高考数学秘籍
高中数学秘籍
数据变形
1、分子/分母有理化
2、移项通分法
3、配凑法（配方法）
例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。
A. 2
B.
C. 5
D. 6
【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z ，则
,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形
式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z ，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的
长度之和为24”而得：。
长方体所求对角线长为：＝
＝＝5
所以选B 。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2. 设方程x ＋kx ＋2=0的两实根为p 、q ，若()+()≤7成立，求实数k
的取值范围。
【解】方程x ＋kx ＋2=0的两实根为p 、q ，由韦达定理得：p ＋q ＝－k ，pq ＝2 ,
()
+()
＝＝＝＝
≤7，解得k ≤－或k ≥。
又∵p 、q 为方程x ＋kx ＋2=0的两实根，∴△＝k －8≥0即k ≥2或k ≤－2
综合起来，k 的取值范围是：－≤k ≤－或者≤k ≤。
314211424
()()xy yz xz x y z ++=++=??
?x y z 222
++211424()()xy yz xz x y z ++=++=??
?x y z 222
++()()
x y z xy yz xz ++-++226112
-2p q 2q
p 2
2
p q 2q p 2
p q pq 44
2+()()()p q p q pq 222222
2+-[()]()p q pq p q pq +--2222222()k 2248
4--101022
2210222210
4、换元法：局部换元、三角换元、均值换元等
例1. 实数x 、y 满足4x －5xy ＋4y ＝5 （ ①式） ，设S ＝x ＋y ，求
＋的值。
【分析】 由S ＝x ＋y 联想到cos α＋sin α＝1,于是进行三角换元，设代
入①式求S
和S
的值。
【解】设代入①式得： 4S －5S 2sin αcos α＝5 解得 S ＝ ；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤≤
∴
＋＝＋＝＝
此种解法后面求S 最大值和最小值，还可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：|
|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】 由S ＝x ＋y ，设x ＝＋t ，y ＝－t ，t ∈[－，]，
则xy ＝±代入①式得：4S ±5=5，
移项平方整理得 100t +39S －160S ＋100＝0 。
∴ 39S －160S ＋100≤0 解得：≤S ≤
∴
＋＝＋＝＝
【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S ＝x ＋y 与三角公式cos α
＋sin α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二
2
2
2
2
1
S max 1
S min 2222x S y S ==??
???cos sin αα
max
min
x S y S ==??
???cos sin α
α
10
852-sin α101310
85-sin α1031
S max 1
S min
3101310161085810S S -810
S S -222S 22
S 2S 2S
2S t 22
4－S t 22
4－2
2
2
101310
31
S max 1
S min
31013101610852
2
2
2
种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S ＝x ＋y 而按照均值换元的思路，设x ＝＋
t 、y ＝－t ，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：
有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x 、y 时，可以设x ＝a ＋b ，y
＝a －b ，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，代
入①式整理得3a ＋13b ＝5 ，求得a ∈[0,]，所以S ＝(a －b)＋(a ＋b)＝2(a ＋
b )＝＋a ∈[,]，再求＋的值。
例2． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B ，＋＝－，求cos 的值。
【分析】 由已知“A ＋C ＝2B ”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 ；
由“A ＋C ＝120°”进行均值换元，则设 ，再代入可求cos α即cos 。 【解】由△ABC 中已知A ＋C ＝2B ，可得 , 由A ＋C ＝120°，设，代入已知等式得：
＋＝＋＝
＋
＝＝
＝－2, 解得：cos α＝，即：cos ＝。
【另解】由A ＋C ＝2B ，得A ＋C ＝120°，B ＝60°。所以＋＝－
2
2
2
S
22
S
22225
3222
210132013210131031S max 1S min 1
cos A 1cos C 2cos B A C -2
A C
B +=??
?12060°＝°
A C ＝°α
＝°－α
6060+??
?A C -2A C B +=??
?12060°
＝°
A C ＝°α
＝°－α
6060+??
?1
cos A
1cos C
160cos()?+α1
60cos()?-α1
1232
cos sin αα-1
1232cos sin αα+cos cos sin ααα143422-cos cos α
α234-222A C
-2221
cos A 1cos C 2cos B
＝－2，设＝－＋m ，＝－－m ，
所以cosA ＝，cosC ＝，两式分别相加、相减得： cosA ＋cosC ＝2cos cos ＝cos ＝， cosA －cosC ＝－2sin sin ＝－sin ＝，
即：sin ＝－，＝－，代入sin
＋cos ＝1整理得：3m －16m －12＝0,解出m ＝6，代入cos ＝＝。
【注】 本题两种解法由“A ＋C ＝120°”、“＋＝－2”分别进行均值换元，随后
结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的
运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A ＋C ＝2B ，得A
＋C ＝120°，B ＝60°。所以＋＝－＝－2，即cosA ＋cosC ＝－2cosAcosC ，和积互化得：
2cos cos ＝－[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos ＝－cos(A-C)＝
－(2cos －1)，整理得：4cos ＋2cos －3＝0,
解得：cos ＝
y
例3. ＋cosx)－sinx 2cosx －2a 的最大值和最小值。
【解】 设sinx ＋cosx ＝t ，则t ∈[-,]，由(sinx ＋cosx)＝1＋2sinx 2cosx 得：sinx 2cosx
21
cos A 21cos C 212-+m 1
2--m A C +2A C -2A C
-22222
m -A C +2A C -23A C -2222
m
m -A C -22322m m ()-2222m -2
A C -22A C -242
A C
-22222m -221
cos A 1cos C 21
cos A 1cos C 2cos B 22
A C +2A C -22A C
-22222222A C -222A C -2A C
-22A C
-2222
222
＝
∴ f(x)＝g(t)＝－(t －2a)＋ （a>0），t ∈[-,] t ＝-时，取最小值：－2a －2a －
当2a ≥时，t ＝，取最大值：－2a ＋2a － ； 当0<2a ≤时，t ＝2a ，取最大值： 。
∴ f(x)的最小值为－2a －2a －，最大值为。
【注】 此题属于局部换元法，设sinx ＋cosx ＝t 后，抓住sinx ＋cosx 与sinx 2cosx 的内在联系，
将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中
一定要注意新的参数的范围（t ∈[-,]）与sinx ＋cosx 对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx 与cosx 的和、差、积等而求三角式的最大值和最小
值的题型时，即函数为f(sinx ±cosx ，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例4. 设对所于有实数x ，不等式x log ＋2x log ＋log >0恒成立，
求a 的取值范围。（87年全国理）
【分析】不等式中log 、 log 、log 三项有何联系？进行对数式的有
关变形后不难发现，再实施换元法。
【解】 设log ＝t ，则log ＝log ＝3＋log ＝3－log ＝3－t ，log ＝2log ＝－2t ，
代入后原不等式简化为（3－t ）x ＋2tx －2t>0，它对一切实数x 恒成立，所以：
t 212-122
1
22222
21
2222
21
221
222121202222212222
()()<<-+-≥??
?????a a a a 222
241()a a +221a
a +2()a a +1422241()a a +221a
a +2()a a +1422
2
21a a +241()a a +2
812()
a a +2a a +12221a a +2()a a +1422
2a a +1
22
，解得 ∴ t<0即log <0
0<<1，解得0 【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关 键是发现已知不等式中log 、 log 、log 三项之间的联系。在 解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一 般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。 例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的值。 【解】 设＝ ＝k ，则sin θ＝kx ，cos θ＝ky ，且sin θ＋cos θ＝k (x +y ) ＝1,代入②式得： ＋＝＝ 即：＋＝ 设＝t ，则t ＋＝ , 解得：t ＝3或 ∴＝±或± 【另解】 由＝＝tan θ，将等式②两边同时除以，再表示成含tan θ的式子： 1＋tan θ＝ ＝tan θ，设tan θ＝t ，则3t —10t ＋3＝0， ∴t ＝3或， 解得＝±或±。 【注】 第一种解法由＝ 而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种 解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tg θ，再进行换元和变形。两种解法 要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。 例6. 实数x 、y 满足 ＋＝1，若x ＋y －k>0恒成立，求k 的范围。 3048302 ->=+-???306或221a a +21a a +241()a a +221a a +2()a a +1422 sin θx cos θy cos 22θ x sin 22θy 10322()x y +x y sin θ x cos θy 22222k y x 222k x y 22 210322()x y +1032k y x 22x y 2210 3x y 22 1t 1031 3x y 333x y sin cos θθcos 22θ x 4 ()() 11031122+? + tg tg θθ1032221 3x y 333sin θ x cos θy x y sin cos θθ()x -192()y +1162 【分析】由已知条件 ＋＝1，可以发现它与a ＋b ＝1有相似之处，于是实施三角换元。 【解】由 ＋＝1，设＝cos θ，＝sin θ， 即： 代入不等式x ＋y －k>0得： 3cos θ＋4sin θ－k>0，即k<3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5时不等式恒成立。 【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的 问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。 x ＋y k 平面区域 本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax ＋by ＋c>0 (a>0) 所表示的区域为直线ax ＋by ＋c ＝0所分平面成两部分中含x 轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x ＋y －k>0的区域。即当直线x ＋y －k ＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组 有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k ＝－3,所以 k<-3时原不等式恒成立。 5、分离参数法 6、待定系数法 例1. 已知函数y ＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。 【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m 、n 的值；已知最大值、最小值实际是就是已知 函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。 【解】 函数式变形为： (y －m)x －4x ＋(y －n)＝0， x ∈R, 由已知得y －m ≠0 ∴ △＝(－4)－4(y －m)(y －n)≥0 即： y －(m ＋n)y ＋(mn －12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y －(m ＋n)y ＋(mn －12)＝0的两根， ()x -192()y +1162 22()x -192()y +1162x -13y +1 4x y =+=-+?? ?1314cos sin θ θ16191144022()()x y x y k -++=+-=?? ?mx x n x 22431+++2 3322 2 代入两根得： 解得：或 ∴ y ＝或者y ＝ 此题也可由解集(-1,7)而设(y ＋1)(y －7)≤0,即y －6y －7≤0，然后与不等式①比较系数而得： ，解出m 、n 而求得函数式y 。 【注】 在所求函数式中有两个系数m 、n 需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得 到了含参数m 、n 的关于y 的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m 、n 。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m 、n 的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m 、n 的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y 视为参数，函数式化成含参数y 的关于x 的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y 的不等式，解出y 的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。 例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点 距离是－，求椭圆的方程。 y B’ 确定几何数据a 、b 、c 之值，问题就全部解决了。设a 、b 、 c 后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a －c 的值后列出第二个方程。 【解】 设椭圆长轴2a 、短轴2b 、焦距2c ，则|BF ’|＝a ∴ 解得： ∴所求椭圆方程是：＋＝1 也可有垂直关系推证出等腰Rt △BB ’F ’后，由其性质推证出等腰Rt △B ’O ’F ’，再进行如下列 式：，更容易求出a 、b 的值。 1120497120 +++-=-++-=?? ?()()m n mn m n mn m n ==???51m n ==?? ?155431122x x x +++x x x 22435 1+++2 m n mn +=-=-?? ?6127105a b c a a b a c 2222 22 2105 =++=-=-????? ()a b ==?????105x 210y 2 5b c a c a b c =-=-=+??? ??105222 【注】 圆锥曲线中，参数（a 、b 、c 、e 、p ）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要 抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a 、b 、c 、e ）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a －c 的等式。 一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数 据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。 例3. 是否存在常数a 、b 、c ，使得等式122＋223＋…＋n(n ＋1)＝(an ＋bn ＋ c)对一切自然数n 都成立？并证明你的结论。 【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n 都成立，取特殊值n ＝1、2、3列 出关于a 、b 、c 的方程组，解方程组求出a 、b 、c 的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n 都成立。 【解】假设存在a 、b 、c 使得等式成立，令：n ＝1，得4＝(a ＋b ＋c)；n ＝2，得22＝(4a ＋ 2b ＋c)；n ＝3，得70＝9a ＋3b ＋c 。整理得： ,解得， 于是对n ＝1、2、3，等式122＋223＋…＋n(n ＋1)＝(3n ＋11n ＋10)成立，下 面用数学归纳法证明对任意自然数n ，该等式都成立： 假设对n ＝k 时等式成立，即122＋223＋…＋k(k ＋1)＝(3k ＋11k ＋10)； 当n ＝k ＋1时，122＋223＋…＋k(k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)＝(3k ＋11k ＋10) ＋ (k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋2)（3k ＋5）＋(k ＋1)(k ＋2)＝（3k ＋5k ＋12k ＋24）＝[3(k ＋1)＋11(k ＋1)＋10]， 也就是说，等式对n ＝k ＋1也成立。 综上所述，当a ＝8、b ＝11、c ＝10时，题设的等式对一切自然数n 都成立。 222n n () +1122 161 2a b c a b c a b C ++=++=++=?????2442449370a b c ===?????31110222n n () +1122 222k k () +1122 2222k k () +1122 2k k ()+1122()() k k ++12122 ()() k k ++12122 解题方法 1、定义法 2、数学归纳法 例：已知数列，得，…，，…。S 为其前n 项和，求S 、 S 、S 、S ，推测S 公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理） 【解】 计算得S ＝，S ＝，S ＝，S ＝ ， 猜测S ＝ (n ∈N)。 当n ＝1时，等式显然成立； 假设当n ＝k 时等式成立，即：S ＝， 当n ＝k ＋1时，S ＝S ＋ ＝＋ ＝ ＝＝, 由此可知，当n ＝k ＋1时等式也成立。 综上所述，等式对任何n ∈N 都成立。 【注】 把要证的等式S ＝作为目标，先通分使分母含有(2k ＋3)，再考虑要约 分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k ＋3）－1。这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。 假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：试值 → 猜想 → 证明。 81 1322··8212122 ··n n n ()()-+n 1234n 189******** 4948081n ()()211 2122 n n +-+k ()()211 2122 k k +-+k +1k 81212322 ··()()()k k k +++()()2112122 k k +-+81212322··() ()()k k k +++()()()() ()()21232381212322222 k k k k k k +?+-+++++··()()()()()212321212322222k k k k k +?+--++·()()2312322 k k +-+k +1()()231 2322k k +-+2 2 3、参数引入法（参数方程法） 例1. 实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，求a ＋b ＋c 的最小值。 【分析】由a ＋b ＋c ＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a ＝＋t ，b ＝＋ t ，c ＝＋t ，代入a ＋b ＋c 可求。 【解】由a ＋b ＋c ＝1，设a ＝＋t ，b ＝＋t ，c ＝＋t ，其中t ＋t ＋t ＝0， ∴ a ＋b ＋c ＝（＋t ）＋（＋t ）＋(＋t )＝＋(t ＋t ＋t )＋t ＋ t ＋t ＝＋t ＋t ＋t ≥ 所以a ＋b ＋c 的最小值是。 【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一 个技巧。 本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a ＋b ＋c ＝(a ＋b ＋ c)－2(ab ＋bc ＋ac)≥1－2(a ＋b ＋c )，即a ＋b ＋c ≥。 两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。 例2. 椭圆＋＝1上有两点P 、Q ，O 为原点。连OP 、OQ ，若k 2k ＝－ ， ①．求证：|OP|＋|OQ|等于定值； ②.求线段PQ 中点M 的轨迹方程。 【分析】 由“换元法”引入新的参数，即设（椭圆参数方程），参数θ、θ为P 、 Q 两点，先计算k 2k 得出一个结论，再计算|OP|＋|OQ|，并运用“参数法”求中 点M 的坐标，消参而得。 【解】由＋＝1，设，P(4cos θ,2sin θ)，Q(4cos θ,2sin θ), 2 2 2 1311 321 33222 1311321 33123222131213221332132 312312 22321 312 2 2 3 2 13222 1 32 2 2 2222222 1 3x 2 16y 24OP OQ 142 2 x y ==?? ?42cos sin θθ 12OP OQ 22 x 2 16y 24x y ==?? ?42cos sin θ θ 1122 则k 2k ＝ ＝－，整理得到： cos θ cos θ＋sin θ sin θ＝0,即cos （θ－θ）＝0。 ∴ |OP|＋|OQ|＝16cos θ＋4sin θ＋16cos θ＋4sin θ＝8＋12(cos θ＋cos θ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos （θ＋θ）cos （θ－θ）＝20， 即|OP|＋|OQ|等于定值20。 由中点坐标公式得到线段PQ 的中点M 的坐标为， 所以有()＋y ＝2＋2(cos θ cos θ＋sin θ sin θ)＝2, 即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为＋＝1。 4、反证法 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误 的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 例1：若下列方程：x ＋4ax －4a ＋3＝0， x ＋(a －1)x ＋a ＝0, x ＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根。试求实数a 的取值范围。 【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反 面情况时a 的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。 【解】 设三个方程均无实根，则有： ,解得 ,即－ 所以当a ≥－1或a ≤－时，三个方程至少有一个方程有实根。 OP OQ 2411sin cos θθ?2422sin cos θθ1 41212122 2 2 12 12 22 22 12 21212122 2 x y M M =+=+?? ?21212 (cos cos )sin sin θθθθx 222 1212x 28y 2 22 2 2 2 △△△12222 22 1644301404420=--+<=--<=-- -< ? ? ? ??3 21211320a a a a 或3 23 2 【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了“判别式法”、 “补集法”（全集R ），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a 的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。 例2. 给定实数a ，a ≠0且a ≠1，设函数y ＝ (其中x ∈R 且x ≠)，证明：①.经过这个 函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x 轴； ②.这个函数的图像关于直线y ＝x 成轴对称图像。(88年全国理)。 【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。 【证明】 ① 设M (x ,y )、M (x ,y )是函数图像上任意两个不同的点，则x ≠x , 假设直线M M 平行于x 轴，则必有y ＝y ，即 ＝，整理得a(x －x )＝x － x ∵x ≠x ∴ a ＝1， 这与已知“a ≠1”矛盾， 因此假设不对，即直线M M 不平行于x 轴。 ② 由y ＝得axy －y ＝x －1,即(ay －1)x ＝y －1,所以x ＝， 即原函数y ＝的反函数为y ＝，图像一致。 由互为反函数的两个图像关于直线y ＝x 对称可以得到，函数y ＝的图像关于直线y ＝x 成 轴对称图像。 数学思想 1、数形结合 例1. 若方程lg(－x ＋3x －m)＝lg(3－x)在x ∈(0,3)内有唯一解，求实数m 的取值范围。 【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二 次函数的图像进行解决。 【解】 原方程变形为 x ax --1 11a 111222121212x ax 1111--x ax 221 1--12121212x ax --1 1y ay --11x ax --11x ax --1 1x ax --1 12 30332 ->-+-=-??? x x x m x 即： 设曲线y ＝(x －2) , x ∈(0,3)和直线y ＝1－m ，图像如图所示。由图可知： ① 当1－m ＝0时，有唯一解，m ＝1; ②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3 此题也可设曲线y ＝－(x －2)＋1 , x ∈(0,3)和直线y ＝m 后画出图像求解。 【注】 一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直 观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也 x 值） 。 例2. 设|z |＝5，|z |＝2, |z －|＝，求的值。 【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。 【解】 如图，设z ＝、z ＝后，则＝、＝如图所示。 由图可知，||＝，∠AOD ＝∠BOC ，由余弦定理得： cos ∠AOD ＝＝ ∴ ＝(±ｉ)＝2±ｉ 【另解】设z ＝、＝如图所示。则||＝，且 cos ∠AOD ＝＝，sin ∠AOD ＝±， 30212->-=-???x x m ()12 212 2121213z z 12121z 2z z 125 25213252222+-()××45z z 125245353 21z 2z z 1 2525213252222+-()××453 5 所以＝(±ｉ)＝2±ｉ，即＝2±ｉ。 【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。 本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设z ＝5(cos θ＋ｉsin θ)，z ＝＋ｉsin θ)，则|z －|＝|(5cos θ－2cos θ)＋(5sin θ＋2sin θ)ｉ|＝ ＝，所以cos(θ＋θ)＝,sin(θ＋θ)＝±， ＝＝[cos(θ＋θ)＋ｉsin(θ＋θ)]＝(±ｉ)＝2 ±ｉ。 本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由|z －|＝得： （z －）(－z )＝z ＋z －z z －＝25＋4－z z －＝13, 所以z z ＋＝16,再同除以z 得＋＝4，设＝z ，解得z ＝2±ｉ。 几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别。一般地，复 数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解。 例3. 直线L 的方程为：x ＝－ (p>0),椭圆中心D(2＋,0)，焦点在x 轴上，长半轴为2， 短半轴为1，它的左顶点为A 。问p 在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离？ 【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p 为何值时，以A 为焦点、L 为准线的抛物线与椭圆 有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。 【解】 由已知得：a ＝2，b ＝1, A(,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有： ，消y 得：x －(4－7p)x ＋(2p ＋)＝0 z z 1 252453532z z 123 2111221z 21212292012-+cos()θθ131245123 5z z 12521222[cos()sin()](cos sin )-+-+θθθθi i 52121252453 53 21z 2131z 2z 121z 12 212z 1z 212z 1z 2121z 222z z 1 2z z 12z z 1232p 2p 2p 2y px x p y 22 222241=-++=???????[()]2p 24 所以△＝16－64p ＋48p >0,即6p －8p ＋2>0，解得：p<或p>1。 结合范围(,4+)内两根，设f(x)＝x －(4－7p)x ＋(2p ＋)， 所以<<4+即p<，且f()>0、f(4+)>0即p>－4＋3。 结合以上，所以－4＋3 2、分类讨论 例：设函数f(x)＝ax －2x ＋2，对于满足1 讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。 【解】当a>0时，f(x)＝a （x －）＋2－ ∴ 或 或 ∴ a ≥1或 22 1 3p 2p 22 p 24p 2472-p p 212p 2p 2221 32 1a 2 1 a 111220a f a ≤＝≥()-+?????1141210<<->???????a f a a ()＝14416820a f a ≥＝≥()-+?????1212 当a<0时，，解得φ； 当a ＝0时，f(x)＝－2x ＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意 由上而得，实数a 的取值范围是a> 。 3、函数与方程 设f(x)＝lg ，如果当x ∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a 的取值范围。 【分析】当x ∈(-∞,1]时f(x)＝lg 有意义的函数问题，转化为1＋2＋4a>0在 x ∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。 【解】 由题设可知，不等式1＋2＋4a>0在x ∈(-∞,1]上恒成立， 即：()＋()＋a>0在x ∈(-∞,1]上恒成立。 设t ＝(), 则t ≥， 又设g(t)＝t ＋t ＋a ，其对称轴为t ＝－ ∴ t ＋t ＋a ＝0在[,+∞)上无实根， 即 g()＝()＋＋a>0，得a>－ 所以a 的取值范围是a>－。 4、等价转化 例. 设x 、y ∈R 且3x ＋2y ＝6x ，求x ＋y 的范围。 【分析】 设k ＝x ＋y ，再代入消去y ，转化为关于x 的方程有实数解时求参数k 范围的问题。 其中要注意隐含条件，即x 的范围。 【解】由6x －3x ＝2y ≥0得0≤x ≤2。 设k ＝x ＋y ，则y ＝k －x ，代入已知等式得：x －6x ＋2k ＝0 ， 即k ＝－x ＋3x ，其对称轴为x ＝3。 f a f a ()()1220416820 ＝≥＝≥-+-+?? ?1 21243++x x a 1243++x x a x x x x 122x 1 2x 12x 122 1 221212122 123 43 42 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 1 22 由0≤x ≤2得k ∈[0,4]。 所以x ＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。 【另解】 数形结合法（转化为解析几何问题）： 由3x ＋2y ＝6x 得(x －1)＋＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x ＋y 的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x ＋y ＝k ，代入椭圆中消y 得x －6x ＋2k ＝0。由判别式△＝36－8k ＝0得k ＝4,所以x ＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。 【再解】 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）： 由3x ＋2y ＝6x 得(x －1)＋＝1，设，则 x ＋y ＝1＋2cos α＋cos α＋sin α＝1＋＋2cos α－cos α ＝－cos α＋2cos α＋∈[0,4] 所以x ＋y 的范围是：0≤x ＋y ≤4。 【注】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发 散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。 ① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； ④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。 秘籍的内容需要自己去领悟！ 2 2 2 2 222y 2 3 222 2 2 2 2 2 2 2 222 y 2 3 2x y -==?????162cos sin αα222322321 22 122 5 22 2 2 2 高考数学必胜秘诀 立体几何 几何法处理线面平行垂直方法 1、直线与平面平行的判定和性质： （1）判定： ①判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行； ②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。 （2）性质： 如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。 2、直线和平面垂直的判定和性质： （1）判定： ①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。 ②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。 （2）性质： ①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。 ②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 3、直线和平面所成的角： （1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 （2）范围：[0,90]o o ； （3）求法：作出直线在平面上的射影； （4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。 4、两个平面平行的判定和性质： （1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。 （2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 5、二面角： （1）平面角的三要素： ①顶点在棱上； ②角的两边分别在两个半平面内； ③角的两边与棱都垂直。 （2）作平面角的主要方法： ①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； ②垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角； （3）二面角的范围：[0,]π； （4）二面角的求法： ①转化为求平面角； ②面积射影法：利用面积射影公式cos S S θ?射原＝，其中θ为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）。 6、两个平面垂直的判定和性质： （1）判定： ①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 ②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角； （2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即： 线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→?←→??→??←→?←→?←? ??←→?←→? 高三理科数学限时训练 一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.每题都给出四个结论，其中有且只有一个 结论是正确的.) 1. 复数z 满足(2)z z i =+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 2. 已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x + 集合 1.(2019?全国1?理T1)已知集合M={x|-4 【典型题】高考数学试卷(含答案) 一、选择题 1．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ． 110 B ． 310 C ． 35 D ． 25 2．给出下列说法： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．如果 4 2 π π α<< ，那么下列不等式成立的是（ ） A ．sin cos tan ααα<< B ．tan sin cos ααα<< C ．cos sin tan ααα<< D ．cos tan sin ααα<< 4．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ； ③p ∧(?q )；④(?p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 5．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成 绩依次记为1214,, A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流 程图，那么算法流程图输出的结果是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 6．在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04?? - ??? B ．10,4?? ??? C ．11,42?? ??? D ．13,24?? ??? 7．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i 8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A ． 2 2 B ． 3 C ． 5 D ． 72 9．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ． 14 B ． 12 C ． 22 D ．2 10．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．108cm 3 B ．100cm 3 C ．92cm 3 D ．84cm 3 11．在ABC ?中，A 为锐角，1lg lg()lgsin 2b A c +==-，则ABC ?为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 12．已知a R ∈，则“0a =”是“2 ()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空题 13．若三点1 (2,3),(3,2),( ,)2 A B C m --共线，则m 的值为 ． 14．函数()22,0 26,0x x f x x lnx x ?-≤=?-+>? 的零点个数是________． 15．若过点()2,0M 3()2 :0C y ax a =>的准线l 相交于点 10分钟秒杀高考数学选择题——老师不会教你的技巧 特值法： 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等 例1 (2017·卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b 2a ＜log 2(a ＋b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1 b C.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2 a D.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2 a 例2．设4 7 10 310()22222()n f n n N +=++++ +∈，则()f n =（ ） A 、 2(81)7n - B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42 (1)7 n n +- 【解析】思路一（特值法）：令0n =，则34 4 7 10 421(2)2 (0)2222(81)12 7 f ??-?? =+++= =--，对照选项，只有D 成立。 思路二：f （n ）是以2为首项，8为公比的等比数列的前4n +项的和，所以 44 2(18)2()(1)187 n n f n n ++-==--，选D 。这属于直接法。 例3.若函数(1)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的对称轴是（ ） A 、0x = B 、1x = C 、1 2 x = D 、2x = 【解析】：因为若函数(1)y f x =+是偶函数，作一个特殊函数2 (1)y x =-，则(2)y f x =变为2 (21)y x =-，即知(2)y f x =的对称轴是1 2 x = ，选C 例4．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，=m(++)OH OA OB OC ，则实数m= 【答案】1 【解析】取特殊的直角三角形△ABC ，点O 为斜边的中点，点H 与三角形直角顶点C 重合，这时候有=++OH OA OB OC ，所以m=1 高考数学爆强秒杀公式与方法一 1，适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A 为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为 (x+1)/(x-1)，其他不变。 2，函数的周期性问题(记忆三个)：1、若f(x)=-f(x+k)，则T=2k; 2、若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k; 3、若 f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。 3，关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：1，若在R 上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;2、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;3、若 f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称 4，函数奇偶性1、对于属于R上的奇函数有f(0)=0;2、对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项3，奇偶性作用不大，一般用于选择填空 5，数列爆强定律：1，等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);2等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1 时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q 6，数列的终极利器，特征根方程。(如果看不懂就算了)。首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p2(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数) 7，函数详解补充：1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外2，复合函数单调性：同增异减3，重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。 8，常用数列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2记忆方法：前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2 9，适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式：k椭=-{(b2)xo｝/{(a 2)yo｝k双={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k抛=p/yo注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。 10，强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技：已知直线L1：a1x+b1y+c1=0直线L2：a2x+b2y+c2=0若它们垂直：(充要条 件)a1a2+b1b2=0;若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠ 高考数学选择题专项训练（二） 1、函数y =cos 4x -sin 4x 图象的一条对称轴方程是（ ）。 （A ）x =-2π （B ）x =-4π （C ）x =8 π （D ）x =4π 2、已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线，过l 作平面α与m 垂直，则直线n 与平面α的关系是（ ）。 （A ）n //α （B ）n //α或n ?α （C ）n ?α或n 不平行于α （D ）n ?α 3、已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，且xy ≠0，那么y c x a +的值为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4、如果在区间[1, 3]上，函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x + 21x 在同一点取得相同的最小值，那么下列说法不对．． 的是（ ）。 （A ）f (x )≥3 (x ∈[1, 2]) （B ）f (x )≤4 (x ∈[1, 2]) （C ）f (x )在x ∈[1, 2]上单调递增 （D ）f (x )在x ∈[1, 2]上是减函数 5、在(2+43)100展开式中，有理数的项共有（ ）。 （A ）4项 （B ）6项 （C ）25项 （D ）26项 6、等比数列{a n }的公比q <0，前n 项和为S n , T n =n n a S ，则有（ ）。 （A ）T 1 7、设集合A ＝ο/，集合B ＝{0}，则下列关系中正确的是（ ） （A ）A ＝B （B ）A ?B （C ）A ?B （D ）A ?B 8、已知直线l 过点M （－1，0），并且斜率为1，则直线l 的方程是（ ） （A ） x ＋y ＋1＝0 （B ）x －y ＋1＝0 （C ）x ＋y －1＝0 （D ）x ―y ―1＝0 9、已知集合A ＝{整数}，B ＝{非负整数}，f 是从集合A 到集合B 的映射，且f ：x → y ＝x 2（x ∈A ，y ∈B ），那么在f 的作用下象是4的原象是（ ） （A ）16 （B ）±16 （C ）2 （D ）±2 10、已知函数y ＝1 -x x ,那么（ ） （A ）当x ∈（－∞，1）或x ∈（1，＋∞）时，函数单调递减 （B ）当x ∈（－∞，1）∪（1，＋∞）时，函数单调递增 （C ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递减 （D ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递增 11、在(2－x )8的展开式中，第七项是（ ） （A ）112x 3 （B ）－112x 3 （C ）16x 3x （D ）－16x 3x 12、设A ＝{x | x 2＋px ＋q ＝0},B ＝{x | x 2＋(p －1)x ＋2q ＝0}, 若A ∩B ＝{1}，则（ ）。 （A ） A ?B （B ）A ?B （C ）A ∪B ＝{1, 1, 2} （D ）A ∪B ＝(1,－2) 教学资料范本 【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)W ord版 编辑：__________________ 时间：__________________ 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 （1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；A a ∈A b ? （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 新高考数学试卷及答案 一、选择题 1．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由2 222 ()110(40302030),7.8()()()()60506050 n ad bc K K a b c d a c b d -??-?= =≈++++???算得 附表： 2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 2．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11 C ．109 D ．36 3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3i C ．3+i D ．-1+i 4．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B) P 等于（ ） A ． 49 B ． 29 C ． 12 D ． 13 5．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．22y x =± C ．3y x =± D ．2y x =± 6．下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()32f x x = -与()2f x x x =-；()3f x 2x y x 2x 与=-=-②()f x x =与 ()2g x x =； ③()0 f x x =与()0 1g x x = ；④()221f x x x =--与()2 21g t t t =--． A ．① ② B ．① ③ C ．③ ④ D ．① ④ 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π =对称的函数是（ ） A ．2sin 23y x π?? =+ ?? ? B ．2sin 26y x π?? =- ?? ? C ．2sin 23x y π?? =+ ?? ? D ．2sin 23y x π? ? =- ?? ? 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2 π )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( ) A ．2，－ 3 π B ．2，－ 6 π 高考数学必胜秘诀在哪？ ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 二、函 数 1.映射f : A →B 的概念。在理解映射概念时要注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合（答：A ）；（2）点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =， ,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个 （答：81,64,81）；（4）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任 意的x M ∈，()x f x +是奇数”，这样的映射f 有____个（答：12）；（5）设2:x x f →是 集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则B A 一定是_____（答：?或{1}）. 2.函数f : A →B 是特殊的映射。特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈= 中所 含元素的个数有 个（答： 0或1）；（2）若函数422 12+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2） 3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9） 4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a x 中0,0x a >>且1a ≠，三角形中0A π<<, 最大角3π ≥，最小角3π ≤等。如（1）函数 lg 3y x =-____(答：(0,2)(2,3)(3,4) )；（2）若函数27 43 kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k ∈_______(答：30,4?????? )；（3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________(答：[,]a a -)；（4）设函数2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围（答：①1a >；②01a ≤≤） （2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。 （3）复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。如（1）若函数)(x f y =的定义域为??????2,2 1，则)(log 2x f 的定义域为__________（答：{} 42|≤≤x x ）；（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）． 5.求函数值域（最值）的方法： 高考数学选择题专项训练（十）1、平面α与平面β平行，它们之间的距离为d (d>0)，直线a在平面α内，则在平面β内与直线a相距2d的直线有（）。 （A）一条（B）二条（C）无数条（D）一条也没有2、互不重合的三个平面可能把空间分成（）部分。 （A）4或9 （B）6或8 （C）4或6或8 （D）4或6或7或8 3、若a, b是异面直线，a?α,b?β,α∩β＝c，那么c（）。（A）同时与a, b相交（B）至少与a, b中一条相交（C）至多与a, b中一条相交（D）与a, b中一条相交, 另一条平行4、直线a//平面M，直线b?/M, 那么a//b是b//M的（）条件。（A）充分不必要（B）必要而不充（C）充要（D）不充分也不必要5、和空间不共面的四个点距离相等的平面的个数是（）。 （A）7个（B）6个（C）4个（D）3个 6、在长方体相交于一个顶点的三条棱上各取一个点，那么过这三点的截面一定是（）。 （A）三角形或四边形（B）锐角三角形（C）锐角三角形或钝角三角形（D）钝角三角形7、圆锥底面半径为r，母线长为l，且l>2r, M是底面圆周上任意一点，从M拉一条绳子绕侧面转一周再回到M，那么这条绳子的最短长 度是（ ）。 （A ）2πr （B ）2l （C ）2lsin l r π （D ）lcos l r π 8、α、β是互不重合的两个平面，在α内取5个点，在β内取 4个点，这些点最多能确定的平面个数是（ ）。 （A ） 142 （B ）72 （C ）70 （D ）66 9、各点坐标为A(1, 1)、B(－1, 1)、C(－1, －1)、D(1, －1)，则 “点P 在y 轴”是“∠APD ＝∠BPC ”的（ ）。 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）不充分也不必要条件 10、函数y ＝1－|x －x 2|的图象大致是（ ）。 （A ） （B ） （C ） （D ） 11、若直线y ＝x ＋b 和函数y ＝21x -有两个不同的交点，则b 的取值范围是（ ）。 （A ）(－2, 2) （B ）[－2, 2] （ C ）(－∞,－2)∪[2, ＋∞） （D ）[1, 2） 高考数学集合专项知识点总结为了帮助大家能够对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇数学集合专项知识点，希望可以帮助到大家! 一．知识归纳： 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B); 2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且) 3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B} 4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B} 5)补集：CUA={x| x A但x∈U} 注意：①? A，若A≠?，则? A ; ②若，，则; ③若且，则A=B(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB; ④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A; ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n 个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二．例题讲解： 【例1】已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系 A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 2019年江苏省高考数学试卷 一、填空题 1.已知集合{}123A =，，， {}245B =，，， 则集合A B U 中元素的个数为_______. 2.已知一组数据4， 6， 5， 8， 7， 6， 那么这组数据的平均数 为________. 3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位）， 则z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码， 可知输出的结果S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的4只球， 其中1只白球， 1只红球， 2 只黄球， 从中一次随机摸出2只球， 则这2只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量()21a =r ，， ()2a =-r 1，， 若()()98ma nb mn R +=-∈r r ，， 则m-n 的值 为______. 7.不等式224x x -<的解集为________. 8.已知tan 2α=-， ()1tan 7αβ+=， 则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5， 高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变， 但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个， 则新的底面半径为 。 10.在平面直角坐标系xOy 中， 以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中， 半径最大的圆的标准方程为 。 11.数列}{n a 满足11=a ， 且11+=-+n a a n n （*N n ∈）， 则数列}1{ n a 的前10项和为 。 12.在平面直角坐标系xOy 中， P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立， 则是实数c 的最大值为 。 13.已知函数|ln |)(x x f =， ?? ?>--≤<=1 ,2|4|10,0)(2x x x x g ， 则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。 14.设向量)12,,2,1,0)(6 cos 6sin ,6(cos Λ=+=k k k k a k πππ， 则∑=+?1201)(k k k a a 的值 为 。 导 数 1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 如一物体的运动方程是2 1s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数， 记作 ()0lim x y f x y x ?→?'='=? ()()0lim x f x x f x x ?→+?-=?，导函数也简称为导数。 3、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-； （2）求平均变化率()()00f x x f x y x x +?-?=?；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=?。 4、导数的几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是 ()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。特别提醒： （1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在 曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x '。如（1）P 在曲线3 23+-=x x y 上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是______（答：),43[)2, 0[πππ ）；（2）直线13+=x y 是曲线a x y -=3的一条切线,则实数a 的值为_______（答：－3或1）；（3）已知函数m x x x f +- =23212)(（m 为常数）图象上A 处的切线与03=+-y x 的夹角为4 π，则A 点的横坐标为_____（答：0或6 1）；（4）曲线13++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是______________（答：410x y --=）；（5）已知函数x ax x x f 43 2)(23++-=，又导函数)('x f y =的图象与x 轴交于(,0),(2,0),0k k k ->。①求a 的值；②求过点)0,0(的曲线 )(x f y =的切线方程（答：①1；②4y x =或358 y x =）。 5、导数的运算法则：（1）常数函数的导数为0，即0C '=（C 为常数）； （2）()( )1n n x nx n Q - '=∈，与此有关的如下：()112211,x x x x ' '-????='=-'== ? ?????（3）若(),()f x g x 有导数，则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；②[()]()C f x Cf x ''=。如（1） 已知函数n m mx x f -=)(的导数为38)(x x f ='，则=n m _____（答：14 ）；（2）函数2)1)(1(+-=x x y 的导数为__________（答：2321y x x '=+-）；（3）若对任意x R ∈，3()4,(1)1f x x f '==-，则)(x f 是______（答：2)(4-=x x f ） 高考数学选择题专项训练（九） 1、如果(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋……＋(1＋x)50＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋……＋a 50x 50，那么a 3等于（ ）。 （A ）2350C （B ）351C （C ）451C （D ）450C 2、299除以9的余数是（ ）。 （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）8 3、化简)4 sin()4cos()4sin()4cos(x x x x +π++π+π-+π的结果是（ ） 。 （A ）－tanx （B ）tan 2 x （C ）tan2x （D ）cotx 4、如果函数y ＝f (x)的图象关于坐标原点对称，那么它必适合关系式（ ）。 （A ）f (x)＋f (－x)＝0 （B ）f (x)－f (－x)＝0 （C ）f (x)＋f －1(x)＝0 （D ）f (x)－f －1(x)＝0 5、画在同一坐标系内的曲线y ＝sinx 与y ＝cosx 的交点坐标是（ ）。 （A ）(2n π＋2π, 1), n ∈Z （B ）(n π＋2 π, (－1)n), n ∈Z （C ）(n π＋4π, 2)1(n -), n ∈Z （D ）(n π, 1), n ∈Z 6、若sin α＋cos α＝2，则tan α＋cot α的值是（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）－1 （D ）－2 7、下列函数中，最小正周期是π的函数是（ ）。 （A ）f (x)＝ 22tan 1tan x x ππ+ （B ）f (x)＝22tan 1tan x x - （C ）f (x)＝cos 22x －sin 22x （D ）f (x)＝2sin 2 (x －2 3π) 8、在△ABC 中，sinBsinC ＝cos22A ，则此三角形是（ ）。 （A ）等边三角形 （B ）三边不等的三角形 （C ）等腰三角形 （D ）以上答案都不对 9、下列各命题中，正确的是（ ）。 （A ）若直线a, b 异面，b, c 异面，则a, c 异面 （B ）若直线a, b 异面，a, c 异面，则b, c 异面 （C ）若直线a//平面α，直线b ?平面α，则a//b （D ）既不相交，又不平行的两条直线是异面直线 10、斜棱柱的矩形面(包括侧面与底面)最多共有（ ）。 （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）6个 11、夹在两平行平面之间的两条线段的长度相等的充要条件是（ ）。 （A ）两条线段同时与平面垂直 （B ）两条线段互相平行 （C ）两条线段相交 （D ）两条线段与平面所成的角相等 12、如果正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧棱与底面所成的角θ 应属于下列区间（ ）。 （A ）(0, 6π) （B ）(4π, 3π) （C ）(6π, 4π) （D ）(3π, 2π) 1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法 高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0， 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2.高考数学必胜秘诀
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