正弦定理余弦定理难题
第一套
正弦定理（一）
●作业导航
掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．
一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．9 B ．18 C ．93 D ．183
3．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶1 C ．1∶3∶2 D ．3∶1∶2
4．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为( )
A ．(2，＋∞)
B ．(-∞，0)
C ．(-21
，0) D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． 2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________． 3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．
4．已知△ABC 的面积为23
，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________． 5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16． (1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．
(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．
2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．
3．在△ABC 中，求证
2tan 2tan
B
A B A b a b a +-=
+-．
4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．
5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．
参考答案
一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1．D 分析：由正弦定理得，B b
A a sin sin =
，
∴ sin B ＝23
sin =
a
A b ， ∴ ∠
B ＝60°或∠B ＝120°． 2．
C 分析：∵ ∠A ＝30°，∠B ＝120°， ∴ ∠C ＝30°，∴ BA ＝BC ＝6，
∴ S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．
3．A 分析：由正弦定理得，C c
B b A a sin sin sin =
=， ∴ sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21
∶23∶1， ∴ A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．
4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边． 5．C 分析：A ＞B ?a ＞b ?2Rsin A ＞2Rsin B ?sin A ＞sin B ． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1．23或3 分析：sin C ＝23
230sin 32=?，于是，∠C ＝60°或120°，
故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21
×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．
2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C c
B B c
C c B b sin sin sin 2sin sin =
=得，
∴ sin C ＝21
，∴ ∠C ＝30°或150°．
3．22 分析：∵ c ＝2R sin C ，∴ R ＝2
2sin 2=C c
．
4．60°或120° 分析：∵ S △ABC ＝21bc sin A ，∴ 23＝21
×2×3sin A ，∴ sin A ＝23，
∴ ∠A ＝60°或120°．
5．6＋23 分析：∵ B b
A a s i n s i n
=
， ∴ ?=
?-?-?+45s i n )6045180s i n
()13(2b ， ∴ b ＝4．
∴ S △ABC ＝21
ab sin C ＝6＋23．
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 1．解：(1)∵ a ＋b ＝16，∴ b ＝16-a
S ＝21
ab sin C
＝21
a (16-a )sin60°
＝43
(16a -a 2)
＝-43
(a -8)2＋163（0＜a ＜16)
(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163． 2．解：∵ sin C ∶sin A ＝4∶13 ∴ c ∶a ＝4∶13 设c ＝4k ，a ＝13k ，则
????
?-=++=-38213)4(213132
k b k k b k k
由①、②消去2b ，得
13k 2-16k ＋3＝0 ③
解得k ＝133
或k ＝1，
∵ k ＝133
时b ＜0，故舍去．
∴ k ＝1，此时a ＝13，b ＝213
5-，c ＝4． 3．证明：由正弦定理，知 a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B
2t a n
2t a n
2c o s 2s i n 22c o s 2s i n 2)
22s i n ()22s i n ()
22s i n ()22s i n (s i n s i n s i n s i n s i n 2s i n 2s i n 2s i n 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B
A B A B R A R B R A R b a b a +-=-++-=
--++-++--+--++=
+-=+-=+-∴
4．证明：∵ A 、B 、C 成等差数列， ∴ 2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，
∴ B ＝3π
，A ＋C ＝32π．
∵ b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，
∴ b ＝2R sin 3π
∴ 1＝2R ·23
，
∴ 3R ＝1．
∴ a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )
＝2R ［sin(32π
-C )＋sin C ］
＝2R (23cos C ＋23
sin C ) ＝23R (21
cos C ＋23sin C )
＝23R sin(C ＋6π
)
＝2sin(C ＋6π
)
∵ A ＋C ＝32π
，∴ 0＜C ＜32π
∴ 6π＜C ＋6π＜65π
∴ 21
＜sin(C ＋6π)≤1
∴ 1＜2sin(C ＋6π
)≤2 ∴ 1＜a ＋c ≤2．
5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得
A B A A C a c s i n )s i n (s i n
s i n +=
= ∵ A ≤B
∴ 2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°
∵ 正弦函数在(0，3π
)上是增函数， ∴ sin(A ＋B )≥sin2A ＞0
∴ A B A a c s i n )s i n (+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =
＝2cos A ∴ a c
≥2cos A ∵ 2A ≤60° ∴ 0°＜A ≤30°
∴ cos A ≥cos30°＝23 ∴ a c
≥2·23
∴ a c
≥3
∴ 最长边与最短边之比不小于
第二套
正弦定理练习（二）
1．在ABC ? 中，已知角043
45,22,,3
B c b ===
则角A 的值是（ ） A ．15° B ．75° C ．105° D ．75°或15° 2．ABC ? 中，bsinA sin cos cos ,A B C ABC a b c ==?则 是（ ） A ．等边三角形 B ．有一内角是30° C ．等腰直角三角形 D ．有一内角是30°的等腰三角形 4．在ABC ? 中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D, 则AD 长为（ ） A.4(31)- B.4(3+1) C.4(3+3) D.4(33)- 5．在ABC ? 中，A>B 是sinA>sinB 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 6．在ABC ? 中，060,76,14B b a === ，则A= 7．在ABC ?ABC ? 中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+== 求证：b=c 且A=900 。 8，已知ΔABC 中，2B=A+C ，且A>B>C ，又tanA 和tanC 为方程2323(1)x x x -+=-的两个根，且33ABC S ?=-，求ΔABC 的三个角和三条边。 答案与详解： 1． D ， 正弦定理将0060120sin sin b c C B C =?=或∴A=750或150 2． B ，见研析1。 3． C ， 由正弦定理及已知条件对比发现sinB=cosB,sinC=cosC,故B=C=450，A=900 。 4． D ， 由已知A=750 ，再由正弦定理易求AB 的长，在RT ΔABD 中AD=ABsin600 可得。 5．C ， 在ΔABC 中，2sin 2sin sin sin A B a b R A R B A B >?>?>?>。 6．45°，由正弦定理得sinA= 2 2 , ∴A=450 或1350，又B=600，故A=450。 7．证明：∵cos 2B+cos 2C=1+cos 2A, ∴cos 2B+cos 2C-2=cos 2A-1, ∴sin 2B+sin 2C=sin 2A,即b 2+c 2=a 2 ∴ΔABC 为Rt Δ且A=900， 又sinA=2sinBcosC,cosC=sinB, ∴2sin2B=1,sinB=2 2 , ∴B=450 , C=450 , ∴b=c,且A=900. 8， ∵2B=A+C ∴B=600 ∵tanA 和tanC 为方程2323(1)x x x -+=-的两个根 ∴tanA=1，tanC=2+3,所以A=450，C=750. 因为33ABC S ?=-，所以1 sin 332 ab B =-,即4(31)ac =-(1). 由正弦定理sin sin a c A C =所以(31)a c =-.(2) 联立(1) (2) 4(31) (31)ac a c ?=-??=-?? 解得: 2(31) 2 a c ?=-??=?? 再由正弦定理得:sin 326sin a B b A = =-. 第三套 正弦定理、余弦定理 ●作业导航 能运用正弦定理、余弦定理求解三角形问题和进行解的判断． 一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( ) A ．b ＝7，c ＝3，C ＝30° B ．b ＝5，c ＝42，B ＝45° C ．a ＝6，b ＝63，B ＝60° D ．a ＝20，b ＝30，A ＝30° 2．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BC AB ?的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．-5 3．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C B A c b a s i n s i n s i n ++++等于( ) A ．33 B ．339 2 C ．338 D ．239 4．在△ABC 中，已知a ＝x cm ，b ＝2 cm ，B ＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．2＜x ＜22 B ．2＜x ≤22 C ．x ＞2 D ．x ＜2 5．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是( ) A ．135< 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1．已知△ABC 的面积为3，B ＝60°，b ＝4，则a ＝________；c ＝________． 2．化简a ·cos A ＋b ·cos B -c ·cos(A -B )的结果是________． 3．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________． 4．已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积S ＝42 22c b a -+，则角C ＝ ________． 5．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB -AC |＝________；|AB ＋AC |＝________． 三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 1．在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？ 2．已知钝角三角形ABC 中，B ＞90°，a ＝2x -5，b ＝x ＋1，c ＝4，求x 的取值范围． 3．在△ABC 中，cos 210922=+=c c b A ，c ＝5，求△ABC 的内切圆半径． 4．R 是△ABC 的外接圆半径，若ab ＜4R 2cos A cos B ，则外心位于△ABC 的外部． 5．半径为R 的圆外接于△ABC ，且2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a -b )sin B ． (1)求角C ； (2)求△ABC 面积的最大值． 参考答案 一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1．C 分析：A 中b sin C ＞c ，无解； B 中c sin B ＜b ＜c ，有两解； C 中a sin B ＜a ＜b ，有一解； D 中b sin A ＜a ＜b ，有两解． 2．D 分析：∵ AB ·BC ＝-BA ·BC ， ∵ BA · BC ＝|BA ||BC |cos B ＝21 (|BA |2＋|BC |2-|AC |2) ＝21 (52＋72-82)＝5 ∴ AB · BC ＝-BA ·BC ＝-5 3．B 分析：∵ S △ABC ＝21 ×1×c ×sin60°＝3， ∴ c ＝4，∴ a 2＝b 2＋c 2-2bc cos A ＝13 ∴ R ＝339 sin 2= A a ∵ a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ∴ 339 22sin sin sin = =++++R C B A c b a 4．A 分析：若解此三角形有两解，则a sin B ＜b ＜a ，即22 x ＜2＜x ， ∴ 2＜x ＜22． 5．A 分析：由三角形三边的关系，得1＜x ＜5，(1)当1＜x ＜3时，由22＋x 2＞32解得5＜x ＜3； (2)当3≤x ＜5时，由22＋32＞x 2解得3≤x ＜13，由(1)(2)可知5＜x ＜13． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1．7±3 7±3 分析：∵ S △ABC ＝21 acsin B ＝3，∴ ac ＝4 ① ∵ b 2＝a 2＋c 2-2ac cos B ，∴ a 2＋c 2＝20 ② 由①②解得a ＝7±3；c ＝7 3 2．0 分析：∵ a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝a cos C ＋c cos A ，c ＝b cos A ＋a cos B ， ∴ a ·cos A ＋b ·cos B -c ·cos(A -B ) ＝(b cos C ＋c cos B )cos A ＋(a cos C ＋c cos A )cos B -c ·(cos A cos B ＋sin A sin B ) ＝b cos C cos A ＋c cos B cos A ＋a cos C cos B ＋c cos A cos B -c cos A cos B -c sin A sin B ＝cos C (b cos A ＋a cos B )＋c (cos A cos B -sin A sin B ) ＝c cos C ＋c cos(A ＋B ) ＝c cos C -c cos C ＝0 3．3 33 7 分析：设60°的角的对边长为x ，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则x 2＝82＋52-2×8×5×cos60°＝49，∴ x ＝7 ∵ 7＝2R sin60°，∴ R ＝337 ∵ S △ABC ＝21×8×5×sin60°＝21 ×r ×(8＋5＋7)，∴ r ＝3 4．45° 分析：S △ABC ＝21 ab sin C ＝ 21224222222= ?-+=-+ab ab c b a c b a ab cos C ∴ sin C ＝cos C ，∴ tan C ＝1，∴ C ＝45° 5．719 分析：由三角形法则知 |AB -AC |2＝|BC |2 ＝|AB |2＋|AC |2-2|AB |·|AC |·cos A ＝32＋22-2×3×2×cos60°＝7 ∴ |AB -AC |＝7 类似地由平行四边形及余弦定理可知 |AB ＋AC |2＝32＋22-2×3×2×cos120°＝19 ∴ |AB ＋AC |＝19 三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 1．解：∵ A ＝30°，b ＝10 (1)当0＜a ＜b sin A 时无解，即0＜a ＜5时，无解． (2)当a ＝b sin A 时，有一解，即a ＝5时，有一解． (3)当b sin A ＜a ＜b 时，有两解，即5＜a ＜10时，有两解． (4)当a ≥b 时，有一解，即当a ≥10时，有一解． 综上(1)、(2)、(3)、(4)得 当0＜a ＜5时，无解；a ＝5或a ≥10时，有一解；5＜a ＜10时，有两解． 2．解：∵ B ＞90° ∴ A 、C 皆为锐角，应有 43 10 43 10 630402232 360 )1(4)52(1 452415210 2222222<<∴ ?????<<<<∴?????? ?<+->><∴?????? ?<+-+++>+->+->+∴?????? ?<-+>+>>x x x x x x x x x x x x x x x b c a b c a c b a b ∴ x 的取值范围是310 ＜x ＜4． 3．解：∵ c ＝5， 109 2=+c c b ，∴ b ＝4 又cos 2 c c b A A 22cos 12+=+= ∴ cos A ＝c b 又cos A ＝bc a c b 22 22-+ ∴ c b bc a c b = -+2222 ∴ b 2＋c 2-a 2＝2b 2 ∴ a 2＋b 2＝c 2 ∴ △ABC 是以角C 为直角的三角形． a ＝2 2b c -＝3 ∴ △ABC 的内切圆半径r ＝21 (b ＋a -c )＝1． 4．证明：∵ ab ＜4R 2cos A cos B 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ∴ 4R 2sin A sin B ＜4R 2cos A cos B ∴ cos A cos B ＞sin A sin B ∴ cos A cos B -sin A sin B ＞0 ∴ cos(A ＋B )＞0 ∵ cos(A ＋B )＝-cos C ∴ -cos C ＞0 ∴ cos C ＜0 ∴ 90°＜C ＜180° ∴ △ABC 是钝角三角形 ∴ 三角形的外心位于三角形的外部． 5．解：(1)∵ R C c B b A a 2sin sin sin === R b B R c C R a A 2s i n ,)2(s i n ,)2(s i n 2222= ==∴ ∵ 2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a －b )sin B ∴ 2R ［(R a 2)2-(R c 2)2］＝(3a -b )· R b 2 ∴ a 2-c 2＝3ab -b 2 ∴ 23 2222= -+ab c b a ∴ cos C ＝23 ，∴ C ＝30° (2)∵ S ＝21 ab sin C ＝21·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝R 2sin A sin B ＝-22 R ［cos(A ＋B )-cos(A -B )］ ＝22 R ［cos(A -B )＋cos C ］ ＝22R ［cos(A -B )＋23 ］ 当cos(A -B )＝1时，S 有最大值 第四套 1.如图，某人要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度．他在C 点 测得塔顶A 的仰角是α，在D 点测得塔顶A 的仰止是β,并测得水平面上的角 ∠BCD ＝θ，θ为钝角，CD ＝m 米，求电视塔AB 的高度x . 2.如图所示，有两条相交成60°角的直路XX′、YY′，交点是O .甲、乙分别在OX 、OY 上，起初甲离O 点3千米，乙离O 点1千米后来两人同时用每小时4千米的速度，甲沿XX′的方向．乙沿Y′Y 的方向步行 （1）起初，两人的距离是多少？ （2）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离； （3）什么时候两人的距离最短？ 3.如图所示，边长为a 的正三角形ABC 的中心为O ，过O 任意作直线变AB 、AC 于M 、N.求2 21 1ON OM 的最大值和最小值. 4. 如图，ABCD 是一块边长为 100来的正方形地皮，其由ATPS 是一半径为90 米的扇形小山，P 是弧TS 上一点，其余部分都是平地.现一开发商想在平地上建花一个有边落在BC 与CD 上的长方形停车场PQCR ，求长方形停车场的最大值和最小值. 5. 如图，已知点P是正方形ABCD内一点，且PA=l，PB＝3，PD＝7，求正方形ABCD的面积. 6.在△ABC中，AB＝1，BC＝2，求∠C的取值范围. 正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A 正弦定理、余弦定理 命题人申占宝 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a s i n = B b sin =C c sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角； 2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示） 已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时: ??? ?? ? ?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA ) ( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA 例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，=== ? 解：∵21 3 60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b 00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角， ∴222=+= c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，=== ? 解：2 3 245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴< 教学准备 教学目标 1. 知识目标：理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；技能目标：理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性情感态度价值观：培养学生 在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； /难点教学重点2. 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判 断解的个数。教学用具 3. 多媒体标签 4. 正弦定理 教学过程 讲授新课在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角 根据锐BC=a,AC=b,AB=c, ABC．与边的等式关系。如图11-2，在Rt中，设角三角函数中正弦函数的定义，有 . ，又，则，中，ABC从而在直角三角 形． 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： ，根上的高是CDABC1（证法一）如图．1-3，当是锐角三角形时，设边AB CD=据任意角三角函数的定义，有，则. . 同理可得，从而 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后ABC类似可推出，当自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ] 理解定理[）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系 数为同1 （ ；使一正数，即存在正数k，， 等价于2（），，。从而知正弦定理的基本作用为： ；①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 . 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。． 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 2（1）题。）、（页练习第第随堂练习[]511 第三章第6讲《正弦定理和余弦定理》学案 班别：姓名：座位号： 考纲要求： 1. 利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题 2. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 要点梳理: 2.三角形面积公式： 1 1 1 S A ABC=2ah=2absin C = 2acsin B= _ 思考：在厶ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.判断一下结论是否正确，说明理由 ⑴ a:b:c sin A:sin B:sinC a —L b + c ⑵sin A+sin B+sin C= 2R (R为三角形的外接圆半径) (3) a>b ? sin A>sin B ? A>B ； (4) sin A=sin B ? A=B?三角形为等腰三角形 (5) sin 2A= sin 2B? A = B?三角形为等腰三角形； 题组一：直接用正、余弦定理解三角形及求面积 1. （知两角和一边）在厶ABC中，A=30 °，B=45°, a 2求b 2. （知两边和一边对角）在厶ABC中，求B （1） b 10,c 5.6,C 60o （2） a 10,b 20, A 60o （3） a 2 3,b 6, A 30o 3. （知三边）在厶ABC中，a 3,b 3,c 3.3，求C 4. （知两边和夹角）在厶ABC中，b 3,c .、3,A 30°，求a 5. （求面积）在厶ABC 中，a 5,b 7,C 120°，求S ABC 6. （综合应用）（2011天津高考题改编）在厶ABC中，D为边AC上的一点，满足 BD=1, AB=AD= sinC 正弦定理与余弦定理 1．已知△ABC 中，a=4，ο 30,34==A b ，则B 等于（ ） A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30° 3．已知ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 32π D ．6 5π 4．在?ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若 sin sin C A =2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（ ） A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ?中，75 6,8,cos 96 BC AC C ===，则ABC ?的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形 7．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ． 2π B ．3π C ．4π D ．6 π 8．在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＜sin 2 C ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 9．在ABC ?中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A. 14 B.23 C.23- D.14 - 10．在ABC ?中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos 2 =，则△ABC 为（ ）三角形． A ．正 B ．直角 C ．等腰直角 D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4 ，则B 等于（ ） A ．B=45°或135° B ．B=135° C ．B=45° D ．以上答案都不对 13．在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b += 且a b >,则B ∠=（ ） 正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b23bc，sin C3B，则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C 3B得c3b，代入a2-b23得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a7b， 所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 ，所以角A= π 6. 3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度 为n mile/h. (第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin C2sin C=b sin B，则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c22ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B=2 ， 因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值围为. 【答案】 π0 3?? ???， 第七节 正弦定理、余弦定理应用举例 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 解析 利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ACB 中，由余弦 定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×? ?? ??－12＝3a 2， ∴AB ＝3a . 答案B 2．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( ) A ．2 2 km B ．3 2 km C ．3 3 km D ．2 3 km 解析 如图，由条件知AB ＝24×15 60＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin30°＝AB sin45°，所以BS ＝AB sin45°sin30°＝3 2. 答案B 3．轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A 的航行速度是25海里/小时，轮船B 的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( ) A ．35海里 B ．352海里 C ．353海里 D ．70海里 解析 设轮船A 、B 航行到下午2时时所在的位置分别是E ，F ，则依题意有CE ＝25×2＝50，CF ＝15×2＝30，且∠ECF ＝120°， EF ＝CE 2＋CF 2－2CE ·CF cos120° ＝ 502＋302－2×50×30cos120°＝70. 答案D 4．(2014·济南调研)为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等； (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 【助学·微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有 时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 考点自测 1．(2012·江苏金陵中学)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________． 解析 记三角形三边长为a －4，a ，a ＋4，则(a ＋4)2＝(a －4)2＋a 2－2a (a －4)cos 120°，解得a ＝10，故S ＝12×10×6×sin 120°＝15 3. 答案 15 3 2．若海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里． 解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝AB sin (180°－60°－75°) .解得BC ＝56(海里)． 答案 5 6 3．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/时． 解析 由正弦定理，得MN ＝68sin 120°sin 45°＝346(海里)，船的航行速度为3464＝ 176 2(海里/时)． 答案 176 2 4．在△ABC 中，若23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，则△ABC 的形状是________． 解析 由23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 相加，得a 2＋b 2＝ 2ab sin ? ????C ＋π6.又a 2＋b 2≥2ab ，所以 sin ? ????C ＋π6≥1，从而sin ? ????C ＋π6＝1，且a ＝b ，C ＝π3时等号成立，所以△ABC 是等边三角形． 答案 等边三角形 习题课 正弦定理与余弦定理 双基达标 (限时20分钟) 1．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( )． A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B . 答案 C 2．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是 ( )． A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．60° 解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝ b 2＋ c 2 －bc 2bc ＝ ????b －c 22＋3c 2 4 2bc ＞0，∴0°＜A ＜90°. 答案 A 3．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于 ( )． A.21 B.106 C.69 D.154 解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a 2. 在△ABM 中， AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM cos ∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a 2×4·cos ∠AMB ① 在△ACM 中， AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a 2·cos ∠AMB ② ①＋②得：72＋62＝42＋42＋1 2 a 2， ∴a ＝106. 答案 B 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________． 解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π 6. 答案 π 6 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________． 解析 由sin B ＋cos B ＝2sin ????B ＋π 4＝2得 sin ????B ＋π4＝1，∴B ＝π 4. 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得 sin A ＝a sin B b ＝ 2sin π 4 2 ＝12 ， ∴A ＝π6或56 π. ∵a ＜b ，∴A ＜B ，A ＝π 6. 答案 π6 6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a ，b ，c 满足2b 2＝3ac ，求A . 解 由A 、B 、C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°得B ＝60°，A ＋C ＝120°. 由2b 2＝3ac 及正弦定理得 2sin 2B ＝3sin A sin C ， 故sin A sin C ＝12 . cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －1 2， 即cos A cos C －12＝－1 2， cos A cos C ＝0， cos A ＝0或cos C ＝0， 课时作业3应用举例 时间：45分钟满分：100分 课堂训练 1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是() A．103海里B．106海里 C．52海里D．56海里 【答案】 D 【解析】如图，∠A＝60°，∠B＝75°， 则∠C＝45°， 由正弦定理得： BC＝AB·sin A sin C ＝10×sin60° sin45° ＝5 6. 2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为() A ．502m B ．503m C ．252m D.2522m 【答案】 A 【解析】 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根 据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即50sin30°＝AB sin45°，解得AB ＝502m ，选A. 3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是________m. 【答案】 521 【解析】 如图所示，塔高为OC ，则∠OAC ＝60°，∠AOB ＝180°－30°＝150°，∠CBO ＝45°，AB ＝35， 设电视塔高度为h m，则OA＝3 3h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB， 即352＝(3 2＋h2－2×33h×h×(－32) 3h) 解得h＝521. 4．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？ 【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可． 第28讲 正弦定理与余弦定理 1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于(C) A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12， 又因为0° 高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1、(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定 (2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2 ＝b 2 ＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________． (3)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝1 2 ， C ＝π6 ，则b ＝________. 答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 解析 (1)∵b sin A ＝6× 2 2 ＝3，∴b sin A 【变式探究】(1)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．2＜x ＜2 2 D ．2＜x ＜23 (2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝________. 答案 (1)C (2)1 解析 (1)若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2， 又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×2 2 ＜1， 可得x ＜22， ∴x 的取值范围是2＜x ＜2 2. (2)∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3， 设AB ＝x ，由余弦定理，得 BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ， 化简得x 2 －2x ＋1＝0， ∴x ＝1，即AB ＝1. 高频考点二 和三角形面积有关的问题 例2、(2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π 4 ， b 2－a 2＝12 c 2. (1)求tan C 的值； (2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解 (1)由b 2－a 2 ＝12 c 2及正弦定理得 正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT- ●高考明方向 掌握正弦定理、余弦定理， 并能解决一些简单的三角形度量问题． ★备考知考情 1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考 考查的热点． 2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题 中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的 判断等问题． 3.三种题型都有可能出现，属中低档题. 一、知识梳理《名师一号》P62 知识点一 正弦定理 (其中R 为△ABC 外接圆的半径) 变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222= ==a b c A B C R R R 变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意：(补充) 关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式 均可利用正弦定理进行边角互化。 知识点二 余弦定理正弦定理和余弦定理
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