北京市2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编11：概率与统计
北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编11：概率与统计
（一）概率
一、选择题
1 ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）在平面区域01,
01x y ≤≤??≤≤?
内任取一点(,)P x y ,若(,)
x y 满足2x y b +≤的概率大于1
4
,则b 的取值范围是 （ ）
A ．(,2)-∞
B ．(0,2)
C ．(1,3)
D ．(1,)+∞
【答案】
D ．
2 ．（2013届北京大兴区一模理科）若实数
,a b 满足221a b +≤，则关于x 的方程
220x x a b -++=有实数根的概率是
（ ）
A ．
1
4
B ．
34
C ．
3π2
4π
+ D ．
π2
4π
- 【答案】C
3 ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）如图,在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向
正方形内随机撒豆子,若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ,则图形Ω面积的
估计值为
（ ）
A ．ma n
B ．na m
C ．2ma n
D ．2
na m
【答案】
C ．
4 ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第
一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p =(m,n),q =(3,6),则向量p 与q
共线
的概率为 （ ）
A ．
13 B ．
14
C ．
16
D ．
112
【答案】D 5 ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）在下列命题中,
①“2
απ
=”是“sin 1α=”的充要条件;②341()2x x +的展开式中的常数项为2;
③设随机变量ξ~(0,1)N ,若(1)P p ξ≥=,则1
(10)2
P p ξ-<<=-.
其中所有正确命题的序号是 （ ）
A ．②
B ．③
C ．②③
D ．①③
【答案】C
6 ．（2013届东城区一模理科）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标
到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于1
4
，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于1
2
，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得
到成绩为良好的概率为 （ ）
A ．
3
16
B ．
14
C ．
34
D ．
116
【答案】A
7 ．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）在区间[]
0,π上随机取一个数
x ,则事件
“1
tan cos 2
x x ≥g ”发生的概率为 （ ）
A ．
1
3
B ．12
C ．
23
D ．
34
【答案】 C ．
二、填空题
8 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）将一个质点随机投放在关于
,x y 的不等式组
3419,
1,1x y x y +≤??
≥??≥?所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于
1的概率是_______.
【答案】 112
π
- 三、解答题
9 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数
独比赛”.比赛成绩共有90分,70分,60分,40分,30分五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表:
(Ⅰ)根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其成绩等级为“A 或B ”的概率;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选3人,记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数,求X 的分布列及其数学期望EX ;
(Ⅲ)从这30名学生中,随机选取2人,求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率.
【答案】解:(Ⅰ)根据统计数据可知,从这30名学生中任选一人,分数等级为“A 或B ”的频率为
461013030303
+==. 从本地区小学生中任意抽取一人,其“数独比赛”分数等级为“A 或B ”的概率约为1
3
(Ⅱ)由已知得,随机变量X 的可能取值为0,1,2,3.
所以0
033128(0)()()3327P X C ==?=
;11
2312124(1)()()33279P X C ==?==;
22131262(2)()()33279P X C ==?==;33
03121(3)()()3327
P X C ==?=
. 随机变量X
所以0123127272727
EX =?+?+?+?=
(Ⅲ)设事件M:从这30名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于20分. 设从这30名学生中,随机选取2人,记其比赛成绩分别为,m n .
显然基本事件的总数为2
30C . 不妨设m n >,
当90m =时,60n =或40或30,其基本事件数为1
1
1
1
41073()C C C C ?++; 当70m =时,n =40或30,其基本事件数为1
1
1673()C C C ?+; 当60m =时,30n =,其基本事件数为1
1103C C ?;
所以111111111
410736731032
30()()34
()87
C C C C C C C C C P M C ?+++?++?==. 所以从这30名学生中,随机选取2人,这
两个人的成绩之差大于20分的概率为
3487
10．
（2013届门头沟区一模理科）交通指数是
交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵．
早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．
（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？
（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？ （III ）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．
【答案】解：（Ⅰ）(0.20.16)15018+??=
这50路段为中度拥堵的有18个． ……………………………3分 （Ⅱ）设事件A “一个路段严重拥堵”，则()0.1P A =
事件B “至少一个路段严重拥堵”，则3
()(1())0.729P B P A =-=
()1()0.271P B P B =-=
所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271……………8分 （III
EX =
此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．……………………………13分
11．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）国家对空气质量的分级规定如下表:
某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下: 34 140 18 73
121 210 40 45 78
23 65
79
207 81 60
42 101 38 163 154 22 27 36 151 49 103 135 20
16 48
根据以上信息,解决下列问题:
(Ⅰ)写出下面频率分布表中a ,b, x ,y 的值;
(Ⅱ)某人计划今年6月份到此城市观光4天,若将(Ⅰ)中的频率作为概率,他遇到空气质量为优或良的天数用X 表示,求X 的分布列和均值EX.
【
答
案
】
解:(Ⅰ)10
1,51,3,6====y x b a ,
(Ⅱ)由题意,该市4月份空气质量为优或良的概率为P=
3
2
52154=+, 4
4
11(0),381
P X C ??==?= ??? ,8183132)1(3
1
4=??? ?????? ???==C X P
,2783132)2(2224=??? ?????? ???==C X P ,81323132)3(3
3
4=???? ???==C X P
4
44
216
(4)381
P X C ??==?= ???
X ∴的分布列为:
X~B(4,32), ∴3
8
324=?=EX
12．（2013届北京海滨一模理科）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参
加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人.
（I ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数； （II ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生 “数学与逻辑”科目的平均分；
(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10 人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.
【答案】解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人，
所以该考场有100.2540÷=人………………1分
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为
40(10.3750.3750.150.025)400.0753?----=?=………………3分
(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)
2.9
40
??+??+??+??+??=
………………7分
（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20………………8分
2621015(16)45C P C ξ===， 11622
1012
(17)45C C P C ξ=== 11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222
104
(19)45C C P C ξ=== 222101
(20)45
C P C ξ===
所以ξ的分布列为
………………11分
所以
1512134186 1617181920
45454545455 Eξ=?+?+?+?+?=
所以ξ
的数学期望为
86
5
………………13分
13．（2013届东城区一模理科）某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.
（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；
（Ⅱ）记奖品个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.
【答案】（Ⅰ）由题意可知所得奖品个数最大为10，概率为：
2 2 2 6
1 15
A
p
A
==．
（Ⅱ）X的可能取值是：0,2,4,6,8,10．
所以02468104
555151515
EX=?+?+?+?+?+?=．
14．（2013届房山区一模理科数学）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米 75微克/立方米之间空气质量为
二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
某城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
（Ⅰ）从这15
天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天
数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（Ⅱ）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到
PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．
【答案】（Ⅰ）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5
天
记“从15天的 2.5PM 日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A
则124113
1544
()91
C C P A C == ……………………………………3分 （Ⅱ）ξ的可能值为0,1,2,3， ……………………4分
0351031524(0)91C C P C ξ=== 125103
1545
(1)91
C C P C ξ=== 2151031520
(2)91C C P C ξ=== 305103
152(3)91
C C P C ξ=== ……………………………………………8分
所以ξ的分布列为
…………………………………9分
2445203
0123191919191
E ξ=?+?+?+?= ………………………………10分
（Ⅲ）15天的空气质量达到一级或二级的频率为102
153
= ………………11分
2136524333
?=，
所以估计一年中有1
2433
天的空气质量达到一级或二级. ……………… 13分
（说明：答243天，244天不扣分）
15．（2013北京西城高三二模数学理科）某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满300
元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球,1个黄球,1个白球和1个黑球.顾客不放回的每次摸出1个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元,摸到白球或黄球奖励5元,摸到黑球不奖励. (Ⅰ)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率;
(Ⅱ)记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量X 的分布列和数学期望.
【答案】(Ⅰ)解:设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A , 则 2
334A 1
()A 4
P A ==,
故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为
1
4
(Ⅱ)解:随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20
1
(0)4P X ==, 2224
A 1(5)A 6P X ===, 22
2344A 11(10)A A 6P X ==+=, 122234C A 1(15)A 6
P X ?===,
3344
A 1
(20)A 4P X ===
所以,随机变量X 的分布列为:
051015201046664
EX =?
+?+?+?+?= 16．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召
义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直
方图如图所示,
其中年龄分组区间是:[)[)[)[)[]45,40,40,35,35,30,30,25,
25,20.
(I)求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)40,35岁的人数; (II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ,求X 的分布列及数学期望.
【答案】解:(I)∵小矩形的面积等于频率,∴除[)40,35外的频率和为0.70,
/0．0．0．0．
06.05
70
.01=-=
∴x 500名志愿者中,年龄在[)40,35岁的人数为150500506.0=??(人). (II)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名, “年龄不低于35岁”的人有8名. 故X 的可能取值为0,1,2,3,
()28514032038===C C X P ,()9528
13
20281
12===C C C X P , ()954423
20
18212===C C C X P ,()5711
33203
12===C C X P , 故X
所以95
5739529512850=
?+?+?+?
=EX 17．（2013届北京西城区一模理科）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：
现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测．
（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；
（Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．
【答案】（Ⅰ）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 (35):(22)2:1++=，…………
1分
所以，从甲组抽取的学生人数为
2323?=；从乙组抽取的学生人数为1
313
?=．…2分 设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A ， ……3分
则 11
35
2
8C C 15()C 28
P A ?==， 故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为
15
28
． …………5分 （Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,1,2,3． ………6分
21522184C C 5(0)C C 28P X ?===?， 1112135252
2121
8484C C C C C 25(1)C C C C 56
P X ???==+=??，
211113235221218484C C C C C 9(2)C C C C 28P X ???==+=??， 2132
21
84C C 3(3)C C 56
P X ?===?．……………10分
所以，随机变量X 的分布列为:
………………11分
525935
0123285628564
EX =?
+?+?+?=． ………………13分 18．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福
利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下:(1)该福利彩票中奖率为50%;(2)每张中奖彩票的中奖奖金有5元,50元和150元三种;(3)顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ,获得50元奖金的概率为2%. (I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率; (II)为了能够筹得资金资助福利事业, 求p 的取值范围.
【答案】解:(I)设至少一张中奖为事件A
则2
()10.50.75P A =-=
(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ 则ξ可以取5,0,45,145--
ξ的分布列为
所以ξ的期望为550%0(50%2%)(45)2%(145)E p p ξ=?+?--+-?+-?
2.590%145p =--
所以当 1.61450p ->时,即
8
725p <
所以当
8
0725p <<
时,福彩中心可以获取资金资助福利事业
19．（2013届北京市延庆县一模数学理）空气质量指数5.2PM (单位:3
/g m μ)表示每立方米
空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:
甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数5.2PM 进行监测,获得5.2PM 日
均浓度指数数据如茎叶图所示: （Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内
哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由)
（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市 空气质量类别均为优或良的概率；
(Ⅲ) 在乙城市15个监测数据中任取2个,设X 为空气质量类别为优或良的天数, 求X 的分布列及数学期望.
【答案】解：（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好.
………2分
（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为
3
2
1510=，
………4分
乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为
3
1155=， ………6分
在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为
9
23132=?. ………8分
(Ⅲ)X 的取值为2,1,0， ………9分
73)0(21521005===C C C X P ，2110)1(2151
1015===C C C X P ，212
)0(2
15
01025===C C C X P X 的分布列为：
数学期望3
21221170=?+?+?=EX ………13分
20．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的
3 0 2 2
4 4 8 9 6 6 1
5 1 7 8 8 2 3 0
9 8 甲城市 3 2 0 4
5 5
6 4
7 6 9 7
8 8 0 7 9 1 8 0 9
乙城市
颗粒物,也称为可入肺颗粒物.PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级:在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.
石景山古城地区2013年2月6日至I5日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示.
(Ⅰ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率; (Ⅱ)小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率;
(Ⅲ)从所给10天的数据中任意抽取三天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列及期望.
【答案】
21．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））现有甲、乙两个靶.某射手向
甲靶射击两次,每次命中的概率为
4
3
,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一
次,命中的概率为
3
2
,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (I)求该射手恰好命中两次的概率;
(II)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX ; (III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.
【答案】解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件A ,“该射手第一次射击甲靶命中”为
事件B ,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ,“该射手射击乙靶命中”为事件D . 由题意知,()()()3
2
,43==
=D P C P B P , 所以()()()()
CD B P D C B P D BC P A P ++=
()()()()()()()
()()D P C P B P D P C P B P D P C P B P ++=
32
4343132431433214343????? ??-+???? ??-?+??? ??-??= 16
7=
(II)根据题意,X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.
()()
4813214314310=
??? ??-???? ??-???? ??
-===D C B P X P , ()()()
??
? ??-????? ??-+??? ??-???? ??-?=+==32143431321431431D C B P D C B P X P 8
1
=. ()()()
D C B P D BC P X P +==24811
324314313214343=
???? ??-???? ??-+??? ??-??=
, ()()()
CD B P D C B P X P +==34
132434313243143=????? ??-+???? ??-?=
, ()()BCD P X P ==48
3
324343=??=
, 故X 的分布列是
所以6
17
834413481128114810=
?+?+?+?+?
=EX (III)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件1A ,“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件1B ,“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件2B ,则21211,,B B B B A ?=为互斥事件.
()()()211B P B P A P +=
32
43433214343132143143??+??? ??-????? ??-+??? ??-???? ??-?= 2
1=
. 所以,该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为
2
1 22．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）小明从家到学校有两条路线,路线1上有三个路
口,各路口遇到红灯的概率均为
1
2
;路线2上有两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为34,45
. (Ⅰ)若小明上学走路线1,求最多遇到1次红灯的概率; (Ⅱ)若小明上学走路线2,求遇到红灯次数X 的数学期望;
(Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准,请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线,并说明理由.
【答案】(Ⅰ)设走路线1最多遇到1次红灯为A 事件,则
031
2331111()=()()2222
P A C C ?+??=
(Ⅱ)依题意,X 的可能取值为0,1,2.
341
(=0)=(1)(1)4520P X -?-=,
34347
(=1)=(1)(1)454520P X ?-+-?=
, 343
(=2)=455
P X ?=
随机变量的分布列为:
17331
0122020520
EX =
?+?+?=
(Ⅲ)设选择路线1遇到红灯次数为Y ,则1
(3,)2
Y B ,
所以13
322
EY =?
= 因为EX EY >,所以选择路线1上学最好
23．（2013北京东城高三二模数学理科）某校高三年级同学进行体育测试,测试成绩分为优秀、
良好、合格三个等级.测试结果如下表:(单位:人)
按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取人,其中成绩为优的有30人. (Ⅰ)求a 的值;
(Ⅱ)若用分层抽样的方法,在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本,从中任选2人,记X 为抽取女生的人数,求X 的分布列及数学期望.
【答案】(共13分)解:(Ⅰ)设该年级共n 人,由题意得
5030
180120
n =
+,所以500n =. 则500(180120702030)80a =-++++=. (Ⅱ)依题意,X 所有取值为0,1,2.
2
2251
(0)10C P X C ===,1123253(1)5C C P X C ===,23
253(2)10
C P X C ===.
X 的分布列为:
1336
012105105
EX =?
+?+?=
24．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）某市为了提升市民素质和城市文明程度,促进经
济发展有大的提速,对市民进行了“生活满意”度的调查.现随机抽取40位市民
,对他们
的生活满意指数进行统计分析,得到如下分布表:
(I)求这40位市民满意指数的平均值;
(II)以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数,若从全市市民(人数很多)中任选3人,记ξ表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数.求ξ的分布列;
(III)从这40位市民中,先随机选一个人,记他的满意指数为m ,然后再随机选另一个人,记他的满意指数为n ,求60n m ≥+的概率.
【答案】解:(Ⅰ)记X 表示这40位市民满意指数的平均值,则
1
(9015601730602)63.7540
X =
?+?+?+?=(分) (Ⅱ)ξ的可能取值为0、1、2、3.
1251)51()54()0(3
003===C P ξ ,125
12)51()54()1(2
113=
==C P ξ 12548
)51()54()2(1223===C P ξ ,12564)51()54()3(0
333=
==C P ξ ∴ξ
(Ⅲ)设所有满足条件60+≥m n 的事件为A ①满足600==n m 且的事件数为:1
1
21734A A = ②满足900==n m 且的事件数为:1
121530A A = ③满足9030==n m 且的事件数为:1
161590A A =2
4034309077
()780
P A A ++∴== 所以满足条件60+≥m n 的事件的概率为
77
780
25．（2013届北京丰台区一模理科）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽
奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。 （Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；
（Ⅱ）设X 是甲获奖的金额，求X 的分布列和均值EX 。
【答案】解：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A , ………………………………1分
则P （A ）=2114222116441
10
C C C C C C ??=，
答：甲和乙都不获奖的概率为
1
10
. ……………………………………5分 （Ⅱ）X 的所有可能的取值为0，400，600，1000，…………………………………6分
P(X=0)=3
8
, P(X=400)= 2526311448C C ??=, P(X=600)= 2526131448C C ??=,
P(X=1000)=1
2552266113
448
C C C C +??= , …………………………………………10分
∴X 的分布列为
……………11分 ∴E(X)=0×
38+400×18+600×18+1000×3
8
=500(元). 答: 甲获奖的金额的均值为500(元). …………………………13分
26．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）盒子中装有四张大小形状均相同的卡
片,卡片上分别标有数字1,01-，,2.称“从盒中随机抽取一张,记下卡片上的数字后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响).
(Ⅰ)在一次试验中,求卡片上的数字为正数的概率;
(Ⅱ)在四次试验中,求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率;
(Ⅲ)在两次试验中,记卡片上的数字分别为ξη，,试求随机变量X=ξη?的分布列与数学期望EX .
【答案】解:(Ⅰ)设事件A:在一次试验中,卡片上的数字为正数,则
21()42
P A =
=. 答:在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是
12
(Ⅱ)设事件B:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数. 由(Ⅰ)可知在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是12
. 所以0
41
344
111111()1[()()()]2
2
2216
P B C C =-?+?=.
答:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为
1116
(Ⅲ)由题意可知,ξη，的可能取值为1,01-，,2,所以随机变量X 的可能取值为
2,101,--，，,24.
21(2)448P X=-=
=?; 21
(1)448P X=-==?; 77(0)4416P X===?; 21
(=1)448P X ==?;
21(=2)448P X ==?; 11
(=4)4416
P X ==?.
所以随机变量X 的分布列为
所以()2101881688164
E X =-?-?+?+?+?+?=24
27．（2013届北京大兴区一模理科）期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数
学与物理成绩，如下表：
（1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。
从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X 表示选中同学的物理成
绩高于90分的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望E (X)的值．
【答案】解：（Ⅰ）5名学生数学成绩的平均分为:
93)9795939189(5
1
=++++ 5名学生数学成绩的方差为:
8])9397()9395()9393()9391()9389[(5
1
22222=-+-+-+-+-
5名学生物理成绩的平均分为:90)9392898987(5
1=++++ 5名学生物理成绩的方差为:
5
24])9093()9092()9089()9089()9087[(5122222=-+-+-+-+- 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定.
（Ⅱ）由题意可知，0X =，1， 2
02
222
41
(0)6
C C P X C ?=== 11222
42
(1)3
C C P X C ?=== 20222
41
(2)6
C C P X C ?=== 随机变量X 的分布列是
121
()0121636
E X =?+?+?=
（二）统计
一、选择题
1 ．（2013北京东城高三二模数学理科）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直
方图,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] ,则图中x 的值等于 （ ）
A ．0.754
B ．0.048
C ．0.018
D ．0.012
高考数学试题分类汇编集合理
2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C
历年中考真题分类汇编(数学)
第一篇基础知识梳理 第一章数与式 §1.1实数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1．(2015·浙江湖州，1，3分)－5的绝对值是() A．－5 B．5 C．－1 5 D. 1 5 解析∵|－5|＝5，∴－5的绝对值是5，故选B. 答案 B 2．(2015·浙江嘉兴，1，4分)计算2－3的结果为() A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析2－3＝－1，故选A. 答案 A 3．(2015·浙江绍兴，1，4分)计算(－1)×3的结果是() A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析(－1)×3＝－3，故选A. 答案 A 4．(2015·浙江湖州，3，3分)4的算术平方根是() A．±2 B．2 C．－2 D. 2 解析∵4的算术平方根是2，故选B. 答案 B 5．(2015·浙江宁波，3，4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为()
A．0.6×1013元B．60×1011元 C．6×1012元D．6×1013元 解析6万亿＝60 000×100 000 000＝6×104×108＝6×1012，故选C.答案 C 6．(2015·江苏南京，5，2分)估计5－1 2介于() A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间解析∵5≈2.236，∴5－1≈1.236， ∴5－1 2≈0.618，∴ 5－1 2介于0.6与0.7之间． 答案 C 7．(2015·浙江杭州，2，3分)下列计算正确的是() A．23＋26＝29B．23－26＝2－3 C．26×23＝29D．26÷23＝22 解析只有“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，故选C. 答案 C 8．★(2015·浙江杭州，6，3分)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝() A．6 B．7 C．8 D．9 解析∵81＜90＜100，∴9＜90＜100.∴k＝9. 答案 D 9．(2015·浙江金华，6，3分)如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数－3的点最接近的是 () A．点A B．点B C．点C D．点D
2018年高考数学试题分类汇编-向量
1 2018高考数学试题分类汇编—向量 一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3
2020年高考数学试题分类汇编 应用题 精品
应用题 1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克） 与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M - =，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大 桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
历年高考数学试题分类汇编
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
高考文科数学试题分类汇编1：集合
高考文科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年高考安徽（文））已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ?= （ ） A ．{}2,1-- B ．{}2- C ．{}1,0,1- D ．{}0,1 【答案】A 2 ．（2013年高考北京卷（文））已知集合{}1,0,1A =-,{}|11B x x =-≤<,则A B = （ ） A ．{}0 B ．{}1,0- C ．{}0,1 D ．{}1,0,1- 【答案】B 3 ．（2013年上海高考数学试题（文科））设常数a ∈R ,集合()(){} |10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-. 若A B =R ,则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞ 【答案】B 4 ．（2013年高考天津卷（文））已知集合A = {x ∈R| |x|≤2}, B= {x∈R | x≤1}, 则A B ?= （ ） A ．(,2]-∞ B ．[1,2] C ．[-2,2] D ．[-2,1] 【答案】D 5 ．（2013年高考四川卷（文））设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = （ ） A ．? B ．{2} C ．{2,2}- D ．{2,1,2,3}- 【答案】B 6 ．（2013年高考山东卷（文））已知集合 B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且 (){4}U A B = e,{1,2}B =,则U A B = e （ ） A ．{3} B ．{4} C ．{3,4} D ．? 【答案】A 7 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<= 则 （ ） A ．{}0 B ．{}0,1 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2 【答案】B 8 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知集合M={x|-3 2007年高考数学试题分类汇编（导数） （福建理11文） 已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， （海南理10） 曲线12 e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．29 e 2 Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e （海南文10） 曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．294e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e （江苏9） 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥， 则(1)'(0) f f 的最小值为（ C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3 2 （江西理9） 12．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ B ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 （江西理5） 5．若π 02 x <<，则下列命题中正确的是（ D ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x > Ｃ．2 24sin π x x < Ｄ．2 24sin π x x > （江西文8） 若π 02x << ，则下列命题正确的是（ B ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3 sin π x x > （辽宁理12） 已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．． 出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值 （全国一文11） 曲线313y x x =+在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 （全国二文8） 已知曲线2 4 x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （浙江理8） 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ） (北京文9) ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是＿＿＿＿．3 （广东文12） 2012——2014（全国卷，新课标1卷，新课标2卷）数学高考真题分类训练（二） 班级 姓名 一、三角函数 1、若函数()sin ([0,2])3 x f x ??π+=∈是偶函数，则=?（ ） （A ）2π （B ）3 2π （C ）23π （D ）35π 2、已知α为第二象限角，3sin 5 α=，则sin 2α=（ ） （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）2524 3、当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =___________. 4、已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ） （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4 5、设函数f (x )=(x +1)2+sin x x 2+1 的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____ 6、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13 a a ==则（ ） （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213 7、若函数()()sin 0=y x ω?ωω=+>的部分图像如图，则 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 （B ） 8、函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ） 9、设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ= 10、已知sin2a 3 2=，则cos2(a+4π)=( ) （A ） （B ） （C ） （D ） 11、函数)()2cos(y π?π?<≤-+=，x 的图像向右平移 2π个单位后，与函数y=sin （2x+3 π）的图像重合，则?=___________. 12、若0tan >α，则（ ） A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 13、在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+ =x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 14、函数x x x f cos sin 2)sin()(??-+=的最大值为_________. 二、解三角形 1、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 2、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =， 6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 2、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC 的面积为 （A ）2+2 （B ） （C ）2 （D ）-1 3、如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=?，C 点的仰角45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?；从C 点测得60MCA ∠=?.已知山高100BC m =，则山高MN =________m . 专题01 直线运动 【2018高考真题】 1．高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的均加速直线运动,在启动阶段列车的动能（） A. 与它所经历的时间成正比 B. 与它的位移成正比 C. 与它的速度成正比 D. 与它的动量成正比 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理（新课标I卷） 【答案】 B 2．如图所示,竖直井中的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一竖井的深度约为104m,升降机运行的最大速度为8m/s,加速度大小不超过,假定升降机到井口的速度为零,则将矿石从井底提升到井口的最短时间是 A. 13s B. 16s C. 21s D. 26s 【来源】浙江新高考2018年4月选考科目物理试题 【答案】 C 【解析】升降机先做加速运动,后做匀速运动,最后做减速运动,在加速阶段,所需时间 ,通过的位移为,在减速阶段与加速阶段相同,在匀速阶段所需时间为：,总时间为：,故C正确,A、B、D错误；故选C。 【点睛】升降机先做加速运动,后做匀速运动,最后做减速运动,根据速度位移公式和速度时间公式求得总时间。 3．（多选）甲、乙两汽车同一条平直公路上同向运动,其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶,下列说法正确的是（） A. 两车在t1时刻也并排行驶 B. t1时刻甲车在后,乙车在前 C. 甲车的加速度大小先增大后减小 D. 乙车的加速度大小先减小后增大 【来源】2018年普通高等学校招生全国统一考试物理（全国II卷） 【答案】 BD 点睛：本题考查了对图像的理解及利用图像解题的能力问题 4．（多选）地下矿井中的矿石装在矿车中,用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示,其中图线①②分别描述两次不同的提升过程,它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同,提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程, A. 矿车上升所用的时间之比为4:5 B. 电机的最大牵引力之比为2:1 C. 电机输出的最大功率之比为2:1 D. 电机所做的功之比为4:5 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理（全国III卷） 为2∶1,选项C正确；加速上升过程的加速度a1=,加速上升过程的牵引力F1=ma1+mg=m(+g),减速上升过程的加速度a2=-,减速上升过程的牵引力F2=ma2+mg=m(g -),匀速运动过程的牵引力F 3=mg。第次提升过程做功W1=F1××t0×v0+ F2××t0×v0=mg v0t0；第次提升过 程做功W2=F1××t0×v0+ F3×v0×3t0/2+ F2××t0×v0 =mg v0t0；两次做功相同,选项D错误。 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 中考数学试题分类汇编 一、选择题 1、（2007湖北宜宾）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式||a +b –a 的结果是（ ）D A ．2a +b B ．2a C ．a D ．b 2、（2007重庆）运算)3(623m m -÷的结果是（ ）B （A ）m 3- （B ）m 2- （C ）m 2 （D ）m 3 3、（2007广州）下列运算中，正确的是（ ）C A ．33x x x =? B ．3x x x -= C ．32x x x ÷= D ．336x x x += 4、（2007四川成都）下列运算正确的是（ ）D Ａ．321x x -= Ｂ．22122x x --=- Ｃ．236()a a a -=· Ｄ．23 6()a a -=- 4、（2007浙江嘉兴）化简：(a ＋1)2－(a －1)2＝（ ）C （A ）2 （B ）4 （C ）4a （D ）2a 2＋2 5、（2007哈尔滨）下列运算中，正确的是（ ）D A ．325a b ab += B ．44a a a =? C ．623a a a ÷= D ．3262()a b a b = 6．（2007福建晋江）关于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）D A ．9 23)(m m =；B ．623m m m =?；C ．532m m m =+；D ．426m m m =÷。 7．（2007福建晋江）下列因式分解正确的是（ ）C A ．x x x x x 3)2)(2(342++-=+-； B ．)1)(4(432-+-=++-x x x x ； C ．22)21(41x x x -=+-； D ．)(232y x y xy x y x xy y x +-=+-。 8、（2007湖北恩施）下列运算正确的是（ ）D A 、623a a a =? B 、4442b b b =? C 、1055x x x =+ D 、87y y y =? 9、（2007山东淮坊）代数式2346x x -+的值为9，则2463x x - +的值为（ ）A A ．7 B ．18 C ．12 D ．9 10、（2007江西南昌）下列各式中，与2(1)a -相等的是（ ）B A ．21a - B ．221a a -+ C ．221a a -- D ．2 1a + 二、填空题 b 0a 2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2019年高考重庆卷（文））函数21 log (2) y x = -的定义域为 （ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(2,3) (3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 2 ．（2019年高考重庆卷（文））已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则 (lg(lg 2))f = （ ） A ．5- B ．1- C ．3 D ．4 【答案】C 3 ．（2019年高考大纲卷（文））函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ? ?=+ > ??? 的反函数 （ ） A ． ()1021x x >- B ．()1 021 x x ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A 4 ．（2019年高考辽宁卷（文））已知函数()) ()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ?? =+++= ??? 则 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D 5 ．（2019年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a << 【答案】A 6 ．（2019年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为 （ ） A ．(-∞,1) B ．(1, + ∞) C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞ 【答案】B 7 ．（2019年上海高考数学试题（文科））函数 ()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是 2020年高考试题分类汇编（集合） 考法1交集 1.（2020·上海卷）已知集合{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，求A B = . 2.（2020·浙江卷）已知集合{14}P x x =<<，{23}Q x x =<<，则P Q = A.{|12}x x <≤ B.{|23}x x << C.{|34}x x ≤< D.{|14}x x << 3.（2020·北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = A.{1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1,2}- D.{1,2} 4.（2020·全国卷Ⅰ·文科）设集合2{340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则A B = A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3} 5.（2020·全国卷Ⅱ·文科）已知集合{3,}A x x x Z =<∈，{1,}A x x x Z =>∈，则A B = A ．? B ．{3,2,2,3}-- C ．{2,0,2}- D ．{2,2}- 6.（2020·全国卷Ⅲ·文科）已知集合{1,2,3,5,7,11}A =，{315}B x x =<<，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7.（2020·全国卷Ⅲ·理科）已知集合{(,),,}A x y x y N y x *=∈≥， {(,)8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 8.（2020·全国卷Ⅰ·理科）设集合2{40}A x x =-≤，{20}B x x a =+≤，且 {21}A B x x =-≤≤，则a = A ．4- B ．2- C ．2 D ．4 考法2并集 1.（2020·海南卷）设集合{13}A x x =≤≤，{24}B x x =<<，则A B = 2008年高考数学试题分类汇编：集合 【考点阐述】 集合.子集.补集.交集.并集． 【考试要求】 （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【考题分类】 （一）选择题（共20题） 1、（安徽卷理2）集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解： }{0A y R y = ∈>，R (){|0}A y y =≤e，又{2,1,1,2}B =-- ∴ }{()2,1R A B =--e，选D 。 2、（安徽卷文1）若A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解：R A e是全体非正数的集合即负数和0，所以}{() 2,1R A B =--e 3、（北京卷理1）已知全集U =R ，集合{} |23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合A ∩（C U B ）等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤ 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B e＝{}|13x x -≤≤ 2013年高考解析分类汇编16：选修部分 一、选择题 1 ．（2013年高考大纲卷（文4））不等式 222x -<的解集是 （ ） A ．()-1,1 B ．()-2,2 C ．()()-1,00,1U D ．()()-2,00,2U 【答案】D 2|2|2 <-x ，所以?????->-<-222222 x x ，所以402 < 2019年高考真题分类汇编 第一节 集合分类汇编 1．［2019?全国Ⅰ，1］已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?= A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{} 42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ?=-<<．故选C ． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2.［2019?全国Ⅱ，1］设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A. (-∞，1) B. (-2，1) C. (-3，-1) D. (3，+∞) 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{} 2,3,1A x x x B x x ==<或，则{} 1A B x x ?=<．故选A ． 【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 3.［2019?全国Ⅲ，1］已知集合{}{} 2 1,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ?=（ ） A. {}1,0,1- B. {}0,1 C. {}1,1- D. {}0,1,2 【答案】A 【解析】【分析】 先求出集合B 再求出交集. 【详解】由题意得，{} 11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ?=-．故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 4.［2019?江苏，1］已知集合{1,0,1,6}A =-，{} 0,B x x x R =∈，则A B ?=_____. 【答案】{1,6}. 2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角 A B C D P E 2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值. (1)M(0,2)(2)1AC:y= 21x+1.PQ // MC.t x x --+0 14 12 =21 2. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点 A 、D ），连结PC ， 过点P 作PE ⊥PC 交A B 于E （1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围． （3）存在，理由如下： 如图2，假设存在这样的点Q ，使得QC ⊥QE. 由（1）得：△PAE ∽△CDP ， ∴ ， ∴ ， ∵QC ⊥QE ，∠D ＝90 ° ， ∴∠AQE ＋∠DQC ＝90 ° ,∠DQC ＋∠DCQ ＝90°， ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°， ∴△QAE ∽△CDQ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵AP≠AQ ，∴AP ＋AQ ＝3.又∵AP≠AQ ，∴AP≠ ，即P 不能是AD 的中点， ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在， 综上所述， 的取值范围8 7 ≤ ＜2； 3.如图，已知抛物线y ＝－1 2 x 2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． (1)令x=0,得y=4 即点B 的坐标为(0,4) 令y=0,得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2或x=4 ∴点A 的坐标为(4,0) 直线AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2)由(1),知直线AB 的解析式为y=-x+4高考数学试题分类汇编(导数)
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