高等数学测试及答案(第五、六章)

高等数学测试（第五、六章）

一 、选择题（每小题3分，共30分） 1、 设320

()(0)a

I x f x dx a =>?

，则I 等于（ ）

A 2

()a I xf x dx =

?

B 0

()a I xf x dx =?

C 201()2a I xf x dx =?

D 0

1()2a

I xf x dx =?

2、设函数()f x 在[,]a b 上连续，则曲线()y f x =与直线,,0x a x b y ===所围成的平面图形的面积等于（ ）A ()b

a

f x dx ?

B

()b

a

f x dx ?

C

()b

a

f x dx ?

D ()(),()f b a a b ξξ'-<<

3、设?

+=1

0411

dx

x I ，则I 的取值范围为（ ）A 10≤≤I B 121≤≤I C 40π≤≤I D 12

1<

13

C 8

D 4 5、下列不等式不成立的是（ ） A ()??>2

1

2

21

ln ln dx x xdx B ??

<20

2

sin π

π

xdx xdx

C

()??

<+2

2

1ln xdx dx x D

()??

+<2

2

1dx x dx e x

6、设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，则不正确的是（ ） A ()?b a

dx x f 是()x f 的一个原函数 B ()?x

a

dt t f 是()x f 的一个原函数

C

()?a

x

dt t f 是()x f -的一个原函数 D ()x f 在[]b a ,上可积

7、已知

20

()x

x f t dt a =?

，则()f x 等于（ ）A 22x a B 2ln x a a C 212x xa - D 22ln x a a

8、设)(x f 为连续函数，则

dx x

f )2

(1

'?

等于（ ） A )0()1(f f - B )]0()1([2f f - C )]0()2([f f - D )]0()2

1([2f f - 9、设)(x f 为连续函数，且?

=

x

x

dt t f x F ln 1)()(，则)('x F 等于（ ）

A ．

)1(1)(ln 12x f x

x f x +； B ．)1()(ln x f x f +；

C ．

)1(1)(ln 12x f x

x f x -； D ．)1()(ln x f x f -． 10、下列广义积分收敛的是（ ） A ?

+∞

1

x

dx

B ?

+∞

1

x

dx C

?

+∞

1

2x

dx

D ?

∞

+1

3ln x

xdx

二 、填空题（每小题4分，共20分） 11、设函数2

()cos x

F x t tdt =

?，则()4

F π'=____________． 12、?+-100212

dt t

e dx d t

=____________． 13、

?-

=π

π

xdx x 3cos ___________．

14、322sin x

x

d t dt dx ?=____________． 15、已知201

()0cx x f x ?≤≤=??

其它 ，若

()1f x dx +∞

-∞

=?

，则常数c =____________．

三 、计算题（每小题6分，共30分）

16、计算2

2

2

020

()lim

x

t x x t e dt e dt

→+∞

??

． 17、计算

2

1x dx -?

．

18

、计算

2

30

x e dx -． 19、若()f x 连续，且(2)4f =-，

计算2

2

2

2

[()]lim

(2)x

t

x f u du dt

x →-?

?．

20、设()()???

??<+≥+=0

,210,1ln x x

x x x f ，求()dx x f ?-201．

四、应用题（10分）

21、（10分）设由直线0,2,0x x y ===和抛物线21y x =-所围平面图形为D .求： （1）这个平面图形D 的面积；

（2）这个图形D 绕x 轴旋转一周所得几何体的体积.

五、证明题（10分）

22、（10分）设()x f ，()x g 在[]b a ,上连续，证明存在()b a ,∈ξ，使得()()()

()dx x f g dx x g f a

b

??=ξ

ξ

ξξ.

答案：

一 、选择题1—5 CCBBD 6—10 ADDCC 二 、填空题11、8

π；12、0；13、0；14、22

3sin 92sin 4x x -；15、3． 三 、计算题

16、计算2

2

2

020

()lim

x

t x x t e dt e dt

→+∞

??

．

【解析】原式=2

2

2

2

2

0222lim lim

02x

x

t x x x x x e e dt

e e

xe

→+∞

→+∞

==?

．

17、计算

2

1x dx -?

．

【解析】原式=12

1

(1)(1)1x dx x dx -+-=??

．

18

、计算

2

30

x e dx -．

【解析】原式

=222

12x e dx -，令 2x t =，:0ln 2t → =ln 2ln 2001122t t te dt tde --=-??ln 2ln 20011()(1ln 2)24

t t

te e dt --=--=-? 19、若()f x 连续，且(2)4f =-，计算2

2

2

2

[()]lim

(2)

x

t

x f u du dt

x →-?

?．

【解析】原式=2

2

2()()

lim

lim

22(2)

2

x

x x f u du

f x x →→-==-?．

20、设()()???

??<+≥+=0

,210,1ln x x x x x f ，求()dx x f ?-201．

【解析】()()()dt t dt t dt t f t x dx x f ????+++==----10

0111201ln 21

11令 ()12ln 31ln 2ln 1

1

-=+++=?-dt t t

．

四、应用题（10分）

21、（10分）设由直线0,2,0x x y ===和抛物线21y x =-所围平面图形为D .求： （1）这个平面图形D 的面积；

（2）这个图形D 绕x 轴旋转一周所得几何体的体积. 【解】如图所示：

取x 为积分变量，且[0,1][1,2]x ∈?， （1）平面图形D 的面积为 1

2

2

2

1

[(1)0][0(1)]S x dx x dx =

--+--??

1

2

220

1

(1)(1)x dx x dx =

-+-?

?

1

2

3301

11233x x x x ????

=-+-= ? ?????；

（2）图形D 绕x 轴旋转一周所得几何体的体积为

12

22220

1

π[(1)0][(1)0]x V x dx x dx =--+--??

1

2

42

420

1

π(21)(21)x x dx x x dx =-++

-+?

?

1

2

535301

121246πππ535315x x x x x x ????=-++-+= ? ?????.

五、证明题（10分）

22、（10分）设()x f ，()x g 在[]b a ,上连续，证明存在()b a ,∈ξ，使得()()()

()dx x f g dx x g f a

b

??=ξ

ξ

ξξ.

【证明】构造函数()()()x

b

a

x F x f t dt g t dt =

??

?，

由于()()()()()b x x

a

F x f x g t dt g x f t dt '=-??在[,]a b 有意义，

所以函数()F x 在[,]a b 连续且可导，且()()0F a F b ==，即()F x 在[,]a b 上满足罗尔中值定理，故存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()()()b

a

f g x dx g f x dx ξ

ξξξ=??.

高等数学课后习题答案第六章

习题6-2 1.求图6-21中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0,1]. 所求的面积为 6 1]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0,1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1,e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3,1]. 所求的面积为

3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1,3]. 所求的面积为 3 32|)313()32(31323 12=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1)221 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 88282)218(22 0220220220221--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 3 4238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 46)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2;

解: 所求的面积为 ?-=-=2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x ,y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x . (4)y =ln x ,y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3.求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积. 解:

高等数学第二单元导数与微分测试(A)

一、选择题 1、 设函数()f x x = 在0x =处（ ） A 不连续 B 连续且可导 C 不连续且不可导 D 不可导 2、若直线y x =与曲线ln 1y x =+相切，则切点坐标为（ ） A (0,1) B (1,1) C (1,2) D (2,1) 3、设函数()x f x e =在0x 处可导，且0()1f x '=，则0()f x 等于（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则()()lim x a f x f a x a →--等于（ ） A 0 B ()f a ' C 2()f a ' D (2)f a ' 5、设函数()f x 在点0x 可微，则当0x ?→时，y dy ?-与x ?相比是（ ） A 等价无穷小 B 同阶非等价无穷小 C 低阶无穷小 D 高阶无穷小 *1、下列凑微分正确的是（ ）。 A. 2(2)xdx d x = B. )(ln 111+=+x d dx x ; C. 2 2(arctan 2)14dx d x x =+； D. cos 2(sin 2)xdx d x =。 *2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ ） A 1 B 12 C 12e D 2e *3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ） A 1 B 2e C 2e D e *4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A 0 B ()f a ' C 2()f a ' D (2)f a ' *5、设函数()f x 可微，则当0x ?→时，y dy ?-与x ?相比是（ ） A 等价无穷小 B 同阶非等价无穷小 C 低阶无穷小 D 高阶无穷小 *6、下列关于一元函数()y f x =的说法正确的是（ ） （A ）连续必定可导； （B ）连续必定可微； （C ）可导必定连续； （D ）可导未必可微。

高等数学考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数( )()2 0ln 10x f x x a x ≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ??-+ ??? （B ）1f C x ??--+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8．x x dx e e -+? 的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. （A ）4 24arctan 1x dx x π π-+? （B ）44 arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 10．设() f x 为连续函数，则()1 02f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()1 1102f f -????（C ）()()1202 f f -????（D ）()()10f f - 二．填空题（每题4分，共20分） 1．设函数()21 0x e x f x x a x -?-≠?=??=? 在0x =处连续，则a =.

高等数学课后习题答案第六章

习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1]2132[)(1022310 =-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为

3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2;

解: 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:

高等数学试题及答案新编

《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）

高等数学同济大学第六版 第八章 单元练习题 参考答案

第八章 空间解析几何与向量代数 单元测试题 参考答案： 一、填空题 1.点(),,M x y z 关于x 轴的对称点为1M (),,x y z --;关于x O y 平面的对称点为 2M (),,x y z -；关于原点的对称点为3M (),,x y z ---. 2. 平行于a ={1，1，1} 若向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行，λ为 15 . 3.已知两点() 1,2,41M 和()2,0,32M ，则向量21M M 在三个坐标轴上的投影分别是 –1 2- 、 1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i - 、j 2- 、k , = 2 , 方向余弦 =αcos 21-、 =βcos 2 2-、=γcos 21 , 方向角=α 0120、 =β 0 135、 =γ 060, 与21M M 同方向的单位向量是??????--21,22,21 . 4. 已知两向量k j i a 1046+-=，k j i b 943-+=,则=+b a 2k j i 8412-+， =-b a 23k j i 482012+-,b a 23-在oz 轴上的投影为48 . 5．过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-++??=-??=-? 垂直的平面方程是340x y z --+= 二、选择题 1. 向量a 与b 的数量积?a b =（ C ）. A a rj P b a ； B ?a rj P a b ； C a rj P a b ； D b rj P a b ． 2. 非零向量,a b 满足0?=a b ，则有（ C ）． A a ∥b ; B =λa b (λ为实数)； C ⊥a b ； D 0+=a b ． 3. 设a 与b 为非零向量，则0?=a b 是（ A ）． A a ∥b 的充要条件； B a ⊥b 的充要条件; C =a b 的充要条件； D a ∥b 的必要但不充分的条件．

高等数学练习题附答案

第一章 自测题 一、填空题（每小题3分，共18分） 1. () 3 lim sin tan ln 12x x x x →=-+ . 2. 1 x →= . 3.已知212lim 31 x x ax b x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1 ,0 ,0ax x x f x x a x ?+-≠?=? ?=? 在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线2 1 ()43 x f x x x -= -+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 . 6. 曲线() 121e x y x =-的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ” 是数列{}n x 收敛于a 的 . A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件

2. 设()2,0 2,0x x g x x x -≤?=?+>?，()2,0 , x x f x x x ?<=? -≥?则()g f x =???? . A. 22,02,0x x x x ?+

中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解

高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<<

∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<<

∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<<

高等数学试题及答案91398

《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

高等数学练习题库及答案

高等数学练习题库及答 案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

《高等数学》练习测试题库及答案 一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ． ，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （ ） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ）

A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设 满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、

高数第六章总习题答案

复习题A 、判断正误 1、若a b b c 且b 0 ,则a c ; ( ) 解析 a b b c = b (a c) =0 时, 不能判定b 0或a c . 例如a i , b j , k ，有 a b b c 0 , 但a c . c M * 2、 右a b b c 且 b 0 ,则 a c ; ( ) 解析 此结论不一定成立.例如 a i ,b j , c (i j), 则 b i j k ,b c j [ (i j)] k , a b b c , 但a c . 3、若 a c 0 ,则a 0或c 0 ; ( ) 两个相互垂直的非零向量点积也为零. 解析 二、选择题： 当a 与b 满足（D ）时，有a b 解析只有当a 与b 方向相同时，才有 a + b=a+b . 解析 对于曲面z 1 x 2 2 y 2，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆， 垂直于x 轴或y 轴 的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面. 4、 a 解析 b b a . 这是叉积运算规律中的反交换律. (A) a b ； （B ） a b （为常数）; (C) // b ; (D) a||b . (A)中a , b 夹角不为0, (B), （C ）中a , b 方向可以相同，也可以相反. 2、下列平面方程中，方程（C ） 过y 轴; (A) x y z 1 ; (B) x (C) x z 0; (D) 解析平面方程Ax By Cz 0若过 y 轴，则B D 0,故选C. 3、在空间直角坐标系中，方程 1 x 2 2y 2所表示的曲面是（B ）； （A ）椭球面； （B ） 椭圆抛物面; (C) 椭圆柱面； （D ） 单叶双曲面.

高等数学第六章参考答案

第六章参考答案 习题6.1 1. 在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限? ()3,4,3A -4,()4,3B -; 3,43(),C --; 3()3,4,D --- 解 A 在第四卦限, B 在第二卦限, C 在第六卦限, D 在第七卦限. 2. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: ()0,4,1A ;()1,0,3B ; ()0,2,0C ; 0,0(,1)D - 解 在xOy 面上的点的坐标为(,,0)x y ; 在yOz 面上, 的点的坐标为(0,,)y z ; 在zOx 面上, 的点的坐标为(,0,)x z . 在x 轴上的点的坐标为(,0,0)x ; 在y 轴上的点的坐标为(0,,0)y , 在z 轴上的点的坐标为(0,0,)z . A 在yOz 面上, B 在xOz 面上, C 在y 轴上, D 在z 轴上. 3. 求点(,,)x y z 关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(,,)x y z 关于x O y 面的对称点为(,,)(,,)x y z x y z -; 点称点(,,)x y z 为 (,,)(,,)x y z x y z --; 点(,,)x y z 关于z 轴的对称点为(,,)x y z --. (3)点(,,)x y z 关于坐标原点的对称点为(,,)x y z ---. 4. 过()01,2,3M 分别作平行于x 轴的直线和平行于xOy 面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？ 解 过0M 且平行于x 轴的直线上点的坐标,其特点是，它们的纵坐标均为2，它们的竖坐标均为3。 过0M 且平行于xOy 面的平面上点的坐标，其特点是，它们的横坐标均为1. 5. 求点5,4 ( ,3)M -到各坐标轴的距离. 解 点M 到x 轴的距离就是点5,4( ,3)M -与点(5,0,0)之间的距离, 即

高等数学上考试试题及答案

四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )

(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）

上期高等数学单元测试答案

湖南科技学院二○一五年 上 学期单元测试 计算机科学与技术专业 2014年级 高等数学（二）试题 考试类型：闭卷 试卷类型：A 卷 考试时量： 120分钟 1 ? ? -= y dx y x f dy 30 3 1 ),(dy y x f dx x ? ? -31 2 ),( 2 设L 为圆周t a x cos =，t a y sin =)20,0(π≤≤>x a ，则? =L ds a π2 3 设L 为球面12 22=++z y x 与平面0=++z y x 相交的圆周，则? =L xds 0 4 若曲线L 是1)1(22=+-y x ，方向为逆时针，则 =++? dy e x dx xe y y L y 222)(π- 5 设曲线L ：)0(2 2 2 >=+a a y x ，方向逆时针，则 =+?dx y x L )(22 6 设S 是由柱面12 2=+y x 和平面0=z 及4=z 所围成的闭曲面，方向取外侧，则 ??=+S zdxdy dydz x 2 π4 7 =+-∑∞ =1 )15)(45(1 n n n 15 8 幂级数1 1 n n x n +∞ =∑收敛区间为 [1,1)- 9 曲面22 z x y =+与平面9z =所围成的空间立体的体积用二重积分可表示为 9:,)9(2 222≤+--= ??y x D dxdy y x V D 二、选择题（每小题3分，共24分） 1 用格林公式表示闭曲线L 所围成的区域D 的面积=S （ B ） （A ） ?-L ydx xdy （B ）?L xdy （C ）? L ydx （D ）?+L ydx xdy 2 有分片光滑的闭曲面S 所围成的立体的体积是 （ C ）

高等数学第六章习题

第六章定积分的应用 第二节定积分在几何上的应用1.求图中各阴影部分的面积: （1） (2) (3)

(4) . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); (2)x y 1=与直线y =x 及x =2;

(3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. . 4. 求下列各题中平面图形的面积： （1）曲线2 4y x =及其在点(1,2)处的法线所围城的图形。.

（2）.曲线3 32y x x =-+在x 轴上介于两极值点之间的曲边梯形。 5. 求由下列各曲线 所围成的图形的面积; (1)ρ=2a cos θ ; (2)x =a cos 3t , y =a sin 3t ;

(3)ρ=2a (2+cos θ ) . 6. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积. （1）24cos ρρθ==及 （2）3cos 1cos ρθρθ==+及 （3）2cos 2ρθρθ= =及

7．求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）2 x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。 （2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。 （3）()22x y 516,x +-=绕轴。 （4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。

高等数学试卷和答案新编

高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人

高等数学第六章答案

第六章 定积分的应用 第二节 定积分在几何上的应用 1. 求图中各阴影部分的面积: （1） 16 . (2) 1 (3) 323. (4)32 3 . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 463 π-. (2) 3 ln 22-. (3)1 2e e +-. (4)b a - 3. 94 . 4. （1）.1 213 （2）.4 5. (1) πa 2. (2) 238 a π. (3)2 18a π. 6. （1）423π? ? （2） 54 π （3）2cos2ρθρθ==及 16 2 π + 7．求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）2 x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。

（2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。 （3）()2 2 x y 516,x +-=绕轴。 （4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。 （5）摆线()()x=a t-sint ,1cos ,y 0x y a t =-=的一拱，绕轴。 2234824131,;(2),;(3)160;(4);(5)5a .52556 πππππππ（） 8．由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积. 128 7x V π= . y V =645 π 9．把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.332 105 a π 10．（1）证明 由平面图形0≤a ≤x ≤ b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ?=b a dx x xf V )(2π . 证明略。 （2）利用题（1）结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转 体的体积. 2 2π 11．计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体体积. 3 R . 12．计算曲线3 223 y x =上相应于38x ≤≤的一段弧的弧长。2123 13．计算曲线2 ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤ 的一段弧的弧长。1ln 32 - 14．求星型线33 cos sin x a t y a t ?=?=? 的全长。6a

高等数学第一章测试题

高等数学第一章测试题 一、单项选择题（20分） 1、当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ ）不一定是无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22 βα + (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2 x x βα 2、极限a x a x a x -→??? ??1 sin sin lim 的值是（ ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3、 ??? ??=≠-+=0 01sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4、函数 ??? ?? ? ???<+<≤>-+=0,sin 1 0,2tan 1,1) 1ln()(x x x x x x x x x f π 的全体连续点的集合是 （ ） (A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞) (C) (-∞,0) (0, +∞) (D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞) 5、 设 )1 1( lim 2 =--++∞ →b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ） （A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1） 6、已知函数 231 )(2 2 +--= x x x x f ，下列说法正确的是（ ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断

(完整版)高等数学测试题一(极限、连续)答案

高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案） 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 当0x →+时，（A ）无穷小量。 A 1sin x x B 1 x e C ln x D 1 sin x x 2、点1x =是函数31 1()1131x x f x x x x -? 的（C ）。 A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 4、已知极限22 lim()0x x ax x →∞++=，则常数a 等于（A ）。 A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限2 01 lim cos 1 x x e x →--等于（D ）。 A ∞ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x →∞ -=2 e - 2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常 数A=3 3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2 1()2 x f x -=， 则函数值(0)f =0 4、 111lim[ ]1223(1) n n n →∞+++??+L =1

5、 若lim ()x f x π →存在，且sin ()2lim ()x x f x f x x ππ →= +-，则lim ()x f x π→=1 二、解答题 1、（7分）计算极限 222111 lim(1)(1)(1)23n n →∞- --L 解：原式=132411111 lim()()()lim 223322 n n n n n n n n →∞→∞-++???=?=L 2、（7分）计算极限 3 0tan sin lim x x x x →- 解：原式=2 322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2 x x x x x x x x x x x x x →→→--=== 3、（7分）计算极限 1 23lim()21 x x x x +→∞++ 解：原式= 11 122 11 22 21lim(1)lim(1)1212 11lim(1)lim(1)11 22 x x x x x x x x x e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++ =+?+=++ 4、（7分）计算极限 1 x e →-解：原式=201 sin 12lim 2 x x x x →= 5、（7分）设3214 lim 1 x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值 解：因为1 lim(1)0x x →-+=，所以 3 2 1 lim(4)0x x ax x →---+=， 因此 4a = 并将其代入原式 321144(1)(1)(4) lim lim 1011 x x x x x x x x l x x →-→---++--===++

(完整版)高等数学试题及答案

《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin