习题1解答

1. 写出下列随机试验的样本空间:

1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分);

2) 一个口袋中有5个外形相同的球,编号分别为1、2、3、4、5,从中同时

取出3个球;

3) 某人射击一个目标,若击中目标,射击就停止,记录射击的次数; 4) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标.

解:1)设小班共有n 个学生,每个学生的成绩为0到100的整数,分别记为

n 2x ,x x ,1,则全班平均分为n

x

x n

i i

∑==1

,于是样本空间为

}100,,2,1,

0{n n n n S ==}100,3,2,1,0|{n i n

i = 2)所有的组合数共有1035=C 种,

}345,245,235,234,145,135,134,125,124,123{=S

3)至少射击一次,},3,2,1{ =S

4)单位圆中的坐标),(y x 满足122<+y x ,}1|),{(22<+=y x y x S

2. 已知B A ?,

3.0)(=A P ,5.0)(=B P ,求)(A P ,)(AB P ,)(B A P 和)(B A P . 解 )(A P 7.03.01)(1=-=-=A P 3.0)()(==A P AB P (因为B A ?)

)(B A P 2

.0)()()(=-=-=A P B P A B P

5.0)()(==B P B A P (因为B

A ?,则A

B ?)

3. 设有10件产品,其中6件正品,4件次品,从中任取3件,求下列事件的概率:

1) 只有一件次品; 2) 最多1件次品; 3) 至少1件次品. 解 1)设A 表示只有一件次品,310

2

61

4)(C C C A P =

.

2)设B 为最多1件次品,则表示所取到的产品中或者没有次品,或者只有一件次品,310

2

614310

36)(C

C C C

C B P +

=

.

3)设C 表示至少1件次品,它的对立事件为没有一件次品,

310

3

6

1)(1)(C C C P C P -

=-=

4. 盒子里有10个球,分别标有从1到10的标号,任选3球,记录其号码. (1)求最小号码为5的概率. (2)求最大号码为5的概率.

解1)若最小号码为5,则其余的2个球必从6,7,8,9,10号这5个球中取得。

则它的概率为

12

1310

2

5=

C

C .

2)若最大号码为5,则其余的2个球必从1,2,3,4号这4个球中取得。 则它的概率为

20

1310

2

4

=

C C .

5. 有a 个白球,b 个黑球,从中一个一个不返回地摸球,直至留在口袋中的球都是同一种颜色为止. 求最后是白球留在口袋中概率.

解 设最后留在口袋中的全是白球这一事件为A ,另设想把球继续依次取完,设取到最后的一个球是白球这一事件为B ,可以验证A=B , 显然b

a a B P +=

)(.

6. 一间学生寝室中住有6位同学,求下列事件的概率: 1)6个人中至少有1人生日在10月份; 2)6个人中有4人的生日在10月份; 3)6个人中有4人的生日在同一月份.

(假定每个人生日在同各个月份的可能性相同)

解 1)设6个人中至少有1人生日在10月份这一事件为A ;它的逆事件为没有一个人生日在10月份,生日不在10月份的概率为

12

11,则

6

)

1211(

1)(1)(-=-=A P A P

2)设6个人中有4人的生日在10月份这一事件为B ,则2

4

46)

12

11(

)121(

)(C B P =.

3) 设6个人中有4人的生日在同一月份这一事件为 C. 则

2

4

4

6)

12

11(

)12

1(

12)(12)(C B P C P ==

7. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,问由甲射中的概率为多少?

解 设A 和B 分别表示甲和乙射中。C 表示目标被射中,则

8.03.05.06.0)()()()()(=-+=-+==AB P B P A P B A P C P .

75.08

.06.0)

)()|(===

PC AC P C A P

8. 某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产,其中甲厂的产品占60%,乙厂的产品占40%. 已知甲厂产品的次品率为4%,乙厂产品的次品率5%. 一位顾客随机地取出一个电灯泡,求它是合格品的概率.

解 设A 和B 分别表示电灯泡由甲厂和乙厂生产,C 表示产品为合格。 则956.095.04.096.06.0)|()()|()()(=?+?=+=B C P B P A C P A P C P

9. 已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者. 今从男女为数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率多少? 解 设挑选到的人为男性和女性分别为A 和B 。另设某人是色盲患者为C 。由已

知条件,2

1

)()(=

=B P A P ,05.0)|(=A C P ;.0025.0)|(=B C P 则952

.00025

.05.005.05.005

.05.0)|()()|()()|()()|(=?+??=+=B C P B P A C P A P A C P A P C A P

10. 甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击,设甲、乙、丙命中率分别为0.4,0.5,

0.7,又设敌机被击中1次,2次,3次而坠毁的概率分别为0.2,0.6,1. 现三人向敌机各射击一次,求敌机坠毁的概率. 解 设敌机被击中1次,2次,3次的事件分别为A ,B ,C. 敌机坠毁的事件为D。

则1)|(;6.0)|(;2.0)|(===C D P B D P A D P

36.07.0)5.01()4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0)(=?-?-+-??-+--?=A P 51.07.05.0)4.01(7.0)5.01(4.0)7.01(5.04.0)(=??-+?-?+-??=B P

14

.07.05.04.0)(=??=C P

458

.0114.06.041.02.036.0)|()()|()()|()()(=?+?+?=++=C D P C P B D P B P A D P A P D P

11. 三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4. 问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?

解 三人译出密码分别记为A ,B ,C 。则C B A 即为所求事件(三人中至少有一人能将此密码译出)。它的对立事件为C B A 。又因为各人译出密码是相互独立的,则6.0)4/11)(3/11)(5/11(1)(1)(=----=-=C B A P C B A P

12. 甲袋中装有n 只白球、m 只红球;乙袋中装有N 只白球、M 只红球. 今从甲

袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一只球,问取到白球的概率是多少?

解 设从甲袋中取出白球记为A , 从乙取出白球记为B 。

)

1)(()1(1

1

1

)|()()|)()(+++++=

++++

++++=

+=N M n m mN N n N M N

n m m

M N N n m n

A B P A P A PB A P B P

13. 做一系列独立的试验,每次成功的概率为p ,求在成功n 次之前已经失败了

m 次的概率.

解 根据题意,试验在第n+m 次是成功的(记为A ),前n+m-1次中有m 次是失

败的(记为B )。而前n+m-1次中有m 次失败是一个二项分布B (n+m-1,1-p ), 所求概率为

n

m m m n n m m m n p p C p p pC B P A P AB P )1()1()()()(111-=-==-+--+

14. 甲给乙打电话,但忘记了电话号码的最后1位数字,因而对最后1位数字就

随机地拨号,若拨完整个电话号码算完成1次拨号,并假设乙的电话不占线. (1)求到第k 次才拨通乙的电话的概率;(2)求不超过k 次而拨通乙的电话的概率. (设10≤k )

解 1)该问题相当于在0~9这十个数字中不放回抽样,第k 次正好抽到所需的数

字这一个问题。根据抽签与次序无关的结果,第k 次抽到的概率为1/10。 2)第二个问题相当于一次性地抓了k 个数字,所需数字正好在所抓的数字中

这样一个问题。由于每个数字都是等可能被抽到,所需数字落在所抓数字中的概率与所抓的数目k 成正比。设k A 表示所需数字在所抓的k 个数字中,kC A P k =)(,其中C 为常数。10/1)(1=A P

(或1)(10=A P )可得出C=1/10。所以10/)(k A P k =

15. 将3个小球随机地放入4个盒子中,求盒子中球的最多个数分别为1, 2, 3的

概率.

解 3个球随机放入4个盒子共有34种放法。盒子中最多个数为1,相当于4个盒

子中分别有1,1,1,0个球,这种情形的放法共有!31

4C 种(选一个空盒有4

种选法,剩下的每盒有一个球相当于全排列)。故8

34

!3)(31

41=

=

C A P

盒子中最多个数为3,相当于4个盒子中有一个盒子中有3个球,其它3个盒子

没有球。它的放法共有1

4

C 种(选一个盒子,放入3个球)。故16

14

)(3

1

42=

=

C A P

盒子中求的最多个数为2相当于排除以上2种情况而剩下来的情形。 16/916/18/31)()(1)(312=--=--=A P A P A P

16. 设有一传输信道,若将三字母A, B, C 分别输入信道, 输出为原字母的概率为

α, 输出为其它字母的概率为2/)1(α-, 现将3个字母串AAAA, BBBB, CCCC 分别输入信道,输入的分别为p 1, p 2, p 3, 且p 1+p 2+p 3=1,已知输出字母串为ABCA, 问输入为AAAA 的概率是多少? 解 4)

1(2)1(2

)1()|(2

2αααααα

-=

--=AAAA ABCA P

8

)

1(2)

1(2)1(2)1()|(3

ααααα

α-=---=BBBB ABCA P

8

)

1(2

)1(2

)

1(2

)1()|(3

αααα

αα-=

---=

CCCC ABCA P

)

1()13(28

)

1(8

)

1(4

)

1(4

)

1(|()()|()()|()()

|()()|(11

3

3

3

2

2

21

2

2

1

ααααααααααα-+-=

-+-+--=++=

p p p p p p CCCC

ABCA P CCCC P BBBB ABCA P BBBB P AAAA ABCA P AAAA P AAAA ABCA P AAAA P ABCA AAAA P

17. 证明: 若)|()|(B A P B A P =, 则事件A 与B 相互独立. 证明:)

()()|(B P AB P B A P =

,)

()()|(B P B A P B A P =

,所以)()()()(B A P B P B P AB P =

即)]()()[()](1)[(AB P A P B P B P AB P -=- 即)()()(B P A P AB P =

18. 某地区约有5%的人体内携带有乙肝病毒, 求该地区某校一个班的50名学生

中至少有一人体内携带有乙肝病毒的概率.

解 设A 为学生携带有乙肝病毒,05.0)(=A P . 不携带有乙肝病毒为A ,

95

.0)(=A P ,50名学生中至少有一人体内携带有乙肝病毒的对立事件是50

名学生都不携带有乙肝病毒,P (50名学生都不携带有乙肝病毒)=5095.0。所以P (50名学生中至少有一人体内携带有乙肝病毒)=1-5095.0

19. 两人相约于7点到8点之间在某地见面,求一人要等另一人半小时以上的概

率.

解 设X 和Y 分别为两人的到达时刻。显然,600;600≤≤≤≤Y X 。

25

.060

603030)30|(|=??=

≥-Y X P

20. 从区间(0,1)内任取两个数,求这两数的和小于1.2概率. 解 设X 和Y 分别为两个所取的数。显然,10;10≤≤≤≤Y X 。

68

.01

12

/8.08.011}2.1{=??-?=

≤+Y X P

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