线性方程组的迭代解法
第6章 逐次逼近法
一、考核知识点：
向量范数与矩阵范数及其性质，谱半径，对角占优矩阵，迭代法的收敛性，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法及其收敛性。
简单迭代法，牛顿迭代法，割线法，收敛性。
二、考核要求：
1．了解向量范数的定义、性质；了解矩阵范数的定义、性质，知道谱半径的
定义。
2．了解对角占优矩阵；了解迭代法的收敛性。 3．熟练掌握雅可比迭代法其收敛性的判断。 4．熟练掌握高斯-塞德尔迭代法其收敛性的判断。
5．熟练掌握用牛顿迭代法、割线法求方程近似根的方法。了解其收敛性。 6．掌握用简单迭代法求方程的方法近似根的方法。了解其收敛性。
三、重、难点分析
例1 已知向量X=（1，-2，3）,求向量X 的三种常用范数。 解 3max ==∞
i i
x X
，14,
61
22
1
1
==
==∑∑==n
i i
n
i i x
X
x X
例2
证明 ,1∞
∞
≤≤X
n X X
证明 因为 11
max X x x x X
n i i p i i
=<==∑=∞
∞
=≤=≤∑X
n x n x n x i i
p n
i i max 1
所以,1∞
∞
≤≤X
n X X
例3 已知矩阵??
?
???-=2212A ，求矩阵A 的三种常用范数。
解 4
max 31
==∑=∞j ij i a A
，∑===n
i ij j
a A 1
14max ， 3
9)9)(4(3613522
8522822122122122===--=+-=--=-??
?
???=??????-??????-=λλλλλλ
λλA I A A A A T T
例4 已知方程组
????
?
??=????? ??????? ??121212212321x x x a a a （1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式 （2）证明当4>a 时，雅可比迭代法收敛 （3）取5=a ,T
X )10
1,51,101(
)0(=，求出)2(X 。 解 （1）对3,2,1=i ，从第i 个方程解出i x ，得雅可比法迭代公式为：
???
?
?????=--=--=--=+++ ,1,0,)
21(1)222(1)21(1)(2)(1)1(3)
(3)(1)1(2
)
(3)(2)1(1m x x a x x x a x x x a x m m m m m m m m m （2）当4>a 时，A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。 （3）取5=a ，T
X )10
1,51,101()0(= 由迭代公式计算得 101)1(1=x ， 258)1(2=x ， 101)
1(3
=x 25013)2(1=
x ， 258)2(2=x ， 250
13)
2(3=x
则 ）（2X =（
25013， 258，250
13
）T 例5 考察用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解线性方程组Ax=b 的收敛性，其中
122111221A -?? ?= ? ???，
111b ??
?= ?
??? 解：Jacobi 迭代矩阵为：
求特征值 ， ρ ( B ) = 0 < 1
所以，用雅可比迭代法求解时，迭代过程收敛。 Gauss-Seidel 迭代矩阵为
求特征值
，ρ(G1)=2>1
所以，用高斯-塞德尔迭代法求解时，迭代过程发散。
例6 用高斯——塞德尔迭代法解方程组
???
?
?
??-=????? ??????? ??434510*********x x x
1312111112321
2222313233
33
0022()0
1012200a a a a a a
B D L U a a a
a a a -?
?-
-
? ?
-?? ? ?=+=--=-- ? ? ?
?--?
? ?--
? ???3
1,2,32211002
2
I B λ
λλλλλ
--====112112,3022()02300222
023(2)0
02
002
G D L U I G λλλλλλλλ--??
??=-=-??
????
--=-=-===-
（1）写出高斯——塞德尔法迭代公式
（2）取T
X ）
（）（0000=，求出）（2X 解
（1）对3,2,1=i ，从第i 个方程解出i x ，得高斯——塞德尔法迭代公式为
???
?
?????=-=---=-=+++++ ,1,0,)4(51)3(51)4(51)1(2)13
)
(3)1(1)1(2
)
(2)1(1m x x x x x x x m m m m m m m （
（2） 54)1(1=x ， 2519)1(2-=x ， 125
119)
1(3=x
125119)2(1=
x ， 625613)2(2-=x ， 31251887)
2(3=x
则）（2X =（125119， 625613-，3125
1887
）T
例7 证明计算)0(>a a 的牛顿法迭代公式为：
,1,0),(211=+=+n x a
x x n
n n
并用它求2的近似值（求出1x 即可）
解 （1）因计算a 等于求02=-a x 正根，a x x f -=2)(，x x f 2)(=' 代入牛顿法迭代公式得
2
11()22n n n n n n
x a a
x x x x x +-=-=+ ,1,0=n
(2) 设2)(2-=x x f ，因,0121)1(2<-=-=f 025.1)5.1(2>-=f 所以 []5.1,12*∈=x
在[]5.1,1上 02)(>='x x f 02)(>=''x f 由 0)()(0≥''x f x f ，选5.10=x
用上面导出的迭代公式计算得 4167.112
17)2(21001≈=+=
x x x 例8 用简单迭代法求0243=-+x x 的最小正根（求出2x 即可）。 解
用简单迭代法
因02)0(<-=f ，0125.0)5.0(>=f ，故[]5.0,0*∈x 在[]5.0,0上将0243=-+x x ，同解变形为
)()2(4
1
3x x x ?=-=
则 []
[]116
3
43max
)(max 25.0,05.0,0<=='=∈∈x x x x ?ρ
取,5.00=x 应用迭代公式 )2(4
131n n x x -=+， ,1,0=n 计算得
32
15
)812(411=-=x
47425.032152413
2≈???
?
?????
?
?
??-=x
例9 求方程0)(=x f 的根时， 用牛顿法求具有（ 二阶 ）收敛速度。 用简单迭代法求具有（ 线性 ）收敛速度。