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2016年浙江省数学高考模拟精彩题选——三角函数 Word版含答案

2016浙江精彩题选——三角函数

1.（2016宁波十校16）．（本题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线.（Ⅰ）求cos B ；

（Ⅱ）若5b c a c ==<，，且2AD DC =，求BD 的长度. 解：（Ⅰ）

(45,5)m a c b =-与(cos ,cos )n C B =共线，

54cos 5sin 4sin 4cos 4sin a c C A C

b B B

--∴

4sin cos 4cos sin 5sin cos B C B C A B ∴+= 4sin()4sin 5sin cos B C A A B ∴+==

在三角形ABC △中，sin 0A ≠

cos 5

B ∴=

……………………………………………………7分

（Ⅱ）5b c a c ==<，且4

cos 5

B =

2222cos a c ac B b ∴+-=即24

2525105

a a ∴+-??=

解得35a a ==或（舍）……………………………………………9分

2AD DC =12

BD BA BC ∴=+

2222214121412

2c 2cos 99339933

BD BA BC BA BC a a c B ∴=++???=++????

将3a =和5c =代入得：2

109

BD =

BD ∴……………………………………………14分 2.（2016嘉兴二模16）（本题满分14分）

在△ABC 中，设边c b a ,,所对的角为C B A ,,，且C B A ,,都不是直角，22cos cos )8(b a B ac A bc -=+-．

（Ⅰ）若5=+c b ，求c b ,的值；

（Ⅱ）若5=a ，求△ABC 面积的最大值．

解：（Ⅰ）222

2222222)8(b a ac

b c a ac bc a c b bc -=-+?+-+?-

222

222222222

282b a b c a bc a c b a c b -=-++-+?--+

0282

222

=-+?--+bc

a c

b a

c b ， ∵△ABC 不是直角三角形，∴04=-bc

故4=bc ，又∵5=+c b ，解得???==41c b 或?

??==14

c b

（Ⅱ）∵5=a ，由余弦定理可得

A A bc bc A bc c b cos 88cos 22cos 2522-=-≥-+=，所以8

cos ≥

A ，所以855

sin ≤

A ，所以4

55sin 21≤=?A bc S ABC ．所以△ABC 面积的最大值是455，当8

cos =A 时取到．

3.（2016衢州二模 16）（本题满分14

分）已知2

()cos cos f x x x x =?+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）在锐角△ABC 的三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()1f C =，

求222

a b c ab

++的取值范围.

解：（I

）2()cos cos f x x x x =?+

∴ ()2sin(2)6

f x x π=+

Q 222262k x k πππππ-≤+≤+ ∴36

k x k ππ

ππ-≤≤+

∴函数()f x 的单调递增区间,,36Z k k k ππππ?

?-+∈???

（II ）Q ()1f C = ∴()2sin(2)1

6f C C π

=+=

∴2266C k πππ+=+或52266C k πππ+=+ k ∈Z

∴3

C π

由余弦定理得：222

c a b ab =+-

∴222222()12()1

a b c a b b a ab ab a b +++=-=+- Q △ABC 为锐角三角形 ∴02

2032

{

A A π

ππ

<<<

-<∴

A π

由正弦定理得：2

sin()

sin 113,2sin sin 2tan 22A b B a A A A π-??=

==+∈ ???

∴[)2223,4a b c ab

++∈

点评：注意题中的锐角这个条件

4.（2016五校联考二16）（本小题满分15分）如图，四边形ABCD ，

60DAB ∠=，,CD AD CB AB ⊥⊥。（Ⅰ）若22CB CD ==，求ABC

?的面积；（Ⅱ）若3CB CD +=，求AC 的最小值。

（Ⅰ）∵,,,A B C D 四点共圆，∴0120DCB ∠=

22202cos1207BD BC CD CD CB =+-=，即BD =

所以0

sin 603

BD AC =

=，故AB ==

153

ABC S AB BC ?=

7分法二：如图，延长AD 、BC 相交于E ，从图形上看最快。

（Ⅱ）设0,0BC x CD y =>=>，则3x y +=

()2

222BD x y xy x y xy =++=+-

()()2

12744x y x y BD ≥+-

+=?≥

∴

03sin 60BD AC BD =

=≥

当3

BC CD ==时取到。 15分

5.(2016新高考研究联盟16)在?ABC 中，内角A 、B 、C 的所对的边分别是a 、b 、c ，已知cosC=

，

2221

a b c =+.(Ⅰ)求sin(A-B)的值；(Ⅱ)若

求a 和b.

解：

sin(A-B)=

,a=3,b=2 分析：法一：22222

13cos 422a b c b a C ab ab

+--===，32b a ∴=，3sin 2sin B A =，找到关

系，可求

法二:222222sin sin sin()sin cos cos sin 22a C a c b b c a b C

A B A B A B c ac bc c

+-+--=-=?-? 222

sin (22)

2C a b c

-= 法三：2

sin()sin sin 22a c b b c a

A B A B ac bc +-+--=?

-?=223122sin sin 22c c A B ac bc

?-? 法四：

(Ⅱ)2222

51102

a b a b ab ?=+??=+-??

6.（2016样卷题）在ABC ?中，内角A B C ,,所对的边分别是a b c ,,．已知cos cos a B b A =，边BC 上的中线长为4．

(Ⅰ) 若π

A =

，求c ； (Ⅱ) 求ABC ?面积的最大值．解：(Ⅰ) 由cos cos a B b A =及正弦定理得

sin cos sin cos A B B A =， .........1分

所以

sin()0A B -=，故

B A ==

， .........3分

所以c =，由余弦定理得

22π

16()2cos 226

a a c c =+-?，

解得

c =

.........6分 (Ⅱ) 由A B =知2cos c a A =，及2216()2cos 22

a a

c c A =+-?，解得

2264

18cos a A

+． .........8分

所以ABC ?的面积

22164sin cos sin 2sin 9cos A A

S ac A A A

+． .........10分

由基本不等式得

S ≤

，.........13分

当且仅当sin 3cos A A =时，等号成立．

所以ABC ?面积的最大值为

． .........14分法二：（强力运算法）设θ=∠==C x CD x CA ,2

,，则，θθsin 2

sin 212122x x x S ABC =????

=?，又由余弦定理，得2

1645cos x

x -=θ 4

222)1645

(12

1sin 21x x x x S ABC --==

?θ=22

2364)9320(16921??

? ??+--x 3

36421=

?≤

法三：（学生最爱法），如图建系，设)0,2(c A -

，)0,2(c B ，),0(h C ，则)2

,4(h

c D ，则2432416916||222

h c h c AD ??≥+== 364≤

∴ch 3

3221≤=∴?ch S ABC

法四：（切割法），如图，G 为ABC ?的重心，则3

GA ，设θ=∠GAC ， θθsin )cos 38(382166????==∴??AGO

ABC S S 3

2sin 332≤

?θ 当4

θ=时取等号。

法五：（最本质方法），由||2||CD CA =可知，C 的轨迹为阿波罗尼斯圆，圆心在直线

上，半径为

，则

3842122=

???≤=∴??ADC ABC S S

7.已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为,c b a 、、c b 3=其中

（Ⅰ）若31

cos =

A ，求sin C 的值；

（Ⅱ）若AD 是A 的角平分线，且AD kAC =，求k 的取值范围.