福建省四地六校高三上学期第二次(12月)月考数学(理)试题 Word版含答案

“华安、连城、泉港、永安、漳平一中，龙海二中”六校联考

2016-2017学年上学期第二次月考

高三数学（理科）试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 设集合{}(){}

()2

0,ln 10,M x x x N x x M

N =-==-<=则

[]A 0,1 (]0,1B [)01C ， (],1∞D

2. 已知等差数列{}n a 前9项和为27，(

)1099=8=a a ，则

A ． 100 B. 99 C. 98 D. 97

3. 已知1

2

a =，1

2b =，3log 2c =，则（ ）

A ．b a c >> B.c b a >>

C.b c a >>

D.a b c >>

4. 已知4cos()2

5π

θ+=

，22

ππ

θ-<<，则sin 2θ的值等于（ ） A ．2425-

B. 2425

C. 1225-

D. 12

25

5. 设{}n a 是公比为q 的等比数列,则“01q <<”是“{}n a 为递减数列”的（ ）

A ． 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D.充要条件

6.若函数()ln f x t x =与函数2()1g x x =-在点(1 , 0)处有共同的切线l ，则t 的值是（ ）

A ． 1

2

t = B. 1t = C. 2t = D. 3t = 7. 若非零向量a 与b 满足：||2a =，()0a b a +?=，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）

A ．

2

C.2

D.

8. 在ABC ?中，若ABC ?的面积为3

B π

=

，则AB BC ?=( ) A ．4 B. 4- C. 2 D.2-

9. 定义域为R 的奇函数)(x f 满足(4)()0f x f x -+=，当20x -<<时，

x x f 2)(=，则2(log 20)f =（ ）

A ．54

-

B.

54

C.

45

D. 45

-

10. ()()

()()12121

2

,,0p x x R f x f x x x ?∈--≥已知命题:

,,2,11q x y R x y x y p q ∈+>>>∧命题:实数若则 或 ；若为假命题，则（ ）

A ． 函数()f x 为R 上增函数 B. 函数()f x 为R 上减函数 C. 函数()f x 在R 上单调性不确定 D. 命题q 为假命题 11. 函数cos ln ||

x

y x -=

的图象大致是（ ）

12. 已知函数()???<+≥+=0

,0

,3x b ax x x x f 满足条件：对于任意的非零实数1x ，存在唯一的非零

实数2x ()21x x ≠，使得()()21x f x f =.当)

()4f f b =成立时，则实数=+b a （ ）

A ．3 B. 5 C.

3 D. 1

二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置). 13. 定积分

10

sin xdx =?

.

14. 设等比数列{}n a 满足1324123n +=20+=10..a a a a a a a a ，，则的最大值为 .

15. 如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.

从A 点测得M 点的仰角75MAN ∠=?，从A 点测得C 点的仰角

30CAB ∠=?以及75MAC ∠=?，从C 点测得60MCA ∠=?.

已知山高80BC m =，则山高MN = ()m . 16. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1, ()0, x f x x ?=?

?为有理数

为无理数

称为狄利克雷函数，关于函数()f x 有以下四个命题：

①(())1f f x =； ②函数()f x 是奇函数

③任意一个非零无理数T ,()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；

④存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ?为等边三角形.

其中真命题的序号为 .（写出所有正确命题的序号）.

三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分12分）

已知等差数列{}n a 满足：1=2a ，且1313a a a ，，成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式.

（Ⅱ）记S n 为数列{}n a 的前项n 和，是否存在正整数n ，使得S 40600?n n >+

若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.

18．（本小题满分12分）

已知定义在R 上的函数)2

||,0,0)(cos()(π

?ω?ω≤

>>+=A x A x f ，满足：最大值为

2，其图像相邻两个最低点之间距离为π，且函数()f x 的图象关于点

）（0,12

π

对称. （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）若向量((),1)6a f x π

=-

，1(,2cos )2b x =-，3[,]42x ππ

∈-， 设函数1

()2

g x a b =?+

，求函数()g x 的值域. 19. （本小题满分12分）

记S n 为数列{}n a 的前项n 和，已知0n a >, 22S =2n n n a a --（n N *

∈）

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式. （Ⅱ）设222

3

n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前项n 和n T .

20. （本小题满分12分）

ABC ?中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c a C b cos )2(cos -=．

（Ⅰ）求B ；

（Ⅱ）若6=BC ，AC 边上的中线BD 的长为7，求ABC ?的面积． 21. （本小题满分12分） 设函数()2x f x e x ax ＝－3－－． （Ⅰ）当0a =时，求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当0x ≥时，()2f x ≥-，求实数a 的取值范围．

请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲

在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l

的参数方程为1122

x t y ?

=-??

??=??（t 为参数），以原点O

为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=. （Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点P 的直角坐标为()1,0，曲线C 与直线l 交于,A B 两点，求PA PB +的值. 23.(本小题满分10分)不等式选讲 已知函数() 1.f x x =-

（Ⅰ）解关于x 的不等式()2

10f x x +->；

（Ⅱ）若()()()4,g x x m f x g x =-++<的解集非空，求实数m 的取值范围.

“永安、连城、华安、漳平一中、泉港一中、龙海二中”六校联考

2016-2017学年上学期第二次月考

高三数学（理科）试卷

参考答案及评分标准

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13． 1cos 1- 14．10

2 15． 120+ 16．①④

三、解答题：本大题共6小题，共70分

17. 解：（1）设数列{}n a 公差为d,由()()2

2

3113a 22d 2212a a d =+=+得 …………2分

解得d=0或d=4 ………………4分

故n a =2或n a =4n-2 ………………6分 (2)当n a =2时，=2n S n ………7分

=2n 40600S n n <+.不存在正整数n ，使得S 40600n n >+…………8分

当n a =4n-2时，2=2n S n ……………9分

由2

2n 40600n >+ 解得n>30或n<-10(舍去)

此时存在正整数n 使得S 40600.n n >+且n 的最小值为31. ……………11分 综上，当n a =2时，不存在正整数n ，使得S 40600n n >+

当n a =4n-2时，存在正整数n 使得S 40600.n n >+且n 的最小值为31. ……………12分 18.解：（1）由题意可得，2,A T π==，∴22T

π

ω=

=，………………2分

所以()2cos(2)f x x ?=+，

又∵函数()f x 的图象关于点

）（0,12

π

对称. ∴0)12

2cos(2=+?

?π

∴62

k ππ?π+=+，k Z ∈，………………3分 ∴3

k π

?π=+

，k Z ∈，又∵||2π?≤

， ∴3

π

?=， ………………5分

∴()2cos(2)3

f x x π

=+

………………6分

（2）∵()2cos(2)3

f x x π

=+

∴()2cos[(2()]2cos 2663

f x x x π

ππ

-

=-+= ………………7分

∵((),1)6a f x π

=-

，1(,2cos )2b x =-，3[,]42

x ππ

∈-， ∴111

()()1(2cos )2622

g x a b f x x π=?+

=-?+?-+ 211

cos 22cos 2cos 2cos 22

x x x x =-+=-- ………………9分

令cos t x =，∵3[,]42x ππ∈-

，则[2

t ∈-，………………10分 ∴函数可化为2

211

()222()122

g t t t t =--

=--

又∵[t ∈ ∴当12t =时，min 1()()12g t g ==-，

当2

t =-

时，max 11()(222g t g =-==

函数()g x 的值域为1[]2

- ………………12分 19解：(1)由22=2n n n a S a -- 得21112S =2n n n a a +++-- 相减得()2

2

1112S S =n n n n n n a a a a +++----

即()2

2

11=0n n n n a a a a ++--+ ()()()111=0n n n n n n a a a a a a +++-+-+

因为n a >0 解得1=1n n a a +- （n N *∈）

故数列{}n a 为等差数列，且公差d=1 ………………4分

2111

112S =2=2=1

a a a a ---又解得或（舍去）

故n a =n+1 ………………6分

()()()222333112b =212322123n n n a a n n n n +??

=

=- ?++++??

311111

1T ...235572123n n n ????????=-+-++- ? ? ???++????????

则 ……………10分

311n

==232323

n n ??- ?

++?? ……………12分 20.解：（Ⅰ）根据正弦定理，由B c a C b cos )2(cos -=， 可得B C A C B cos )sin sin 2(cos sin -=， ………………1分 整理得B A C B C B cos sin 2sin cos cos sin =+，

所以B A C B cos sin 2)sin(=+，即B A A cos sin 2sin = ………………4分 因为0sin ≠A ，所以2

1

cos =

B ，………………5分又因为π),0(∈B ，所以3

π

=

B ．………………6分 （Ⅱ）如图，延长BD 至点E ，使得BD DE =，连接AE ，CE ．………………7分 因为D 为A

C 的中点，所以四边形ABCE 为平行四边形， ………………8分 所以3

π

2=

∠BCE ，14=BE ． 在BCE ?中，根据余弦定理，得3

π

2cos

22

22??-+=CE BC CE BC BE ，…………9分 即)2

1(626142

22-???-+=CE CE 即016062=-+CE CE ，………………10分

解得10=CE ，所以10==CE AB ．………………11分

所以ABC ?的面积3153

π

sin 10621sin 21=???=??=

B B

C AB S ．……………12分 （Ⅱ）解法二：因为B

D 是AC 边上的中线，所以)(2

1

BC BA BD +=，……………7分

所以2

2)(4

1+=， 即BC BA BC BA BD ?++=24222．………………8分

所以3

π

cos 626||742

2

2

??++=?BA ， 0160=-+，………………

10分

解得10||=BA ，即10=AB ． ………………11分 所以ABC ?的面积3153

π

sin 10621sin 21=???=??=

B B

C AB S ．………………12分 （Ⅱ）解法三：设x AB =，y DA C

D ==．………………7分

在ABC ?中，根据余弦定理，可得3

πcos

22

22??-+=BC AB BC AB AC ， 即366422+-=x x y ……………①． ………………7分 在BCD ?中，根据余弦定理可得，

y

y y y DC BD BC DC BD BDC 1413

72672cos 2222222+=

?-+=?-+=∠．………………8分 在ABD ?中，同理可得，

y

x y y x y AD BD AB AD BD BDA 1449

7272cos 22222222+-=

?-+=?-+=∠．………………9分 因为π=∠+∠BDA BDC ，

所以BDA BDC ∠-=∠cos cos ，所以)49(132

22+--=+x y y ，

即6222

2

-=x y ……………②． ………………10分 由①②可得016062=-+x x ，所以10=x ，即10=AB ．………………11分 所以ABC ?的面积3153

π

sin 10621sin 21=???=??=B BC AB S ．………………12分

21.解： (Ⅰ) a ＝0时， f (x )＝e x

－3－x ， f ′(x )＝e x

－1. …………1分 当 x ∈(－∞，0)时， f ′(x )＜0；当 x ∈(0，＋∞)时， f ′(x )＞0.

故 f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．……………………4分 (Ⅱ) f ′(x )＝e x

－1－2ax .

由(1) a ＝0时()2f x ≥-知e x

≥1＋x ，当且仅当 x ＝0时等号成立，……………5分

故 f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ， …………………………………………6分

当 1

2

a ≤

时, 1－2a ≥0, f ′(x )≥0(x ≥0),()f x 在R 上是增函数, 又f (0)＝-2,于是当 x ≥0时，f (x )≥-2. 符合题意. ……………………………8分 当12

a >

时,由e x ＞1＋x (x ≠0)可得e －x

＞1－x ( x ≠0)． 所以f ′(x )＜e x

－1＋2a (e －x

－1)＝e －x

(e x －1)(e x

－2a )， 故当 x ∈(0，ln2a )时， f ′(x )＜0，而 f (0)＝-2， 于是当 x ∈(0，ln2a )时，f (x )＜-2 ……11分

综合得 a 的取值范围为1(,]2

-∞．………………………………………12分 22. (1) 直线的普通方程为：

………………………………2分

圆C 的直角坐标方程为： ()2

2

39x y -+=………………………………5分

(2)把直线的参数方程（t 为参数）代入圆C 的方程得：

化简得： 2

250t t +-= ………………………………8分

所以，122t t +=-，125t t =-<0

所以∣PA ∣+∣PB ∣=12t t +=12t t - = ………………10分

法二；1211t t =-=-

∣PA ∣+∣PB ∣=12t t +=………………10分 23. 解：（Ⅰ）由题意原不等式可化为：

即：

由

得

由得 ………………………………4分

综上原不等式的解为………………………………5分

（Ⅱ）原不等式等价于14x x m -++<的解集非空 令()14h x x x =-++，即()()

min

14

h x x x m =-++<

h x=，…9分

所以即()min5

m>．…………………………………………………………10分所以5