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材力第5章作业题解答

第5章应力状态分析

5－1 木制构件中的微元受力如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。试求： 1．面内平行于木纹方向的切应力；

2．垂直于木纹方向的正应力。

图

解：平行于木纹方向切应力

6.0))15(2cos(0))15(2sin(2

)

6.1(4=?-??+?-?---=

''y x τMPa 垂直于木纹方向正应力

84.

30))15(2cos(2

)

6.1(42)6.1(4-=+?-?---+-

+-=

'x σMPa

5-2 结构中某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果。试求叠加后所得应力状态的主应力、面内最大切应力和该点处的最大切应力。

图

解：叠加[]???

???=???????-?--+==--+==???

???-?--+-++=MPa 30))45(2sin(2)30(5070MPa

1010)3050(0MPa 90))45(2cos(2)30(502)30(5080xy y x σσσ 主应力0

MPa 0MPa 100304)]100(90[212109022231=???=?+-±+=???σσσ

面内及该点：502

1002

||||3

1max max

=-=

-=='σσττMpa

5-3 已知平面应力状态的最大正应力发生在与外力作用的自由表面AB 相垂直的面上，其值为0σ。试求应力分量x σ、y σ和xy τ。解：ασα

ασσσ2000cos 2

2cos 10))(2cos(2

=+=

+-?+

x ασσα

σσσ2000sin 2

2cos 1=-=

-=x y

(a) 习题5-3图

习题5-5图

(a)

(b)

(a)

(a-1) (b-1)

τ2

sin

))

(

sin(

5-4 受力物体中某一点处的应力状态如图所示（图中p

解：应力圆半径p

sin

OC3

cos

5-5 试确定图示应力状态中的最大正应力和最大切应力。图中应力的单位为MPa。

习题5-7图

解：图（a）：

M P a

MPa

390

)

150

(

)

140

300

(

140

300

170

390

max

τMPa

图（b）：

M P a

MPa

290

)

150

(

)

200

(

200

190

)

(

290

max

τMPa

习题5-6图

习题5-7图

5-6 对于图示的应力状态，若要求其中的最大切应力max τ＜160MPa ，试求xy τ取何值。解：1．当半径r ＞OC

1402404)140240(212

2+>+-xy τ 即 >||xy τ183.3MPa 时

（1）

???+-±+=2

14)140240(212140240xy τσσ 16041002

122

1max <+=

-=xy τσστ 解得||xy

τ<152MPa

（2）

由（1）、（2）知，显然不存在。 2．当r ＜OC

1402404)140240(212

2+>+-xy τ 即 ||xy τ＜183.3MPa 时

???=+-++=

04)140240(2

1214024032

21στσxy 16041004

1438022

231max <++=-=xy τσστ 解得||xy τ＜120MPa

所以，取||xy τ＜120MPa 。

9.2669.126140-=--=OC MPa 9.2662

)

140(-=-+y σ

8.393-=y σMPa

5-7 液压缸及柱形活塞的纵剖面如图所示。缸体材料为钢，E = 205GPa ，ν= 0.30。试求当内压p = 10MPa 时，液压缸内径的改变量。

解：缸体上 0=轴σ 11522)

450(10=?-?=环σMPa

10-=径

σMPa

mm 1065.2)2250)](100(3.0115[10

2051

-?=?---?=

?内d

5-8 对于一般平面应力状态，已知材料的弹性常数E 、ν，且由实验测得x ε和y ε。试证明： 2

1ννεεσ-+=y

x x E

21ννεεσ-+=x

y y E

)(1y x z εεν

ε+--= 解：)(1y x y x E

εενσσ+-=+ （1） )(1y x y x E

εεν

σσ-+=- （2）

（1）＋（2），???

? ?

?-+-=2

212122v v v E y x

x εεσ （1）－（2），???

? ??-+-=2212122v v v E y x

y εεσ

∴ 21v v E y x x -+=εεσ，21v v E x

y y

-+=εεσ )(1)(1)(y x y x y x z E E E εεν

εεννσσνε+--=+-?

-=+-=

5-9 关于用微元表示一点处的应力状态，有如下论述，试选择哪一种是正确的。（A ）微元形状可以是任意的；

（B ）微元形状不是任意的，只能是六面体微元；

（C ）不一定是六面体微元，五面体微元也可以，其它形状则不行；

（D ）微元形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的应力。

正确答案是 D 。

材料力学(柴国钟、梁利华)第5章答案

5.1 max （a ）MPa y I M z 4.1590121801201010361max 1=???=-=σ；MPa y I M z 3.106012 180120101036 2max 2=???=-=σ MPa y I M z 4.159012 180120101036 3max 3-=???-=-=σ （b ）43 3 4536000012 12045212180120mm I z =??-?= MPa y I M z 8.19904536000010106 1max 1=??=-=σ；MPa y I M z 2.136045360000 10106 2max 2=??=-=σ MPa y I M z 8.199045360000 10106 3max 3-=??-=-=σ （c ）mm y c 1153012015030165 301207515030=?+??? +??= ()()42 323249075001151653012012 3012075115150301215030mm I z =-??+?+-??+?= MPa y I M z 1.266524907500101061max 1=??=-=σ；MPa y I M z 1.143524907500 10106 2max 2=??=-=σ MPa y I M z 2.4611524907500 10106 3max 3-=??-=-=σ 5.2 如图所示，圆截面梁的外伸部分系空心圆截面，轴承A 和D 可视为铰支座。试求该轴横截面上的最大正应力。解：剪力图和弯矩图如下： 1.344 F S M m kN M B ?=344.1，m kN M D ?=9.0 MPa D M W M B z B B 4.636010344.132323 6 3max ,=???===ππσ

材力第五章

5—3 图示悬臂梁,横截面为矩形,承受载荷F 1与F 2作用,且F 1=2F 2=5 kN,试计算梁内的最大弯曲正应力,及该应力所在截面上K 点处的弯曲正应力。解:(1) 画梁的弯矩图: (2) 最大弯矩(位于固定端): max 7.5 M kN = (3) 计算应力: 最大应力: K 点的应力: 5—4 图示梁,由No22槽钢制成,弯矩M =80 N 、m,并位于纵向对称面(即x-y 平面)内。试求梁内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。 6max max max 227.510176 408066Z M M MPa bh W σ?====?6max max 337.51030132 40801212 K Z M y M y MPa bh I σ????====?40 1m F 1 C y 1m F 2 80 K z 30 M M y z y 0 b C s F ()- kN 5.2 kN 5 (+) 7、5kNm x M 5kN kNm 5.7 kNm 5

解:(1) 查表得截面的几何性质: 4020.3 79 176 z y mm b mm I cm === (2) 最大弯曲拉应力(发生在下边缘点处): ()30max 880(7920.3)10 2.67 17610 x M b y MPa I σ-+ -?-?-?===? (3) 最大弯曲压应力(发生在上边缘点处): 3 0max 88020.3100.92 17610x M y MPa I σ---???===? 5—5图示简支梁,由No18工字钢制成,在集度为q 的均布载荷作用下,测得横截面C 底边的纵向正应变ε=3、0×10-4,试计算梁内的最大弯曲正应力,已知钢的弹性模量E =200 Gpa,a =1 m 。解:(1) 求支反力: 31 44 A B R qa R qa == (2) 画内力图: (3) 由胡克定律求得截面C 下边缘点的拉应力为: q x x F S M

材力第5章作业题解答

第5章应力状态分析 5－1 木制构件中的微元受力如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。试求： 1．面内平行于木纹方向的切应力； 2．垂直于木纹方向的正应力。图 1 解：平行于木纹方向切应力 6.0))15(2cos(0))15(2sin(2 ) 6.1(4=?-??+?-?---= ''y x τMPa 垂直于木纹方向正应力 84. 30))15(2cos(2 ) 6.1(42)6.1(4-=+?-?---+- +-= 'x σMPa 5-2 结构中某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果。试求叠加后所得应力状态的主应力、面内最大切应力和该点处的最大切应力。 x = 图 2 解：叠加[]??? ? ?? ???=???????-?--+==--+==??? ? ???-?--+-++=MPa 30))45(2sin(2)30(5070MPa 1010)3050(0MPa 90))45(2cos(2)30(502)30(5080xy y x σσσ 主应力0 MPa 0MPa 100304)]100(90[212109022231=???=?+-±+=???σσσ 面内及该点：502 1002 ||||3 1max max =-= -=='σσττMpa 5-3 已知平面应力状态的最大正应力发生在与外力作用的自由表面AB 相垂直的面上，其值为0σ。试求应力分量x σ、y σ和xy τ。解：ασα ασσσ2000cos 2 2cos 10))(2cos(2 2 =+= +-?+ = x ασσα σσσ2000sin 2 2cos 1=-= -=x y

材力--第五章

5—3 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F1与F2作用，且F1=2F2=5 kN，试计算梁内的最大弯曲正应力，及该应力所在截面上K点处的弯曲正应力。解：(1) 画梁的弯矩图：4 11 C y 1F2 8 K z 3 s F ()- kN 5.2 kN 5

(2) 最大弯矩（位于固定端）： max 7.5 M kN = (3) 计算应力：最大应力： K 点的应力： 5—4 图示梁，由No22槽钢制成，弯矩M =80 N.m ，并位于纵向对称面（即x-y 平面）内。试求梁内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。 6max max max 227.510176 408066 Z M M MPa bh W σ?====?6max max 337.51030 132 ******** K Z M y M y MPa bh I σ????==== ?M M z x M

解：(1) 查表得截面的几何性质： 4 020.3 79 176 z y mm b mm I cm === (2) 最大弯曲拉应力（发生在下边缘点处）： ()3 0max 8 80(7920.3)10 2.67 17610x M b y MPa I σ -+-?-?-?===? (3) 最大弯曲压应力（发生在上边缘点处）： 3 0max 8 8020.3100.92 17610x M y MPa I σ ---???===? 5—5图示简支梁，由No18工字钢制成，在集度为q 的均布载荷作用下，测得横截面C 底边的纵向正应变ε=3.0×10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力，已知钢的弹性模量E =200 Gpa ，a =1 m 。 A B a a q C ε R R

材力第五章

5—3 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F 1与F 2作用，且F 1=2F 2=5kN ，试计算梁内的最大弯曲正应力，及该应力所在截面上K 点处的弯曲正应力。解：(1) 画梁的弯矩图： (2) 最大弯矩（位于固定端）： max 7.5 M kN = (3) 计算应力：最大应力： K 点的应力： 5—4 图示梁，由No22槽钢制成，弯矩M =80N.m ，并位于纵向对称面（即x-y 平面）内。试求梁内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。 6max max max 227.510176 408066 Z M M MPa bh W σ?====?6max max 33 7.51030 132 ******** K Z M y M y MPa bh I σ????====? 1 z M M z s F ()- kN 5.2 kN 5 x M

解：(1) 查表得截面的几何性质： 4020.3 79 176 z y mm b mm I cm === (2) 最大弯曲拉应力（发生在下边缘点处）： ()30max 8 80(7920.3)10 2.67 17610x M b y MPa I σ -+-?-?-?===? (3) 最大弯曲压应力（发生在上边缘点处）： 30max 8 8020.3100.92 17610x M y MPa I σ ---???===? 5—5图示简支梁，由No18工字钢制成，在集度为q 的均布载荷作用下，测得横截面C 底边的纵向正应变ε=3.0×10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力，已知钢的弹性模量E =200Gpa ，a =1m 。解：(1) 求支反力： 31 44 A B R qa R qa = = (2)画内力图： (3)由胡克定律求得截面C 下边缘点的拉应力为： q x x F S M

材料力学第5章答案

5.1 试确定图示梁的危险截面，分别计算图示三种截面上1、2、3点处的正应力。解：m kN M ?-=10max （a ）MPa y I M z 4.1590121801201010361max 1=???=-=σ；MPa y I M z 3.106012 180******** 6 2max 2=???=-=σ MPa y I M z 4.159012 180120101036 3max 3-=???-=-=σ （b ）43 34536000012 12045212180120mm I z =??-?= MPa y I M z 8.19904536000010106 1max 1=??=-=σ；MPa y I M z 2.13604536000010106 2max 2=??=-=σ MPa y I M z 8.199045360000 10106 3max 3-=??-=-=σ （c ）mm y c 1153012015030165 301207515030=?+???+??= ()()42 323249075001151653012012 3012075115150301215030mm I z =-??+?+-??+?= MPa y I M z 1.266524907500101061max 1=??=-=σ；MPa y I M z 1.143524907500 10106 2max 2=??=-=σ MPa y I M z 2.4611524907500 10106 3max 3-=??-=-=σ 5.2 如图所示，圆截面梁的外伸部分系空心圆截面，轴承A 和D 可视为铰支座。试求该轴横截面上的最大正应力。解：剪力图和弯矩图如下： m kN M B ?=344.1，m kN M D ?=9.0 MPa D M W M B z B B 4.636010344.132323 63max ,=???===ππσ ()() MPa D M W M D z D D 1.6275.0160109.03213243643max ,=-????=-==παπσ 故，MPa 4.63max =σ 5.3 图示简支梁受均布载荷作用。已知材料的许用应力[σ]=160MPa 。（1）设计实心圆截面的直径d ；（2）设计宽度与高度之比b /h =2/3的矩形截面；（3）设计内径与外径之比d /D =3/4的空心圆截面；（4）选择工字形截面的型钢；（5）分析以上4种截面的合理性。解：最大弯矩为m kN 204108 1 8122max ?=??==ql M [][]36 max max max 125000160 1020mm M W W M z z =?=≥?≤=σσσ 实心圆截面：32 3 d W z π= ，故[]mm 109=d ， 6.13=A W z ；矩形截面：963 2h bh W z = =，故[][]104mm mm 4.96==h b ，，3.17=A W z ；空心圆截面：()()3275.013214343-= -=D D W z παπ，故[]mm 124=D ，2.24=A W z ；

材力第5章作业题解答

材料力学(柴国钟、梁利华)第5章答案

材力 第五章

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