16 分式
分式
例1 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
设江水的流速为x 千米/时.
轮船顺流航行100千米所用的时间为v
+20100小时，逆流航行60千米所用时间v
-2060小时，
所以
v
+20100=
v
-2060.
一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子
叫分式。
所以v
+20100、v
-2060都是分式
（1）分式与分数一样，A 叫分子，B 叫分母。小学学习过的分数中的分母的限制是分母不能为零。分式中对分母的要求也是分母不能为零。 （2）分母不为零时分式才有意义。 （2）分式的分母中必须含有字母。
（4）分式值等于零时，分子值等于零，分母值不能等于零 例2填空：
（1）当x
时，分式 有意义。（2）当x
时，分式
有意义。
（3）当b____
时，分式
有意义。
（4）当x 、y 满足关系 时，分式
有意义。
解：（1）当分母3x ≠ 0时，x ≠ 0时，分式
有意义。
（2）当分母x-1≠ 0时，x ≠1
时，分式 有意义。
（3)当分母5-3b ≠ 0时，b ≠
时，分式
有意义。 (4)当分母x-y ≠ 0时，x ≠y
时，分式
有意义。
练习
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
9x+4, x
7
,
20
9y +,
5
4-m ,
2
38y
y -，
9
1-x
2. 当x 取何值时，下列分式有意义？
（1） （2） （3）
3. 当x 为何值时，分式的值为0？
（1）
（2） (3)
4
5
22
--x x x
x 235-+2
3+x x x 57+x x 3217-x
x x --2
2
1
分式的基本性质：
根据分数的基本性质，分式可仿照分数的性质
＝
； = （C ≠0）。
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
指出分式的性质与分数的性质的不同，分式是乘以（除以）一个不等于0的整式。分数是乘以（除以）一个不等于0的数。
例1.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
a b 56--， y
x 3-， n m --2， n m 67--
， y x 43---。 [分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变.
解：a b 56--= a b 56， y x 3-=y x 3-，n m --2=n m
2，
n
m
67--=
n m
67 ， y x
43---
=—
y x
43。
两个整式相除所得的分式的符号法则与有理数除法的符号法则相类似，也遵循“同号得正，异号得负”.
例 2、 填空(要注意隐含条件)
例3 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。
例4 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：
)((1) b ab a =)(221 2(2) 22a b a b a b
+=
++12
23
(1)
12
23
x y x y +-0.30.5(2) 0.2a b a b +-y x y x y x y x y x y x 43436322
1
63221322132
211-+=
???? ??-
???? ??=-＋＋）解：（()()0.30.5100.30.5350.20.210
210a b a b a b
a b a b a b +?++==
--?-（2）2
(1)
1x
x -2
2(2)
y y
y y
-+1)1(1122
2--=--=-x x
x x x x ）解（y
y y y y
y y y y
y y y +--
=+--=
+-2
2
2
2
2
2)()2(
分式符号变换的规律：
约分：分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.
约分的基本步骤：
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂； （２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式． 注意：（1）约分前后分式的值要相等.
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
通分：通分要确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母. 例1通分
通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母。
b
a
b a b a b a b a =
---=-=-,=
x x
2=÷÷x x x x 221=
++2
)3(3
x x =+÷++÷+)3()3()
3()3(2
x x x x 3
1+x 2
2
x xy x y x
x
++
=
2
2
1,
1)
1(ab
b
a
2222
11,a b a b ab 与的最简公分母为解：所以222
2
1
1b
b a b a b b a b
?=
=
?，2
2
2
2
1
1a a ab
ab a
a b
?=
=
?2
2
11
()(),
,x y x y x y x y
x
y +--+-解：与
的最简公分母为即所以
y
x y x +-1
,
1)
2(2
2
11),
()()
x y x y x y
x y x y x y
?++=
=
--+-（2
2
11().
()()
x y x y x y
x y x y x y
?--=
=
++--
最简公分母
系数：各分母系数的最小公倍数。
字母：各分母所含有的因式。
次数：各分母所含相同因式的最高次幂。
例 2 求分式 的最简公分母
分析：
对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x 为底的幂的因式，取其最高次幂x3，字母y 为底的幂的因式，取其最高次幂y4，再取字母z 。所以三个分式的公分母为12x3y4z 。 例3 通分：
（1
）
与 ；（2
）
与 。
分析：（1）先确定分母2a 2b 与ab 2c 的最简公分母是2a 2b 2
c 。然后乘以一个适当的整式。 （2）最简分母是（x+5)(x-5).(3)解题时分子与分母同乘以或除以同一个整式。约分的关键是最简公分母的确定，对单项式来说，系数是最小公倍数，相同字母取指数最高次幂；对多项式来说，先分解因式，然后取相同项的最高次幂。
练习
1．填空：
(1)
x
x x
322
2
+=
()
3
+x (2)
3
2
386b
b a =
()
3
3a
（3)
c
a b ++1=
()
cn
an + (4)
()
2
22
y x y x +-=
()
y
x -
2．约分： （1）
c
ab b a 2
2
63 （2）
2
2
28mn
n m （3）
5
3
2164xyz
yz x - （4）
x
y y x --3
)(2
3．通分： （1）3
21ab
和
c
b a 2
2
52 （2）
xy
a 2和
2
3x
b
（3）2
23ab
c 和2
8bc
a -
（4）
1
1-y 和
1
1+y
4．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号. (1) 23
3ab
y x --
(2) 2
317b
a
---
（3)
2
135x
a -- (4)
m
b a 2
)
(--
2
2
3a b c ，a bc
2-4
3
2
2
3
61,
41
,
21
xy
y
x z y x
5．判断下列约分是否正确： （1）
c b c a ++=
b
a （2）
2
2
y
x y x --=
y
x +1
（3）n m n m ++=0
6．通分： （1）2
31ab
和
b
a 2
72 （2）
x
x x --2
1和
x
x x +-2
1
7．不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号. （1）
b
a b a +---2 （2）y
x y x -+--
32
分式的运算
计算： ×
；
÷
由分数的计算得： × = ； ÷= × = 由分数的计算法则我们推出分式的计算法则
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
· = ；
÷
=
·
=
。
例1计算：
（1） (2) ÷
分析：这两题就是分式乘除法的运用。由学生根据法则来进行计算，教师与学生把解题过程补充完整。 解：略
例2计算：
（1） (2) ÷
分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然后运用法则。
解：（1）原式= =
（2）原式= ÷
= =- 例3：“丰收1号”小麦试验田边长为a 米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田边长为（a-1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克。
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 分析：本题的实质是分式的乘除法的运用。 解：（1）(略)
（2）
÷
＝
＝
“丰收2号”小麦单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的 倍。
例4.计算
(1)
)
4(3)98(232
32
b x b a xy y
x ab
-÷
-
?
=
x
b b a xy y x ab
34)98(232
3
2
-?
-
? (先把除法统一成乘法运算)
=
x
b
b a xy
y x ab
3498232
32
?
?
（判断运算的符号）
=
3
2916ax
b （约分到最简分式）
(2)
x x x x x x x --+?+÷+--3)
2)(3()3(4446
22
=x
x x x x
x x --+?
+?
+--3)
2)(3(3
14446
22
(先把除法统一成乘法运算)
=
x x x x x x --+?
+?
--3)
2)(3(31)
2()3(22
(分子、分母中的多项式分解因式)
=
)
3()2)(3(3
1)
2()3(22
---+?+?--x x x x x x
=2
2--
x
练习 1、计算 （1）ab
c
2
c
b a 2
2?
（2）3
2
2542n
m m n ?- （3）
??
? ??-÷x x y
27
（4）-8xy x
y 52÷ (5)
4
41
124
2
2
2
2
++-?
+--a a a a a a (6))
3(2
962
y y y y
-÷++-
2、计算 （1）????
?
?-?y x
y x 13
2
（2）
?
?? ??-÷a bc ac b
2110352
（3）()
y x a
xy 2
8512-÷ (1)
)2(21632
2
b
a a
bc a
b
-
?÷
（2）
10
3
32
64
2
3020)6(25b
a c
c ab b
a c ÷
-÷
（3）
x
y y x x y y x -÷
-?--9)()
()(34
3
2
（4）2
2
22
2)(x
y x xy
y
xy x x xy -?
+-÷
-
(1))
6(4382
6
4
2z
y x y
x y x -
÷?- (2)
9
3234962
2
2
-?
+-÷
-+-a a
b a
b
a a
(3)2
2
96123
16
244y
y y y y y --÷
+?
-+- (4)
xy
y xy y x xy
x xy x -÷
+÷-+2
2
2
)(）
b
a a
b ab
b a 2342
2
2-?
-
（5）)4(1
2
x x x x -÷-- （6）
3
2
2
2
)
(35)
(42x y x
x
y x
--?
-
分式乘方
乘方的意义，计算 2
)(b
a =
?
b
a b
a =
b
b a a ??=
2
2
b a
，3
)(b a
=?b a ?b a b a =b b b a a a ????=33
b
a
，……
顺其自然地推导可得： n
b a
)(=?b a
????b a
b a
=
b b b a
a a ??????????=n n
b a
，即n
b a
)(=n n
b a
. （n 为正整数）
归纳出分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.
例1计算：
（1） 2x 5x-3 ÷325x2-9 ·x
5x+3
解：
原式＝2x 5x-3 ·(5x+3)(5x-3)3 ·x
5x+3
=2x23
分式的乘除法混合运算就是分子、分母先分解因式，然后把公因式约去。注意运算顺序。 例2计算：
（1） (-2a2b 3c )2 ; (2) (a2b -cd3 )3÷ 2a d3 ·(c 2a
)2
分析：(1)题是分式乘方的运用，可直接运用公式。
（2）运算顺序是先乘方，然后是乘除。要注意运算时的符号。 解：
（1）原式= 4a4b2
9c2
（2）原式= - a6b3c3d9 ·d32a ·c2
4a2
=-a3b3
8cd6
先算乘方，后算乘除，最后算加减，有括号先算括号。同有理数运算一样 练习
1．判断下列各式是否成立，并改正.
（1）2
3
)2(a
b
=
2
52a
b
（2）2
)23(
a b -=2
2
49a
b -
（3）3
)32(
x
y -=
3
398x
y （4）2
)3(
b
x x -=
2
2
29b
x x
-
2．计算 (1) 2
2
)35(y
x
（2）3
3
2
)23(
c
b a - （3）3
2
2
2
3)2()3(
x
ay xy
a
-
÷
（4）2
3
3
22
)(
)(
z
x z
y x -÷- （ 5))()()(4
2
2
xy x
y
y
x -÷-
?-
n 个 n 个 n 个 n 个
(6)23
2
)23()23()2(ay
x y
x x y -
÷-
?-
3.计算 (1) 3
3
2
)
2(a
b - (2) 2
1
2
)(+-
n b
a (3)42
3
4
2
2
3
)()(
)(
c a b
a c
b
a c
÷÷ (4) )()()(2232b a a b a ab b a -?--?-
分式的加减
计算： 15 +25 ，15 - 25 , 12 +13 , 12 －1
3
。
与分数加减法性质相同,分式也可以进行加减法运算，请同学们类比分数的加减法则，总结一下分式的加减法法则是什么?学生根据自己的理解说出分式加减法法则 分式加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减。 a c + b c ＝a+b c ； a b +c d =ad bd +bc bd =ad+bc bd 。 例1计算：
（1）5x+3y x2-y2 － 2x x2-y2 (2) 12p+3q +12p-3q
分析：这两题就是分式加减法的运用。
（1）是同分母分式的加减法，直接用法则就可以了。
（2）是异分母分式的加减法，过程是先通分，通分的依据是分式的基本性质，化为同分母分式，然后再加减。师生共同来解两个题。教师写出解题过程。
解：（1）原式＝5x+3y-2x x2-y2 = 3x+3y x2-y2 = 3(x+y)(x+y)(x-y) =3
x+y
(2)原式＝1(2p-3q)(2p+3q)(2p-3q) +1(2p+3q)
(2p+3q)(2p-3q)
=2p-3q+2p+3q
(2p+3q)(2p-3q)
=4p
(2p+3q)(2p-3q)
=4p
4p2-9q2
例2.计算
（1）
2
2
2
2
2
2
3223y
x y x y
x y x y
x y x --+
-+-
-+
[分析] 第（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式. 解：
2
2
2
2
2
2
3223y
x y x y
x y x y
x y x --+
-+-
-+
=
2
2
)
32()2()3(y
x y x y x y x --++-+
=2
2
22y
x y x --
=
))(()(2y x y x y x +--
=y
x +2
(2)9
62613
12
--
+-+-x x
x x
[分析] 第（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式. 解：
9
62613
12
--
+-+-x x
x x =
)
3)(3(6
)
3(213
1-+-
+-+
-x x x x x
=
)
3)(3(212
)3)(1()3(2-+---++x x x x x
=)
3)(3(2)96(2
-++--x x x x
例3 计算
（1）x
x x x x x
x x -÷
+---
-+4)4
4122(
2
2
[分析] 这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边..
解： x
x x x x x
x x -÷
+---
-+4)4
4122(
2
2
=)
4(])
2(1)
2(2[2
--?
---
-+x x x x x x x
=)
4(])
2()1()
2()2)(2([
2
2
--?
---
--+x x
x x x x x x x x
=
)
4()
2(42
22
--?-+--x x x x x x x
=4
412
+--x x
（2）
2
2
2
4
4
4
2
y
x x
y
x y x y
x y
y
x x +÷
--
+?
-
[分析] 这道题先做乘除，再做减法，把分子的“-”号提到分式本身的前边. 解：
2
2
2
4
4
4
2
y
x x
y
x y x y x y
y
x x +÷
--
+?- =
22
2
2
2224
)
)((2
x
y x y x y x y
x y
x y
y
x x +?
-+-
+?
-
=
22
2
2
)
)((y
x y x y x y x xy
--
?+-
=
)
)(()(y x y x x y xy +--
=y
x xy +-
=
)
3)(3(2)
3(2
-+--x x x
=6
23+--x x
练习
1、计算
(1)b
a a
b b a b a b a b a 2
2
2
55523--
++
+ （2）
m
n m n
m n m n n m -+
--
-+22
（3）9
6
3
12
-+
+a a （4）b
a b a b
a b a b
a b a b
a b a ---
+--
---
+-87546563
2、计算
(1) 2
2
2
33343365cba
b a c
ba a b bc
a b a +-
-+
+ (2)
2
2
2
2
2
2
4323a
b b a b
a b a b
a a
b ---
-+-
--
(3) 12
2
+++-+
-b a a
b a
b
a b
(4)
2
2
643461461x
y x y
x y
x --
--
-
3、计算 (1) x
x x
x x
22)242
(2
+÷
-+
- （2）)11(
)(
b
a
a
b b b
a a -
÷--
-
（3）)2
12
2(
)4
122
3(2
+-
-÷-+
-a a a a
4．计算 (1) )1)(1(y
x x y
x y +-
-+ (2) 2
2
2
42)4
4122(
a
a a
a a a a a
a a -÷
-?
+---
-+
(3) zx
yz xy xy z
y
x ++?
+
+)111(
2．计算2
4)2
1
21(a
a a ÷
--
+，并求出当=a -1的值.
整数指数幂
计算当a ≠0时，5
3a a ÷=
53
a a
=
233
a a a
?=
2
1
a
，再假设正整数指数幂的运算性质n
m n
m
a
a
a
-=÷(a ≠0，m,n 是正整数，m ＞n)中的m ＞n 这个条件去掉，那么
53a a ÷=53-a =2-a .于是得到2-a =
2
1a
（a ≠0），就规定负整数指数幂的运算性质：当n 是
正整数时，n a -=
n
a
1（a ≠0）.
科学计数法
用科学记数法表示745 000 = 7.45×105，2 930 000= 2.93×106．
（1）我们曾用科学记数法表示绝对值大于10的数，表示成a ×10n 的形式，其中1≤│a │<10，n 为正整数．
（2）类似地用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，?将它们表示成a ×10-n 形式，其中1≤│a │<10．
（3）我们知道1纳米= 9
1
10米，由 9
1
10=10-9可知，1纳米=10-9米，所以35纳米=35×10-9米．
而35×10-9=（3.5×10）×10
-3
= 3.5×10-8
所以这个纳米粒子的直径为3.5×10-8米． 试一试 把下列各数用科学记数法表示
（1）100 000=1×105 （2）0.000 01=1×10-5
（3）-112 000=－1.12×105 （4）-0.000 001 12=－1.12×10-6
议一议
（1）当绝对值大于10的数用科学记数法表示a ×10n
形式时，1?≤│a?│<10，n 的取值与整数位数有什么关系？
（2）当绝对值较小的数用科学记数法表示中，a 、n 有什么特点呢？
明确：绝对值较小的数的科学记数法表示形式a ×10-n 中，n 是正整数，a?的取值一样为1≤│a │<10，但n 的取值为小数中第一个不为零的数字前面所有的零的个数．
比如：0.000 05=5×10-5（前面5个0）；0.000 007 2=7.2×10-6（前面6个0）．
例1 用科学记数法表示下列各数
（1）0.001=1×10-3． （2）-0.000 001=－1×10-3． （3）0.001 357=1.357×10-3． （4）-0.000 034=－3.4×10-5． 例2用科学记数法填空
（1）1秒是1微秒的1 000 000倍，则1微秒=1×10-6秒； （2）1毫克=1×10-6千克； （3）1微米=1×10-6米； （4）1纳米=1×10-4微米；
（5）1平方厘米=1×10-4平方米；
（6）1毫升=1×10-6
立方米． 例3用科学记数法表示下列结果：
（1）地球上陆地的面积为149 000 000km 2
，用科学记数法表示为______；
（2）一本200页的书的厚度约为1.8cm ，用科学记数法表示每一页纸的厚度约等于_______cm ．
【分析】用科学记数法表示数关键是确定a ×10n 中的两个数值a 和n ，第（2）?题要先计算，再用科学记数法表示计算结果．
解：（1）149 000 000=1.49×108
即地球上陆地的面积约为1.49×108km2．
（2）因为1.8÷200=0.009=9×10-3．
所以每一页纸的厚度约为9×10-3cm．
明确：用科学记数法表示数A，首先要考虑│A│的情况，再来确定n的值．而a?×10n中的a的绝对值是只含有一位整数的数．
顺便指出：用a×10n表示的数，?其有效数字由a来确定，其精确度由原数来确定．如3.06×105的有效数字为3、0、6，精确到千位；而3.06×10-2的有效数字为3、0、6，精确到万分位．
练习
1.填空
（1）-22= （2）(-2)2= （3）(-2) 0=
（4）20= (5）2 -3= (6）(-2) -3=
2.计算
(1) (x3y-2)2（2）x2y-2·(x-2y)3 (3)(3x2y-2) 2÷(x-2y)3
3. 用科学计数法表示下列各数：
0．000 04， -0. 034, 0.000 000 45, 0. 003 009
4.计算
(1) (3×10-8)×(4×103) (2) (2×10-3)2÷(10-3)3
分式方程
分母里含有未知数的方程叫分式方程
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速为v千米/时，则轮船顺流航行的速度为（20＋v）千米/时，逆流
航行的速度为（20－v）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为
100
20v
+小时，逆流航行
60千米所用的时间为
60
20v
-小时。
可列方程
100
20v
+=
60
20v
-
方程两边同乘（20+V）（20－V），得
100（20－V）= 60（20＋V）
解得 V=5
检验：将V=5代入方程，左边=右边，所以v＝5为方程的解。
解分式方程的一般步骤：
1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．
2．解这个方程．
3．验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，必须舍去．
练习
1．解方程 (1)6
23-=
x x
（2）
1
61
31
22
-=
-+
+x x x
（3）
11
41
12
=--
-+x x x （4）
22
1
22=-+
-x x x x
(5)
01152=+-
+x
x
(6)
x
x x 387418
36---
=-
(7)
01
4322
2
2
=--
-+
+x x
x x
x (8)
4
32
251
1-
=+-
+x x
2．X 为何值时，代数式x
x x x 23
13
92-
--
++的值等于2？
为什么要验根？
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根）。对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，则不是原方程的解。
使最简公分母的值为0的根角增根
验根的方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解。
例1 解方程
3 2
3
x x -
=
解：方程两边同乘x（x－3），得
2x＝3x－9
解得 x＝9
检验：x＝9时 x（x－3）≠0，9是原分式方程的解。
例2 解方程
3
1(1)(2)
1
x
x x x
--+
-=
解：方程两边同乘（x－1）（x＋2），得
x（x＋2）－（x－1）（x＋2）＝3
化简，得 x＋2＝3
解得 x＝1
检验：x＝1时（x－1）（x＋2）＝0，1不是原分式方程的解，原分式方程无解。
实际应用
解分式方程的步骤：(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．
列方程应用题的步骤是：(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．
四种类型应用题：
(1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间
而行程问题中又分相遇问题、追及问题．
(2)数字问题
在数字问题中要掌握十进制数的表示法．
(3)工程问题
基本公式：工作量=工时×工效．
(4)顺水逆水问题
v顺水=v静水+v水．
v逆水=v静水-v水．
例1．两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？
分析：甲队一个月完成总工程的1
3，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的
1
x，那么甲队半个月完成总工程的1
6，乙队半个月完成总工程的
1
2x，两队半个月完
成总工程的1
6＋
1
2x。
等量关系为：甲、乙两个工程总量＝总工程量，则有1
3＋
1
6＋
1
2x＝1
例3.从2004年5月起某列列车平均提速v千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？
分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前的平均速度为x千米/时，则提速前列
车行驶s千米所用的时间为s
x小时，提速后列车的平均速度为（x＋v）千米/时，提速后
列车行驶（s＋50）千米所用的时间为
50
s
x v
+
+小时。
等量关系：提速前行驶50千米所用的时间＝提速后行驶（s＋50）千米所用的时间
列方程得：s x
＝ 50s x v
++
练习
1. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.
2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?
3. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.
4．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快51
，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。
5．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就
完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的3
2
，求甲、
乙两队单独完成各需多少天？
6．甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器个加入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？
第十六章分式
第十六章分式 16、1分式16、1、1从分数到分式 学习目标：1、了解分式产生的背景和分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。 2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。 3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系的一类代数式。 重点：分式的概念和分式有意义的条件。 难点：分式的特点和分式有意义的条件。 一、预习新知： 1、什么是整式？ 2、下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别? 1x -y 1 x-2y —a；2x+y ；；；；3a ；5 22 a x 3、阅读“引言”，“引言”中出现的式子是整式吗？ 4、 自主探究：完成P 2的“思考”，通过探究发现， s V10060 与分数 、、 a s20 v20-v 样，都是的形式，分数的分子A与分母B都是 并且B中都含有 _____________ 。 5、归纳：分式的意义：________________________________________________________________ 。上面 1 x - 2y s V 所看到的100 、 -6^都是 。 a x a s20 v20-v 我们小学里学过的分数有意义的条件是。那么分式有意义的条件是_______________________________ 。 二、课堂展示： 例1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1 ）、5x-7 ；（2）、3X2-1；（3）；（4）、皿P）；（5）、一5 ；（6）、 2a+1 7 -xy y2 2x -1 ⑺、2；（8）、壮 例2、P3的“例1
第16章 分式期末复习水平测试(B)及答案
第十六章 分式期末复习水平测试(B) 度的反复训练才能取得跟多的收获，我们设计的试卷主要就是从这点出发，所以从你下载这张试卷开始，就与知识接近了一步。 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、化简（－ x 1 ）÷x x +21的结果是（ ） A 、－x －1 B 、－x +1 C 、－11+x D 、1 1 +x 2、代数式 11 -x 有意义时，字母x 的取值范围是（ ） A 、x ＞0 B 、x ≥0 C 、x ＞0且x ≠1 D 、x ≥0且x ≠1 3、下列各式计算正确的是（ ） A 、36x x =x 2 B 、222--x =x -11 C 、m m --392=m+3 D 、11+x +x ·x 1=1 1+x 4、计算（3+m m ）－（296m -）÷（32 -m ）的结果为（ ） A 、1 B 、33+-m m C 、33-+m m D 、33+m m 5、解分式方程 x x x -- --71 78=8，可知方程（） 解为x =7 B 、解为x =8 C 、解为x =15 D 、无解 6、关于x 的方程x m －x n =n 1－m 1 （m≠n ）的解是（ ） A 、不等于0的任意数 B 、mn C 、－mn D 、m+n 7、一只船顺流航行90km 与逆流航行60km 所用的时间相等，若水流速度是2km/h ，求船在静水中的速度，设船在静水中速度为x km/h ，则可列方程（ ） A 、290+x =260-x B 、290-x =260+x C 、x 90+3=x 60 D 、x 60+3=x 90 8、下列各式从左到右变形正确的是（ ）
第十六章分式知识点整理人教版
第十六章《分式》知识点整理（人教版） 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 分式有意义的条是分母不为零，分式值为零的条分子为零且分母不为零 2分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 3分式的通分和约分：关键先是分解因式 4分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把
分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时， 6正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂． （1）同底数的幂的乘法：； （2）幂的乘方：; （3）积的乘方：； （4）同底数的幂的除法：； （）商的乘方：； 7分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。 解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要
验根。 解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简； 方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； 解整式方程； 验根． 增根应满足两个条：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 列方程应用题的步骤是什么？审；设；列；解；答． 应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． 数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法． 工程问题基本公式：工作量=工时×工效． 顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水．
八年级数学下册 第16章 分式 16.1 分式及其基本性质 16.1.2 第2课时 分式的通分练习
[16.1 2. 第2课时 分式的通分] 一、选择题 1．下列关于几个分式的最简公分母的说法正确的是( ) A ．分式中所有分母的积 B ．最简公分母中数字因数取所有分母的数字因数的最大公约数 C ．各分母中所有因式的最低次幂的积 D ．各分母中所有因式的最高次幂的积 2．分式12a 和1 3b 的最简公分母是( ) A ．6ab B ．5ab C.16ab D.2 5ab 3．分式1 m －n 和1 n ＋m 通分时，最简公分母应取( ) A ．m －n B ．m ＋n C ．n －m D ．m 2－n 2 4．把分式1x －2，1()x －2()x ＋3，2 () x ＋32通分，下列过程不正确的是( ) A ．最简公分母是(x －2)(x ＋3)2 B.1x －2＝（x ＋3）2 （x －2）（x ＋3）2 C.1 （x －2）（x ＋3）＝x ＋3 （x －2）（x ＋3）2 D.2（x ＋3）2＝2x －2 （x －2）（x ＋3）2 5．如果分式3a a 2－ b 2经过通分后分母变为2(a －b )2(a ＋b )，那么分子应变为( ) A ．6a (a －b )2(a ＋b ) B ．2(a －b ) C ．6a (a －b ) D ．6a (a ＋b ) 二、填空题 6．分式a －33a 2b ，c －58a 3bc 3，b －2 2ab 2的最简公分母是________．
7．把分式a－1 a2＋2a＋1与 5 1－a2通分后的结果是____________________． 8．写出两个分式，使得它们的最简公分母为12x·(x－y)2，这样的两个分式可以是____________． 三、解答题 9．通分： (1)3 x2，－1 6xy；(2)1 mn， －1 x2－2x＋1；
八年级下人教新课标161分式第2课时同步练习及答案
分式 第2课时 课前自主练 1．分数的基本性质为：______________________________________________________． 2．把下列分数化为最简分数：（1）8 12=________；（2） 125 45 =_______；（3） 26 13 =________． 3．把下列各组分数化为同分母分数: （1）1 2 ， 2 3 ， 1 4 ；（2） 1 5 ， 4 9 ， 7 15 ． 4．分式的基本性质为：______________________________________________________．用字母表示为：______________________． 课中合作练 题型1：分式基本性质的理解应用 5．（辨析题）不改变分式的值，使分式11 510 11 39 x y x y - + 的各项系数化为整数，分子、分母应乘 以（? ） A．10 B．9 C．45 D．90 6．（探究题）下列等式：① () a b c -- =- a b c - ;② x y x -+ - = x y x - ;③ a b c -+ =- a b c + ; ④ m n m -- =- m n m - 中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 7．（探究题）不改变分式 2 3 23 523 x x x x -+ -+- 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确 的是（? ） A． 2 3 32 523 x x x x ++ +- B． 2 3 32 523 x x x x -+ +- C． 2 3 32 523 x x x x +- -+ D． 2 3 32 523 x x x x -- -+ 题型2：分式的约分 8．（辨析题）分式43 4 y x a + ， 2 4 1 1 x x - - ， 22 x xy y x y -+ + ， 2 2 2 2 a ab ab b + - 中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（技能题）约分：
第十六章分式教案
第十六章分式 16．1 分式 16.1.1 从分数到分式 一、教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考] ，学生自己依次填出：，，，. 2．学生看P3 的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20 千米/ 时，它沿江以最大航速 顺流航行100 千米所用实践，与以最大航速逆流航行60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/ 时 . 轮船顺流航行100 千米所用的时间为小时，逆流航行60 千米所用时间小时，所以=. 3. 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 五、例题讲解 P5 例1. 当x 为何值时，分式有意义. [ 分析] 已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [ 提问] 如果题目为：当x 为何值时，分式无意义. 你知道怎么解题吗？这样可以使学生 一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. ( 补充) 例2. 当m为何值时，分式的值为0？ （1）（2）(3) [ 分析] 分式的值为0 时，必须同时满足两个条件：○ 1 分母不能为零；○ 2 分子为零， 这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [ 答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 16.1.2 分式的基本性质 一、教学目标 1．理解分式的基本性质. 2．会用分式的基本性质将分式变形. 二、重点、难点 1．重点: 理解分式的基本性质. 2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 三、例、习题的意图分析 1．P7 的例 2 是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式， 然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作 为答案，使分式的值不变. 2．P9 的例3、例4 地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分. 值得注意的是： 约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分 母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公
第16章分式复习课
§第16章分式复习 学习目标： 1、巩固分式的基本性质，能熟练地进行分式的约分、通分，能熟练地进行分式的运算。 2、能熟练地解可化为一元一次方程的分式方程。 3、通过分式方程的应用教学，培养数学应用意识。 4、进一步体验“类比”与“转化”在学习分式的基本性质、分式的运算法则及其分式方程 解法过程中的重要作用? 重难点：1.分式的运算及分式方程的解法2分式方程的应用. 一、自主学习
F列解法对吗？若不对，请改正 解方程丄二—-3 x—2 2-x 方程两边同乘以x —2, 得仁—（1—x）—3 x=5 、展示点拨分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似，因而在复习过程中, 要注意不断地与分数情形进行类比，以加深对新知识的理解；［来源:
解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉，从而将分式方程转化为整式方程来解，这时可能会出现增根，必须进行检验?复习时，要理解增根产生的原因，认识到检验的必要性，并会进行检验. 由于引进了零指数幕与负整指数幕，绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示. 四、达标检测 【训练一】当X为何值时，下列分式的值为零 （1）（x-2）（x-3）； x —9 (2)x -1 X 1 (1)
【训练二】计算: a2 -ab 2 a 2 a +2a+1 ______ 1 a2 -1 a -1 (1)
【训练三】某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工效是原来的 1.5倍, 这样加工同样多的零件就少用 10 h ，采用新工艺前、后每时分别加工多少个零 件？ 五、反思总结 1. 分式的概念及其基本性质 (3)两种方法计算: 3x x x?_4 ------ -- ------- I* ---------- x -2 x 2 x
22.八年级数学下册第十六章《分式》整章水平测试
八年级数学下册第十六章《分式》整章水平测试 一、精心选一选，相信你一定能选对！（每题3分，共30分） 1．代数式-32x ，4x y -，x+y ，22x π +，，55b a ，98，中是分式的有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．当x≠-1时，对于分式11 x -总有（ ）． A ．11x -=21x + B ．11x -=211x x +- C ．11x -=211x x -- D ．11x -=13 x -- 3．下列变形正确的是（ ）． A ．a b a b c c -++=-; B ．a a b c b c -=--- C ．a b a b a b a b -++=--- D ．a b a b a b a b --+=--+ 4．分式325x y xy -中的字母x ，y 都扩大为原来的4倍，则分式的值（ ）． A ．不变 B ．扩大为原来的4倍 C ．扩大为原来的8倍D ．缩小为原来的 14 5．将（16 ）-1，（-2）0，（-3）2这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（ ）． A ．（-2）0<（16）-1<（-3）2 B ．（16 ）-1<（-2）0<（-3）2 C ．（-3）2<（-2）0<（16）-1 D ．（-2）0<（-3）2<（16 ）-1 6．若分式2 112(4)x x --的值为正数，则x 的值为（ ）． A ．x<2 B ．2
新人教版八年级下数学第十六章分式单元检测题及答案
八年级(下)数学单元检测题 （第十六章 分式） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列式子是分式的是（ ） A ．2x B ．x 2 C ．π x D ．2y x + 2．下列各式计算正确的是（ ） A ．11--=b a b a B ．ab b a b 2 = C ．()0,≠=a ma na m n D ．a m a n m n ++= 3．下列各分式中，最简分式是（ ） A ．()()y x y x +-73 B ．n m n m +-22 C ．2222ab b a b a +- D ．222 22y xy x y x +-- 4．化简2 293m m m --的结果是（ ） A.3+m m B.3 +-m m C.3-m m D.m m -3 5．若把分式xy y x +中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．扩大2倍 B ．不变 C ．缩小2倍 D ．缩小4倍 6．若分式方程 x a x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．—1 D ．—2 7．已知432c b a ==，则c b a +的值是（ ） A ．54 B. 47 C.1 D.4 5 8．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ ） A ． x x -=+306030100 B ．30 6030100-=+x x C ．x x +=-306030100 D ．306030100+=-x x 9．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后
八年级数学下册第十六章分式知识点总结
第十六章 分式知识点及典型例子 一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 例1.下列各式a π，11x +，15 x+y ，22a b a b --，-3x 2，0?中，是分式的有（ ）个。 二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】 分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B ≠0且A=0 即子零母不零】 例2.下列分式，当x 取何值时有意义。（1）2132 x x ++； （2）2323x x +-。 例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。 A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x + 例4．当x______时，分式2134 x x +-无意义。当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。 例5.已知1x -1y =3，求5352x xy y x xy y +---的值。 三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不 变。 （0≠C ） 四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。 例6.不改变分式的值，使分式115101139 x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ）。 例7.不改变分式2323523 x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（? ）。 例8.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。 例9.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m -+- C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=
八年级下第16章分式教案
第十六章分式 单元规划 本章内容：分式的概念；分式的基本性质；分式的约分与通分；分式的四则运算；整式指数幂的概念及运算性质；分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 本章重点：分式的四则运算。 本章难点：分式的四则混合运算；列分式方程解应用题。 课时安排：本章教学时间约需13课时，具体分配如下： 16.1分式2课时; 16.2分式的运算6课时; 16.3分式方程3课时; 数学活动 本章小结2课时. 第一节分式 一、课程学习目标 （一）知识目标： 1、以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式. 2、类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则. （二）能力目标： 1、能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，进一步培养符号感。 2、认识和体会特殊与一般的辩证关系，提高数学运用能力。 （三）情感目标： 通过类比分数、分数的基本性质及分数的约分、通分，推测出分式、分式的基本性质及分式约分、通分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣。 二、本节教学重点：是分式的意义、分式的基本性质 三、本节教学难点：分式的特点及要求；分子、分母是多项式的约分、通分。 四、主要教学思路：在教师的指导下，利用多媒体，让学生自主探究、分组合作交 流等方式展开教学活动。
把体积v的水倒入底面积为s的圆柱形容器中水面高度为。 师生行为：学生分组讨论、思考归纳；教师纠正，指出正确答案。
活动(五)课后作业，学习延伸 教材第10页第1、2、3、8、13题，学习阶梯练中的练习。师生行为：布置作业，学生记录作业。 板书设计： 教学反馈：
广西玉林市八年级数学下册 第16章 分式复习练习题(二)及答案 新人教版
第16章 分式复习练习题（二） 一、填空题 1．填空：()2a b ab a b +=， () 22 x xy x y x ++= ， )(222 x x x x = -- 2．若果2ab ＝a －b ，则分式11a b -的值是 . 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是 . 3．a 、b 为实数，且ab =1，设P =11a b a b +++，Q =11 11 a b +++，则P Q （填“＞”、“＜”或“＝”）． 4．化简：224442 x x x x x ++-=-- ．；化简211x x x ÷-的结果是 . 5．() 2 2111 2211x x x +--把分式 、、通分，最简公分母是 ． 6．计算：（1）22255(2)3a b a b -- ＝ ； （2）4 2 3 21 ()()x y x y y --÷ ＝ 7．当m=____时,关于x 的分式方程 213 x m x +=-- 无解；方程0211 =+-x 的解是 8．化简：a b a b b a a -??-÷= ??? ；化简：b a a a b a -? -)(2＝ ． 9．计算22 ()ab a b -的结果是 ；分式方程313 1=---x x x 的解是_____________． 10.在下列三个不为零的式子x 2 －4，x 2 －2x ，x 2 －4x ＋4中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 . 11.某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树a 棵。实际每小时植树的棵数是原计划的1.2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务(用含a 的代数式表示)． 12.若分式 3551 1322x x m x m x +----无意义,当=0时，则m=_______． 13.观察下面一列分式:, (16) ,8,4,2,15432x x x x x --（1）计算一下这里任一个分式与前面的分式 的商是 。(2 ) 根据你发现的规律写出第10个分式. 14．在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为a ※b = 11a b +，如2※4113 244 =+=．根 据这个规则，则方程x ※（2x -）=1的解为 。 15. 观察下列等式：111122? =-，222233?=-，33 3344 ?=-，……猜想并写出第n 个等式
第十六章分式全章测试
1 、填空题 1. 在代数式 2. 3. 4. 5. 6. 7. 第十六章分式全章测试 3^1xyaa1x212 a b, —， , , , 2 , x 4 x 3 2 b x 2 1 2 x 时，分式 没有意义；当x x 2 时, 2 2b , 2中，分式有 3 3a 1 ~2~ x 分式 -有意义；当x 1 时, 3x 1 分式3x 1 的值是零. x 1 不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数: 计算：爲m -3 = 0.4a i b -a 0.3b 5 x =-4是方程」 —的解，贝V a= ______ x 1 x 3 5 —的值互为相反数，则满足条件的 3 2x x 3 3与一 x x 的值是 c 2 ,, 2x x 时，等式 2—— x(x 5) 2x 1 务」成立. x 5 加工一批产品 m 件，原计划a 天完成，今需要提前 品. 已知空气的单位体积质量为 _____ g/cm 3.（用科学记数法表示 b 天完成，则每天应生产 件产 10.设 a >b >0, a 2+ b 2-6ab = 0, 0.001239g/cm ) a b b 的值等于 那么 100 单位体积的空气质量为 二、选择题 11.下列分式为最简分式的是 （ 33b (A)33b 2 a (B)- b a b 2 2 x (C) 或 12.下列分式的约分运算中，正确的是 x 9 (A)克 a c (B — a b (C) — a 13.分式 1 x 2 1 x 2 2x r x (A)( x 2+ 1)(x - 1) (C)(x — 1)2(x 2+ 1) 14.下列各式中，正确的个数有 1 —的最简公分母是（ ). (B)( x 2 (D)(x - 1) 1)(x 2+ 1) 2 ( ). ①2- 2=- 4; ②(32)3 = 35; ④(-1)- 1= 1.
(人教版初中数学)第16章-分式练习题
八年级下册第16章分式单元练习二 班级 学号 姓名 成绩 一、精心选一选（每小题3分,共24分） 1．计算2 23)3(a a ÷-的结果是（ ） （A ）49a - （B ）46a （C ）39a （D ）4 9a 2．下列算式结果是－3的是（ ） （A ）1 )3(-- （B ）0 )3(- （C ）)3(-- （D ）|3|-- 3．如果x=300,则 x x x x x x 13632+-+--的值为（ ） A ．0 B ． 990101 C ．110111 A ．100 101 4．下列算式中,你认为正确的是( ) A ． 1-=---a b a b a b B.11=?÷b a a b C ．3131 a a -= D ． b a b a b a b a +=--?+1 ) (1222 5．计算??? ? ??-÷???? ??-?2438234 2 y x y x y x 的结果是（ ） （A ）x 3- （B ）x 3 （C ）x 12- （D ）x 12 6．如果x ＞y ＞0,那么 x y x y -++11的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）负数 （D ）不能确定 7．如果m 为整数,那么使分式 1 3 ++m m 的值为整数的m 的值有（ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 8．已知 1 22432+--=--+x B x A x x x ,其中A 、B 为常数,则4A －B 的值为（ ） （A ）7 （B ）9 （C ）13 （D ）5 二、细心填一填（每小题3分,共30分） 9．计算：－1 6-＝ ．
15-161电路原理二期末复习
考试章节 第十章含有耦合电感的电路 第十一章电路的频率响应 第十二章三相电路 第十三章非正弦周期电流电路 第十四章线性动态电路的复频域分析 第十六章二端口网络 考试题型 选择题8题*3分=24分 填空题7空*3分=21分 分析计算题4题共55分 知识点总结 第十章含有耦合电感的电路 耦合电感的磁耦合现象、互感、耦合电感的同名端和耦合电感的电压电流关系等概念 空心变压器及电路分析计算 含有耦合电感电路的分析计算：两种方法：去耦合法及直接法 去耦合求耦合电感的等效电感 理想变压器（电压电流关系及阻抗变换性质）及电路分析计算 例1：图示耦合电感电路，其电压、电流的关系 1 (a ) 2 1 (b) M 2 22 1 (c )+2 -1 (d) M 2 - 122图(a)所示的电路，其电压、电流的关系如下：
t i M t i L u d d d d 211 1+=， dt di M dt di L u 1222--= 图 (b)所示的电路，其电压、电流的关系如下： t i M t i L u d d d d 211 1+-=， dt di M dt di L u 1222+-= 图 (c)所示的电路，其电压、电流的关系如下： t i M t i L u d d d d 2111+=， dt di M dt di L u 1222+= 图 (d)所示的电路，其电压、电流的关系如下： t i M t i L u d d d d 211 1--=， dt di M dt di L u 1222+= 例2：求入端等效电感或入端阻抗 上图等效电感均为：L M L L eq 2 2-= 例3：求图所示的电路的入端阻抗。 -j40Ω 答案：a 、Ω+=)1030(j Z b 、Ω+=)4.82.1(j Z 例4：已知：L 1=1H ，L 2=2H ，M=0.5H ，R 1=R 2=1kΩ, u(t)=100cos (200πt )。求：i(t)和耦合系数K 。 解：Z=R 1+R 2+j ωL 1+j ωL 2－2×j ωM=2000+j125.6Ω
第十六章分式知识点和典型例习题
第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2
2019年春八年级数学下册第10章分式104分式的乘除第1课时分式的乘除练习新版苏科版
课时作业(二十七) [10.4 第1课时分式的乘除] 一、选择题 a－1a－1÷1．化的结果是() aa211aa1 D. C． A. B．－a－1ab2a的结果为)·2．2018·江西计算(－() a2bbbab D. ． C B．－．A ab2b＝，则()3．2018·石家庄一模若()÷中的式子 是() aabb31b C.A． D. B.baa2() 4．下列分式运算，结果正确的是链接听课例2归纳总结 233x2a3x34a2???????? A.＝ B.＝????4ya－b4y3b2a2－adacm4n4m C. ＝ D.·＝·bcnbdn5m3二、填空题 3b2a·＝________．5．计算：abx2－1x＋1÷＝________． 6．2017·咸宁化简：xxa2－4a＝－2)· ________ . ．计算：7(4＋4a－a2． a2－1a－1÷＝________． 8．计算：2aaa2＋三、解答题 9．计算： 2x4x21x2－????2yx；(2)·÷； (1)4??y－1＋x2x b＋1b2＋ba－1a2－2a＋1÷(3)； (4)÷. 4 －2a＋2a2aa2－－4链接听课例3归纳总结 2a2a2－161链接听课例1归纳总结a＝.·．2018·广东改编先化简，再求值：，其中10 4a2a2＋a－4 y（x－y）－x（x＋y）x2＋y2xy＝－1. ，其中÷，．先化简，再求值：11＝2yxx2－y2＋ 1xxx的值．＝阅读理解已知实数4满足，求分式＋1＋x2x＋3xxx≠0 解：观 察所求式子的特征，因为，我们可以先求出的倒数的值．13x＋x2＋x2＋3x＋111xx
第16章《分式》综合复习水平测试(二)及答案
第十六章 分式综合水平测试 度的反复训练才能取得跟多的收获，我们设计的试卷主要就是从这点出发，所以从你下载这张试卷开始，就与知识接近了一步。 一、正本清源，做出选择！（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，不是分式方程的是（ ）. （A ） 131x x =- （B ）1x x x -= （C ）152x x += （D ）11 122 x --= 2. 把分式方程224x -=3 2x 化为整式方程，方程两边需同时乘以（ ） （A ）2x （B ）24x - （C ）()22x x - （D ）()224x x - 3. 下列说法中，错误的是（ ）. （A ）分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解 （B ）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程 （C ）检验是解分式方程必不可少的步骤 （D ）能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的解 4. 满足方程 2 2 11-= -x x 的x 值是（ ）. （A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ） 没有 5. 已知)1(≠--= e a n a m e ,则a 等于（ ）. （A ）e n m --1 （B ）e me n --1 （C ）e ne m --1 （D ）以上答案都不对. 6. 若3x =-是分式方程312ax x =-的根，则a 的值为（ ）. （A ）95- （B ）95 （C ）59 （D ）5 9 - 7. 一个分数的分母比它的分子大5，如果这个分数的分子加上14，分母减去1，得到的分 数正好是原分数的倒数，那么原分数是（ ）. （A ） 38 （B ）83 （C ）49 （D ）94 8. 某化肥厂原计划每天生产化肥x 吨，由于采取了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生 产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x 的方程是（ ）
第十六章分式知识点
第十六章分式知识点 1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。（） 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时，（ 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是
整数) （1）同底数的幂的乘法：； （2）幂的乘方：; （3）积的乘方：； （4）同底数的幂的除法：( a≠0)； （5）商的乘方：()；(b≠0) 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。 解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。解分式方程的步骤： (1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根． 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解； (5)答．
初中数学八年级《第十六章分式》全章优秀教案设计
第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 16.1.2分式的基本性质 16．2分式的运算 16．2．1分式的乘除(一) 16．2．1分式的乘除(二) 16．2．1分式的乘除(三) 16．2．2分式的加减（一） 16．2．2分式的加减（二） 16．2．3整数指数幂 16．3分式方程(一) 16．3分式方程(二) 第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060.
3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 七、课后练习 1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时. （2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 . 2．当x 取何值时，分式 无意义？ 3. 当x 为何值时，分式 的值为0？ 八、答案： 六、1.整式：9x+4, 209y +, 54-m 分式： x 7 , 2 38y y -，91-x 2．(1）x ≠-2 （2）x ≠ （3）x ≠±2 3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1 七、1．18x, ,a+b, b a s +,4y x -; 整式：8x, a+b, 4y x -; 分式：x 80, b a s + 2． X = 3. x=-1 1-m m 3 2+-m m 112 +-m m 45 2--x x x x 235 -+2 3 +x x x 57+x x 3217-x x x --221x 80 2 3 3 2 x x x --212 31 -+x x
华师大版八年级数学下册 第16章《分式》测试题
八年级数学下册第16章《分式》测试题 试卷A （基础知识题） 一、填空题 1、当≠x 时，分式x x -1有意义，当x= 时，分式8x 32x +-的值为0。 2、填空：①())0(,10 53≠=a axy xy a ②() 1422=-+a a 。 3、约分：①=b a a b 2205__________，②=+--96922x x x __________。 4、计算：=+-+3932a a a _ a b b b a a -+-＝ ． 5、分式 25,34c a bc a 的最简公分母是_________。 6、方程+1=的解为 7、计算 ()421320-??? ??+-- 的结果是____________; *8、若15a a +=，则（1）221a a +=________ （2）a-a 1= 二、选择题 1、有理式x 2，()y x +31，3-πx ，x a -5，42y x -中分式有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、下列代数式中，是最简分式的为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 3、人体中成熟的红细胞的平均直径约为0.0000077m ，用科学记数法表示为（ ） A 、7.7×10-5m B 、7.7×10-6m C 、77×10-5m D 、77×10-6m 4、若7 52z y x ==，则分式 z y x z y x 23523+--+ 的值为（ ） A 、2 B 、0 C 、1 D 、－1 bc a 183b a b a +-22b a b a ++2 2y x y xy x -+-222
试卷B （能力提高题） 一、填空题 1、当x 时，分式()()1122-+x x 有意义；当x = ____时分式3 322---x x x 的值为零。 2、当x=2-时，分式a x x ++21无意义，则a= . 3、若分式2 31-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。 4、已知：a 2－6a ＋9与|b －1|互为相反数，则式子a b b a -的值为 5、已知311=-y x ，则分式y xy x y xy x ---+2232的值为 ． 6、（1）已知：x 2-3x-1=0，则x 2+21x = （2）如果15a a +=，则1242++a a a = 7、若x+y+z=0，则111111()()()x y z y z x z x y +++++的值是_______________ 8、若分式方程1233k x x -=--有增根,则增根是 ,_________k = 9、若关于x 的方程2-x ax =2 4-x +1无解，则a 的值是 10、已知关于x 的方程：123++x n x =2的解是负数，则n 的取值范围为 11、观察下列一组有规律的数：， ， ， ， 根据其规律可知：（1）第10个数是 ；（2）第n 个数是 。 二、选择题 1、下列分式中，一定有意义的是 （ ） A 、1 52--x x B 、112+-y y C 、x x 312+ D 、12+x x 2、分式xy x y +中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值( ) A 、不变 B 、扩大2倍 C 、扩大4倍 D 、缩小2倍 3、计算11a a a a -??÷- ?? ?的正确结果是（ ） 2161121201301421
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