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概率论与数理统计试题及答案

概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计试题及答案

考试科目: 概率论与数理统计考试时间:120分钟 试卷总分100分

一、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共5小

题,每小题3分,总计15分)

1.掷一枚质地均匀的骰子,则在出现奇数点的条件下出现1点的概率为( A )。

(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6

2.设随机变量的概率密度?

??≤>=-101)(2x x Kx x f ,则K=( B )。

(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 3.对于任意随机变量ηξ,,若)()()(ηξξηE E E =,则( B )。 (A) )()()(ηξξηD D D = (B ))()()(ηξηξD D D +=+ (C) ηξ,一定独立 (D )ηξ,不独立

5.设)4,5.1(~N ξ,且8944.0)25.1(=Φ,9599.0)75.1(=Φ,则P{-2<ξ<4}=( A )。 (A)0.8543 (B)0.1457 (C)0.3541 (D)0.2543

二、填空题(在每个小题填入一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共5小题,每小题3分,

总计15分)

1.设A 、B 为互不相容的随机事件,6.0)(,3.0)(==B P A P 则=?)(B A P ( 0.9 )。 2.设有10件产品,其中有1件次品,今从中任取出1件为次品的概率为( 1/10 )。

3.设随机变量X 的概率密度??

?≤≤=其它

,

010,1)(x x f 则{}=>2.0X P ( 8/10 )。

4.设D(ξ)=9, D(η)=16, 5.0=ξηρ,则D(ηξ+)=( 13 )。 *5.设),(~y 2σμN ,则

~y n

σμ

-( N(0,1) )。

三、计算题(本大题共6小题,每小题10分,总计60分)

1.某厂有三条流水线生产同一产品,每条流水线的产品分别占总量的25%,35%,

40%,又这三条流水线的次品率分别为0.05,0.04,0.02。现从出厂的产品中任取

一件,问恰好取到次品的概率是多少?

(1)全概率公式

)

4(0345

.0)6(100

210040100410035100510025)()()(3

1分分=?+?+?=

=∑=i i i B A P B P A P

2.设连续型随机变量X 的密度为 ???≤>=-.0,

00

,)(5x x Ae x f x

(1)确定常数A (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x).

(2)①)3(15

1

0)(0

5分==

+=???+∞

-∞

-+∞

-A dx Ae dx dx x x ?

故A=5 。

②.3679.05)2.0(12.05≈==>-+∞

-?e dx e P x ξ (3分)

③当x<0时,F(x)=0; (1分)

当0≥x 时,x

x

x

x e dx e dx dx x x F 50

515)()(-∞

-∞

---=+==???? (2分)

故???<≥-=-0

0,,0

1)(5x x e

x F x

. (1分)

3.设二维随机变量(ηξ,)的分布密度???<<<<=其它,

01

0,,6),(2ξξηξηξf

求关于ξ和关于η的边缘密度函数。

(3)

?+∞

-=分)

2(),()(dy

y x f x f x 分)(其它3010),(6622??

???≤≤-==?x x x x x dy

?+∞

-=分)

(2),()(dx

y x f y f y 分)

(其它3010),(66??

???≤≤-==?y y y y y dx

4.设连续型随即变量ξ的概率密度??

?

??≤<-≤≤=其它,02

1,210,

)(x x x x x f ,

求E(x),D(x)

(4)??-+=1

02

12)2(dx x x dx x EX 1)18(31

)14(31=---+=

(4分)

??-+=102123

2)2(dx x x dx x EX 6

7)116(41)18(3241=---+=(3分)

6

1

167)(22=-=-=EX EX DX (3分)

四.证明题(本大题共2小题,总计10分)

2.设)

,2,1(}{ =k X k 是独立随机变量序列,且?

???

??

??--++12212212112

1202~k k k k k k X , 试证}{k X 服从大数定理。

(2))

2(.),2,1(,

12

1

)2(21)2()()()

2(,

0212)211(021

)2()(12212221

2212分分 ==+?-===+-?+?

-=++++k X E X D X E k k k k k k k k

k k k k

由切比雪夫大数定理可知}{k X 服从大数定理。 (1分)

考试科目:概率论与数理统计 考试时间:120分钟 试卷总分100分

一、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共5个小

题,每小题3分,总计15分)

1.设,A B 为两随机事件,且B A ?,则下列式子正确的是__A __

A .

()()P A B P A += B .()()P AB P A =

C. ()()|P B A P B = D. ()()()P B A P B P A -=- 2. 设

()2,,X N μσ 那么当σ增大时,{}-P X μσ<= C

A .增大

B .减少

C .不变

D .增减不定

3. 设()()()()~,E X-1X 21,X P poission λλ-==????分布且则_A _

A.1 B. 2 C .3 D .0 二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,总计15分

1 .设A 、B 、C 、是三个随机事件。用A 、B 、C 表示事件“A 、B 、C 至少有一个发生”

A B C ;

2.设有10件产品,其中有1件次品,今从中任取出1件为次品的概率是 0.1 3.设随机变量X 与Y 相互独立,()()~1,2,~0,1,X N Y N 则随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数 (

)2

1523z f z -??- ???

=;

4.已知(

)2

~2,0.4

,X N -则()

2

3E X += 1.16

三、计算题(本大题共6小题,每小题10分,共计60分)

1.设考生的报名表来自三个地区,各有10份,15份,25份,其中女生的分别为3份,7份,5

份。随机的从一地区先后任取两份报名表。求先取到一份报名表是女生的概率。

解.设B 为“取得的报名表为女生的”,i A 为“考生的报名表是第i 个地区的”,i=1,2,3 由全概率公式 2分

3

i 1

()()(|)i i P B P A P B A ==∑ 3分

131711

=+31031535

?+?? 3分 29

90

=

1分 即先取到一份报名表为女生的概率为29

90=. 1分

2.设随机变量X 的概率密度为()f x =Ax+10x 20,≤

?,

其他

,求① A 值; ②X 的分布函数()F x ;

③{}1.5 2.5P X << (1) ()()2

01221f x dx Ax dx A +∞

-∞

=+=+=?

?

,1

2

A ∴=- 2分

(2)()()x F x f t dt -∞

=?

1分

0,

101,

0221,

2

x x dt t dt x x -∞

=+-+≤

?≥??? 3分 20,01,

0241,

2

x x x x x

=-+≤

(3){}()()1.5 2.5 2.5 1.50.0625P X F F <<=-= 3分

3.设二维随机变量(,)X Y 有密度函数:()3x 4y ke ,x 0,y 0;(,)0,

f x y -+?>>?=???其它

求:(1)常数A ;

(2)()x y ,落在区域D 的概率,其中(){}D x,y ;0x 1,0

3.

(34)340

ke d d e d 112

x y x y k

x y k e dx y +∞+∞

+∞+∞

-+--==

=??

??,12k ∴= 5分

(){}{}()()12

343

8

,01,0212110.9502

x

y

P x y D P X Y e dx e

dy e

e ----∈=<≤<≤==--≈?? 5分

4 . 设足球队A 与B 比赛,若有一队胜4场,则比赛结束,假设A ,B 在每场比赛中获胜的概率均为1

2

,试求平均需比赛几场才能分出胜负?

4. 设X 为需要比赛的场数, 1分

则{}148P X ==,{}154P X ==,{}5616P X ==,{}5

716P X ==, 4分

所以()1155

4567 5.8841616

E X =?+?+?+?≈ 4分

答:平均需比赛6场才能分出胜负 1分

2.设{}n X 为相互独立的随机变量序列

,

{n 1P X ,n ==

{}n 2

P X 01,n

==-n 2,3,= 证明{}n X 服从大数定律。

2.(

)(112010n E X n n n ??

=+?+?-= ???

1分

()()(

)

(2

2

2

22112012

n n n D X E X E X n n n =+????

??

=

?+?+?- ???= 2,3,i = 1分

令121,2,3,,n n i i Y X n n +===∑ 则()()2

0,,n n E Y D Y n

== 2分

0ε?>,由切比雪夫不等式知

(){}

22

1n n P Y E Y n εε

-<≥- 1分

故有

(){}

n lim 1n n P Y E Y ε→∞

-<→,

即{}n X 服从大数定律。 1分

1.对于事件,A B ,下列命题正确的是__D __

A .若,A

B 互不相容,则.A 与B 也互不相容

B .若,A B 相容,则.A 与B 也相容

C.若,A B 互不相容,则.A 与B 也相互独立 D.若A 与B 相互独立, 那么.A 与B 相互独立

2. 假设随机变量X的分布函数为()F x ,密度函数为()f x .若X与-X有相同的分布函数,则下

列各式中正确的是__C __

A .()F x =()F x -;

B .()F x =()F x --;

C .()f x =()f x -;

D .()f x =()f x --;

3. 若()

2

11~,X N μσ,(

)

2

22~,Y N μσ,那么(,)X Y 的联合分布为__C __

A.二维正态,且0ρ=; B. 二维正态,且ρ不定; C. 未必是二维正态; D. 以上都不对 .

4. 设随机变量X和Y的方差存在且不等于0,则()()()D X Y D X D Y +=+是X和Y的__C __

A . 不相关的充分条件,但不是必要条件;

B .独立的必要条件,但不是充分条件;

C . 不相关的充分必要条件;

D . 独立充分必要条件. 二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,总计15分

1. 设A 、B 、C 、是三个随机事件。用A 、B 、C 表示事件“A 、B 、C 恰有一个发生”

ABC ABC ABC ;

2. 设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k

p X k A k == = 则A= 1/5 3. 用(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y 表示{,}p a X b Y c <≤≤= (,)(,)F b c F a c -; 4.已知()~10,0.6,X N ()~1,2,Y N 且X 与Y 相互独立,则()3D X Y -= 7.4 三、计算题(本大题共6小题,每小题10分,共计60分)

1.轰炸机轰炸目标,它能飞到距离目标400,200,100(米)的概率分别为0.5,0.3,0.2,又

设他在距离目标400,200,100(米)的命中率分别为0.01,0.02,0.1。求目标被命中的概率。

1.由全概率公式 2分 0.5*0.010.3*0.020.2*0.10.031++= 7分

目标被命中的概率为0.031. 1分

2.设随机变量X 的概率密度为()f x

=10,x

其他

,求①C 值; ②X 的分布函数()F x ;

③求X 落在区间11

(,)22

-内的概率。

2.(1) (

)1

1f x dx C +∞

-∞

-==?

?

,1

C π

∴=

2分

(2)()()x

F x f t dt -∞

=?

1分

0,111arcsin ,1121,

1x

x x x x π-?≤-?

?==+-<

(3){}()()0.50.50.50.51/3P X F F -<<=--= 3分

3.设二维随机变量(,)X Y 的密度函数:222

21,(,)0,

x y R

f x y R π?+≤?=???其它

求:求关于X 与关于Y 的边缘分布密度;

3. 当R x R -≤≤

时2

()(,)X f x f x y dy R π∞

-∞

===?

,3分

于是

()0,X R x R

f x -≤≤=??其他 2分

同理

Y ()0,R x R

f y -≤≤=??

其他 5分

4 .设随机变量X 具有密度函数01()2120x

x f x x

x ≤≤??

=-<≤???

其他,求()E X 及()D X 。

4.12

20

1

()(2)1E X x dx x x dx =+-=?? 5分

12

22320

1

()()(2)11/6D X EX EX x dx x x dx =-=+--=?? 5分

四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)

2.设{}k X ,(1,2)k = 是独立随机变量序列,2122120

2111122

2k k k k k

k X ++??

- ?= ?- ???

证明{}k X 服从大数定律。

2.)

2(.),2,1(,

12

1

)2(21)2()()()

2(,02

12)211(021

)2()(12212221

2212分分 ==+?-===+-

?+?

-=++++k X E X D X E k k k k k k k k

k k k k

由切比雪夫大数定理可知}{k X 服从大数定理。

(1分)

一、填空题(本大题共5小题,每小题4分,总计20分)

1. 设,A B 为随机事件,()0.5P A =,()0.6P B =,()0.7P A B = ,则()|P A B = 2/3

2.设10把钥匙中有2把能打开门, 现任意取两把, 能打开门的概率是 17/45

3.设X ~(10,3),N Y ~(1,2)N , 且X 与Y 相互独立, 则(32)D X Y -= 35 4.设随机变量[0,6]X 在区间上服从均匀分布,则关于未知量x 的方程2

210x Xx ++=有实根的

概率为____5/6_____

5. 设随机变量X 的数学期望()7E X =,方差()5D X =,用切比雪夫不等式估计得

{}212P X <<≥ 4/5 .

二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共5个小题,每小题4分,总计20分)

1.设事件,A B 相互独立,且()0P A >,()0P B >,,则有 B

(A) ()|0P B A =; (B) ()()|P A B P A =; (C) ()|0P A B =; (D) ()()P AB P A =

2. 设X ~2

(,)N μσ,那么概率{2}P X μ<+ D

(A) 随μ增加而变大; (B) 随μ增加而减小; (C) 随σ增加而不变; (D) 随σ增加而减小

3. 设1{0,0}5P X Y ≥≥=,2

{0}{0}5

P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= C (A) 15; (B) 25; (C) 35; (D) 45

4.设,X Y 相互独立,X 服从()0,2上的均匀分布,Y 的概率密度函数为,0

()0,0

y Y e y f y y -?≥=?

则{}1P X Y +≥=__D __

(A) 11e --; (B) 21e --; (C) 212e --; (D) 1

10.5e -- 三、计算题(本大题共5小题,每小题10分,共计50分) 1.某产品整箱出售,每一箱中20件产品,若各箱中次品数为0件,1件,2件的概率分别为80%,

10%,10%,现在从中任取一箱,顾客随意抽查4件,如果无次品,则买下该箱产品,如果有次品,则退货,求: (1) 顾客买下该箱产品的概率;(2) 在顾客买下的一箱产品中,确实无次品的概率.

解:设A 表示“顾客买下该箱产品” ,i B 分别表示“箱中次品数为0件,1件,2件” 0,1,2i =

则()0P B =80%,()1P B =10%()2P B =10%,,()0|P A B =1,()4

1914

20

|C P A B C =,()418

2420

|C P A B C =,(3分)

由全概率公式得:()()()2

|i

i

i P A P A B P B ==

=∑448/475,(7分)

由贝叶斯公式得:()()()

000||()

P A B P B P B A P A ==95/112 (10分)

2.已知随机变量X 的密度为,01

()0,

ax b x f x +<

?其它,且{1/2}5/8P x >=,

求: (1) 常数,a b 的值; (2) 随机变量X 的分布函数()F x

解: (1) 由1()/2f x dx a b +∞

-∞

=

=+?

, {}1/2

5/81/2()3/8/2P X f x dx a b +∞

=>==+?

解得

1,1/2a b == (4分)

(2) 0.5,01

()0,x x f x +<

其它,当0x <时, (){}0F x P X x =≤=,当01x ≤<时,

(){}()()20

0.5/2x

F x P X x x dx x x =≤=+=+?, 当1x ≥时, ()1F x =,

所以

()()20,

0/2,011,

1x F x x x x x

=+≤

≥? (10分)

3.设二维随机变量(,)X Y 有密度函数:21

,01,02;

(,)3

0,

x xy x y f x y ?+≤≤≤≤?=???其他 (1)求边缘概率密度()(),X Y f x f y ;(2)求条件密度()()|||,|X Y Y X f x y f y x ;

(3)求概率{}P X Y >.

解: (1)()(,)X f x f x y dy +∞

-∞

=

?

222/3,01

0,x x x ?+≤≤=?

?

其他 ()(,)Y f y f x y dx +∞

-∞

=?

1/3/6,02

0,

y y +≤≤?=?

?其他 (4分) (2) 当02y ≤≤时, ()|(,)|()X Y Y f x y f x y f y ==2

62,0120,

x xy x y ?+≤≤?=+??

?其他

当01x <≤时, ()|(,)|()Y X

X f x y f y x f x =223,02

620,

x xy

y x x

?+≤≤?=+??

?其他 (8分) (3) {}P X Y >(,)x y

f x y dy >=

?

120017/243x dx x xy dy ??

=+= ??

??? (10分)

4 . 设随机变量,X Y 独立同分布,都服从参数为λ的泊松分布,设2U X Y =+,2V X Y =-, 求

随机变量U 与V 的相关系数UV ρ

4 .解: ()()E X E Y λ==,()()D X D Y λ==,()3E U λ=,()3E V λ=

()()5D U D V λ==,()()(),43Cov U V D X D Y λ=-=, (8分)

UV ρ

,Cov U V =

=3/5 (10分)

四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)

1. 设事件,,A B C 相互独立,证明事件A B -与事件C 也相互独立

1. 证明:由于事件,,A B C 相互独立,所以()()()()P ABC P A P B P C =,

()()()P AB P A P B =,()()()P AC P A P C =,()()()P BC P B P C =,(2分)所以

()()()

P A B C P AC BC -=-()()

P AC P ABC =-()()()()()P A P C P A P B P C =-()()P A B P C =-

即()()P

A B C -()()P A B P C =-,所以事件A B -与C 也相互独立 (5分)

一、填空题(本大题共5小题,每小题4分,总计20分)

1 .设,A B 是两个随机事件, ()=0.7P A , ()=0.3P A B -,则事件“,A B 同时发生” 的

对立事件的概率为 0.6

2.设有40件产品,其中有4件次品,从中不放回的任取10次,每次取一件,则最后一件取的

为次品的概率是 0.1 3.设随机变量X 与Y 相互独立,X ~()1,2,N Y ~()0,1,N 则随机变量243Z X Y =-+的方差为 24

4.设随机变量X 的数学期望()75E X =,方差()5D X =,用切比雪夫不等式估计得

{}750.05P X ε-≥≤,则ε= 10

二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共5个小

题,每小题4分,总计20分)

1.设总体X ~2

(1,)N σ,12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样本, 则为参数2

σ的无偏估计量的

是( A )

(A) 211()1n i i X X n =--∑; (B) 2

11()n i i X X n =-∑; (C) 21

1n i

i X n =∑; (D) 2X 2. 设X ~(,1)N μ,则满足{}{}22P X P X >=≤的参数μ=( C )

(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3 3.设3{0,0}7P X Y ≥≥=

, 4

{0}{0}7

P X P Y ≥=≥=, 则{max{,}0}P X Y ≥=( C )

(A)

37; (B) 47; (C) 57; (D) 67

三、计算题(本大题共5小题,每小题10分,共计50分)

1.两个箱子中都有10个球,其中第一箱中4个白球,6个红球,第二箱中6个白球,4个红球,

现从第一箱中任取2个球放入第二箱中,再从第二箱中任取1个球,(1) 求 从第二箱中取的球为白球的概率;(2) 若从第二箱中取的球为白球,求从第一箱中取的2个球都为白球的概率

1.解: 设A 表示“从第二箱中取的球为白球” ,i B 分别表示“从第一箱中取的2个球都为

白球,1白1红,2个球都为红球” 1,2,3i =, 则()1P B =24210C C =2/15,()2P B =1146

2

10C C C =8/15,()3P B =2

6

210

C C =1/3,()1|P A B =2/3,()2|P A B =7/12,()3|P A B =1/2,(4分) 由全

概率公式得:()()()3

1

|i

i

i P A P A B P B ==

=

∑17/30, 由贝叶斯公式得:

()()()

111||()

P A B P B P B A P A =

=8/51 (10分)

2.设随机变量X 与Y 同分布,X 的概率密度为()f x =2

302

80,

x x ?<≤????,其它 ,事件{}

A X a =>与事件{}

B Y a =>相互独立,且()3

4

P A B = ,求常数a 的值。

2.解: 由于事件,A B 相互独立,所以()()()P AB P A P B =()2

P A =????,所以

()()()()P A B P A P B P AB =+- ()()2

23/4P A P A =-=????,解得 ()1/2P A =或()3/2P A =(舍去),(5分)

所以(){}31/2()1/8a

P A P X a f x dx a +∞

==>==-?

,得a = (10分)

3.设二维随机变量(,)X Y 有密度函数:()43,0,0;(,)0,x y Ae x y f x y -+?>>?=???

其他

(1)求常数A ;

(2)求边缘概率密度()(),X Y f x f y ; (3),X Y 是否相互独立。

3.解:(1)(43)0

1(,)d d e d d 12

x y A

f x y x y A x y +∞+∞

+∞

+∞

-+=

==

??

?

?

,12A ∴= (4分) (2)()(,)X f x f x y dy +∞

-∞

=

?

44,0

0,x e x -?>=?

?

其他 ()(,)Y f y f x y dx +∞

-∞

=?

33,0

0,

x e y -?>=?

?其他(8分) (3)()()(,)X Y f x y f x f y =,所以,X Y 相互独立。(10分)

4 . 设随机变量X ~()1,9N ,Y ~()0,16N ,相关系数12XY ρ=-,设32

X Y Z =+ 求: (1) 随机变量Z 的期望()E Z 与方差()D Z ;

(2) 随机变量X 与Z 的相关系数XZ ρ

4 . 解: (1) X ~()1,9N ,Y ~()0,16N ,所以()1E X =,()0E Y =,()9D X =,

()16D Y =,(,)6XY Cov X Y ρ==- ,所以

()()()11332E Z E X E Y =+=,()()()112

(,)3946

D Z D X D Y Cov X Y =++=(5分)

(2) 由于()11

(,)(,)0

32Cov X Z D X Cov X Y =+=,所以0XZ ρ=

= (10分)

四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)

1. 设事件,,A B C 相互独立,证明事件A B 与事件C 也相互独立.

1. 证明:由于事件,,A B C 相互独立,所以()()()()P ABC P A P B P C =,

()()()P AB P A P B =,()()()P AC P A P C =,()()()P BC P B P C =,所以

()()()

P A B C P AC BC = ()()()

P AC P BC P ABC =+-()()()()()()()

P A P C P B P C P A P B P C =+-

()()()()()()()P A P B P A P C P A P B P C =+- ()()P A B P C =

即()()P

A B C ()()P A B P C = ,所以事件A B 与C 也相互独立。(5分)

一、填空题(本大题共6小题,每小题3分,总计18分)

1. 设,A B 为随机事件,()0.8P A B = ,()0.4P B =,则()

|P A B = 2/3

2.10个球队平均分成两组进行比赛,则最强的两个队分到同一组的概率为 2/9 3.设随机变量X 在区间[0,1]上服从均匀分布,则X

Y e =的数学期望为 1e - 4.设X ~(,)b n p 为二项分布,且() 1.6E X =,() 1.28D X =,则n =___8___p = 0.2

5. 设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布,用切比雪夫不等式估计得{}

12P X -≥≤

1/12 .

二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共6个小题,每小题3分,总计18分)

1.设,A B 为事件,且A B ?,则下列式子一定正确的是( B )

(A) ()()P A B P A = ; (B) ()()P BA P A =; (C) ()()P AB P B =; (D) ()()()P A B P A P B -=-

2. 设随机变量X 的分布率为{}1!

k

P X k a k λ==?, ()1,2,k = ,则a = ( D )

(A) e λ-; (B) e λ; (C) 1e λ--; (D) 1e λ

- 3. 设(1,1)X N ,概率密度为()f x ,分布函数为()F x ,则有( A )

(A) {1}{1}P X P X ≤=≥; (B) {0}{0}P X P X ≤=≥; (C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈

4. 设2{1,1}5P X Y ≤≤=

,3

{1}{1}5

P X P Y ≤=≤=,则{min{,}1}P X Y ≤=( A ) (A) 45; (B) 925

; (C) 35; (D) 25

5. 设随机变量(),X Y 满足方差()()D X Y D X Y +=-,则必有( B )

(A) X 与Y 独立; (B) X 与Y 不相关;

(C) X 与Y 不独立; (D) ()0D X =或()0D Y =

三、计算题(本大题共6小题,每小题10分,共计60分) 1.有三个盒子,第一个盒子中有2个黑球,4个白球,第二个盒子中有4个黑球,2个白球,第三个盒子

中有3个黑球,3个白球,今从3个盒子中任取一个盒子,再从中任取1球. (1) 求此球是白球的概率;

(2) 若已知取得的为白球,求此球是从第一个盒子中取出的概率.

解:设A 表示“取得的为白球” ,i B 分别表示“取得的为第一,二,三盒的球” 1,2,3i = 则

()()()1231/3P B P B P B ===,()1|2/3P A B =,()2|1/3P A B =,()3|1/2P A B =,(2

分)

由全概率公式得:()()()3

1

|i

i

i P A P A B P B ==

=∑1/2,(6分)

由贝叶斯公式得:()()()

111||()

P A B P B P B A P A ==4/9 (10分)

2.已知连续型随机变量X 的分布函数为0,

()arcsin ,1,

x a x F x A B a x a a x a ≤-???

=+-<≤??

>??,其中0a >为常

数。

求: (1) 常数,A B 的值; (2) 随机变量X 的密度函数()f x ;(3) 2a P X a ??

<< ???

解: (1) 由()F x 右连续性, (

)()F a

F a +

-=-, ()()F a F a +=得02

A B π

-

=,12

A B π

+

=,

解得1/2,1/A B π== (6分)

(2) (

)()0,a x a f x F x -<<'==?

其它, (8分)

(3) 2a P X a ??

<<= ???

()()/2F a F a -=1/3 (10分)

3.设随机变量X 在区间[1,2]上服从均匀分布, 求2X

Y e =概率密度。

3.解: X 的概率密度为()X f x 1,120,

x ≤≤?=??其他,2x y e =,220x

y e '=>,反函数导数

()12h y y

'=

,{}242min ,e e e α==,{}244max ,e e e β==,所以2X Y e =的概率密度为()Y f y ()()(),0,X f h y h y y αβ?'≤≤?=???

其他()24

1/2,0,y e y e

?≤≤=??其他(10分)

4.设二维随机变量(,)X Y 的密度函数:2,0,01

(,)0,Ay x y y f x y ?<<<<=??

其他

(1)求常数A 的值;(2)求边缘概率密度()(),X Y f x f y ;

(3)X 和Y 是否独立?

4.解: (1)由(,)1f x y dy +∞

-∞

=?

,得4A = (3分)

(2)()(,)X f x f x y dy +∞

-∞

=

?

()21,01

0,

x x ?-≤≤=?

?其他(6分) ()(,)Y f y f x y dx +∞

-∞

=?

34,01

0,y y ?≤≤=?

?

其他 (9分) (3) ()()(,)X Y f x f y f x y ≠,不独立(10分)

5 . 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数: 6,

01(,)0,

x x y f x y <<

?其他

求(1)数学期望()E X 与()E Y ;(2)X 与Y 的协方差(),Cov X Y

5 .解: ()1/2E X =,(2分)()3/4E Y =,(4分)()3/5E XY = (6分),所以

(),Cov X Y ()()()E XY E X E X =-=9/40 (10分)

四、证明题(本大题共1小题,每小题4分,共4分)

1. 设三个事件,,A B C 满足AB C ?,试证明:()()()1P A P B P C +≤+ 1. 证明:由于AB C ?,所以()()P AB P C ≤,所以

()()()()P A P B P A B P AB +=+ ()()P A B P C ≤+ ()1P C ≤+ (4分)

一、填空题(本大题共6小题,每小题3分,总计18分)

1. 设,A B 为随机事件,()()0.7P A P B +=,()0.3P AB =,则()()

P AB P AB += 0.1 2.10件产品中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为 0.4

3.设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布,则2Y X =的概率密度函数为

()1,

040,

Y y f y ?<<

?=?

??其他

4.设随机变量X 的期望()3E X =,方差()5D X =,则期望()2

4E X ??+=??

54

5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得{}

22P X -≥≤

1/2 .

二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共6个小

题,每小题3分,总计18分)

1.设,A B 为对立事件, ()01P B <<, 则下列概率值为1的是( C )

(A) ()|P A B ; (B) ()|P B A ; (C) ()

|P A B ; (D) ()P AB

2. 设随机变量X ~()1,1N ,概率密度为()f x ,分布函数()F x ,则下列正确的是( B )

(A) {0}{0}P X P X ≤=≥; (B) {1}{1}P X P X ≤=≥; (C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈ 3. 设()f x 是随机变量X 的概率密度,则一定成立的是( B )

(A) ()f x 定义域为[0,1]; (B) ()f x 非负; (C) ()f x 的值域为[0,1]; (D) ()f x 连续

4. 设4{1,1}9P X Y ≤≤=

,5

{1}{1}9

P X P Y ≤=≤=,则{min{,}1}P X Y ≤=( A ) (A) 23; (B) 2081; (C) 49; (D) 13

5. 设随机变量(),X Y 的方差()4D X =,()1D Y =,相关系数0.6XY ρ=,则方差()32D X Y -=

( D )

(A) 40; (B) 34; (C) 17.6; (D) 25.6

三、计算题(本大题共6小题,每小题10分,共计60分)

1.甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: 0.2 ,0.3,0.4,

(1) 求恰有2位同学不及格的概率;

(2) 若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率.

1.解:设,,A B C 分别表示 “甲,乙,丙同学不及格” , 则()0.2P A =,()0.3P B =,()0.4P C =,

由题意,,A B C 相互独立 (2分)

(1) 事件“恰有2位同学不及格” 为: D ABC ABC ABC = ,所以

()P D ()()()P ABC P ABC P ABC =+

()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++=0.188 (6分)

(2)()()|()

P BD P B D P D = ()()

()

P ABC P ABC P D +=

=33/47 (10分)

2.已知连续型随机变量X 的分布函数为2

20,

0(),0

x x F x A Be x -≤??

=??+>?, 求: (1) 常数,A B 的值; (2) 随机变量X 的密度函数()f x

;(3) )

2P X <<

解: (1) 由()F x 右连续性得()()0

0F F +

=,即0A B +=, 又由()1F +∞=得,1A =, 解得

1,1A B ==- (5分)

(2) ()2

2,0()0,

x

xe x f x F x -??>'==???其它, (8分)

(3) )2P

X <(

)2F F

=-1

2e

e --=- (10分)

3.设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为:

,0()0,0x X e x f x x -?>=?≤?

,1,01

()0,Y y f y <

求随机变量Z X Y =+的概率密度

3.解: 由于随机变量X 与Y 相互独立,所以Z X Y =+的密度函数为

()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞

-∞

=-?

(2分)

1

,01

,10,0z x z x z e dy z e dy z z ---?<

?? 11,01,10,0z z z e z e e z z ---?-<

4.设二维随机变量(,)X Y 的密度函数:,

02,(,)0,

A x y x

f x y ?<<<=?

?其他

(1)求常数A 的值;(2)求边缘概率密度()(),X Y f x f y ;

(3)X 和Y 是否独立?

4.解: (1)由(,)1f x y dy +∞

-∞

=?

,得1/4A = (2分)

(2)()(,)X f x f x y dy +∞

-∞

=

?

1/4,020,

x

x

dy x -?≤≤?=????其他 /2,02

0,x x ≤≤?=??其他 (5分) ()(,)Y f y f x y dx +∞

-∞

=?

221/4,20

1/4,020,y

y

dx y dx y -?-≤

=?≤

??其他()()2/4,202/4,020,y y y y +-≤

(3) ()()(,)X Y f x f y f x y ≠,不独立(10分)

5 . 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数:3,0,01

(,)0,y x y y f x y <<<

其他

求(1)数学期望()E X 与()E Y ;(2)X 与Y 的协方差(),Cov X Y

5 .解: ()3/8E X =,(2分) ()3/4E Y =,(4分) ()3/10E XY = (6分),所以

(),Cov X Y ()()()E XY E X E X =-=3/160, (10分)

四、证明题(本大题共1小题,每小题4分,共4分)

1. 设,,A B C 任意三个事件,试证明:()()()()P AB P BC P B P AC +-≤

1. 证明: 因为()()()()P AB P BC P AB BC P ABC +=+ ,又由于AB BC B ? ,ABC AC ?,所以()()P AB BC P B ≤ ,()()P ABC P B ≤,所以

()()()()P AB P BC P B P AC +≤+,即()()()()P AB P BC P B P AC +-≤ (4分)

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计(二) 课程代码:02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为( A ) A .C B A B .C B A C .C B A D .C B A 2.设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A .253 B .2517 C .5 4 D .2523 3.设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A .0.352 B .0.432 C .0.784 D .0.936 解:P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4.已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2<X ≤4}= ( C ) A .0.2 B .0.35 C .0.55 D .0.8 解:P {-2<X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55,故选C. 5.设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A .2,3- B .-3, 2 C .2,3 D .3, 2 与已知比较可知:E(X)=-3,D(X)=2,故选B. 6.设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A .4 1 B .2 1 C .2 D .4 解:设D 为平面上的有界区域,其面积为S 且S>0,如果二维随机变量 (X ,Y )的概率密度为 则称 (X ,Y )服从区域D 上的均匀分布,

数三概率论与数理统计教学大纲

数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材:四川大学数学学院邹述超、何腊梅:《概率论与数理统计》,高等教育出版社出,2002年8月。 参考书:袁荫棠:《概率论与数理统计》(修订本),中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室:《概率论与数理统计学习指导》 总学时:60学时,其中:讲课50学时,习题课10学时。 学分:3学分。 说明: 1.生源结构:数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生(如:旅游管理,行政管理),有些专业约占1/4~1/3的理科生(国贸,财政学,经济学),有些专业全是理科生(如:国民经济管理,金融学)。 2.高中已讲的内容:高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率,即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外,其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布(包括二项分布、几何分布)和离散型随机变量的期望与方差,统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求:学生的数学基础差异大,不同专业学生对数学课重视程度的差异大,这就给讲授这门课带来一定的难度,但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解,学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时,既要照顾数学基础差的学生,多举基本例子,使他们掌握大纲要求的基本概念和方法;也要照顾数学基础好的学生,使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程(如:计量经济学),将用到较多的概率统计知识;还有一部分学生要考研,数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法,习题(A)是针对基本方法的训练而编写的,因此,这一部分内容须重点讲解,并要求学生必须掌握;每一章的最后一节是综合例题,习题(B)具有一定的综合性和难度,可以选讲部分例题,数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时): 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性,独立随机试验、

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 (1)排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1.1:方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A . 4 B . 3 C . 2 D . 1 例1.2:有5个队伍参加了甲A 联赛,两两之间进行循环赛两场,试问总共的场次是多少? (2)加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m 种方法完成,第二种方法可由n 种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m ×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m 种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1.3:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法? 例1.4:6张同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女相间而坐,则不同的分法数为多少? 例1.5:用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里,每一区域涂上一种颜

色,且相邻区域的颜色必须不同,则共有不同的涂法 A.120种B.140种 C.160种D.180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1.6:晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不同的节目单? ①3个舞蹈节目排在一起; ②3个舞蹈节目彼此隔开; ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1.7:4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法? 例1.8:5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法? ①重复排列和非重复排列(有序) 例1.9:5封不同的信,有6个信箱可供投递,共有多少种投信的方法? ②对立事件 例1.10:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法? 例1.11:15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法? 例1.12:有4对人,组成一个3人小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性?

概率论与数理统计习题及答案

概率论与数理统计习题及答案 习题一 1.见教材习题参考答案. 2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C (1)A发生,B,C都不发生; (2)A与B发生,C (3)A,B,C都发生; (4)A,B,C (5)A,B,C都不发生; (6)A,B,C (7)A,B,C至多有2个发生; (8)A,B,C至少有2个发生. 【解】(1)A BC(2)AB C(3)ABC (4)A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (5) ABC=A B C(6) ABC (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3.. 4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P(AB). 【解】P(AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7, (1)在什么条件下P(AB (2)在什么条件下P(AB) 【解】(1)当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.6. (2)当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为0.3. 6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率. 【解】P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

= 14+14+13-112=34 7. 52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少? 【解】 p =5332 131313131352C C C C /C 8. (1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率; (3) 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】(1) 设A 1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故 P (A 1)= 517=(17 )5 (亦可用独立性求解,下同) (2) 设A 2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故 P (A 2)=5567 =(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日} P (A 3)=1-P (A 1)=1-( 17 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件,其中M 件正品.从中随机地取出n 件(n

概率论与数理统计知识点总结详细

概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2.样本空间、随机事件 1.事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生 φ=?B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件 2.运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??)( 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3.频率与概率 定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P

概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020

一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设事件B A ,仅发生一个的概率为,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案: 解: 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2.设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则 ==)3(X P ______. 答案: 解答: 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ,故 3.设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案: 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调,反函数为()h y =所以 4.设随机变量Y X ,相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,2)1(-=>e X P ,则=λ_________,}1),{min(≤Y X P =_________. 答案:2λ=,-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答: 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==,故 2λ= 41e -=-. 5.设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本,则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案: 解答: 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

概率论与数理统计课程教学大纲

概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 (一)课程名称:概率论与数理统计 所属专业:物理学 课程性质:必修 学分:3 (二)课程简介、目标与任务; 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科;它有着深刻的实际背景,在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习,使学生掌握概率与数理统计的基本概念,并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 (三)先修课程要求,与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接; 先修课程:高等数学。后续相关课程:统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础,起了重要作用。 (四)教材与主要参考书。 教材: 同济大学数学系编,工程数学–概率统计简明教程(第二版),高等教 育出版社,2012. 主要参考书: 1.浙江大学盛骤,谢式千,潘承毅编,概率论与数理统计(第四版), 高等教育出版社,2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计(第5版)影印版,高等教育出版社,2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件; 1.2 事件关系和运算。

第二章事件的概率 2.1概率的概念;2.2 古典概型;2.3几何概型;2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率; 3.2 全概率公式; 3.3贝叶斯公式;3.4 事件的独立性; 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数;4.2离散型随机变量;4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数;5.2 二维离散型随机变量;5.3 二维连续随机变量;5.4 边缘分布; 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布;6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数; 7.2 方差和标准差; 7.3协方差和相关系数; *7.4大数律; 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学;8.2统计量;8.3抽样分布。 第九章点估计

概率论与数理统计必考大题解题索引

概率论与数理统计必考大题解题索引 编制:王健 审核: 题型一:古典概型:全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式: ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为,为的事件,B ,B ,……,B 为的划分,且>0,则有: P ?…其中有:。特别地:当n 2时,有: 贝叶斯公式: ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ,B ,……,B 为S 的一个划分,且P ,……则有:特别地: 当n 2时,有: 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品,各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%,其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件,求: (1)恰好取到不合格品的概率; (2)若已知取到的是不合格品,它是第二家工厂生产的概率。 解:设事件 表示:“取到的产品是不合格品”;事件i A 表示:“取到的产品是第i 家工 厂生产的”(i =123,,)。 则Ω== 3 1i i A ,且P A i ()>0,321A A A 、、两两互不相容,由全概率公式得 (1)∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

《概率论与数理统计》课程教学大纲

《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号:450006 课程名称:概率论与数理统计 课程类别:公共基础课(必修) 学时学分:理论48学时/3学分 适用专业:计算机、自动化、经管各专业 开课学期:第一学期 先修课程:高等数学 后续课程: 执笔人: 审核人: 制(修)订时间:2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科,是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学,应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念,了解它的基本理论和方法,从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法,培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主,致力于讲清楚基本的概率统计思想,使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识,使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 (一)概率论的基本概念

1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念,掌握事件的关系与运算,掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 (1)教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念; ② 加法公式;乘法公式;全概率公式;贝叶斯公式。 (2)教学难点 ① 古典概型的有关计算;② 全概率公式的应用; ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式,以课堂讲授为主,课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学,学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 (1)理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念;熟练掌握事件的关系及运算 (2)理解频率和概率定义;熟练掌握概率的基本性质 (3)理解等可能概型的定义性质;,会计算等可能概型的概率 (4)理解条件概率的定义;熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式(5)理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 (二)随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念;理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质,会利用性质确定分布律和概率密度;理解分布函数的概念及性质,会利用此概念和性质确定分布函数,会利用概率分布计算有关事件的概率;掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布,会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 (1)教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念; ② 离散型随机变量分布律的求法;

概率论与数理统计课本_百度文库

第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件,就“事件”这一概念而言,它是定性的。要定量地研究随机现象,事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是,既然试验的所有可能的结果是知道的,我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值,在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系,从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次,观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果:“出现H”或“出现T”。为了便于研究,我们将每一个结果用一个实数来代表。比如,用数“1”代表“出现H”,用数“0”代表“出现T”。这样,当我们讨论试验结果时,就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系,实际上就相当于引入一个变量X,对于试验的两个结果,将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来,那么,对于样本空间的不同元素,变量X可以取不同的值。因此,X是定义在样本空间上的函数,具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的,因而X(ω)的取值也是随机的,为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只,测试它的寿命。这一试验的结果(寿命)本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命,它的取值由试验的结果所确定,随着试验结果的不同而取不同的值,X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间,如果对于 中的每一个元素 ,都有一个实数X( )与之相对应,则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后,就可以用它来描述事件。通常,对于任意实数集合L,X在 L上的取值,记为{X L},它表示事件{ |X( ) L},即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次,观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数,则X是一个随机变量。显然,X的取值为0,1,2,3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1.概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ,如果它满足如下三个条件: (1)非负性 A A P ?≥,0)( (2)正规性 1)(=ΩP (3)可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2.几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ,每一基本事件与S 内的点一一对应,则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。(若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比,而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。)==(每点等可能性)则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3.条件概率与乘法公式: 设A,B 是试验E 的两个随机事件,且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下,事件A 发生的条件概率。(其中)(AB P 是AB 同时发生的概率) 乘法公式:)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4.全概率公式与贝叶斯公式: (全概率公式)定理:设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分,n i A P i ,...,2,1,0)(=>,B 是任一事件,则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 (贝叶斯公式)定理:设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分,n i A P i ,...,2,1,0)(=>,B 是任一事件,则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5.事件的独立性: 两事件的独立性:(定义)设A 、B 是任意二事件,若P(AB)= P(A)P(B),则称事件A 、B 是相互独立的。(直观解释)A 、B 为试验E 的二事件,若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数:

(完整版)概率论与数理统计课程标准

《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 (一)课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics),由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科,是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲,它是一门基础性学科,它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 (二)先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等,这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合,以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索,也为其它学科的

进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念,熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法,并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 (一)能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系,使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 (二)知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理; 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算; 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 (三)素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神; 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力; 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求,本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配

《概率论与数理统计》课程自学指导书

《概率论与数理统计》课程自学指导书 前言 . . 《概率论与数理统计》是城市规划专业和地理信息系统专业的专业必修课。《概率统计》教材系统阐述了概率论和数理统计的基本内容、理论和应用方法。概率统计是研究随机现象客观规律的数学学科,它的应用非常广泛,并具有独特的思维和方法。通过概率论的学习能使学生了解概率与数理统计的基本概念和基本理论,初步掌握处理随机现象的基本思想和方法,培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。通过本课程的学习,能够为学生学习后继课程及进一步提高打下必要的数学基础。其内容可分为三大部分。第一部分概率论部分,包括第一、二、三、四、五章。作为基础知识,为读者提供了必要的理论基础。第二部分数理统计部分,包括第六、七、八、九章,主要讲述参数估计和假设检验,并介绍了方差分析和回归分析。第三部分随机过程部分,主要讨论了平稳随机过程,还介绍了马尔可夫过程。 本指导书是作为函授学员在集中授课后,指导自学而编制的。内容较为简明扼要。主要是为了让学员能够抓住要领,掌握重点,理解难点,从而达到能够融会贯通、灵活掌握概率统计的基本概念、基本理论从而解决实际问题的目的。 本指导书的主要参考书目: 1. 景泰等编。概率论与数理统计.上海科学技术文献出版社,1991. 2. 玉麟主编。概率论与数理统计.复旦大学出版社,1995。 3.大茵,陈永华编。概率论与数理统计。浙江大学出版 社.1996 本课程的考核内容以教学大纲为依据,注重基本概念、基本理论的掌握和应用的考核。主要考核方式为笔试。 第一章概率论的基本概念 一、内容概述 # 本章介绍了概率论的基本概念:随机试验、样本空间、随机事件、频率与概率,讨论研究等可能概型问题、条件概率及独立性问题。 二、教学目的要求 # (1) 理解并掌握概率论的基本概念。

概率论与数理统计试题与答案

概率论与数理统计试题 与答案 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题(本题满分18分,每题3分) 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ,若9 5 )1(= ≥X p ,则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立,1,2==DY DX ,则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2,则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本,则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ,2σ未知,则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。(按下侧分位数) 二、选择题(本题满分15分,每题3分) 1、 若A 与自身独立,则( ) (A)0)(=A P ; (B) 1)(=A P ;(C) 1)(0<

自考概率论与数理统计基础知识.

一、《概率论与数理统计(经管类)》考试题型分析: 题型大致包括以下五种题型,各题型及所占分值如下: 由各题型分值分布我们可以看出,单项选择题、填空题占试卷的50%,考查的是基本的知识点,难度不大,考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查,要求考生不仅要牢记重要的公式,而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查,要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习,就会很容易的掌握解题思路。总之,只要抓住考查的重点,记住解题的方法步骤,勤加练习,就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计(经管类)》考试重点说明:我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级,即一级重点、二级重点、三级重点,其中,一级重点为必考点,本次考试考查频率高;二级重点为次重点,考查频率较高;三级重点为预测考点,考查频率一般,但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1.随机事件的关系与计算 P3-5 (一级重点)填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2.古典概型中概率的计算 P9 (二级重点)选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 (一级重点)选择、填空 ,(考得多)等,要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 (一级重点)选择、填空记住条件概率的定义和公式: 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 (二级重点)计算记住全概率公式和贝叶斯公式,并能够运用它们。一般说来,如果若干因素(也就是事件)对某个事件的发生产生了影响,求这个事件发生的概率时要用到全概率公式;如果这个事件发生了,要去追究原因,即求另一个事件发生的概率时,要用到贝叶斯公式,这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性(概念与性质) P18-20(一级重点)选择、填空定义:若,则称A与B 相互独立。结论:若A与B相互独立,则A与,与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21(一级重点)选择、填空在重贝努利试验中,设每次试验中事件的概率为(),则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8.离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29,P31(一级重点)选择、填空、计算、综合。记住分布律中,所有概率加起来为1,求概率时,先找到符合条件的随机点,让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值,和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33(一级重点)选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主,记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37(一级重点)选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数,记住利用分布函数计算概率的公式:①;②其中;③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39(一级重点)选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算,如①;;反之,满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③;④ 设为的

《概率论与数理统计》课程重点与难点要记

《概率论与数理统计》课程重点与难点要记 第一章:随机事件及其概率 题型一:古典概型 1.房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章的号码,求最小号码为5的概率,及最大号码是5的概率。 2.设袋中有5个白球,3个黑球,从袋中随机摸取4个球,分别求出下列事件的概率: 1)采用有放回的方式摸球,则四球中至少有1个白球的概率; 2)采用无放回的方式摸球,则四球中有1个白球的概率。 3.一盒子中有10件产品,其中4件次品,每次随机地取一只进行检验, 1)求第二次检验到次品的概率; 2)求第二才次检验到次品的概率。 4.在1-2000的整数中随机的取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除 的概率是多少?(合理的设置事件,通过概率的性质解题也很重要) 课后习题:P16:2,3,4,5, 7,9,10,11,12,13,14 P30:8,9,10,16 题型二:利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率 1。3人独立去破译一个密码,他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3,问能将此密码译出的概率。 2。设口袋有2n-1只白球,2n 只黑球,一次取出n 只球,如果已知取出的球都是同一种颜色,试计算该颜色是黑色的概率。 3。设袋中装有a 只红球,b 只白球,每次自袋中任取一只球,观察颜色后放回,并同时放入m 只与所取出的那只同色的球,连续在袋中取球四次,试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球,第四次取到红球的概率。 课后习题:P23:1,2,3,4,6,10,11 P28:1,2,4,5,6,7,9,10,12, 13 题型三:全概率与贝叶斯公式 1.在一个每题有4个备选答案的测验中,假设有一个选项是正确的,如果一个学生不知道问题的正确答案,他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%,试求: (1)学生回答正确的概率; (2)假如某学生回答此问题正确,那么他是随机猜出的概率。 2.一通讯通道,使用信号“0”和“1”传输信息。以A 记事件收到信号“1”,以B 记事件发出信号“1”。已知()0.4,(/)0.95,(/)0.90P B P A B P A B ===。 1)求收到信号“1”的概率? 2)现已收到信号“1”,求发出信号是“1”的概率? 课后习题:P23:7,8,9,12 P31:19,26,27,28 第二章:随机变量及其分布 题型一:关于基本概念:概率分布律、分布函数、密度函数 1.一房间有三扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了

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