7，

∴乙的结论不正确；

当x=2时，y=x2﹣2x+4=4，

∴丁的结论正确．

∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，

∴假设成立．

故选：B．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质求出b、c值是解题的关键．

10．（3分）（2018?杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2，（）

A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2

C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2

【考点】S9：相似三角形的判定与性质．

【专题】552：三角形．

【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵如图，在△ABC中，DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴=（）2，

∴若2AD＞AB，即＞时，＞，

此时3S1＞S2+S△BDE，而S2+S△BDE＜2S2．但是不能确定3S1与2S2的大小，

故选项A不符合题意，选项B不符合题意．

若2AD＜AB，即＜时，＜，

此时3S1＜S2+S△BDE＜2S2，

故选项C不符合题意，选项D符合题意．

故选：D．

【点评】考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．

二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。

11．（4分）（2018?杭州）计算：a﹣3a=﹣2a．

【考点】35：合并同类项．

【专题】1：常规题型．

【分析】直接利用合并同类项法则分别计算得出答案．

【解答】解：a﹣3a=﹣2a．

故答案为：﹣2a．

【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．

12．（4分）（2018?杭州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1=45°，则∠2=135°．

【考点】JA：平行线的性质．

【专题】1：常规题型．

【分析】直接利用平行线的性质结合邻补角的性质得出答案．

【解答】解：∵直线a∥b，∠1=45°，

∴∠3=45°，

∴∠2=180°﹣45°=135°．

故答案为：135°．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．

13．（4分）（2018?杭州）因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）=（a﹣b）（a﹣b+1）．

【考点】53：因式分解﹣提公因式法．

【专题】11：计算题；44：因式分解．

【分析】原式变形后，提取公因式即可得到结果．

【解答】解：原式=（a﹣b）2+（a﹣b）=（a﹣b）（a﹣b+1），

故答案为：（a﹣b）（a﹣b+1）

【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．

14．（4分）（2018?杭州）如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA=30°．

【考点】M5：圆周角定理．

【专题】55：几何图形．

【分析】利用垂径定理和三角函数得出∠CDO=30°，进而得出∠DOA=60°，利用圆周角定理得出∠DFA=30°即可．

【解答】解：∵点C是半径OA的中点，

∴OC=OD，

∵DE⊥AB，

∴∠CDO=30°，

∴∠DOA=60°，

∴∠DFA=30°，

故答案为：30°

【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用垂径定理和三角函数得出∠CDO=30°．

15．（4分）（2018?杭州）某日上午，甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B 地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在10点至11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：

千米/小时）的范围是60≤v≤80．

【考点】FH：一次函数的应用．

【专题】1：常规题型．

【分析】先根据函数图象求出甲车的速度，再根据甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，乙车9点出发，要在10点至11点之间（含10点和11

点）追上甲车列出不等式组，求解即可．

【解答】解：根据图象可得，甲车的速度为120÷3=40（千米/时）．

由题意，得，

解得60≤v≤80．

故答案为60≤v≤80．

【点评】本题考查了一次函数的应用，路程、速度与时间关系的应用，列一元一次不等式组解实际问题的应用，能够根据题意列出不等式组是解题的关键．

16．（4分）（2018?杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，

EH=1，则AD=3+2．

【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．

【专题】11：计算题．

【分析】设AD=x，则AB=x+2，利用折叠的性质得DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，则可判断四边形AEFD为正方形，所以AE=AD=x，再根据折叠的性质得DH=DC=x+2，则AH=AE﹣HE=x﹣1，然后根据勾股定理得到x2+（x﹣1）2=（x+2）2，再解方程求出x即可．【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，

∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，

∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，

∴四边形AEFD为正方形，

∴AE=AD=x，

∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，

∴DH=DC=x+2，

∵HE=1，

∴AH=AE﹣HE=x﹣1，

在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，

∴x2+（x﹣1）2=（x+2）2，

整理得x2﹣6x﹣3=0，解得x1=3+2，x2=3﹣2（舍去），

即AD的长为3+2．

故答案为3+2．

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．

（1）求v关于t的函数表达式．

（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？【考点】GA：反比例函数的应用．

【专题】1：常规题型．

【分析】（1）直接利用vt=100进而得出答案；

（2）直接利用要求不超过5小时卸完船上的这批货物，进而得出答案．

【解答】解：（1）由题意可得：100=vt，

则v=；

（2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物，

∴t≤5，

则v≥=20，

答：平均每小时至少要卸货20吨．

【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．

18．（8分）（2018?杭州）某校积极参与垃圾分类活动，以班级为单位收集可回收垃圾，下面是七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量的频数表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．

（2）已知收集的可回收垃圾以0.8元/kg被回收，该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额能否达到50元？

【考点】V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图．

【专题】1：常规题型；542：统计的应用．

【分析】（1）由频数分布直方图可得4.5～5.0的频数a的值；

（2）先求出该年级这周收集的可回收垃圾的质量的最大值，再乘以单价即可得出答案．【解答】解：（1）由频数分布直方图可知4.5～5.0的频数a=4；

（2）∵该年级这周收集的可回收垃圾的质量小于4.5×2+5×4+5.5×3+6=51.5（kg），

∴该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额小于51.5×0.8=41.2元，

∴该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额不能达到50元．

【点评】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是根据频数分布直方图得出解题所需数据．

19．（8分）（2018?杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB 于点E．

（1）求证：△BDE∽△CAD．

（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．

【考点】KH：等腰三角形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．

【专题】552：三角形．

【分析】（1）想办法证明∠B=∠C，∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题；

（2）利用面积法：?AD?BD=?AB?DE求解即可；

【解答】解：（1）∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，∠B=∠C，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=∠ADC，

∴△BDE∽△CAD．

（2）∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，

在Rt△ADB中，AD===12，

∵?AD?BD=?AB?DE，

∴DE=．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法确定线段的长．

20．（10分）（2018?杭州）设一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B （﹣1，﹣1）两点．

（1）求该一次函数的表达式；

（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值．

（3）已知点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数图象上，设m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），

判断反比例函数y=的图象所在的象限，说明理由．

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；G4：反比例函数的性质．

【专题】53：函数及其图象．

【分析】（1）根据一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点，可以求得该函数的表达式；

（2）根据（1）中的解析式可以求得a的值；

（3）根据题意可以判断m的正负，从而可以解答本题．

【解答】解：（1）∵一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点，

∴，得，

即该一次函数的表达式是y=2x+1；

（2）点（2a+2，a2）在该一次函数y=2x+1的图象上，

∴a2=2（2a+2）+1，

解得，a=﹣1或a=5，

即a的值是﹣1或5；

（3）反比例函数y=的图象在第一、三象限，

理由：∵点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数y=2x+1的图象上，m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），

假设x1＜x2，则y1＜y2，此时m=（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，

假设x1＞x2，则y1＞y2，此时m=（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，

由上可得，m＞0，

∴m+1＞0，

∴反比例函数y=的图象在第一、三象限．

【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．

（2）设BC=a，AC=b．

①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗？说明理由．

②若AD=EC，求的值．

【考点】A3：一元二次方程的解；KN：直角三角形的性质；KQ：勾股定理．

【专题】11：计算题．

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可；

（2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可；

②根据勾股定理列出算式，计算即可．

【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=28°，

∴∠B=62°，

∵BD=BC，

∴∠BCD=∠BDC=59°，

∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°；

（2）①由勾股定理得，AB==，

∴AD=﹣a，

解方程x2+2ax﹣b2=0得，x==﹣a，

∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根；

②∵AD=AE，

∴AE=EC=，

由勾股定理得，a2+b2=（b+a）2，

整理得，=．

【点评】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．

22．（12分）（2018?杭州）设二次函数y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．

（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．

（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．

（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．

【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式；HA：抛物线与x轴的交点．

【专题】151：代数综合题；535：二次函数图象及其性质．

【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式．

（2）当x=1时，y=0，所以抛物线过点AB

（3）把x=2代入用ab表示m，由m的范围结合a+b＞0可解．

【解答】解：（1）设y=0

∴0=ax2+bx﹣（a+b）

∵△=b2﹣4?a[﹣（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）2≥0

∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．

∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个

（2）当x=1时，y=a+b﹣（a+b）=0

∴抛物线不经过点C

把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得

解得

∴抛物线解析式为y=3x2﹣2x﹣1

（3）当x=2时

m=4a+2b﹣（a+b）=3a+b＞0①

∵a+b＜0

∴﹣a﹣b＞0②

①②相加得：

2a＞0

∴a＞0

【点评】本题考查了二次函数图象性质及数形结合思想．解答时，注意将相关的点坐标代入解析式．

23．（12分）（2018?杭州）如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连结AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设=k．

（1）求证：AE=BF．

（2）连结BE，DF，设∠EDF=α，∠EBF=β．求证：tanα=ktanβ．

（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求的最大值．

【考点】SO：相似形综合题．

【专题】15：综合题．

【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAG=∠DAE，进而得出△ADE≌△BAF，即可得出结论；

（2）先判断出△ABG∽△DEA，进而得出=k，再根据锐角三角函数即可得出结论；（3）方法1、先判断出S1=?S△BHG，再判断出S2=S△BHG，即可得出结论．

方法2、先表示出S2=BC×CD﹣k×h=﹣kh，S1=AD×h'=h'，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

∴∠BAG+∠DAG=90°，

∵DE⊥AG，BF⊥AG，

∴∠AED=∠BFA=90°，

∴∠ADE+∠DAG=90°，

∴∠BAG=∠DAE，

∴△ADE≌△BAF（AAS），

∴AE=BF，

（2）由（1）知，∠BAG=∠EDA，

∵∠ABG=∠DEA，

∴△ABG∽△DEA，

∴，

∴==k

在Rt△DEF中，EF=DE?tanα，

在Rt△BEF中，EF=BF?tanβ，

∴DE?tanα=BF?tanβ，

∴tanα=?tanβ=?tanβ=ktanβ；

（3）方法1、如图，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC∥AD，AD=BC，

∵=k，

∴=k，

∵AD∥BC，

∴△ADH∽△GBH，

∴==（）2=，

∴S1=?S△BHG，

设△BHG的边BG上的高为h，△ADH的边AD上的高为h'，∴△ADH∽△GBH

∴==k，∴h=kh'

∴==×=k×=

∴S△BCD=S△BHG，

∴S2=S△BCD﹣S△BHG=S△BHG，

==﹣k2+k+1=﹣（k﹣）2=﹣（k﹣）2+

∴k=时，的最大值为

方法2、如图1，

设正方形的边长为1，

连接BD交AG于H，过H作MN⊥BC交AD于M，BC于N，设HN=h，HM=h'，

∴h+h'=1，

∵=h，

∴BG=h，=k，

S2=BC×CD﹣k×h=﹣kh，

S1=AD×h'=h'

∴

=﹣（k﹣）2+，

∴k=时，的最大值为．