大学物理练习题 氢原子理论 薛定谔方程
练习二十三 氢原子理论 薛定谔方程
一、选择题
1. 已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19eV ，若氢原子从能量为?0.85eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为
(A ) 2.56eV 。
(B ) 3.41eV 。
(C ) 4.25eV 。
(D ) 9.95eV 。
2. 氢原子光谱的巴耳末系中波长最长的谱线用λ1表示，其次波长用λ2表示，则它们的比值λ1/λ2为
(A ) 9/8。
(B ) 19/9。
(C ) 27/20。
(D ) 20/27。
3. 根据氢原子理论，氢原子在n =5的轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为：
(A ) 5/2。
(B ) 5/3。
(C ) 5/4。
(D ) 5。
4. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布几率将
(A ) 增大D 2倍。
(B ) 增大2D 倍。
(C ) 增大D 倍。
(D ) 不变。
5. 一维无限深势阱中，已知势阱宽度为a 。 应用不确定关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为：
(A ) ?/(ma 2)。
(B ) ?2/(2ma 2)。
(C ) ?2/(2ma )。
(D ) ?/(2ma 2)。
6. 由于微观粒子具有波粒二象性，在量子力学中用波函数Ψ(x ，y ，z ，t )来表示粒子的状态，波函数Ψ
(A ) 只需满足归一化条件。
(B ) 只需满足单值、有界、连续的条件。
(C ) 只需满足连续与归一化条件。
(D ) 必须满足单值、有界、连续及归一化条件。
7. 反映微观粒子运动的基本方程是
(A ) 牛顿定律方程。
(B ) 麦克斯韦电磁场方程。
(C ) 薛丁格方程。
(D ) 以上均不是。
8. 已知一维运动粒子的波函数为
()()??
???==?0e x cx x kx ψψ00<≥x x 则粒子出现概率最大的位置是x =
(A)k
1。
(B) 1/k2。
(C)k。
(D) 1/k。
9. 由氢原子理论知，当大量氢原子处于n=3的激发态时，原子跃迁将发出
(A) 一种波长的光。
(B) 两种波长的光。
(C) 三种波长的光。
(D) 连续光谱。
10. 已知用光照的方法将氢原子基态电离，可用的最短波长是913?的紫外光，那末氢原子从各受激态跃迁至基态的赖曼系光谱的波长可表示为
(A) 913(n-1)/(n+1) ?。
(B) 913(n+1)/(n-1) ?。
(C) 913(n2+1)/(n2-1) ?。
(D) 913n2/(n2-1) ?。
11. 如图所示，一维势阱中的粒子可以有若干能态，如果势阱的宽度
L缓慢地减小，则
(A)每个能级的能量减小。
(B)能级数增加。
(C)每个能级的能量保持不变。
(D)相邻能级间的能量差增加。
12. 根据量子力学原理，氢原子中电子绕核运动动量矩的最小值为
(A)2?。
(B)?。
(C)?/2。
(D) 0。
13. 按氢原子理论，当大量氢原子处于n =4的激发态时，原子跃迁将发出：
(A)三种波长的光。
(B)四种波长的光。
(C)五种波长的光。
(D)六种波长的光。
14. 若外来单色光把氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱线的条数是：
(A) 1。
(B) 2。
(C) 3。
(D) 6。
二、填空题
E3 E2
E1
1. 图所示为被激发的氢原子跃迁到低能级时的能级图(图中E1不是基态
能级)，其发出的波长分别为λ1、λ2和λ3，其频率ν1、ν2和ν3的关系等
式是；三个波长的关系等式是。
2. 设描述微观粒子运动的波函数为Ψ(r v，t)，则ΨΨ﹡表
示，Ψ(r v，t)须满足的条件是，其归一化条件是。
3. 粒子在一维无限深势阱中运动(势阱宽度为a )，其波函数为
Ψ(x )=a
x a π3sin 2。 (0 < x < a ) 粒子出现的概率最大的各个位置是x = 。
4. 已知宽度为a 为一维无限深势阱中粒子的波函数为Ψ= A sin ( n πx /a )，则规一化常数A 应
为 。
5. 氢原子基态电离能是 eV ，电离能为0.544 eV 的激发态氢原子，其电子处
在n= 的轨道上运动
6. 宽度为1?的无限深势阱中n = 1时，电子的能量为 eV ，宽度为1cm 的无限深势
阱中n = 1时，电子的能量为 eV (E n = h 2n 2/(8ma 2) )。
7. 氢原子基态的电离能是 eV 。 电离能为0.544eV 的激发态氢原子，其电
子处在n = 的轨道上运动。
8. 氢原子由定态l 跃迁到定态k 可发射一个光子，已知定态l 的电离能为0.85eV ，又已知从
基态使氢原子激发到定态k 所需能量为10.2eV ，则在上述跃迁中氢原子所发射的光子的能
量为 eV 。
9. 如果要使氢原子能发射巴耳末系中波长为6562.8 ?的谱线，那么最少要给基态的氢原子
提供_________________eV 的能量。(里德伯常量R =1.097×107 m ?1 )
10. 玻尔氢原子理论中，电子轨道角动量最小值为____________；而量子力学理论中，电子
轨道角动量最小值为____________。实验证明____________理论的结果是正确的。
11. 已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为
)sin(2)(a x a x π=ψ (0 ≤x ≤a )
求发现粒子的概率为最大的位置为 。
12. 根据不确定关系2ΔΔh ≥?x p x ,估计出边缘在2a x ?=到2
a x =的一维无限深方势阱中运动的粒子(质量为m ) 的最小动能为 。
13. 在一维无限深势阱中运动的粒子，由于边界条件的限制，势阱宽度d 必须等于德布罗意
波半波长的整数倍。利用这一条件导出能量量子化公式为 。
[提示：非相对论的动能和动量的关系()m p E 22k =]
14. 钴 (Z = 27 ) 有两个电子在4s 态，没有其它n ≥4的电子，则在3d 态的电子
可有____________个。
15. 在氢原子光谱中；赖曼系(由各激发态跃迁到基态所发射的各谱线组成的谱线系)的最短
波长的谱线所对应的光子能量为 eV ；巴耳末系的最短波长的谱线所对应的光子的
能量为 eV 。(里德伯常量R = 1.097×107m ?s -1，普朗克常量h = 6.63×10?34J ?s ，1eV =
1.6×10-19J ，真空中光速c = 3×108m ?s ?1)
16. 根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩在外磁场方向上的投影为，当角
量子数l = 2时，L h l z m L =z 的可能取值为 。
17. 根据量子力学理论，原子内电子的量子态由(n ，l ，m l ，m s )四个量子数表征。那么，处
于基态的氦原子内两个电子的量子态可由 和 两组量子数表征。
18. 根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩为h )1(+=l l L , 当主量子数n = 3时，电子
动量矩的可能取值为 。
19. 根据量子论，氢原子核外电子的状态可由四个量子数来确定，其中主量子数n 可取的值
为 ，它可决定 。
20. 主量子数n = 4的量子态中，角量子数l 的可能取值为 ；磁量子数m l 的可能取
值为 。
21. 原子中电子的主量子数量 = 2，它可能具有的状态最多为 个。
22. 在主量子数n = 2，自旋磁量子数m s =21的量子态中，能够填充的最大电子数
是 。
23. 原子内电子的量子态由n 、l 、m l 及m s 四个量子数表征。当n 、l 、m l 一定时，不同的量子
态数目为 ；当n 、l 一定时，不同的量子态数目为 ；当n 一定时，
不同的量子态数目为 。
24. 泡利不相容原理的内容
。
25. 氢原子光谱中帕邢系第一条谱线(波长最长的谱线)的波长为 nm 。
26. 欲使氢原子能发射巴耳末系中波长为4861.3?的谱线,最少要给基态氢原子提供 eV 的能量。 (里德伯恒量R = 1.096776×107m -1)
27. 电子的自旋磁量子数 m s 只能取 和 两个值。
28. 设金刚石的禁带宽度为，则才用光激发的方法将电子由价带激发到导带所
需的最大的波长为 eV 33.5g =E 。
29. 在硅或锗中掺入的五价元素原子可以给出 ，故称为 。此种半导
体称为 型半导体。
30. 某金属的逸出功为4.94 eV ，费米能量为7.00 eV 。若要使一个电子从势阱底部逸出金属
表面，所需光子的最小能量为 eV ，该光子的波长为 nm ，用该
波长的光照射金属时，逸出光电子的最大动能为 eV 。
练习二十三答案
一、
1. A ，
2. C ，
3. A ，
4. D ，
5. B ，
6. D ，
7. C ，
8. D ，
9. C ，10. D ，11. D ，12. D ，13. D ，14. C 。
二、
1.ν3 =ν1 +ν2；1/λ3 = 1/λ1 +1/λ2，
2. 粒子在t 时刻在(x ，y ，z )处出现的概率密度；单值，有限，连续；∫=1d d d 2
z y x Ψ，
3. a /6；a /2；5a /6，
4. (2/a )1/2，
5. 13.6eV ，
6. 3
7.7eV ；3.77×10?15eV ，
7. 13.6eV ；5，
8. 2.55eV ，
9. 12.09，
10. h /(2π)；0；量子力学。
11. 2
a x =， 12. 22
8ma E h =， 13. 22
28n md h E =
， 14. 7， 15. 13.6；3.4，
16. 0；；h ；；，
h ?h 2h 2?17. ?????????????21 0 0 1 21 0 0 1，，，；，，，， 18. h h 6 2 0；；，
19. 1，2，3，……(正整数)；原子系统的能量，
20. 0，1，2，3；0，±1，±2，±3，
21. 8，
22. 4，
23. 2；2(2l +1)；2n 2，
24. 一个原子内部不能有两个或两个以上的电有完全相同的四个量子数(n 、l 、m l 、m s )，
25. 1875，
26. 12.75，
27. 1/2；-1/2，
28. 233nm ，
29. 电子；施主；N (电子)，
30. 11.94 eV ；103.64nm ，7.00 eV 。
电子科技大学-量子力学论文 【建立薛定谔方程有哪些方法】
建立薛定谔方程有哪些方法 姓名:*** 学号:********** 班级:（二班） 联系电话:************** 中文摘要: 薛定谔方程是量子力学的重要基本方程,是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程,它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律,在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样,是量子力学的奠基理论之一.由对薛定谔方程式的解答,能清楚地描述量子系统里,量子尺寸粒子的统计性量子行为.本文将讨论以微分和类比的方法建立薛定谔方程. 关键词:量子力学波函数薛定谔方程 1 引言 薛定谔提出的量子力学基本方程建立于1926 年, 它是一个非相对论的波动方程.反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律, 地位与经典物理中的牛顿运动方程相当,是打开物质微观世界大门的金钥匙.设描述微观粒子状态的波函数为()t r, U,中运动的薛定谔方程为在给定初ψ,质量为m 的微观粒子在势场()t r
始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下, 可解出波函数()t r, U与时间无关而只是坐ψ,由此可计算粒子的能量、分布概率等.当势能()r 标的函数情况下为定态问题.定态时的波函数可写成式中()r ψ称为定态波函数, 满足定态薛定谔方程, 这一方程在数学上称为本征方程,式中E为本征值,是定态能量()r ψ又称为属于本征值E的本征函数,波函数本身及其一阶导数必须是单值、连续和有限的,这称为波函数的标准条件.薛定谔方程是线性、齐次的微分方程,满足叠加原理.定态薛定谔方程的每一个解就代表粒子的一个稳定状态.纵观物理学发展的历史,人们对于微观世界的认识是极其曲折复杂的,经历了许多伟大科学家的艰辛努力与激烈争论.其间,他们各有自己的高见,也都有各自的不足, 每人只认识其中的一个侧面,将他们各自正确的部分集中起来,才建立起反映微观世界的正确理论——量子力学.其重要组成部分之一是薛定谔创立的波动力学.在波动力学中薛定谔从几何光学向波动光学的过渡关系,而推断出由经典力学向波动力学如何过渡,再受德布罗意波的启发而建立了薛定谔方程. 由于在实践中只有少数几个特殊的粒子运动体系的薛定谔方程可以精确求解, 而对于复杂的多电子原子和分子体系的薛定谔方程则无法精确求解,即使是利用近似模型处理后,其求解过程仍然非常复杂烦琐.随着计算机技术的飞速发展, 经过适当的近似处理后,通过求解薛定谔方程来揭示物质的微观性质和状态已经得到了非常成功的应用,尤其是在量子化学计算领域.因此,薛定谔方程已经成为了人们打开物质微观世界大门的金钥匙.薛定谔方程在量子力学的研究中有着极其重要的作用, 它是量子力学重要的基本方程.这方程既不是推导,也不是证明出来的,它是假设而建立起来的.建立方程的依据是:(1)应当是波函数对时间的一阶微分方程;(2)方程要包含外界的因素;(3)方程中的系数不含有状态参量;(4)
最新薛定谔方程及其解法
关于薛定谔方程 一．定义及重要性 薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提 出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定， 其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合 建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都 有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式 以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基 本假定，它的正确性只能靠实验来检验。 二．表达式 三．定态方程 ()() 2 2 2 V r E r m η ψψ + ?? -?= ?? ?? 所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。 其中，E是粒子本身的能量；v(x，y，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。
2 2 22222 z y x ??????++=? 可化为 d 0)(222 =-+ψψv E h m dx 薛定谔方程的解法 一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法 二． 边值解法；差分法，打靶法，有限元法 龙格库塔法（对欧拉法的完善） 给定初值问题 ). ()()((3) ) ,(),()( ,,(2) )(),( 311212 2111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dy i i i i i i i i =-???????++==++==?????=≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法的值及确定常数ββα βα
清华大学大学物理习题库量子物理
清华大学大学物理习题库：量子物理 一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为??。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0λhc m eRB 2)(2+ (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ ［ ］ 3．4383：用频率为??的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用 频率为2??的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ??- E K (C) h ??- E K (D) h ??+ E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量?与反冲电子动能E K 之比??/ E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［ ］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 ［ ］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［ ］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV ［ ］ 9．4241： 若?粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则?粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh ［ ］ 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 ［ ］
实验三 定态薛定谔方程的矩阵解法
实验三 定态薛定谔方程的矩阵解法 一．实验目的 1．掌握定态薛定谔方程的矩阵解法。 2．掌握几种矩阵特征值问题数值解法的原理，会调用相应的子程序求解具体问题。 二．实验内容 1．问题描述 以/2ω/()m ω为长度单位，一维谐振子的哈密顿量为 2 202d H x dx =-+, 其本征值为21n E n =+，本证波函数为 2 /2)()n n x H x ?=-， 其中()n H x 为厄米多项式，满足递推关系 11()2()2()n n n H x xH x nH x +-=-。 用矩阵方法求 2 22d H x x dx =-++ 的本证能量和相应的波函数。 2．问题分析 H E ψψ= 0()|j j j t c ψ?∞ ==>∑ 0||i i j i j i j c E c x Ec ??∞ =+<>=∑ 11|j j j x ???-+>=>>
11||||j j j j x x ????-+<>= <>= 0010010 112111,211,11,1 n n n n n n n n n n n n E x c c x E x c c E x E x c c x E c c -------?????????????????????????=??????????????????????? ? 3．程序编写 子程序及调用方法见《FORTRAN 常用算法程序集（第二版）》第三章 徐士良，P97 4．实验要求 ◆用恰当的算法求解以上实对称三对角矩阵的特征值问题。 ◆取n=8，给出H 的全部特征值和相应的特征向量。 5．实验步骤 ● 启动软件开发环境Microsoft Developer Studio 。 ● 创建新工作区shiyan03。 ● 创建新项目xm3。 ● 创建源程序文件xm3.f90，编辑输入源程序文本。 ● 编译、构建、运行、调试程序。 6．实验结果 程序设计：
大学物理-一维定态薛定谔方程的应用
一维定态薛定谔方程 的应用 授课人： 物理科学与技术学院
势 阱 日常生活中的各种井（阱） 物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型，因其势能函数曲线的形状如同井而得名 水井 窨井 陷阱 U x O a U
() U x x O a ∞ ∞00()0 , x a U x x x a ≤≤?=?∞<>? 这是一个理想化的物理模型， 应用定态薛定谔方程求解波函数， 有利于进一步理解在微观系统中 能量量子化和概率密度等概念 这样的势能函数称为 一维无限深势阱
建立定态薛定谔方程并求解 假设微观粒子质量为 ，由 m 22 2d ()()()2d U x x E x m x ψψ??-+=???? x a U x 0()0≤≤=阱内( ) ： 22 2d ()()2d x E x m x ψψ-= x x a U x 0 , ()<>→∞ 阱外( )： 令： 2 22mE k =得通解： ()sin() x A kx ψ?=+ 微观粒子的能量不可能达到 无穷大，所以粒子不可能在阱外出现，或者说粒子在阱外出现的概率为零。 ()0 x ψ≡222 d 0d k x ψψ+=
利用标准条件确定 和 k ?因 在整个 轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0 A kx x a x x x ?ψ+≤≤?=? <>?，(0)sin 0 A ψ?== a A ka ()sin()0 ψ?=+=求归一化的波函数 一维无限深势阱中 微观粒子的波函数 2220π()d sin d a n x x A x x a ψ+∞-∞=??221 A a =?= 2A a = n a x x a x a x x a π2sin 0()00 , ψ? ≤≤?=??<>?() π ()sin 1,2,3n x A x n a ψ==??， 0?=π n k a =()1,2,3n =???，
清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读
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一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上， 测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波 长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金 属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现 有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷 的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为 R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) (B) (C) (D) ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金 属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频 率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电 子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光 波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量 ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 0λhc 0λhc m eRB 2)(2+0λhc m eRB +0λhc eRB 2+
5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光(B) 两种波长的光(C) 三种波长的光(D) 连续光谱［］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV，当氢原子从能量为－0.85 eV的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV，10.2 eV和1.9 eV (D) 12.1 eV，10.2 eV和 3.4 eV ［］ 9．4241：若 粒子(电荷为2e)在磁感应
薛定谔方程
第一章 薛定谔方程 §1.1.波函数及其物理意义 1. 波函数： 用波函数描述微观客体的运动状态。 例：一维自由粒子的波函数 推广 ：三维自由粒子波函数 2. 波函数的强度——模的平方 3. 波函数的统计解释 用光栅衍射与电子衍射对比的方式理解波函数的统计解释。 t 时刻，出现在空间（x,y,z ）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比。 t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z ）点附近单位体积内的概率。 t 时刻，粒子在空间分布的概率密度 4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1 标准条件：一般情况下， 有关特殊情况波函数所满足的条件参看曾谨言教程。 对微观客体的数学描述： 脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾 §1.2. 薛定谔方程 是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。 1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般） 一维自由粒子的振幅方程 非相对论考虑 2. 一维定态薛定谔方程 2 |),,,(|t z y x ψ1d d d d d ||2===?=ψ???N N N N V V N N V V V . 是单值、有限、连续的ψ0)(2d )(d 222=ψ+ψx mE x x 0)()(2d )(d 222=ψ-+ψx U E m x x
3. 三维定态薛定谔方程 4. 一般形式薛定谔方程 5. 多粒子体系的薛定谔方程 讨论： 1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U 中粒子状态随时间的变化规律。 2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。 3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。 4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。 5、薛定谔方程是非相对论的方程。 量子力学的中心任务就是求解薛定谔方程。 求解问题的思路： 1. 写出具体问题中势函数U (r )的形式代入方程 2. 用分离变量法求解 3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数 4. 讨论解的物理意义， 薛定谔的另一伟大科学贡献 《What is life ？》 薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖 定态薛定谔方程 一．定态薛定谔方程条件：V （r,t ）=V(r)， 与t 无关。用分离变量法, 令Ψ=φ(r)f(t)，代入薛定谔方程，得两个方程： 此称定态薛定谔方程 整个定态波函数形式： ),,,(),,,()],,,(2[),,,(2121212221t r r t r r V t r r m t r r t i i i i ψ+ψ?-=ψ??∑)t (Ef t )t (f i =?? Et i ce )t (f -=)r (E )r ()r (V )r (m ?=?+??-222Et i e )r ( -?=ψ
第二章原子结构与性质§氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其
第二章 原子结构 ?性质 §2.1.氢原子和 ?氢原子的 ?定谔方程 ?其解 2.1.1.单电子原子?的 定谔方?程 H 原子和H ?e +、Li 2+ 等 氢离子?是单原子，它们的核电?荷数为Z ，若把原子的?质量中心 ?在坐标原 ?上，绕核运动的?电子离核的?距离为r ，电子的电荷?为-e ，其静电作 ?势能为： r Ze V 0 2 4πε-= 将势能代 ? 定谔方程?： 得 0)(2 2282 =ψ+ + ψ?r Ze h m E π 或ψ=ψ- ?- E r Ze m h ][2 2 2 2 8π 为了解题方?便，将x 、y 、z 变量换 ?极坐标变量?r 、θ、φ。 其关系：φθcos sin r x = φθsin sin r y = φcos r z = 2222 z y x r ++= 2 1 ) /(cos 2 22z y x Z ++=θ x y tg /=φ })(sin )({2 222 sin 1sin 121 2 φθθθ θθ ??????????++= ? r r r r 代 定谔?方程： )()(sin )(2 2 22 222228sin 1 1sin 1121=ψ+ + ++???ψ??????? r Ze h m r r r r r E r πφθθθ θθ 2.1.2.分离变量§法：
上述的方程?是含三个 ?量的偏微分?方程，要解这个方?程可 数?分离法将其?化为三个分?别只含一个? 量的常微?分方程求解?。 含：)()()(),,(φθθΦΘ=Φψr R r 代 方程：并乘以ΘΦR r θ 22sin 移项 可 得： ) (s )(s )(228s i 2s i n 1222 2 2V E r r h u d d d d dr dR dr d R d d ---- =ΘΘΦΦθθ πθθ θθφ左边不含r ?、θ，右边不含 ?，欲左右两边?相等必等 ?同一个常数?（-m 2 ） Φ-=Φ 222m d d φ , 而右边可为?：（除以sin ?θ） )(sin )()(sin 1sin 821 22 2 2θ θ θθ πθ d d d d m h ur dr dR dr d R V E r ΘΘ-= -+ 则有： K d d d d m =-ΘΘ)(sin sin 1sin 22 θ θ θ θθ K E r r Ze h ur dr dR dr d R =++)()(2 2 2 2821 π 2.1. 3.方程解的 ?果 2.1.3.1.Φ（φ）方程的解 022 2=Φ+Φ m d d φ 这是一个常?系数二阶 ?次线性方程?，有两个复 ?数的独立解?。 |)|(]exp[m m im A m ±==Φφ Φ符合波 ?数品优条 ?：连续、单值、电子边界条? （归一） 1]exp[]exp[202 20 *=-A =ΦΦ?? φφφφπ πd im im d m m π21=A ]exp[][21φπ im m =Φ α、φ周期变化?，Φm 值不变 )2()(πφ φ+Φ=Φm m
固体物理学 1-5-薛定谔方程应用举例II
薛定谔方程应用举例II---原子系统
? 氢原子 ? 电子自旋 ? 多电子原子
1
氢原子的定态薛定谔方程
?原子由一个原子核和核外电子构成，属于多粒子体系。多粒 子体系的总能量等于每一个粒子的能量与粒子间相互作用能量 之和。
?氢原子包括一个原子核和电子，库仑场是各向同性的，哈密 顿量可记作（绝热近似）：
H?
=
?
h2 2me
?2
+
qeU(r)
me为电子质量，qe是电子电荷。U(r)为原子核静电场中的库 仑势，记作：
U(r) = ? Zqe = ? Z h2
4πε0r a1meqer
Z为核的电荷数，a1 = 4πε0?2/(meqe2) = 0.529?，为氢原子的第
一波尔轨道半径。
2
??? ?
h2 2me
?2
?
Zh 2 a1meqer
??ψ
?
(r)
=
E
?ψ
(r)
中心力场问题，采用球坐标，薛定谔方程为：
? ?? ??
h2 2me
?
????
1 r2
? ?r
r2
? ?r
?
L?2 r2
???? ?
Zh2
?
?ψ (r,?,θ ) =
a1mer ??
E ?ψ (r,?,θ )
用分离变量法求解，令：
ψ (r,θ ,φ) = R(r) ?Y (?,θ )
分别求解径向波函数R(r)和角向波函数Y(?,θ)。
3
薛定谔方程的建立
薛定谔方程的建立 1925年，薛定谔在苏黎世大学任教,并兼任大物理学家德拜的助手。薛定谔过去一直在致力于分子运动的统计力学方面的研究，所以很快注意到爱因斯坦于1925年2月德布罗意发表的关于理想气体量子理论的论文，并从中受到影响.薛定谔本人在1926年4月给爱因斯坦的一封信中曾谈起过：“如果不是您的第二篇关于气体简并的论文提示了我注意到德布罗意思想之重要性的话，恐怕我的整个事情都还未能开始呢。”德拜的回忆说,当初在慕尼黑大学时，曾由德拜、薛定谔等人一块儿组织过一些讨论，德布罗意的博士论文发表后，他们曾进行过讨论。由于难于理解，德拜就让薛定谔仔细钻研一下，然后给大家讲解。“正是这个准备过程使他进步了。作了报告后不过数月之久，他的正式论文就发表出来了.” 薛定谔建立的波动力学是从光学和力学的类比入手的;他发现,微观粒子的运动，用哈密顿动力学方程描述和用德布罗意波波阵面方程描述具有同样的形式,从而看出物质波的“几何光学"等同于经典力学。他把光学与力学进行类比：几何光学是波动光学的近似和简化，若经典力学等同于几何光学，则应该有一门波动力学等同于波动光学，它将如波动光学可以解释干涉衍射一样，用来解释原子领域的过程。他于是引进波函数，把粒子在力场中的运动，描绘成波动的过程，建立了有名的薛定谔方程。 薛定谔的论文正式发表于1926年3月，题目为“作为本征值问题的量子化”，这是他四篇系列论文中的第一篇。薛定谔利用哈密顿—雅可比（Hamilton －Jacobi ）微分方程，针对氢原子的具体情形，最后导出了一个一函数的本征值方程： 0)(2222=++?ψψr e E K m 这就是定态下的薛定谔方程.玻尔的氢原子能级作为方程中函数的本 征值自然而然地出现了。薛定谔方程的引入方式并不是唯一的，其正 确性只能由它所得出的结果是否正确来加以保证.事实证明，薛定谔 方程在低速微观领域是十分正确的。波动方程的建立标志了波动力学 的诞生。孤独的研究者，通过曲折的道路，终于达到了一个光辉的顶 点。 当波动力学出现的时候，玻恩正致力于自由粒子与原子间碰撞问 题的研究，他看出波动力学的描述方法更为便利，就采用了这种理论. 运用的结果使他认识到,波动力学并没有回答碰撞之后各粒子的状态 问题，而只是给出了碰撞后各种状态的可能性.这就促使他提出了波 函数的统计解释：“粒子的运动遵循着统计规律，而统计性则按因果 律在坐标中传播.”并把波函数的绝对值二次方解释为与粒子在单位 体积内出现的几率成比例，被称为玻恩对波函数的统计诠释。波函数所表示的波也常被称为几率波。 由于粒子肯定存在于空间中，因此，将波函数对整个空间积分，就得出粒子在空间各点出现几率之和，结果应等于1，即: ??==1),(),(2τ?τd t r c d t r p 可以用),(t r c ?代替),(t r ?作为波函数，那么波函数),(),(t r c t r ??≡'就满足条件： 图10-11为中年时的薛定谔
§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例
§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例 （一）一维运动自由粒子的薛定谔方程 波函数随时间和空间而变化的基本方程，是薛定谔于1926年提出的，称为薛定谔波动方程，简称波动方程或薛定谔方程，它成为量子力学的基本方程． 将（16.2.14）式分别对t 和x 求导，然后从这两式消去E 、p 、和ψ，便可得到一维运动自由粒子的薛定谔方程： ψ-=?ψ?)/iE (t 即ψ=?ψ?E t i （16.3.1） ψ=?ψ ?22)/ip (x 2 ψ=ψ ?-2222p ????? ?????<<的薛定谔方程自由粒子轴运动的沿)c x (v 方程（16.3.3）中不含有能量E 和动量p ，表明此方程是不受E 和p 的数值限制的普遍方程． 请同学们自己试一试，如果上述波函数不用复数表式（16.2.14），改用类似于（16.2.1）式的余弦函数或正弦函数表式，就不会得到合乎要求的薛定谔方程（16.3.3）式?． 这薛定谔方程不是根据直接实验结果归纳而得，也不是由经典波动理论或其他理论推导出来的，它是在物质波假设的基础上，参照经典波动方程而建立起来的．薛定谔方程在微观领域中得到广泛的应用，它推导出来的结果，都与相关实验结果符合得很好，这才是薛定谔方程正确反映微观领域客观规律的最有力的证明． （二）一维运动自由粒子的定态薛定谔方程?? 上述薛定谔方程（16.3.3）是偏微分方程，从此方程可解出波函数ψ（x ，t ）．在量子力学中最重要的解，是可把波函数ψ（x,t ）分离成空间部分u （x ）和时间部分f （t ）两函数的乘积的特解，即 〔一维运动自由粒子的定态波函数〕 ψ（x,t ）=u （x ）f （t ）（16.3.4） 将此式代入（16.3.3）式得： 22 2dx u d )t (f )m 2/(dt df )x (u i -= 两边除以ψ=uf 得： 22 2dx u d u 1)m 2/(dt df f 1i -= 此式左边是时间t 的函数，右边是坐标x 的函数．已知t 与x 是互相独立的自变量，左右两边相等，必须是两边都等于同一常量E ，即 ? 郭敦仁《量子力学初步》16—17页，人民教育出版社1978年版. ? 郭敦仁《量子力学初步》21—22页，人民教育出版社1978年版. ? 周世勋编《量子力学》32—33页，上海科学技术出版社1961年版.
薛定谔方程及其解法
关于薛定谔方程 一． 定义及重要性 薛定谔方程（Schrdinger equation ）是由奥地利物理 学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。 二． 表达式 三． 定态方程 ()()2 22V r E r m ηψψ+??-?=???? 所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。 其中，E 是粒子本身的能量；v(x ，y ，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。
2 2 22222z y x ?? ????++=? 可化为d 0)(222=-+ψψ v E h m dx 薛定谔方程的解法 一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法 二． 边值解法；差分法，打靶法，有限元法 龙格库塔法（对欧拉法的完善） 给定初值问题 ).()()((3) ) ,() ,() ( ,,(2) )() ,( 3112122111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dy i i i i i i i i =-???????++==++==????? =≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法 的值及确定常数ββα βα
薛定谔方程的相对论形式的推导
狄拉克方程 理论物理中，相对于薛定谔方程之于非相对论量子力学，狄拉克方程是相对论量子力学的一项描述自旋-?粒子的波函数方程，由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年建立，不带矛盾地同时遵守了狭义相对论与量子力学两者的原理，实则为薛定谔方程的洛伦兹协变式。这条方程预言了反粒子的存在，随后1932年由卡尔·安德森发现了正电子(positron)而证实。 狄拉克方程的形式如下： ， 其中是自旋-?粒子的质量，与分别是空间和时间的坐标。 狄拉克的最初推导 狄拉克所希望建立的是一个同时具有洛伦兹协变性和薛定谔方程形式的波方程，并且这个方程需要确保所导出的概率密度为正值，而不是像克莱因-戈尔登方程那样存在缺乏物理意义的负值。考虑薛定谔方程 薛定谔方程只包含线性的时间一阶导数从而不具有洛伦兹协变性，因此很自然地想到构造一个具有线性的空间一阶导数的哈密顿量。这一理由是很合理的，因为空间一阶导数恰好是动量。 其中的系数和不能是简单的常数，否则即使对于简单的空间旋转变换，这个方程也不是洛伦兹协变的。因此狄拉克假设这些系数都是N×N阶矩阵以满足洛伦兹协变性。如果系数是矩阵，那么波函数也不能是简单的标量场，而只能是N×1阶列矢量
狄拉克把这些列矢量叫做旋量（Spinor），这些旋量所决定的概率密度总是正值 同时，这些旋量的每一个标量分量需要满足标量场的克莱因-戈尔登方程。比较两者可以得出系数矩阵需要满足如下关系: 满足上面条件的系数矩阵和本征值只可以取±1，并且要求是无迹的，即矩阵的对角线元素和为零。这样，矩阵的阶数N只能为偶数，即包含有相等数量的+1和-1。满足条件的最小偶数是4而不是2，原因是存在3个泡利矩阵。 在不同基中这些系数矩阵有不同形式，最常见的形式为 这里即为泡利矩阵 因此系数矩阵和可进一步写为
大学物理练习题 氢原子理论 薛定谔方程
练习二十三 氢原子理论 薛定谔方程 一、选择题 1. 已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19eV ，若氢原子从能量为?0.85eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A ) 2.56eV 。 (B ) 3.41eV 。 (C ) 4.25eV 。 (D ) 9.95eV 。 2. 氢原子光谱的巴耳末系中波长最长的谱线用λ1表示，其次波长用λ2表示，则它们的比值λ1/λ2为 (A ) 9/8。 (B ) 19/9。 (C ) 27/20。 (D ) 20/27。 3. 根据氢原子理论，氢原子在n =5的轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为： (A ) 5/2。 (B ) 5/3。 (C ) 5/4。 (D ) 5。 4. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布几率将 (A ) 增大D 2倍。 (B ) 增大2D 倍。 (C ) 增大D 倍。 (D ) 不变。 5. 一维无限深势阱中，已知势阱宽度为a 。 应用不确定关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为： (A ) ?/(ma 2)。 (B ) ?2/(2ma 2)。 (C ) ?2/(2ma )。 (D ) ?/(2ma 2)。 6. 由于微观粒子具有波粒二象性，在量子力学中用波函数Ψ(x ，y ，z ，t )来表示粒子的状态，波函数Ψ (A ) 只需满足归一化条件。 (B ) 只需满足单值、有界、连续的条件。 (C ) 只需满足连续与归一化条件。 (D ) 必须满足单值、有界、连续及归一化条件。 7. 反映微观粒子运动的基本方程是 (A ) 牛顿定律方程。 (B ) 麦克斯韦电磁场方程。 (C ) 薛丁格方程。 (D ) 以上均不是。 8. 已知一维运动粒子的波函数为 ()()?? ???==?0e x cx x kx ψψ00<≥x x 则粒子出现概率最大的位置是x =
薛定谔方程对氢原子的应用
（16.4.4） （16.4.5） (图16.4a )球极坐标 薛定谔方程对氢原子的应用 （一）氢原子的薛定谔方程 前一节讨论一维运动自由粒子的薛定谔方程及 其定态解．本节要讨论氢原子中电子的运动，这与 前一节有两点不同： （1）氢原子电子作三维空间运动，因此，薛定 谔方程（16.3.3）中的波函数ψ（x,t ）应换成ψ（x,y,z,t ） 或ψ（r ,t ）,而22x ??应换成=??+??+??222222z y x ▽2．此▽2称为拉普拉斯算符或拉氏算符． ??????<<的薛定谔方程三维运动自由粒子)c (v 222222222z y x )m 2/(t i ??+??+??=?=?ψ?-=?ψ? （16.4.1） （2）氢原子的电子不是自由粒子，它受到氢核的库仑力，此力的作用可用它们的电势能E p 表示．因此，氢原子电子的薛定谔方程可表示如下??，见〔附录16D 〕． ??????<<的薛定谔方程氢原子电子)c (v p 2p k p 22E )m 2/p (E E E E )m 2/(t i +=+=ψ+ψ?-=?ψ? （16.4.2） *（二）氢原子的定态薛定谔方程 定态解是解决氢原子各种问题的基础．参照（16.3.4）至（16.3.6）式，可把（16.4.2）式中的波函数ψ（r ,t ）分离为空间部分u （r ）和时间部分f （t ），并参照（16.3.10）式写出氢原子的定态薛定谔方程，见〔附录16E 〕． ψ（r ,t ）=u （r ）f （t ）， f （t ）=C /iEt e - （16.4.3） ??????<<的定态薛定谔方程氢原子电子)c (v r 4e E 0u )E E )(/m 2(u 02p p 22πε-==-+? 氢核的质量比电子的大得多，可认为氢核不动，电子绕核转动．其电势能可表成E p =－e 2/4πε0r ．此势能E p 只与电子至氢核的距离r 有关，而与方向无关，即具有球对称性，应用球极坐标较为方便．如（图16.4a ）,O 表氢核，e 表电子，r 为e 至O 的距离．θ为r 与z 轴的夹角，θ称天顶角或极角．?为r 在xOy 平面的投影与x 轴的夹角．故有 x=rsin θcos ?； y=rsin θsin ?； z=rcos θ （16.4.6） 拉氏算符 2222222z y x ??+??+??=?改用球坐标（r,θ,?）表示如下：?? ()() 22222222sin r 1sin sin r 1r r r r 1???θ+θ??θθ ??θ+????=?(16.4.7) 将此▽2算符代入（16.4.4）式，便得到以球坐标表示的氢原子定态薛定谔方程． ? 郭敦仁《量子力学初步》18—19，34—35页，1978年版. ? 程守洙、江之永编，王志符、朱讠永春等修订《普通物理学》第3册177—180页，1982年修订本. ? 郭敦仁《量子力学初步》35—45页，1978年版. ? 周世勋编《量子力学》59—72页，1961年版.
大学物理量子力学习题附答案
1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0 λhc m eRB 2)(2+ (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［ ］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 ［ ］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［ ］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV ［ ］ 9．4241： 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh ［ ］ 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 ［ ］ 11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： a x a x 23cos 1)(π?= ψ ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1 ［ ］ 12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定 粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？
薛定谔方程
薛定谔方程（Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 1定义 薛定谔方程 薛定谔方程（Schrodinger equation）又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation）在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来确定。 2方程概述 量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。 薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。当涉及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。.薛定谔提出的量子力学基本方程。建立于1926年。它是一个非相对论的波动方程。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为。在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。当势函数V不依赖于时间t时，粒子具有确定的能量，粒子的状态称为定态。定态时的波函数可写成式中Ψ（r）称为定态波函数，满足定态薛定谔方程，这一方程在数学上称为本征方程，式中E为本征值，是定态能量，Ψ（r）又称为属于本征值E的本征函数。 薛定谔方程是量子力学的基本方程，它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿定律在经典力学中所起的作用一样，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具，在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用。 3提出历史 当法国物理学家德布罗意的“微观粒子也像光一样具有波粒二象性”的假说被美国物理学家
量子力学_王学雷_第二章波函数薛定谔方程
§2.1 波函数的统计解释 一．波动－粒子二重性矛盾的分析 物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？ 实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。到了原子世界（原子大小约 1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。 传统对波粒二象性的理解： （1）物质波包物质波包会扩散，电子衍射，波包说夸大了波动性一面。 （2）大量电子分布于空间形成的疏密波。电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒子性一面。 对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。 二．波函数的统计解释 1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。 描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。 几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。 描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定； 描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。 设波函数描写粒子的状态，波的强度，则在时刻t、在坐标x到x+dx、 y到y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为，应正比于体 积和强度 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。