7、11、13整除判定法则

7、11、13的整除判定法则

华图教育邹维丽

在公务员考试数学运算这部分中，不少题目通过适当运用数的整除性质就可快速选出答案，这就要求考生对数的整除判断法则要熟练掌握。下面我们先给出一些特殊数的整除判定基本法则：

一、能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性

能被2 （或 5）整除的数，末位数字能被2（或 5）整除；

能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；

能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；

一个数被2（或5）除得的余数，就是其末位数字被2（或5）除得的余数一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数

一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数

二、能被3、9 整除的数的数字特性

能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。

三、能被7 整除的数的数字特性

能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。

能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。

四、能被11 整除的数的数字特性

能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。

能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。

五、能被13 整除的数的数字特性

能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。

从上述表述中，我们发现7、11、13有一个相同的整除判断法则，就是判断其末三位与剩下的数之差，那么，为什么7、11、13有相同的整除判断法则呢？

事实上，这一规律源自经典分解1001=7×11×13。下面我们利用1001=7×11×13来证明能被7整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7整除。

设abcd为超过三位的数，其中b, c, d分别为百位数、十位数、个位数，则

=+，

1000

abcd a bcd

为了凑出1001，我们将1000a写成1001a a

-，于是我们有

=+=-+=+-

abcd a bcd a a bcd a bcd a

100010011001()

因为1001能被7整除，所以，若bcd a

-能被7 整除，则上式右边能被7整除，因此左边也能被7整除，即abcd能被7整除；若bcd a

-不能被7 整除，则上式右边不能被7整除，因此左边也不能被7整除，即abcd不能被7整除。

同理可证能被11或13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11或13 整除。

更多详细内容尽在山东华图https://www.wendangku.net/doc/6513828762.html,/SDHT/

2011年国家公务员考试大纲深度解读，详情点击查看https://www.wendangku.net/doc/6513828762.html,/2011guokao/

能被特殊数整除的特征

能被特殊数整除的特征 1、 能被2整除的数的特征。 如果一个数能被2整除，那么这个数末尾上的数为偶数，“0”、“2”、“4”、“6”、“8”。 2、能被3整除的数的特征。 如果一个数能被3整除，那么这个数所有数位上数字的和是3的倍数。 例如： 225能被3整除，因为2+2+5=9,9是3的倍数，所以225能被3整除。 3、能被4整除的数的特征。 如果一个数的末尾两位能被4整除，这个数就能被4整除。例如：15692512能不能被4整除呢？因为15692512的末尾两位12，能被4整除，所以15692512能被4整除。 4、能被5整除的数的特征。 若一个数的末尾是0或5则这个数能被5整除。 5、能被7 整除的数的特征。 方法一： 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7 的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否是7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否是7 的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数； 又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139 是7的倍数，以此类推。 方法二： 如果一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差，是7的倍数，那么这个数就能被7整除。例如：280678末三位数是678，末三位以前数字所组成的数是280,679-280=399,399能被7整除，因此280679也能被7整除。 方法三： 首位缩小法，减少7的倍数。 例如，判断452669能不能被7整除，452669-420000=32669，只要32669能被7整除即可。可对32669继续，32669-28000=4669,4669-4200=469,469-420=49,49当然被7整除所 以452669能被7整除。 6、能被8 整除的数的特征。 若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

第二讲整除与同余(教师版)

A ( a m 1 a m 2 a 0 ) p . 【例题分析】 位数? 于是所求的三位数只有 512. 3 .一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与 千位数字互换，十位数字与百位数字互换） ，所得的新数减去原数，所得的差为 7812，求原来的四位数。 解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为 x,y,z ，则 3 2 原数 10 x 10 y 10z y ①; Q O 颠倒后的新数 103y 102z 10y x ② 、整数的进位制 1、【十进制数】给定一 个 m 位的正整数 10 的m 1次多项式，即A m 1 a m 1 10 i 01,2, L ,m 1 且 a m 1 2、【p 进制数】若十进制正整数 A 第二讲 整除与同余 A ，其各位上的数字分别记为 a m 1,a m 2, ,a 。, A 可以表示成 m 2 a m 2 10 A a m 1 a m 可以表示为: a {0,1,2,L,p 1}, i 0,,,2,L,m 1 且 a m 1 0 , a i 10 a °，其中 a i {0,1,2,L ,9}, 2 a 0 . m 1 A a m 1 p a m 2 m 仍然为十进制数，则称 a 1 p a ，其中 p 进制数，记为 解: 由于 100 abc 999，则100 (a b 3 c) 999，从而 5 a b c ! 9 ； 当a b c 5时， 53 125 (1 2 5)3 ; 3 当a b c 6时，6 216 (2 1 6)3; 当a b c 7时， 73 343 (3 4 3)3 ; 3 当a b c 8时，8 512 (5 1 2)3; 当a b c 9时， 93 729 (7 2 9)3; b c ）3的所有三位数 1、（2008）a 是由2005个9组成的2005 位数, 是由2005个8组成的2005 为数, 则ab 是（） A 4000 B 4004 C 4008 4010 2.求满足abc (a abc 。

能被7、11整除数的特点

五年级下册数学第一周双休日补充作业能被11整除的数的特征 一、学习材料 把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除。 例如：判断491678能不能被11整除。 —→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此，491678能被11整除。 这种方法叫“奇偶位差法”。 除上述方法外，还可以用割减法进行判断。即：从一个数里减去11的10倍、20倍、30倍……到余下一个100以内的数为止。如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除。 又如：判断583能不能被11整除。 用583减去11的50倍（583-11×50=33）余数是33，33能被11整除，583也一定能被11整除。 二、练习：用上述方法判断下列3个数是不是能被11整除 请写出过程 （1）53416 （2）695799 （3）502678

能被7整除的数的特征 一、学习材料 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。 如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数； 又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 二、练习：用上述方法判断下列3个数是不是能被7整除 请写出过程 （1）45661 （2）1015 （3）562745

余数与同余问题

余数同余问题 1、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数 这四个数的和为463，那么除数为： 2、57、96、148被某自然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个自然数除后余： 3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同一个奇数，那么所得的余数 是： 4、有一个自然数，用它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这 个自然数是： 5、一个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是： 6、两个小于100的不同自然数去除440，余数都是35，这两个数的差为： 7、一个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为： 8、有一个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的 和是79，被除数和除数相差56，这个算式是： 9、一个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个自然数是： 10、2010除以一个两位数ab=（），使所得余数最大。 11、1）一个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 2）一个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 12、在大于2010的自然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是： 13、用一个自然数A去除333，商得4，用所得余数去除自然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最小为： 14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是一个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是： 15、一个自然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是： 16、一个自然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满足条件的所有自然数的和是： 17、10个自然数的和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30，若用四舍五入法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有： 18、一个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是： 19、在小于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有： 20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有： 21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。 22、已知“2n－N”是一个9的倍数，那么N在1000以内的自然数中有（）种取值。 23、已知N是从1到100的自然数，那么 1）有（）个N的值满足N2－1能被7整除； 2）有（）个N的值满足2n－1能被7整除。 24、甲、乙、丙三数分别为526、539、705，某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2：3，那么A是：（） 25、用一个大于1的自然数去除963582、714所得的余数依次成等差数列，那么除数可以是： 26、有一个三位数，它除以19所得到的商与余数之和，恰好等于它除以17所得到的商与余

能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征

能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征 能被2整除的数的特征是个位上是偶数， 能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍数） 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 能被5整除的数个位上的数为0或5， 能被7整除的数的特征 若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 能被9整除的数的特征是所有位数的和是9的倍数 能被11整除的数的特征 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。 例如：判断491678能不能被11整除。 奇位数字的和9+6+8=23 偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。 能被13整除的数的特征 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 如：判断1284322能不能被13整除。 128432+2×4=128440 12844+0×4=12844 1284+4×4=1300 1300÷13=100 所以，1284322能被13整除。 【其它方法：能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。】 例1：判断1059282是否是7的倍数？ 例2：判断3546725能否被13整除？ 能被17整除的数的特征 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 例如：判断1675282能不能被17整除。 167528-2×5=167518 16751-8×5=16711 1671-1×5=1666 166-6×5=136 到这里如果你仍然观察不出来，就继续…… 6×5=30，现在个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除。

最新数学归纳法证明例题

例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k

()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…

余数与同余解析

六余数和同余 1.有余数的除法各部分之间的关系： 被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法 2.除法算式的特征:余数＜除数 3.有关余数问题的性质： 性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。 性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。 解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。 1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□ 余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。根据被除数﹦商×除法＋余数，算得： 0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24； 4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。 所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？ 这道题可采取经典的余数处理方法------凑。 这个凑，可不是漫无目的的凑。而是有理有据才行。 1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。 2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。 3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37. 4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数）） 5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37. 6、结果是17+22×37即为答案。 在作除法运算时，我们有这样的经验： (1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23， (2)一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4. 389÷5=77......余4，389÷7=55......余4，389÷11=55 (4) 由此，我们可以来讨论下面的两个问题.

数的整除11

数的整除姓名 1(例)、判断：354796能不能被4整除？能否被8整除？ 2、（1）写一个六位数，使它能被4整除。（2）写一个六位数，使它能被8整除。 3(例)、在□里填上适当的数，使47587□能被25整除。4、在□里填上适当的数，使47587□能被9整除。 5(例)、923□□后面填上什么数字，使它能被60整除？6、97247□□后面填上什么数字，使它能被45整除？ 7(例)、在□里填上适当的数字，使七位数□2002□□能同时被8、9、25整除。 8、已知一个五位数□392□能被55整除，所有符合条件的五位数有哪些？ 9(例)、小明妈妈去批发市场购了72条毛巾，回家后不小心把发票弄脏了，只能看到总计栏里金额为□54.9□元，请你算算这些毛巾共用了多少钱？ 10、一位马虎的采购员购买了72只热水瓶，洗衣服时把发票洗烂了，只能依稀看到：72只热水瓶共□63.5□元（□内数字看不清），请你帮他算一算，共用了多少钱？ 11(例)、右边这个17位数333……3□999……9(其中3和9各8个)能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？ 12、右边这个41位数777……7□444……4(其中7和4各20个)能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？ 13（例）、商店里有6箱货物，分别重18、19、20、22、25、27千克，两位顾客买去了其中的5箱，已知一个顾客买走的重量是另一个顾客的2倍，问商店里剩下的一箱货物重多少千克？ 14、有一水果店进了6袋水果，分别装着苹果和橘子。重量分别是18、20、30、31、38、46千克，当天下午卖出一袋苹果，在剩下的5袋水果中，橘子是苹果的3倍，问水果店进了多少千克橘子？ 练习题(A组) 1、在62的右边补上三位数，组成一个五位数使它能被3、4、5整除，求这样的最小五位数。 2、一个五位数各个数位上的数各不相同，它能被 3、5、7、13整除，这样的五位数最小是几？ 3、一个五位数能被11整除，首位是7，其余数位上的数各不相同，这五位数最小是几？ 4、有一个六位数□2002□能被88整除，求这个六位数。 5、Ａ8914Ｂ能被24整除，这个六位数是几？ 6、同时能被3、4、5整除的最小四位数是多少？ 7、右面各数中哪些能被18整除，哪些能被13整除？186102，39052140，1313135005，3847256 能被18整除的有（）；能被13整除的有（）。 8、已知四位数3Ａ80，如果它能被12整除，那么Ａ＝？ B组 1、一次数学竞赛中，有这样一道题，写一个无重复数的五位数，要能被72整除，小明匆忙中写下了□047□，

数学归纳法证明整除

数学归纳法证明整除 数学归纳法证明整除数学归纳法 当n=1 的时候 上面的式子 = 3^4-8-9=64 成立 假设当n=k 的时候 3^(2k+2)-8k-9能够被64整除 当n=k+1 式子= 3^(2k+4)-8k-17 =9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64 因为 3^(2k+2)-8k-9能够被64整除 ∴ 9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64 能够被64整除 n=k+1 时，成立 根据上面的由数学归纳法 3的2n+2次方-8n-9(n属于N*)能被64整除。 2 当n=1时 3^4-8-9=81-17=64 能被4整除·····(特殊性) 设当n=k时，仍然成立。 当n=k+1时，·····················(一般性) 3^(2(k+1)+2)-8(k+1)-9=3^(2K+2+2)-8K-17

=9*3^(2K+2)-72K+64K-81+64=9(3^(2k+2)-8k-9)+64k+64 因为3^(2k+2)-8k-9能被64整除 不用写了吧·· 正确请采纳 数学归纳法 当n=1 的时候 上面的式子 = 3^4-8-9=64 成立 假设当n=k (k>=1) 3^(2k+2)-8k-9能够被64整除 当n=k+1(k>=1) 式子= 3^(2k+4)-8k-17 =9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64 由9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64-(3^(2k+2)-8k-9)可以被64整出n=k+1 时，成立 根据上面的由数学归纳法 3的2n+2次方-8n-9(n属于N*)能被64整 3.证明:对于任意自然数n (3n+1)*7^n-1能被9整除 数学归纳法 (1)当n=1时 (3*1+1)*7-1=27能被9整除 (2)假设当n=k时 (3k+1)*7^k-1能被9整除 则当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1

用同余理论解决整除问题

用同余理论解决整除问题 重庆沙坪坝杨公桥小学 蒋焘 摘 要：在数的整除理论中，经常要判断一个数能否被另一个数整除。虽然用初等方法也能证明判断的正确性，但其技巧性很强,而技巧性的东西是一时难于捕捉到的。如果用同余理论解决这类问题，就简捷明了。本文主要利用同余性质给出一些整除问题的判别方法并阐述同余理论在整除问题中的一些应用。 关键词：同余;整除;判别方法 1 同余的基本概念和性质 整除性的证明被公认为是中学数学、特别是数学竞赛的难题之一，但用同余思想方法指导解决整除性问题就要容易和易于掌握得多。本文主要阐述同余理论在整除问题中的一些应用。 定义1.１ 设a,b 是任意两个整数，其中b ≠0，如果存在一个整数q 使得等式a ＝bq 成立，我们就说b 能整除a 或a 能被b 整除，记作b|a ，否则记作b a 。 定义1.２ 给定一个正整数m ，把它叫做模。如果用ｍ去除任意两个整数a 和b 所得的余数相同，我们就说a ，b 对模ｍ同余，记做()mod a b m ≡。如果余数不相同，我们就说a ，b 对模ｍ不同余，记做a ()mod b m 。 定理1.1 ()mod a b m ≡的充分必要条件是|m a b -。 性质1.1 ()mod a a m ≡。 性质1.2 若()mod a b m ≡，则()mod b a m ≡。 性质1.3 若()mod a b m ≡，()mod b c m ≡，则()mod a c m ≡。 性质1.4 若()11mod a b m ≡，()22mod a b m ≡，则1a ±2a 1b ≡±2b ()mod m 。 若(mod )a b c m +≡，则(mod )a c b m ≡-。 性质1.5 若()11mod a b m ≡，()22mod a b m ≡， 则()1212mod a a bb m ≡，()11mod a c b c m ≡，c 为任意整数。

数学归纳法+直接证明与间接证明

数学归纳法+直接证明与间接证明 题型一：数学归纳法基础 1、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111111112( ) 2 3 4 1 2 4 2n n n n -+-++ =+ ++ -++ 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数） 时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （） A ．1+=k n 时等式成立 B ．2+= k n 时等式成立 C ．2 2+=k n 时等式成立 D ．)2(2+=k n 时等式成立 2、已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数） 时命题为真，，则还需证明（ ） A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立 3、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+= k n 时命题也成立. 现已知当7 =n 时该命题不成立，那么可推得（） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=8时该命题不成立 D ．当n=8时该命题成立 4、利用数学归纳法证明 “*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-???????=+???++ ”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B 1 12++k k C 1 ) 22)(12(+++k k k D 1 32++k k 5、用数学归纳法证明),1(1112 2 * +∈≠--= ++++N n a a a a a a n n ，在验证 n=1时， 左边计算所得的式子是（ ） A. 1 B.a +1 C.21a a ++ D. 421a a a +++ 典例分析

能被11整除的数的特征

能被11整除的数的特征 能被11整除的数的特征 把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数(包括0),那么，原来这个数就一定能被11整除? 例如：判断491678能不能被11整除. >奇位数字的和9+6+8=23 > 偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除. 这种方法叫"奇偶位差法". 除上述方法外，还可以用割减法进行判断?即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除? 又如：判断583能不能被11整除. 用583减去11的50倍(583- 11 X 50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除? (1)1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，0,a为整数，贝U a|0. (2)若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除。 (3)若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 (4)若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 (5)若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。 (6)若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 (7)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截 尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的 过程如下：13 —3X2= 7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613 —9X2 = 595 , 59 —5X2= 49，所以6139是7的倍数，余类推。 (8)若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 (9)若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 (10 )若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除。 (11 )若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是 2而是1 ! (12 )若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 (13 )若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的

数学归纳法证明例题

例1.用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n ． 请读者分析下面的证法: 证明：①n ＝1时,左边31311=?=，右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =ｋ时，等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k . 那么当n =ｋ+1时,有: ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说,当n ＝k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设ｎ=k 这一步,当ｎ=k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n ＝ｋ+1时. ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k

()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明,当n ＝k +１时,等式亦成立, 例２.是否存在一个等差数列｛a ｎ},使得对任何自然数n ，等式: a 1+2a ２＋3a ３+…+n ａn =ｎ（n ＋１）(n +2) 都成立，并证明你的结论. 分析：采用由特殊到一般的思维方法,先令ｎ=1,２，3时找出来｛a n },然后再证明一般性. 解：将ｎ=1,２，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a , 解得a 1=6，a 2=9，a ３=1２，则d ＝３． 故存在一个等差数列a n =3n +３，当n ＝1，２,３时,已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3,对大于3的自然数，等式 ａ１+２a 2+3ａ3+…＋ｎa n =n (n +１）(n +２)都成立. 因为起始值已证，可证第二步骤. 假设n =ｋ时,等式成立，即 a 1+2a ２＋３a 3+…+ka k =k （ｋ+1）(k ＋2) 那么当ｎ=k +１时， ａ1+2a 2＋3a 3+…＋ka k ＋(ｋ+１)ａk +1 = ｋ(k +1)（k +２)+ (k +1)[３(ｋ+1)+3] =(k ＋1)(k ２+2k +3k +6) =(k +１）(k +２）(k +3） =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当ｎ=k +1时,也存在一个等差数列ａn =３n +3使a 1+２a 2+３a 3+…+n ａｎ=n （n +１)(ｎ+2)成立. 综合上述,可知存在一个等差数列ａn =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1＋2a 2+3a 3+…+na ｎ=ｎ（ｎ+1)(n +2)都成立.

能被7-11-13整除的数规律

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 能被9整除的数的规律 规律：能被9整除的数,这个数的所有位上的数字的和一定能被9整除。 能被11整除的数的规律 若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法:去掉个位数，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。如果差太大或心算不易看出是否11的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断132是否11的倍数的过程如下：13－2＝11，所以132是11的倍数；又例如判断10901是否11的倍数的过程如下：1090－1＝1089 ，108－9＝99，所以10901是11的倍数，余类推。

相当于1000除以13余-1，那么1000^2除以13余1（即-1的平方）,1000^3除以13余-1,…… 所以对一个位数很多的数（比如：51 578 953 270），从右向左每3位隔开 从右向左依次加、减，270-953+578-51=-156能被13整除，则原数能被13整除 什么样的数能被7和11和13整除？？？有什么规律是分开来的三个问题还是同时被这三个整除？ 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推 能被11整除的数的特征

被20以内整除数的特征

被0—20以内数整除的数性质 （1）1与0的特性： 1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a. 0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除. （3）若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除. (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除. （5）若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除. （6）若一个整数能同时被2和3整除,则这个数能被6整除. （7）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断294是否是7的倍数的过程如下：29-4×2=21,所以294是7 的倍数；又例如判断3983是否是7的倍数的过程如下：398－3×2＝392 ,39－2×2＝35,所以3983是7的倍数,以此类推. （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除. （9）若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除. （10）若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除. （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除.例如,判断649是否是11的倍数的过程如下：

因为奇数位之和6+9=15,15减去4等于11，所以649是11的倍数. （12）若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除. （13）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除.如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断585是否是13的倍数的过程如下：58+5×4=78,7+8×4=39,所以585是13的倍数;又例如判断8476是否是13的倍数的过程如下：847+6是否是13的倍数的过程如下：4=871,87+1×4=91,9+1×4=13,所以585是13的倍数. （14）若一个整数同时被2和7整除,则这个数能被14整除.例如,判断6328是否是14的倍数的过程如下：首先6328能被2整除，其次判断它被7整除特征，632-8×2=616,61-6×2=49，因此6328是7的倍数，即6328是14的倍数. （15）若一个整数同时被3和5整除,则这个数能被15整除.判断方法与被6、14整除类似，与下文的18,20一样. （16）若一个整数末尾四位数能被16整除，则这个数能被16整除. （17）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除.如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断7701是否是17的倍数的过程如下：770-1×5=765,76-5×5=51,所以7701是17的倍数. （18）若一个整数同时能被2和9整除,则这个数能被18整除.

能被11整除的数的特点

能被11整除的数的特点 例1 判断七位数1839673能否被11整除。 分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。 根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。 一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。 例2 求下列各数除以11的余数： （1）41873；（2）296738185。 分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11＝0……7， 所以41873除以11的余数是7。 （2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。（17+11×2）-32＝7， 所以296738185除以11的余数是7。

需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。 例3 求除以11的余数。 分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。 （9×100-1×101）÷11 =799÷11=72……7， 11-7=4，所求余数是4。 例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1＝8，奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。

数学归纳法经典例题详解

例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k

()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．

数的整除特征47662

数的整除特征 1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。 2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。 3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。 4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9 或3整除。 5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被 7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。 6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。 【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一 能被15整除，A 与B 可以是哪些数字？ 【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位

数。问：这样的三位数有几个？ 【例3】五年级（1）班有36名同学，每人买了一本英语词典，共花了6 问：每本词典多少钱？ 【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。

【例5】要使27A3B 一一一一一一这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？ 【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？ 数的整除专项练习： 1、五位数6A25B 一一一一一一一一的A ，B 各是什么数字时，这个五位数能被75整除？问：这样的五位数共有几个？

2、在 内填上合适的数使七位数 能被72整除。 3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。 4能被11整除，求这个六位数。