高等代数习题解答(第二章)
高等代数习题解答
第二章 行列式
1．决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）134782695； 2）217986354； 3）987654321．
1）解 ()134********τ=，排列134782695是偶排列． 2）解 ()21798635418τ=，排列217986354是偶排列． 3）解 ()98765432136τ=，排列987654321是偶排列． 2．选择i 与k 使
1）1274569i k 成偶排列； 2）1254897i k 成奇排列．
1）解 当8,3i k ==时，()12748563910τ=，排列127485639为偶排列． 2）解 当3,6i k ==时，()1325648975τ=，排列132564897为奇排列． 3．写出把排列12435变成排列25341的那些变换． 解 (1,2)
(1,5)
(4,3)
12435214352543125341→→→．
4．决定排列(1)21n n - 的逆序数，并讨论它的奇偶性． 解 ()(1)
(1)21012(2)(1)2
n n n n n n τ--=++++-+-=
． 当4n k =或41()n k k +=+∈ 时，排列为偶排列； 当42n k =+或43()n k k +=+∈ 时，排列为奇排列．
5．如果排列121n n x x x x - 的逆序数为k ，排列121n n x x x x - 的逆序数是多少？
解 由于一个n 级排列中，构成逆序的数对与构成顺序的数对总数是2
(1)
2
n n n C -=
，把一个排列颠倒后，原来的逆序变成顺序，原来的顺序变成逆序，所以排列
121n n x x x x - 的逆序数
(1)
2
n n k --． 6．在6级行列式中，233142561465a a a a a a 与324314516625a a a a a a 这两项应带有什么符号？
解 由于
(234516)(312645)4ττ+=+=；(341562)(234165)6410ττ+=+=，
故两项均应带有正号．
7．写出4级行列式中所有带负号并且包括因子23a 的项． 解 所求的项为
112332a a a a -；12233441a a a a -；14233142a a a a - 8．按定义计算行列式：
1）00010
020
0100
000
n n
-
； 2）010000200001000
n n -
；
3）00100
200
1000
00n n
-
．
1）解 原行列式(1)
((1)21)2
(1)!(1)
!n n n n n n τ--=-=- ．
2）解 原行列式(231)1(1)!(1)!n n n n τ-=-=- ． 3）解 原行列式(1)(2)
((1)(2)21)
2
(1)
!(1)
!n n n n n n n τ----=-=- ．
9．由行列式的定义证明：
1234512345
12121
2
00000000
a a a a a
b b b b b
c c
d d
e e =． 证明 由定义，行列式的一般项为
125
125
()125(1)j j j j j j a a a τ- ， 其中，125j j j 是一个5级排列．在这个5级排列中，345,,j j j 至少有一个大于或等于3，则相应的元素等于0，由此可知每一项都为0，从而行列式为0．
10．由行列式的定义计算
21
2
111
()32
1
1
11
x
x x f x x x
-=
中4x 与3x 的系数，并说明理由．
解 ()f x 的展开式中x 的4次项只有一项：(1234)(1)2x x x x τ-???，故4x 项的系数为2；x 的3次项也只有一项：(2134)(1)1x x x τ-???，故3x 项的系数为1-．
11．由
1
1111101
11
=
证明：奇偶排列各半．
证明 由于行列式的每个元素都等于1，所以它的每一项的绝对值都等于1，当行标按自然顺序排列时，符号由列标排列的奇偶性确定，当列标排列为奇排列时，符号为负，当列标排列为偶排列时，符号为正．由又由于行列式等于0，说明带正号的项与带负号的项个数相等，即（列标排列中）奇排列与偶排列各占一半．
12．设
2121
11121
111
1
1()1n n n n n n x x x a a a p x a a a ------=
，
其中121,,,n a a a - 是互不相同的数．
1）由行列式定义，说明()p x 是一个1n -次多项式；
2）由行列式性质，求()p x 的根．
解 1）()p x 的展开式中，含1n x -的只有一项，其系数是
2
1
1112
1
1
22
2
21
111
11(1)
1n n n n n n n a a a a a a a a a --+-----
，
由于121,,,n a a a - 互不相同，上述的范德蒙德行列式不等于0，故1n x -项的系数不等于
0，从而()p x 是一个1n -次多项式．
2）2121
111111
11
21
111
1
1()()()1n n n n i j k i i k n n n n n x x x a a a p x a x a a a a a ----=≤<≤-----=
=∏-?∏-
，
而1
11
()0n j k i k n a a -≤<≤-∏-≠，
于是()p x 的根是121,,,n a a a - ．
13．计算下面的行列式：
1）246
427327
1014543443342721621
； 2）x
y x y y
x y x x y x
y
+++；
3）
3111
131111311113； 4）
1234
234134124123
；
5）
1111111111111
11
1x
x y y
+-+-； 6）
2
22222222
2
2
2
2
2
22
(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)
(2)
(3)
(1)(2)(3)a a a a b b b b c
c c c
d d d d ++++++++++++．
1）解 246
4273271014543443
342721621
123
1000
42732720005434431000721621c c c ++=
23
1000100327
20001004431000100621
c c -= 121000100
511327
102144311621c c ÷÷=21
31
2511327
100121100294
r r r r --=--529410=-?．
2）解 x
y x y y x y x x y
x y +++()()()
123
222c c c x y y x y x y x y
x x y x
y
++++=
+++
()
()121211
c x y y x y x y x y x x
y
÷++=
++()2131
120
r r r r y x y
x y x
y x y
x
--+=+---()2x y
x y x y x
-=+--
()()22()()x y x y x y =+----()22332()2()x y x xy y x y =+-+-=-+．
3）解
31111311113111131234
6111
631161316113
c c c c +++=
213141
6111020000200002
r r r r r r ---=622248=???=．
4）解
1234
234134124123
1234
10234
103411041210123
c c c c +++=
213141
10234011
3
02
220
111
r r r r r r ----=
-----3241
2102340113004
40
4
r r r r -+-=
--
101(4)(4)160=??-?-=．
5）解
1111111111111
111x
x y y +-+-1234
11110011110
r r r r x x x y y
y
--+--=
+--2143
1100001010
c c c c x x x y y
y
--+--=
+--
241300(1)0
x x y y
+++--=
---拉普拉斯定理
22xy xy x y =?=．
注1：也可以不用拉普拉斯定理；注2：另解 将第4行拆成两行．
6）解
2
22222222
2
2
2
2
222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)
(2)
(3)
(1)(2)(3)a a a a b b b b c
c c c
d d d d ++++++++++++213141
222
2
21446921446921
44
69
214469
c c c c c c a a a a b b b b c
c c c
d d d d ---++++++=
++++++
3242
2
222
32
21262126021262126
c c c c a a b b c
c d d --++=
=++．
14．证明
11
111111122
22222
22
2b c
c a a b a b c
b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++． 证法一 左边123
111112
22
22
222c c c a c a a b a c a a b a c a a b ---++=
-++-++1(2)
1
11112
22
22
2c a c a a b a c a a b a c a a b ÷-++=-++++ 2131
1
112
2
2
2c c c c a c b a c b a c b --=-23
1
112
2
2
2c c a b c
a b c a b c ?==右边．
证法二 左边123
11111
1122222
22
2()2()
2()c c c a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ++++++=
++++++++12
111
1111222
22
22
2c a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ÷++++=++++++++ 2131
111
11222
2
2
2c c c c a b c b c a b c b c a b c b c --++--=++--++--123
1
112
2
2
2c c c a b c a b c a b c ++--=----23(1)1
11(1)
2
2
2
2c c a b c
a b c a b c ?-?-==右边． 15．略
16．计算下面的行列式：
1）111
1
211312254321
- 2）
11
1121
12131
1113211102
---
3）012142012113512331212
10
3
5
-- 4）11
1122011213
2
1021101212
130
2
--- 1）解
111121*********
1
-213141
241111
0115
1
1
4
0123
r r r r r r ------=
---3242
11110115
00010
1
2
r r r r +----=--
34
1
111
011500120
1
r r ?---=
--34
11110115
1(1)(1)(1)100120
1
r r ?---=-
=-?-?-?-=--．
2）解
11
112112
1
3
1111
3
21110
2---12432
23112122211211
123201c c c ???-=--131211
12221311212320
1
r r ?--=-
-
21
31
41331
2
1
1
041310541120834r r r r r r +-+-=----231
2
1
1
015210541120834r r +--=----3242581
2
11
015
21002111
12003720r r r r -+--=--- 211111(1)372012--=-??-1(2120(11)37)12=?-?--?13
12
=-．
3）解 012142012113512331212
10
3
5
--314151
330121420
1
21
101
4103055112
02
4
1
r r r r r r ----=------12
212111410
1(1)
355112
24
1
+---=?----
1232
42
232011019
11
4
100817
41
41219
r r r r r r +++-----=-
----2111019
(1)(1)817
4141219
+--=--?-----23
31
24110190
7
30
2857
r r r r ---=----
11
73
(1)(1)
2857
+--=--?--21
4730
69
r r ---=
483=-．
4）解 1101122
0112
132
1021101212
1
302---13522
22
1022
20
11
21
642108
11
0124
2
6
1r r r ???--=-3141
514221022201
121
20278830
0300
6
4
5
r r r r r r -+---=
--- 3141
51412
22
112
2278
1
1(1)3
03
0806
45
r r r r r r -++----=
??--31
2
1122258
13
00080
6
45
c c -----=--31
31112
1
3(1)2
588
6
45
c c -+--=-??---
2131
261
12
307
1280
1017r r r r ++--=-
--117123(1)(1)10178+-=-?-?--33
((7)1712(10))88
=-?-?-=．
17．计算下列n 级行列式：
1）0000
000000
00
x y x y x y y
x
； 2）1112
121
22212n
n
n n n n
a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------
；
3）
12121
2
n n n x m x x x x m x x x x m
---
； 4）12222222
2232222n
；
5）1
23111
0000
22000
11n n n n
-----
． 1）解 000000
000000x y x y x y y x
1111
1
000
0000000
000
(1)(1)00000000000000n n n x y y x y x y x y x y y x x y ++--=?-+?-
按第1列展开
111(1)n n n x x y y -+-=?+?-1(1)(2)n n n x y n +=+-≥．
2）解 当1n =时，1111a b a b -=-； 当2n =时，
111221
22
a b a b a b a b ----112212211212()()()()()()a b a b a b a b a a b b =-----=--；
当3n ≥时，
11
12
121
2221
2n
n
n n n n
a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------
2131
1112121
2121
31
313112n
r r r r n n n n
a b a b a b a a a a a a a a a a a a a b a b a b --------=------
=0． （第2，3两行成比例）
3）解
12121
2
n n n x m
x x x x m x x x x m
---
122
121
2
1
n
n
i n i n
c c c i n i n
i n i x m
x x x m
x m x x m
x x m
=+++==---=
--∑∑∑
1
2
1
(2,3,,)
000
i n
i
n
r r i i n x m
x x m m
-==--=-∑
1
1()n n i i m x m -=??
=-- ???
∑． 4）解 12222222
2232
222n
2
(1,3,4,,)
1000222200100
002i r r i n n -=-=
-
21
21000022200100
002
r r n +-=
-
(1)2(2)!2(2)!n n =-??-=--．
另解：1(2,3,,)i r r i n -= ，然后按第2行展开．
5）解 1
23111
0000
22000
0011n n n n -----
12(1)231201000022000
11n
c c c n n n n n n
++++--=
---
1
0002
200(1)2
11n n n n
--+=
--
按第1列展开
(1)
(1)(2)(1)2
n n n +=
---
1
1
(1)(1)!
(1)(1)!(1)22
n n n n n n --++=--=-． 另解：第1列起，各列加到后一列，然后按第n 列展开．
18．证明
1）01212011111
001
1
00()100
n
n i i
n
a a a a a a a a a ==-∑
； 2）
01211102
1
0001000100000
01n n n n n x a x a x a x a x a x a x
a x a ------=++++-+
；
3）11
000100010
00001n n αβ
αβαβ
αβαβαβαβ
αβ++++-=
+-+
； 4）cos 10001
2cos 10
0cos 012cos 0
00
12cos n ααααα
=
；
5）
1
2
3121111111111
11
1111
1(1)1
1
1
11n
n i i
n
a a a a a a a a =+++=++∑
． 1）证法一 当1n =（2级）时，左边=
0011
111
a a a a =-=右边；
假设等式对于n 级的情形成立，则对于1n +级情形：
左边=0121111
001
001
n
a a a a
0111
(1)1(1)(1)2211111
1111
00000
(1)(1)1
000
001
00n n n n n n n
n
a a a a a a a ++++++-=
-+-
按第行 展开
1(1)1
(121)
12112101(1)
(1)
[()]n n n n n n n i
i
a a a a a a a a a τ-++---=--+-∑
第2个行列式
根据归纳假设
112112101[()]n n n n i
i
a a a a a a a a a ---=-+-∑ 12101
()n
n n i i
a a a a a a -=-∑
=右边． 证法二 左边=0121111
001
001
00n a a a a
1
1221
(1)103320001
1111111000000
0000000
00(1)0000
00
n n n
a a a a a a a a a a ++=-++-
按第列 展开
2(121)01223121(1)(1)n n n n n n a a a a a a a a a a τ+--=-++-- 2101223121(1)(1)n n n n n a a a a a a a a a a +--=-++--
01223121n n n a a a a a a a a a a -=--- =右边．
证法三提示 将第(2,3,,1)i i n =+ 行的1
i
a -
倍加到第一行即得下三角行列式． 2）证法一 当1n =时，左边=00x a x a +=+=右边； 假设等式对于n -1级情形成立，则对于n 级情形：
左边=
0122
1
0001000100000
01n n x a x a x a x
a x a -----+
012103
21
1
0001000100010001000100(1)
00000010
010
1n
n n n n x
a x x a x x a x
a x
a x x a +---------=+---+-
按第1行 展开
111210()(1)(1)n n n x x a x a a -+-=
++++-- 第1行列式根据归纳假设
2210()n x a x a x a =
++++ 第1行列式根据归纳假设
=右边．
于是，等式成立．
证法二 左边=
0122
1
0001000100000
01n n x a x a x a x
a x a -----+
12011
00000000
10001
000010000100(1)
(1)
000100010
10
1n n
n
x x x x a a x x ++-----=-+-+----
按第列 展开
(1)21000000001
0001000010
00100
(1)()(1)0000
00000
001
00
n n
n n
n n x x x x x x a x a x
x x
-++-------++--
1122211210121(1)(1)(1)(1)(1)(1)()(1)n n n n n n n n n n a a x a x x a x +-+------=--+--++--++- 110121()n n n n a a x a x x a x ----=+++++
=右边．
3）将等式左边的行列式记为n D ，按第1列展开，得 12()n n n D D D αβαβ--=+-， 即 112()n n n n D D D D αβα----=-， 该等式对于一切的n 都成立，于是
2123()n n n n D D D D αβα----=- 334()n n D D βα--=- =
221()n D D βα-=-
22[()()]n βαβαβααβ-=+--+
n β=． ① 在原式中，是,αβ对称的，故同理可得
1n n n D D βα--=． ②
②α?-①β?，得
11()n n n D αβαβ++-=-，
所以 11n n n D αβαβ
++-=-．
另解 第二数学归纳法，按第1行展开（略）．
4）提示 用第二数学归纳法，按第n 行展开得122cos n n n D D D α--=?-． 5）提示 用数学归纳法，将第n 行拆成两行111 与00n a ． 19—21略
高等代数习题第二章
习题2-1 一、判断题 若在n 阶行列式中等于零的元素个数超过2n n -个，则这个行列式的值等于零。（ ） 二、单选题 1．若行列式210 120312 x --=-, 则x =( ) A. –2 B. 2 C. -1 D. 1 2．n 阶行列式00010010 01001000 的值为（ ） A. (1)n - B. 1 (1)2 (1) n n -- C. 1 (1)2 (1) n n +- D. 1 3．设ij A 是行列式A 的元素(),1,2,,ij a i j n = 的代数余子式，当i j ≠时下列各式中错误的是（ ） A. 1122i j i j in jn A a A a A a A =++ B. 1122i i i i in in A a A a A a A =++ C. 1122j j j j nj nj A a A a A a A =++ D. 11220i j i j in jn a A a A a A =++ 4．行列式 0000 00000a b c d e f 的值等于（ ） A. abcdef B. abdf - C. abdf D. cdf 5． 1111 2 22 2 0000000 a b c d a b c d =( ) A. 11222121a c b d a b c d - B. 22112211()()a b a b c d c d -- C. 12121212a a bb c c d d D. ()12211221()a b a b c d c d -- 6.设行列式1112 223 33,a b c D a b c a b c = 则 111111 222 2223 33 333 223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c +++++++++ ＝（ ） A. -D B. D C. 2D D. -2D
高等代数第6章习题参考答案
第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。 证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。 若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ） 。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +
高等代数作业 第二章行列式答案.doc
高等代数第四次作业 第二章 行列式 §1—§4 一、填空题 1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，5 2．四阶行列式4 4?=ij a D 中,含24a 且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a 3．设 .21 22221 11211 d a a a a a a a a a nn n n n n = 则 ._____1 221 22 211 121=n n nn n n a a a a a a a a a (1) 2(1)n n d -- 4．行列式1 1 1 111 11 ---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2 二、判断题 1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）√ 2. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 则 12 111222212 1 n n n nn n a a a a a a a a a =d （ ）× 3. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 则d a a a a a a a a a n nn n n n -=112112122221 （ ）× 4. abcd z z z d y y c x b a =000000 ( ) √ 5. abcd d c x b y x a z y x -=0 000 00 （ ）× 6. 00 00000=y x h g f e d c b a （ ）√ 7. 如果行列式D 的元素都是整数，则D 的值也是整数。（ ）√ 8. 如果行列D 的元素都是自然数，则D 的值也是自然数。（ ）× 9. n n a a a a a a 212 1 = （ ）× 10. 0 10000 2000 010 n n -=n ！ （ ）× 三、选择题
高等代数第6章习题解
第六章习题解答 习题6.1 1、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ； （3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ； （4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 （5）0,()x V f y ααα??=∈= ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （3）不是。因为 而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ （5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2 n 维线性空间， 设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义 ()f M MA AM =+ 证明，f 是V 的一个线性变换。 证明：,,M N V k F ?∈∈，则 所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =，(,,)x y z V α=∈，定义
专升本高等数学测试及答案(第二章)
高等数学测试（第二章） 一．选择题（每小题２分，共20分） 1 ．设函数0()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（ ） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微 2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）A ．1 B ．2 e C ．2e D ．e 3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A ．0 B ．()f a ' C ．2()f a ' D ．(2)f a ' 4．设x x x f += ??? ??11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （ ） A ． 2) 1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22 )1(x x +- 5．设函数 )(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是 （ ） A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数 B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数 C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数 D ．若 )(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数 6．设)(x f 可导，则下列不成立的是 （ ） A ．)0()0()(lim 0 f x f x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0 a f h a f h a f h '=-+→ C ．)()()(lim 0 000 x f x x x f x f x '=??--→? D ．)(2)()(lim 0000 x f x x x f x x f x '=??--?+→?
高等代数作业第二章行列式答案
高等代数作业第二章行列 式答案 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
高等代数第四次作业 第二章 行列式 §1—§4 一、填空题 1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，5 2．四阶行列式4 4?=ij a D 中,含24a 且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a 3．设 .21 22221 11211 d a a a a a a a a a nn n n n n = 则 ._____1 221 22 211 121=n n nn n n a a a a a a a a a (1) 2(1)n n d -- 4．行列式1 1 1 111 11 ---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2 二、判断题 1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）√ 2. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 则 12 111222212 1 n n n nn n a a a a a a a a a =d （ ）× 3. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 则d a a a a a a a a a n nn n n n -=11211 2122221 （ ）× 4. abcd z z z d y y c x b a =000000 ( ) √ 5. abcd d c x b y x a z y x -=0 000 00 （ ）× 6. 00 00000=y x h g f e d c b a （ ）√ 7. 如果行列式D 的元素都是整数，则D 的值也是整数。（ ）√ 8. 如果行列D 的元素都是自然数，则D 的值也是自然数。（ ）× 9. n n a a a a a a 212 1 = （ ）× 10. 0 1000 2000 010 n n -=n ！ （ ）× 三、选择题
高数课后习题及答案 第二章 2.3
2．2）1 ()3,0 x f x x ==； 解： 11 lim 11 lim lim ()lim 3330 lim ()lim 333 x x x x x x x x x x f x f x - →--+ →++-∞ →→+∞ →→========+∞ 因为0 lim ()lim ()x x f x f x - + →→≠，所以3 lim ()x f x →-不存在。 3）2 11(),02x f x x - ?? == ? ?? ； 解： 2 10000 11lim ()lim ()lim ()lim 22x x x x x f x f x f x -+- -∞ →→→→?? ??=====+∞ ? ??? ?? 所以3 lim ()x f x →-不存在。 4）3,3 9)(2 -=+-= x x x x f ； 解：63 ) 3)(3(lim )(lim )(lim 3 3 3 -=+-+==+ + - -→-→-→x x x x f x f x x x 故极限6)(lim 3 -=-→x f x 2 2 2 2 2 5).lim ()224,lim ()3215, lim ()lim (),lim ()x x x x x f x f x f x f x f x -+-+→→→→→=?==?-=≠解：因为所以不存在。 ()0 6.lim ()lim 21,lim ()lim cos 12,lim ()lim (),lim ()x x x x x x x x f x f x x f x f x f x --++-+→→→→→→→===+=≠）解：因为所以不存在。 7）1()arctan ,0f x x x ==；
高等代数试题及答案
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷
授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共 2 页第 2 页
中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.
高等数学练习答案1-10
习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 高等代数（北大第三版）答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章—矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！ 12．设 A 为一个 n 级实对称矩阵，且 A 0 ，证明：必存在实 n 维向量 X 0 ，使 X AX 0 。 证 因为 A 0，于是 A 0 ，所以 rank A n ，且 A 不是正定矩阵。故必存在非 退化线性替换 X C 1Y 使 XAX YC 1 ACY Y BY y 12 y 22 y p 2 y p 2 1 y p 2 2 y n 2 ， 且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在 Z C 1Y 中，令 y y 2 y p 1 0, y p 1 y p 2 y n 1, 则可得一线性方程组 c 11 x 1 c 12 x 2 c 1n x n c p 1 x 1 c p 2 x 2 c pn x n ， c p 1,1 x 1 c p 1, 2 x 2 c p 1,n x n 1 c n1 x 1 c n 2 x 2 c nn x n 1 由于 C 0 ，故可得唯一组非零解 X s x 1s , x 2s , , x ns 使 X s AX s 0 0 0 1 1 1 n p 0 ， 即证存在 X 0，使 X AX 0 。 13 ．如果 A, B 都是 n 阶正定矩阵，证明： A B 也是正定矩阵。 证 因为 A, B 为正定矩阵，所以 X AX , X BX 为正定二次型，且 X AX 0 ， X BX 0 ， 因此 X A B X X AX X BX 0 ， 于是 X A B X 必为正定二次型，从而 A B 为正定矩阵。 14 ．证明：二次型 f x 1 , x 2 , , x n 是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。 证 必要性。采用反证法。若正惯性指数 p 秩 r ，则 p r 。即 f x 1 , x 2 , , x n y 2 y 2 y 2 y 2 y 2 ， 1 2 p p 1 r 若令 x) 1 3. 函数f (x) lnx 在x 1处的切线方程是 _______________________ 1 4. 设 f(—) x ,则 f (x) ___ ________ x 3 5. 函数 f (x) sin(cosx )，贝y f (x) ___________________ 6.设函数f(x) ln cosx ，则二阶导数f (x) 、选择题. 1.函数y A 、无定义 不连续 第二章 C 、可导 D 、连续但不可导 2.设函数f (X ) 2x 2 x , 1,x 0 ，则 f (x)在点x 0处 A 、没有极限 B 、有极限但不连续 C 、连续但不可导 D 、可导 3?设函数y f (x)可微, 则当 y dy 与x 相比，是 x 的等价无穷小 x 的同阶无穷小 C . x 的高阶无穷小 x 的低阶无穷小 4.函数 x 3的单调增区间是 中B 、(严,T 3 3 3 C 、(于 5?函数f (x) 1 (e x e x )的极小值点是 ) ) ) ) (0,+ ) ) 不存在 、填空题. 1. 已知(sin x) cosx , 利用导数定义求极限 2、 如果f (x °) 4，则 lim f(x 0 3x) x 0 f (X o ) 7. d(arctan2x) ,d In (sin 2x) 四、计算题. 六、应用题. 产品的市场需求量为 q 1000 10 p ( q 为需求量，p 为价格)?试求：(1 )成本函数，收入 函数；(2)产量为多少吨时利润最大? 8.函数f(x) x 3 ax 2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则 a = p 9 ?设需求量q 对价格p 的函数为q(p) 100e ? ，则需求弹性E p 三、判 断题. 1. 若f(x)在点X o 处可导，则f (x)在点X o 处连续. 2. dy 是曲线y f (x)在点(x 0, f (怡))处的切线纵坐标对应于 x 的改变量. 3. 函数y f (x)在x 0点处可微的充要条件是函数在 X 。点可导. 4. 极值点一定是驻点. 5. 函数y x 在点x 0处连续且可导. 1.求函数 y arctan-. 1 x 2的导数. 2.求由方程x y e 2x e y 0所确定的隐函数 y f(x)的导数y . e 3.设 y x ，求 y . 4.求由方程y cos(x y)所确定的隐函数 y f (x)的二阶导数y . 五、求下列极限. (1) lim x x sin x x sin x (2) 4 c 2 lim X x 0 3x 2x si nx 4 ， (3) 01 x x 1 ln x (4) 1 lim( a' X 1)x (a 0), (5) (6) lim (x x 1 X \ X e)x . 1.求函数f (x) x 3 3x 2 9x 1的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点. 2.某厂生产一批产品, 其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为 60元, 对这种 第一章多项式自测题 一、填空题 1. 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的一个最大公因式为 ． 2. 1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x --=++ ++∈,若|()x f x ,则0a = ;若 1()x f x =是的根,则012n a a a a +++ += . 3.若((),())1f x f x x '=+,则 是()f x 的 重根. 4.44x -在有理数域,实数域,复数域上的标准分解式为 , , . 二、选择题(以下所涉及的多项式,都是数域P 上的多项式) 1.设()|(),()|(),()0,()()x f x x g x x g x f x ???≠且与不全为0,则下列命题为假的是( ). A.()|(()()()())x u x f x v x g x ?+ B.deg(())min{deg (),deg(())}x f x g x ?≤（deg 意思为次数） C.若存在(),()u x v x ,使()()()()(),u x f x v x g x x ?+=则((),())()f x g x x ?= D.若|(),x a x ?-则()()0f a g a == 2.若((),())1f x g x =,则以下命题为假的是( ). A.23((),())1f x g x = B.1))()(),((=+x g x f x f C.()|()()g x f x h x 必有()|()g x h x D. 以上都不对 3.下列命题为假的是( ). A.在有理数域上存在任意次不可约多项式 B.在实数域上3次多项式一定可约 C.在复数域上次数大于0的多项式都可约 D.在实数域上不可约的多项式在复数域上没有重根 4.下列命题为真的是( ). A.若2()()p x f x ,则()()p x f x 是二重因式 B.若()(),(),()p x f x f x f x '''是的公因式,则()p x 的根是()f x 的三重根 C.()f x 有重根(),()f x f x ''?有一次因式 高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特征根0 的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零； 普通班高数作业（上） 第一章 函数 1、试判断下列每对函数是否是相同的函数，并说明理由：（第二版P22:4；第三版P8:1）（注：“第二版P22:4”指第二版教材第22页的第4题） （2）)sin(arcsin x y =与x y =； （4）x y = 与2x y =； （6）)arctan(tan x y =与x y =； （8）)(x f y =与)(y f x =。 2、求下列函数的定义域，并用区间表示：（第二版P22:5；第三版P8:2） （2）x x x y -+=2； （3）x y x -+=1ln arcsin 21； （7）x e y x ln 111 -+ =。 3、设?????<-≥-=0 ,10 ,1)(2 2x x x x x f ，求)()(x f x f -+。（第二版P23:10；第三版无） 4、讨论下列函数的单调性（指出其单增区间和单减区间）：（第二版P23:11；第 三版P12:1） （2）24x x y -= ； （4）x x y -=。 5、讨论下列函数的奇偶性：（第二版P23:12；第三版P12:2） （2）x x x x f tan 1)(2+-=； （3）)1ln()(2x x x f -+=； （6）x x f ln cos )(=； （7）? ??≥+<-=0,10,1)(x x x x x f 。 6、求下列函数的反函数及反函数的定义域：（第二版P23:16；第三版P14:1） （1）)0,(),21ln(-∞=-=f D x y ； （6）???≤<--≤<-=21,)2(210, 12)(2 x x x x x f 。 7、（1）已知421)1(x x x x f +=-，求)(x f ； （2）已知2 ln )1(222 -=-x x x f ，且x x f ln )]([=?求)(x ?。（第二版P23:19；第三版P16:3） 8、以下各对函数)(u f 与)(x g u =中，哪些可以复合构成复合函数)]([x g f ？哪些不可复合？为什么？（第二版P24:23；第三版P16:7） 高等代数例题 第一章 多项式 1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有2 3 1x mx x px q +-++ 2．45P 7 设3 2 ()(1)22f x x t x x u =++++，3 ()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、 u 的值。 3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3 x px q ++有重根的条件。 5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x - 6．46P 25 证明：如果233 12(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1n x -在复数域内和实数域内的因式分解。 8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？ 9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。求证： 11((),())((),())f x g x f x g x =。 10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ； （2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最 小公倍式。证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()() [(),()]((),()) f x g x f x g x f x g x = 。 11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2m n f x x x =+-所得余式为 。 12． 求证：如果()d x |()f x ，()d x |()g x ，且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与 ()g x 的一个最大公因式。 13． 14 3 4141)g( , 21212321)(23423456 -+--=+--+-- =x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。 14． 设22()(1) 21m n f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。证：()g x |()f x 。 第二章 一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处 （ ） A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x + 6. 设函数()ln cos f x x =，则二阶导数()f x ''=______________. 7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （ ） 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. （ ） 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （ ） 4. 极值点一定是驻点. （ ） 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （ ） 四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =，求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. （1）sin lim sin x x x x x →∞-+， （2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ， （3）11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点． 第二章 多项式 2.1 一元多项式的定义和运算 1． 设f (x )，g (x )和h (x )是实数域上的多项式．证明：若f (x )2 = x g (x )2+x h (x )2 ，那么 f (x ) = g (x ) = h (x ) = 0． 证明概要：比较等式两边的次数可证． 2． 求一组满足上一题中等式的不全为零的复系数多项式f (x )，g (x )和h (x )． 解：取f (x ) = 2ix ，g (x ) = i (x +1)，h (x ) = x-1即可． 或取f (x ) = 0，g (x ) = 1，h (x ) = i 即可． 3． 证明： (1)(1)(1) 1(1) 2! ! (1)() (1) ! n n x x x x x n x n x x n n ---+-+-+---=- 证明提示：用数学归纳法证之． 2.2 多项式的整除性 1． 求f (x )被g (x )除所得的商式和余式： (i) 14)(24--=x x x f ,13)(2 --=x x x g (ii) 13)(235-+-=x x x x f ,23)(3 +-=x x x g 解：(i) 35)(,2)(2 --=--=x x r x x x q (ii) 56)(,2)(2 2++=+=x x x r x x q 2． 证明：k x f x )(|必要且只要)(|x f x 证明：充分性显然．现证必要性．反证法：若x 不整除)(x f ，则c x xf x f +=)()(1，且 0≠c ．两边取k 次方得k k c x xg x f +=)()(，其中0≠k c ．于是x 不整除)(x f k ．矛盾．故必 要性成立． 3． 令)(),(),(,)(2121x g x g x f x f 都是数域F 上的多项式，其中0)(1≠x f 且 )()(21x g x g |)()(21x f x f ，)(1x f |)(1x g ．证明：)(2x g |)(2x f ． 证明：反复应用整除定义即得证． 4． 实数m, 满足什么条件时多项式12 ++mx x 能够整除多项式q px x ++4？ 解：以12 ++mx x 除q px x ++4得一次余式．令余式为零得整除应满足的条件：当且仅 第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β== 高等代数第四次作业 第二章行列式§—§4 —、填空题 1 ?填上适当的数字,使72__43__1为奇排列.6 , 5 2 ?四阶行列式D a j 44中,含a24且带负号的项为__________ a i1 a24a33a42 , a i2a24a3i a4 3 , a i3a2 4 a32a41 a11 a12 a1n a1n a12 a11 3 .设a21 a22 a2n d.则a2n a22 a21 a n1 a n2 a nn a nn a n2 a n1 n( n 1) (1)Fd 1 4 ?行列式11 1 1 x的展开式中,x的系数是 二、判断题 1.若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 ( a11 a12 a1 n a12 a1n L a11 2.设d = a21 a22 a2n 则a22 a2n L a21 L L L L a n1 a n2 a nn a n2 a nn L a n1 )x a11 a12 a1n a21 a22 a2n 3.设d = a21 a22 a2n 则 a n1 a n2 a nn d ( a n1 a n2 a nn a11 a12 a1 n 0 0 0 a x y z a )x 0 0b 4. 0 c y d z z abed () y z )x 6. abed 0 0 e f 0 0 g h 0 0 x y 7.如果行列式D的元素都是整数，则D的值也是整 数。 8.如果行列D的元素都是自然数，则 9. a1 a2 a1 a2 a n a n 、选择题 1 2 ()x 10. =n!()x 0 0 0 n 1 n 0 0 0 D的值也是自然数。()x高等代数习题答案.doc
高等数学第二章练习及答案
高等代数复习题精选
高等代数习题及答案(1)
高等数学习题及解答 (1)
高等代数例题(全部)
高等数学第二章练习及答案
高等代数_李海龙_习题第2章多项式
高等代数北大版习题参考答案
高等代数作业第二章行列式答案