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有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.6四结点四边形等参元,2.7八结点曲线四边形等参元,2.8问题补充)

有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.6四结点四边形等参元,2.7八结点曲线四边形等参元,2.8问题补充)
有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.6四结点四边形等参元,2.7八结点曲线四边形等参元,2.8问题补充)

2.6 四结点四边形单元

(The four-node quadrilateral element)

前面介绍了四结点的矩形单元

其位移函数:

xy y x U 4321αααα+++=

xy y x V

8765αααα+++=

为双线性函数,应力,应变在单元内呈线性变化,比常应力三角形单元精度高。但它对边界要求严格。本

节介绍的四结点四边形等参元,它不但具有较高的精度,而且其网格划分也不受边界的影响。

对任意四边形单元(图见下面)若仍直接采用前面矩形单元的位移函数,在边界上它便不再是线性的(因边界不与x,y轴一致),这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象(非协调元),而使收敛性受到影响。可以验证,利用坐标变换就能解决这个问题,即可以通过坐标变换将整体坐标中的四边形(图a)变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。

正方形四个结点i,j,m,p按反时钟顺序对应四边形的四个结点i j m p。 正方形的

1?=η 和 1=η 二条边界,分别对应四边形的i,j边界和p,m边界;ξ=-1和ξ=+1分

别对应四边形的i,p边界和j,m边界。

如果用二组直线等分四边形的四个边界线段,使四边形绘成一个非正交网格,那么该非正交网格在正方形上对应着一个等距离的规则网格(见图a, b)。 当然, 局部坐标上的A点与整体坐标的A点对应。

一、四结点四边形等参单元的形函数及坐标变换

由于可以将整体坐标下的四边形单元变换成局部坐标下的正方形单元,对于这种正方形单元,自然仍取位移函数为: ξηαηαξαα2321+++=U

ξηαηαξαα8765+++=V

引入边界条件,即可得位移函数:

∑=ijmp

i i U N U

i ijmp

i V N V ∑==

写成矩阵形式:

{}

{}[]{}e

e p i p i e

d N d N N N N V U f =??

????=??????=0

00L L 式中形函数: ()()(ηηξξηξi i i N ++=

114

1

,) ()p m j i ,,, 按照等参元的定义,我们将坐标变换式亦取为: p p m m j j i i i ijmp

i x N x N x N x N x N x +++==∑

p p m m j j i i i ijmp

i y N y N y N y N y N y

+++==∑ ()162??

式中形函数N与位移函数中的完全一致。

可以验证,利用坐标变换式(2-6-1),可以把整体坐标系中的任意四边形单元(图a)变换成在局部坐标系中与四边形对应的边长为2的正方形。因此可以将上述位移函数和形函数用于任意四边形单元,并将形函数中的ξ,η理解为任意四边形单元的局部坐标。

这样由位移函数可以得到单元各点的位移。在四条边界上分别有ξ=±和η=±1,故边界上的位移呈线性变化,位移的连续性可得到保证。

于是,我们可以理解为:任意四边形单元是从基本的正方形单元变换过来的实际单元。因此又称正方形单元为母体单元,或基本单元。

例题:

为了加深理解,现考察实际单元为矩形单元的坐标变换,在2.4节中,我们定义局部坐标与整体坐标的关系是:

()01

x x a

?=ξ

()01y y b ?=η 式中(x 0 , y 0 )为局部坐标原点。 由上第一式(01

x x a

?=

ξ)得: ()()j i i j x x x x x a x ++?=+=2

1

210ξξ 将其重新组合:

()()j i x x x ξξ++?=12112

1

()()()()()()()()p m j i x x x x ηξηξηξηξ+?++++?++??=

114111411141114

1

对照2.4中的形函数表达式,便知:

p p m m j j i i x N x N x N x N x +++= 自然同理可得: p p m m j j i i y N y N y N y N y

+++=

由此知,矩形单元可以看作是四结点四边形单元的特例,自然,它也是等参元。

《有限元法概论》(第二版)p172中,是这样解释等参元的基本概念和推导方法的: 图形变换

四结点正方形(母元) 图形变换 四结点四边形(等参元) (ξ-η平面内) ───→ (x,y平面内)

进行图形变换的关键是进行图形结点坐标之间的变换:

正方形结点坐标 坐标变换 四边形结点坐标 (ξi ,ηi ) ────→ (x,y) i=i,j,m,p i=i,j,m,p

为了实现上述结点坐标之间的变换,可利用母元的形函数,得出(ξ,η)和(x,y)之间的坐标变换式。

图形变换具有如下性质:

1. 母元中的坐标线对应于等参元的直线;

2. 四结点正方形母元对应于四个结点可以任意布置的直边四边形等参元;

3. 变换式(2-6-1)能保证相邻等参元的边界位移彼此协调。

二、几何矩阵[B]

已知单元的应变与结点位移之间的关系是:

{}{}d N N N N x y y x

p i p

i ??

?

???????

??????????????=0

00000L L ε ()262?? 形函数矩阵[N]只是局部坐标ξ,η的显函数,为求形函数对整体坐标x,y 的偏导数,必须用复合函数求

导公式:

ξ

ξξ????+????=??y

y N x x N N i i i

η

ηη????+

????=??y

y N x x N N i i i ()362?? 或写成: []??

?????

???????????=???

?

??????????????y N x N J N

N i i i i ηξ ()a 362??

式中: []???

?

?

?????????????=ηη

ξξx y

x y

x J ()b 362??

称为雅可比矩阵,而把它的行列式称为雅可比行列式。把式(2-6-1)代入[J]得:

[]???

????

???????????????????????????????????=????????????????????=∑∑∑∑p p m m

j j

i i

p m j i

p m j i

ijmp i i ijmp

i

i ijmp i i ijmp i

i y x y x y x y x N N N N N N N N y N x

N

y N x N J ηη

η

η

ξξξ

ξηηξξ 将形函数 ()()(ξξηηi i i

N ++=1141 )p m j i ,,, 代入,分别对ξ,η求偏导,即可得到四结点

四边形等参元的雅可比矩阵:

[]??

?

???++++=ξβξ

βηβη

βB A B A J 432141 ()562??

式中常数记为: ∑=ijmp

i

i i x A ηξ ∑=ijmp

i

i i y

B ηξ

∑=ijmp

i

i x ξβ1 ∑=ijmp i i y ξβ2

∑=ijmp

i i x ηβ3

∑=ijmp

i i y ηβ4

该雅可比矩阵的逆:

[]()()??

????++?+?+=

?ηβξβηβξ

βA A B B J

J 1324141 雅可比行列式:

()()()()[]ξβηββηβηβA A A J ++?++=

324116

1

()()([]ηββξββββββ3421324116

1

B A A B ?+?+?=

) 可以证明,如果四结点四边形的四个内角都小于180°的话,雅可比行列式|J|大于零,其逆阵[J]-1

是存在的。换句话说,为了使上述等参元能保持较好的精度,整体坐标系下所划分的任意四边形单元必须是凸四边形,即任意内角都不能大于180°。四边形也不能太歪斜,否则会影响其精度。 利用雅可比的逆矩阵,即可求出整体坐标系下形函数的偏导数:

[][]()()),,,(11 1141p m j i i i i i i i i i i J N N J y N x N ??????++=???

????????

???????=?????

??

?????????????ξξηηηξηξ ()662?? 求出全部偏导,即代回(2-6-2)右侧,即可得到几何矩阵[B], [B]是ηξ,的函数,即:

[][]??

????

??

?????

?????????????????????????????=??????????????????????=x N y N x N y N x N y N y N y N y N x N x N x N N x y

y x B p p j j i

i p j i p

j i L L L 0

000000

0 将(2-6-6)代入即可获得[B], [B]是ηξ,的函数。

三、单元刚度矩阵

获得[B]后,便可由单刚的一般表达式:

求出四结点四边形的单元刚度矩阵。

[][][][]∫∫=dxdy B D B t K T

在按上述公式作积分运算时,必须把面积元dxdy变换成ηξd d ,图a上的面积元abdc的面积等于矢量与矢量的矢量积的模,

ab →

ac

即微元

×=ac ab dA

沿ξ轴对应于dξ的矢量增量是: →→→

??+??=j d y

i d x ab ξξ

ξξ 沿η轴对应于η的矢量增量是: →→→

??+??=j d y i d x

ac ηη

ηη 式中

是坐标x,y的单位矢,注意到:

j

i , 0=×=×→

j j i i 1=×→

j i 则有:

????????+??×????????+??=→→→→j d y

i d x j d y i d x dA ηηηηξξξξ

ηξηξηξηξd d J j i d d x y y x =×???

?

?????????????=→→

因此刚度矩阵的积分式:

[][][][]∫∫??=111

1 ηξd td J B D B K T ()762??

在计算单元刚度矩阵[K]中元素时,由于被积函数中出现了雅可比行列式,使得它用解析法很难求其

积分,故常采用高斯数值积分法.

四、数值积分

1.一维数值积分

()∫b

a d F ξξ 基本思想:构造一个多项目式()ξψ

,使在i ξ(i=1,2……n)上有 ()(i i F )ξξψ= ,

然后用近似函数()ξψ的积分来近似原被积函数()∫b

a d ξξψ()ξF 的积分。()∫b

a d F ξξi ξ称为积分点或取样点,积分点i ξ的数值和位置决定了()ξψ

近似()ξF 的程度,亦即决定数值积分的精度。

对于n个积分点,按照积分点位置的不同选择,通常采用两种不同的数值积分方法,Newton-Cotes积分和高斯积分方案。

二者方法基本相同,只是前者的积分点ξi 是等间距分布,而后者不是等间距分布。高斯积分的积分点位置由下述方法确定: ① 定义n 次多项式

()()()()n P ξξξξξξξ???=L L 21

② 由下列条件确定n 个积分点位置

()∫

=b

a

i d P 0ξξξ11,0?=n i L L

由上二式可见,

()ξP 有以下性质:

① 在积分点上

()0=i P ξ;

② 多项式()ξP 与在(a, b)域内正交。由此可见n 个积分点的位置

1

210 ... ,,,?n ξξξξξi是在求积域(a, b)内与

正交的n次多项式1

2

1

... ,,,?n ξξξξ()ξP 构成方程的解。

()∫=b

a i

d P 0ξξξ 于是,被积函数()ξF

可由2n-1次多项式()ξψ来近似。

()()()()∑∑=?=?+=n

i n i i i n i

P F l

1

1

1ξξβξξξψ

()ξi l 是n-1阶Lagrange插值函数 ()()()()

()()()n n i i i l ξξξξξξξξξξξξξ??????=L L 121

用 近似, 并考虑上面确定n 个积分点位置的约定条件得:

()∫b

a d ξξψ()∫b

a d F ξξ

()()∫∑=

+=b

a n

i i i R F H d F 1

ξξξ 式中

()∫?=b a n i

i

d l

H ξξ1

H i 称为积分的权系数(加权系数, 权),可见加权系数H i 与被积函数()ξF

无关,只与积分点个数和位

置有关。

为便于计算积分点位置ξi 和加权系数H i , 常将上式中的积分限规格化,即令:

1?=a

1=b 由此计算出的i ξ , H i 对应于原积分域(a, b)的关系为:

i b a b a ξ22??+ i H a

b 2

? 对于多重积分,按重积分规则,计算内层时,保持外层为常数,逐层计算即可。 有关数值积分更详

尽的资料可参阅其教科书。

2.等参元计算中数值积分阶次的选择

数值积分中,如何选择积分阶次将直接影响计算精度、工作量,选择不当则有可能使计算失败。选择积分阶次的原则首先是要保证积分的精度能满足所求问题的要求。 如一维问题:

设:插值函数中的多项式阶数为p, 微分算子中导数的最高阶为m,则有限元得到的近似能量是2(p-m)次多项式。若被积函数是2(p-m)次多项式,应选高斯积分的阶次为n=p-m+1。

三结点三角形单元(线性单元)刚度矩阵中被积函数是常数,故只需一个积分点。

双线性单元 p-m+1=1, 但插值函数将包含有二次项(ξ2 ,ξη,η2

)中的ξη项,所以要达到精确积分应采用2×2阶的高斯积分。有的有限元书中列出了不同插值函数的高斯积分点数n及相应积分点坐标i ξ和权系数H i 的值,可供编写有限元程序时参考。

五、四边形等参元的荷载等效变换

四边形等参元等效结点荷载的计算,仍然利用局部坐标体系。 1.集中力

设在单元上任意一点C作用有一集中力

,根据荷载等效变换的一般公式,其等效结点荷

载计算公式是: {}?

??

???=y x P P P {}[]{}P N R T

C =

式中,

是形函数[N]在集中力作用点C上的值。 []T C N

2.体积力

设在单元上作用有单位体积力

,其等效结点荷载的计算公式是:

{}?

??

???=y x W W W

1

1

11

{}[]{}T R N W t J d ??=∫∫

ξdη

3.分布力

设单元的某一边界上承受的分布表面力是

,其等效结点荷载的计算公式是,当分布力

作用在单元ij, mp边界上时:

{}?

??

???=y x q q q ξ

ξξ

d y x t q N R T

∫???+??=1

122

)()(}{][}{ 当分布力作用在单元ip, mj边界上时:

η

η

ηd y

x t q N R T ∫???+??=1

1

22)()(

}{][}{ 2.7 八结点曲线四边形等参元

在常规有限元程序的单元库内,目前工程上对平面问题最适用的是八结点等参元。下面作一简要介绍。

单元及结点编号如图a所示,位移和力列向量仍采用与前面类似的排列方式。为了构造其位移函数,

按照前面等参元的概念,可先构造八结点正方形母体单元的位移函数(图b),并取为双二次插值位移函数:

282726524321ξηαηξαηαξηαξαηαξαα+++++++=U

2162152141321211109ξηαηξαηαξηαξαηαξαα+++++++=V

代入边界条件,得到用结点位移{d}表示的位移场:

??

?

??

??

==∑∑==818

1

i i i i i i V N V U N U ()172?? 式中的形函数:

()()()()

()?

?

?

??

=++??==?+++=

8,7,6,5112

14,3,2,11114

1

2

222j N i N i i j j j i i i i i ηηξξηξξηηηξξηηξξ ()272??

按照等参元的定义,实际单元映射成正方的母体单元的坐标变换式与式2-7-2等同,得:

??

?

??

??

==∑∑==8

18

1

i i i i i i y N y x N x ()372?? 前面我们在推导单元刚度矩阵时,都是假定单元结点编号从左下角开始,逆时针编号。从有限元理

论上说,其编号应该是可以任意的。下面给出一种不同结点编号的例子。

实际单元 基本单元

一般认为,如果曲线四边形顶点处的四个内角均小于180度,又四条边线上的节点均布置在其边线的“三分段”以内,可以保证以上条件式得到满足。

综上所述,可以看出八节点等参元较常应变三角元有如下几个突出优点:

(1)八节点等参元是一个协调元,它较常应变三角元更能逼近各种几何曲线(二次曲线)边界; (2)单元的位移函数式是二次插值函数,故能更好地反映弹性体的位移状态;

(3)由于采用较复杂的位移函数,故可以对结构进行较粗的网格划分而达到较精确的解答。

八节点等参元是解决二维和轴对称问题时值得推荐的一种单元。

单元刚度矩阵

2.8 几个问题的补充

一、变厚问题

各单元取不同t。 二、不同材料问题 各单元取不同E,μ

三、平面应力与平面应变问题

在前面三角形单元的推导中,我们假定其为平面应力问题。工程中,还有另一类情形─平面应变状态。例如,在对坝体或遂洞等长柱体进行分析时,如果取xoy坐标平面与其横截平面行,而Z轴与其长度方向一致(如图)

那么,由于所考察物体在Z方向的尺寸很大,且又受到平行于xoy 平面,且不沿长度方向变化的荷载作用,就可认为各个横截面应处于同样的状况,即近似认为Z方向的位移分量W=0, (位移与Z无关) 于是,由弹性力学知,在六个应力分量中也仅有三个独立分量σx ,σy 和τxy, 而

()y x z σσμσ+= 不独立。

并可得到平面应变问题的物理方程。

???

????????=y x x E σμμσμε112 , ???

????????=x y y

E σμμ

σμε112

2

1112μμμτγ????

?

???

?

?+

=E xy xy

比较平面应力问题:

()y x x E

μσσε?=1

, ()x y y

E

μσσε?=1

, )1(2μτγ?=E xy xy 得知只需把应力问题中的E换成μ?1E ,μ换成μμ

?1即得应变问题。所以在这类问题的程序设计

中,通常可以同时求解应力和应变问题,只需设置一开关变量便可以实现。

四、各向异性材料

在弹性矩阵[D]中反应。如正交各向异性时的弹性矩阵[D]为:

[]????????

????

?

??

??

?????=xy y

x y y x y

x y

x y x y x x G E E E E D 0

0011011μμμμμμμμμ

μ (见 凯维奇《有限元法》,中P102~104, 英 P98~109 )

五、设置不同类型的单元

在工程中,同一构件经常要用到一种以上材料。如利用角、槽钢等在开洞板内作加强筋用。另一种情况是钢筋混凝土构件的全过程分析中,纵向受拉筋的单元划分,如图。

混凝土被划成若干平面三角形单元,而将纵向受力钢筋(或箍筋)当作线单元(图中红线所示),也可把钢筋等效成与混凝土叠合的三角形单元,但此时均为两种不同材料。

有限元分析时,可认为结构是由若干(面)单元(三角形或矩形)和线(杆)单元(二力杆)共同组成,划分网格时,若碰到线单元,便将结点取在线单元上,使面元和杆元使用共同的结点。

引进杆元后,并不增加结构的自由度(未知数),只是装配总刚和计算过程中多了杆元单刚。如本来是三个三角形的结点,可能还有两个杆元汇交如同一个结点(见上图)。

杆元(见右图)单刚的一般形式可取为:

[]?

?

??

?

?

?

???

??????=

αααα

αα

αααααααα222222sin sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin cos cos symmetric

l EA K e

l 应力矩阵

[][]αα

αα

sin cos sin cos ??=

l

E

S

六、温度应力问题

通常是将各单元由于温度改变所产生的应力:

当作外力,化成等效结点荷载加到右端项中求解。 [][]{}∫∫

tdxdy D B T 0ε 式中:{} []T

T T 00ααε=

有限元2-弹性力学平面问题有限单元法(2.1三角形单元,2.2几个问题的讨论)综述

第2章 弹性力学平面问题有限单元法 2.1 三角形单元(triangular Element) 三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一,它的优点是: ①对边界形状的适应性较好,②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。 一、结点位移和结点力列阵 设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。 在平面应力问题中,单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移,单元的结点位移列阵规定为: 相应结点力列阵为: (式2-1-1) 二、单元位移函数和形状函数 前已述及,有限单元法是一种近似方法,在单元分析中,首先要求假定(构 造)一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。即以结点位移为已知量,假定一个能表示单元内部(包括边界)任意点位移变化规律的函数。 构造位移函数的方法是:以结点(i,j,m)为定点。以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值,利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。 在平面应力问题中,有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成: (,)123 u u x y x y ααα==++ 546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a 式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标) {}??? ?? ?????=????? ???? ?????????????=m j i m e d d d d m j j i v u v u v u i {} i i j j m X Y X (2-1-1)Y X Y i e j m m F F F F ?? ?? ???? ???? ??==??????????????????

弹性力学与有限元理论部分考试题2123

弹性力学与有限元(理论部分)考试题 姓名: (90分钟) 一、填空题(25分) 1.弹性力学的基本任务是:。(1分)2.弹性力学的基本假设是:,, ,,。(2.5分)3.应力分量包括:。(2分)应变分量包括:。(2分)位移分量包括:。(2分)4.平衡微分方程反映的是分量和分量的关系,有个方程。(1.5分)几何方程反映的是分量和分量的关系,有个方程。(1.5分)物理方程反映的是分量和分量的关系,有个方程。(1.5分)5.在对受力体进行有限元分析划分网格时,网格划分较密时,优点是:,缺点是:,反之亦然,因此划分适合的网格密度十分重要。(2分) 6.对于平面问题,三角形单元是最简单、最常用的单元,在平面应力问题中单元形状为,在平面应变问题中单元形状为。(2分) 7.在有限元分析中,有六个常用矩阵:D,B,S,k,K,N,它们分别叫做矩阵,矩阵,矩阵,矩阵,矩阵和函数。(6分) 8.刚度矩阵的半带宽B与有关,B=2(d+1)。(1分) 二、简答题(33分) 1.弹性力学与材料力学有何异同?(5分) 2.什么叫单元的位移模式?分别写出三节点三角形单元,四节点矩形单元,六节点三角形单元,八节点矩形单元的位移模式。(10分)

y 3.平面应力问题和平面应变问题的特点(应力、应变)各是什么?(6分) 4.圣维南原理?并举例说明如何应用之(5分) 5.轴对称问题的特点是什么?(3分) 6.如何理解等参元法,简述用等参元法进行空间问题有限元分析的过程(4分) 三.如下图为一个受力体,其划分的单元和节点编号如图1所示,求出半带宽,写出其整体刚度矩阵。(10分) 图1 受力体单元的划分和编号图 四.在单元e 中,三角形单元三个节点分别为i 、j 、m ,,请把图2和图3的力简化到各节点上。(12分) 图2 单元受力图 图3单元受力图 y

弹性力学及有限元基础复习权威版(最新)

《弹性力学及有限元基础》复习思考题 ★1.对弹性体所做的基本假设? 答:连续性假设;均匀性假设;各向同性假设;弹性假设;小变形假设; ★2.用D'Alember 原理由平衡方程推导运动微分方程? 答:微元体的平衡微分方程的表达式为: 31 112111 2332 122221 23 132333 31 23000f x x x f x x x f x x x σσσσσσσσσ????+++=?????????+++=? ????????+++=? ???? 根据D'Alember 原理,将运动物体看成是静止的,将惯性力22()u t ρ?-?当作体力加到微元体上,由上式 可以直接写出弹性动力学问题的运动微分方程: 23111211 12123232 12222221 2321323333321 23()()() u f x x x t u f x x x t u f x x x t σσσρσσσρσσσρ?????+++=????????????+++=? ???????????+++=?????? ☆3.什么是应力张量? 我们说一点的应力状态是什么涵义? 答:应力张量是一点应力状态的完整描述,它有面元方向和分解方向两个方向性,共有九个分量,由于存在对称性,其独立分量只有六个。应力张量是与坐标选择无关的不变量,但其分量与坐标有关,当已知某坐标系中的九个分量时,其他坐标系中的分量均可由应力转换公式确定。 一点的应力状态是一个具有双重方向性的物理量,其中第一个是面元的方向,用其法矢量ν表示,第二个是作用在该面元上的应力矢量方向,一般用其三个分量来表示。 4.在引出 Cauchy 应力公式时, 我们假设四面体处于平衡状态, 如不处在平衡状态则如何? 答:如果不处在平衡状态,Cauchy 应力公式仍然满足,关系式的成立与是否平衡无关。 5.在什么情况下剪应力互等定律不成立? 答:无论在变形体的内部或者表面上,若存在体力偶时,剪应力互等定律不成立。 6.任意斜截面上的正应变和剪应变的意义是什么? 答:应变张量的三个对角分量x ε、y ε、z ε称为正应变,分别等于坐标轴方向三个线元的单位伸长率,伸长为正,缩短为负。应变张量的三个非对角分量xy ε、yz ε、zx ε称为剪应变,分别等于变形前沿该分量下标所示两坐标方向的、相互正交的线元在变形后的夹角减小量之半。 7.刚性位移,刚性转动,刚体位移,刚体转动有何区别? 答:(1)刚性位移:物体内任意两点间无相对位移;(2)刚性转动:应变张量为0,转动张量不为0;(3)刚体位移:运动分为变形运动和刚体运动,每点都发生相同的位移就叫作刚体位移;(4)刚体转动:用刚性

《弹性力学及有限单元法》学习指南

第一章绪 论 学习指导 在学习本章时,要求学生理解和掌握下面的主要内容: 1、弹性力学的研究内容,及其研究对象和研究方法,认清他们与材料力学的区别; 2、弹性力学的几个主要物理量的定义、量纲、正负方向及符号规定等,及其与材料力学相比的不同之处; 3、弹性力学的几个基本假定,及其在建立弹性力学基本方程时的应用。 §1-1弹性力学的内容 弹性体力学,简称弹性力学,弹性理论(Theory of Elasticity或Elasticity),研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。这里指出了弹性力学的研究对象是弹性体;研究的目标是变形等效应,即应力、形变和位移;而引起变形等效应的原因主要是外力作用,边界约束作用(固定约束,弹性约束,边界上的强迫位移等)以及弹性体内温度改变的作用。 首先,我们来比较几门力学的研究对象。理论力学一般不考虑物体内部的形变,把物体当成刚性体来分析其静止或运动状态。材料力学主要研究杆件,如柱体、梁和轴,在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。结构力学研究杆系结构,如桁架、刚架或两者混合

的构架等。而弹性力学研究各种形状的弹性体,除杆件外,还研究平面体、空间体,板和壳等。因此,弹性力学的研究对象要广泛得多。 其次,从研究方法来看,弹性力学和材料力学既有相似之外,又有一定区别。弹性力学研究问题,在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,在边界上严格考虑受力条件或约束条件,由此建立微分方程和边界条件进行求解,得出较精确的解答。而材料力学虽然也考虑这几方面的条件,但不是十分严格的。例如,材料力学常引用近似的计算假设(如平面截面假设)来简化问题,使问题的求解大为简化;並在许多方面进行了近似的处理,如在梁中忽略了бy的作用,且平衡条件和边界条件也不是严格地滿足的。一般地说,由于材料力学建立的是近似理论,因此得出的是近似的解答。但是,对于细长的杆件结构而言,材料力学解答的精度是足够的,附合工程上的要求(例如误差在5%以下)。对于非杆件结构,用材料力学方法得出的解答,往往具有较大的误差。这就是为什么材料力学只研究和适用于杆件问题的原因。 弹性力学是固体力学的一个分支,实际上它也是各门固体力学的基础。因为弹性力学在区域内和边界上所考虑的一些条件,也是其他固体力学必须考虑的基本条件。弹性力学的许多基本解答,也常供其他固体力学应用或参考。 弹性力学在土木、水利、机械、航空等工程学科中占有重要的地位。这是因为,许多工程结构是非杆件形状的,须要用弹性力学方法进行分

弹性力学及有限元法学习总结

弹性力学及有限元法学习总结 摘要:本文就弹性力学的研究对象与方法,弹性力学的基本假设,研究方法,有限元法的基本思想,数学基础,有限元分析的基本步骤进行阐述。 正文:弹性力学是固体力学的一个分支学科,是研究固体材料在外部作用下(外 部作用一般包括:荷载、温度变化以及固体边界约束改变),弹性变形及应力状态的一门学科。 弹性力学的研究对象: 材料力学--研究杆件(如梁、柱和轴)材料力学的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。 结构力学--在材料力学基础上研究杆系结构结构力学(如桁架、刚架等)。弹性力学--研究各种形状的弹性体,如杆弹性力学件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。 弹性力学研究方法: 在研究方法上,弹力和材力也有区别:弹力研究方法:在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,建立三套方程; 三套方程在边界s 上考虑受力或约束条件,建立边界条件并在边界条件下求解上边界条件; 边界条件述方程,得出较精确的解答。 弹性力学的基本假设: 1)连续性,假定物体是连续的。连续性因此,各物理量可用连续函数表示。 2)均匀性与各向同性假设假定固体材料是均匀的,并且在各个方向上物理特性相同,也即材料的物理性质在空间分布上是均匀的(或不变的)3)小变形假设假定固体材料在受到外部作用(荷载、温度等)后的位移(或变形)与物体的尺寸相比是很微小的,在研究物体受力后的平衡状态时,物体尺寸及位置的改变可忽略不计,物体位移及形变的二次项可略去不 计,由此得到的弹性力学微分方程将是线性的。 4)完全弹性假设假设固体材料是完全弹性的。 5)无初始应力假设假定外部作用(荷载、温度等)之前,物体处于无应力状态,由弹性力学所求得的应力仅仅是由外部作用(荷载、温度等)所 引起的。 有限元法的基本思想: 有限元是一种结构分析的方法,先把所有系统分解为他们的元件或单元,这些元件的行为已经被充分的了解,再把元件重新组装成原来的系统。及将连续的求解区域离散为一组由有限个单元组成并按一定方式相互连接在一起的单元组

弹性力学与有限元法分析及实例讲解

弹性力学与有限元法分析 弹性力学是固体力学的一个重要分支,是研究弹性固体在受外力作用、温度改变、边界约束或其他外界因素作用下而发生的应力、形变和位移状态的科学。有限单元法是力学、数学、物理学、计算方法、计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物,是随着计算机技术的广泛应用而迅速发展起来的一种数值分析方法。有限元法的基本思想就是化整为零,分散分析,再集零为整。即用结构力学方法求解弹性力学问题,实质是将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体,单元体之间仅仅通过结点相连,实现化无限自由度问题为有限稀有度问题,将连续场函数的(偏)微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。 有限元方法经过近半个世纪的发展,目前已经成为各种工程问题特别是结构分析问题的标准分析方法,而有限元软件也已成为现代结构设计中不可缺少的工具。有限元软件是有限元理论通向实际工程应用的桥梁,它的应用极大地提高了力学学科解决自然科学和工程实际问题的能力,进一步促进了有限元方法的发展。ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件,广泛用于机械制造、石油化工、航空航天、汽车交通、土木工程、造船、水利等一般工业及科学研究。 ANSYS软件的组成: (一)前处理模块 该模块为用户提供了一个强大的实体建模及网格划分工具,可以方便的构造有限元模型,软件提高了100种以上的单元类型,用来模拟工程中的各种结构和材料。包括: 1.实体建模:参数化建模,布尔运算及体素库,拖拉、旋转、拷贝、蒙皮、倒角等。 2.自动网格划分,自动进行单元形态、求解精度检查及修正。 3.在集合模型上加载:点加载、分布载荷、体载荷、函数载荷。 4.可扩展的标准梁截面形状库。 (二)分析计算模块 该模块包括结构分析(可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析)、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析,可模拟多种物理介质的相互作用,具有灵敏度分析及优化分析能力。 (三)后处理模块 将计算结果以彩色等值线、梯度、矢量、粒子流、立体切片、透明及半透明等图形方式显示出来,也可以用图表、曲线形式显示或输出。 由于现在只是对ANSYS工程软件有初步的了解和掌握,所以本次作业仅以(1)结构静力学分析为例,运用ANSYS软件对汽车连杆进行受力分析;(2)

试题及其答案--弹性力学与有限元分析(DOC)

如下图所示三角形薄板,按三结点三角形单元划分后,对于与局部编码ijm 对应的整体编码,以下叙述正确的是( D )。 ① I 单元的整体编码为162 ② II 单元的整体编码为426 ③ II 单元的整体编码为246 ④ III 单元的整体编码为243 ⑤ IV 单元的整体编码为564 A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③⑤ 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定,切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后,其内部将发生内力,它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ,50=y σMPa ,5010=xy τ MPa ,则主应力 =1σ150MPa ,=2σ0MPa ,=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量, 200=x σMPa ,0=y σMPa ,400-=xy τ MPa ,则主应力=1σ512 MPa ,=2σ-312 MPa ,=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量,2000-=x σMPa ,1000=y σMPa ,400-=xy τ MPa ,则主应力 =1σ1052 MPa ,=2σ-2052 MPa ,=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题,要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构,然后再用结构力学位移法进行求解。 其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分:一部分是由本单元的形变引起的,另一部

弹性力学及有限元试题

弹性力学及有限元试题 (一) 问答题(20分) 1、什么是圣维南原理?举例说明怎样把它应用于工程问题 的简化中。 2、什么叫做一点的应力状态?如何表示一点的应力状态(要 求具体说明或表达)。 3、何谓逆解法和半逆解法?它们的理论依据是什么? 4、什么是平面应力问题?什么是平面应变问题?分别写出弹性力学平面应力问题和平面应变问题的物理方程。 5、要保证有限元方法解答的收敛性,位移模式必须满足那些条 件? (二) (10分) 1.利用坐标变换从直角坐标的平衡方程推导极坐标下平衡方程(无体力)。 2.利用坐标变换从直角坐标下几何方程推导极坐标下几何方程。 (三)已知,其他应力分量为零,求位移场。(10分) (四)设有矩形截面的悬臂粱,在 自由端受有集中荷载F;体力可以不

计。试根据材料力学公式,写出弯应力σx和切应力τxy的表达式,并取挤压应力σy=0,然后证明,这些表达式满足平衡微分方程和相容方程,再说明,这些表达式是否就表示正确的解答(10分)。 (五)设半平面体在直边界上受有集中力偶,单位宽度上力偶矩为M,试求应力分量(10分)。 提示:单位厚度上的力偶矩M的量纲是LMT-2,应力只能是M/ρ2的形式,所以可假设应力函数由:Φ=Φ(φ). (六) 铅直平面内的正方形薄板,边长为2a,四边固定,图5—18,只受重力的作用。设μ=0,试取位移分量的表达式为 用瑞利—里茨法求解(15分)。

(七)试按图示网格求解结点位移,取t =1m,μ= 0(15分)。 (八)用刚度集成法求下图所示结构的整体刚度矩阵K。(10分) 要求:单元刚度矩阵元素用e k形式表示;单元刚度矩阵用e K形式表 ij 示,其中e为单元号。

弹性力学与有限元分析试题答案

最新弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、 填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定,切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后,其部将发生力,它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切 应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ,50=y σMPa ,5010=xy τ MPa ,则主应力 =1σ150MPa ,=2σ0MPa ,=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量, 200=x σMPa ,0=y σMPa ,400-=xy τ MPa ,则主应力 =1σ512 MPa ,=2σ-312 MPa ,=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量,2000-=x σMPa ,1000=y σMPa ,400-=xy τ MPa ,则主应 力=1σ1052 MPa ,=2σ-2052 MPa ,=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题,要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。

弹性力学与有限元分析试题及参考答案

弹性力学与有限元分析试题及参考答案 四、分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。 (1)By Ax x +=σ,Dy Cx y +=σ,Fy Ex xy +=τ; (2))(22y x A x +=σ,)(22y x B y +=σ,Cxy xy =τ; 其中,A ,B ,C ,D ,E ,F 为常数。 解:应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件:(1)在区域内的平衡微分方程 ????? ??=??+??=??+??0 0x y y x xy y yx x τστσ;(2)在区域内的相容方程()02222=+??? ? ????+??y x y x σσ;(3)在边界上的应力边界条件()()()() ???? ?=+=+s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ;(4)对于多连体的位移单值条件。 (1)此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程,必须A =-F ,D =-E 。此外还应满足应力边界条件。 (2)为了满足相容方程,其系数必须满足A +B =0;为了满足平衡微分方程,其系数必须满足A =B =-C /2。上两式是矛盾的,因此,此组应力分量不可能存在。 2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ,22 23xy C y -=σ,y x C y C xy 2 332--=τ,体力不计,Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数C 1,C 2,C 3。 解:将所给应力分量代入平衡微分方程 ???? ?? ?=??+??=??+??00x y y x xy y yx x τστσ 得 ?? ?=--=--+-0 230 33322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即 ()()()?? ?=+=+--0 230 333222231xy C C y C Q x C C 由x ,y 的任意性,得

《弹性力学及有限元》教学大纲

《弹性力学及有限元》教学大纲 大纲说明 课程代码:5125004 总学时:40学时(讲课32学时,上机8学时) 总学分:2.5学分 课程类别:必修 适用专业:土木工程专业(本科) 预修要求:高等数学、理论力学、材料力学 课程的性质、目的、任务: 本课程是土木工程专业限选修的一门专业基础课。本课程的教学目的,是使学生在理论力学和材料力学等课程的基础上进一步掌握弹性力学的基本概念、原理和方法,了解弹性力学问题的求解思路、方法和解答,为学习相关专业课程打下初步的弹性力学基础。在此基础上,使学生掌握有限单元法的基本概念、理论、方法,了解和应用ANSYS大型结构分析程序求解简单的弹性力学问题。 课程教学的基本要求: 本课程教学环节主要包括:课堂讲授、习题课、作业、答疑、上机计算、考试。采用课堂授课方式,重点章节安排习题课。课后布置一定量的习题,以便掌握弹性力学与有限单元法的基本概念、原理和方法,用弹性力学的求解方法及大型结构分析有限单元程序求解简单的弹性力学问题。考试采用开卷方式。 大纲的使用说明: 本大纲适用于土木工程本科专业40课时的《弹性力学及有限元》课程. 大纲正文 第一章绪论学时:6学时(讲课6学时) 本章讲授要点:了解弹性力学的研究内容,理解体力、面力、应力、应变和位移等基本概念,熟悉体力、面力、应力、应变、位移等力学量的记号和符号的有关规定,理解弹性力学的基本假定;了解有限单元法的发展,掌握泛函、变分和泛函极值等基本概念;了解加权残值、里兹与伽辽金等方法。 重点:弹性力学中的应力、应变和位移等基本概念;泛函、变分、驻值等基本概念;加权残值、里兹与伽辽金等方法。 难点:应力、应变;泛函、变分、驻值;加权残值法、里兹法与伽辽金法。 第一节弹性力学的内容 第二节弹性力学中的几个基本概念 第三节弹性力学中的基本假定 第四节有限单元法的发展简介 第五节变分原理.泛函.变分.驻值 第六节加权残值法、里兹法与伽辽金法

(绝密试题)弹性力学与有限元分析试题及其答案

2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 (绝密试题) 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定,切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后,其内部将发生内力,它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ,50=y σMPa ,5010=xy τ MPa ,则主应力=1σ150MPa ,=2σ0MPa ,=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量, 200=x σMPa ,0=y σMPa ,400-=xy τ MPa , 则主应力=1σ512 MPa ,=2σ-312 MPa ,=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量,2000-=x σMPa ,1000=y σMPa ,400-=xy τ MPa ,则主应力=1σ1052 MPa ,=2σ-2052 MPa ,=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题,要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构,然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分:一部分是由本单元的形变引起的,另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分:一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的,是各点不相同的,即所谓变量应变;另一部分是与位置坐标无关的,是各点相同的,即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答,位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变,还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续,必须把位移模式取为坐标的单值连续函数,为

弹性力学与有限元分析试题及其答案

一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定,切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后,其内部将发生内力,它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa , 50=y σMPa ,5010=xy τ MPa ,则主应 力=1σ150MPa ,=2σ0MPa , =1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量, 200=x σMPa , 0=y σMPa ,400-=xy τ MPa ,则主应力=1σ512 MPa ,=2σ-312 MPa , =1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量, 2000-=x σMPa ,1000=y σMPa , 400-=xy τ MPa ,则主应力=1σ1052 MPa ,=2σ-2052 MPa ,=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题,要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别 建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构,然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分:一部分是由本单元的形变引起的,另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分:一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的,是各点不相同的,即所谓变量应变;另一部分是与位置坐标无关的,是各点相同的,即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答,位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变,还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续,必须把位移模式取为坐标的单值连续函数,为了使得相邻单元的位移保持连续,就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时,也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中,单元的形函数N i 在i 结点N i =1;在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度,一般可以采用两种方法:一是将单元的尺寸减小,以便较好地反映位移和应力变化情况;二是采用包含更高次项的位移模式,使位移和应力的精度提高。 二、判断题(请在正确命题后的括号内打“√”,在错误命题后的括号内打“×”)

弹性力学基础及有限单元法

第一章 1、弹性力学的任务是什么 弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移,校核它们是否具有所需的强度和刚度,并寻求或改进它们的计算方法。 2、弹性力学的基本假设是什么?为什么要采用这些假设? (1)假设物体是连续的——物体内部由连续介质组成,物体中没有空隙,因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的.可以用坐标的连续函数表示。实际上,所有的物体均由分子构成,但分子的大小及分子间的距离与物体的尺寸相比是很微小的,故可以不考虑物体内的分个构造。根据这个假设所得的结果与实验结果是符合的。 (2)假设物体是匀质的和各向同性的——物体内部各点与各方向上的介质相同,因此,物体各部分的物理性质是相同的。这样,物体的弹性常数(弹性模量、泊松比)不随位置坐标和方向而变化。钢材由微小结晶体组成,晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则,按其材料的平均性质,可以认为钢材是各向同性的。木材不是各向同性的。 (3)假设物体是完全弹性的—一物体在外加因家(裁荷、温度变化等)的作用下发生变形,在外加固素去除后,物体完全恢复其原来形状而没有任何剩余变形。同时还假定材料服从胡克定律,即应力与形变成正比。 (4)假设物体的变形是很小的——在载荷或温度变化等的作用下,物体变形而产生的位移,与物体的尺寸相比,是很微小的。在研究物体受力后的平衡状态时,可以不考虑物体尺寸的改变。在研究物体的应变时,可以赂去应变的乘积,因此,在微小形变的情况下弹性理论中的微分方程将是线性的。 (5)假设物体内无初应力一一认为物体是处于自然状态,即在载荷或温度变化等作用之前,物体内部没合应力。也就是说,出弹性理论所求得的应力仅仅是由于载荷或温度变化等所产生的。物体中初应力的性质及数值与物体形成的历史有关。若物体中有韧应力存在,则由弹性理论所求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。 上面基本假设中.假设(4)是属于几何假设,其他假设是属于物理假设。 3、举例说明各向同性的物体和各向异性的物体。 钢材由微小结晶体组成,晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则,按其材料的平均性质,可以认为钢材是各向同性的。木材是各异性的。 4、弹性力学和材料力学相比,其研究方法和对象有什么区别? P3 弹性力学具体的研究对象主要为梁、校、坝体、无限弹性体等实体结构以及板、壳等受 力体。 在材料力学课程中,基本上只研究所谓杆状构件,也就是长度远大干高度和觅度的构 件。这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移,是材料力学的主要研究内 容。

《弹性力学及有限单元法》期末考试试卷

《弹性力学及有限元基础》期末考试 班级: 姓名: 学号: 一.填空题(37分) 1(9分). 杆件在竖向体力分量f (常量)的作用下,其应力分量为:x C x 1=σ;32C y C y +=σ;0=xy τ。 支承条件如图所示,C 1 =______ ;C 2=______; C 3=______。 2(12分). 一无限长双箱管道,深埋在地下,如图2所示,两箱中输送的气体压强均 为σ0,设中间隔板AB (图中阴影所示)的位移分量为:u = Cx , v = 0,隔板材料模量为E 和μ。计算隔板上各点的应力分量:σx = _______, σy ,= ______, σz =______。 3(9分). 圆环的内半径为r ,外半径为R ,受内压力q 1及外压力q 2的作用。若内表 面的环向应力为0,则内外压力的关系是:_________________。 4(10分) .等截面实 心直杆受扭矩的作用,假设应力函数为: ()() 222222y bx a by x a k -++-=Φ,扭矩引起的单位长度扭转角测得为θ,材料的剪切弹性模量为G ,a 、b 均为常数,则k = _____ 二.分析题 5.(20分)一宽度为b 的单向薄板,两长边简支,横向荷载为?? ? ??=b y p p πsin 0,计 算板的挠度方程。(设材料的弹性模量为E ,泊松比为μ,薄板的弯曲刚度为D ) 6.(20分)如图,一长度为l 的简支梁,在距右端为c 的位置作用一集中荷载P ,请用里兹法计算梁的挠度曲线。(设挠度曲线为)(x l ax w -=,a 为代求系数) 7.(23分)1cm 厚的三角形悬臂梁,长4m ,高2m 。其三个顶点i , j , k 及内部点m 的面积坐标如图所示。在面积坐标(1/8,1/2,3/8)处和j 节点处受到10kN 的集中力的作用,在jk 边受到垂直于斜边的线性分布力的作用。用一个4节点的三角形单元对此 题1图 题2图 x 题5图

【弹性力学及有限单元法】期末试卷

<<弹性力学及有限单元法>>期末试卷 姓名:班级:学号:分数: 一、列出下图所示问题的全部边界条件(,单位厚度)。在其中的小边界上,采用圣维南原理改用积分的应力边界条件来代替。 二、(a)、平面问题中的应力分量应满足哪些条件? (b)、检查下面的应力在体力为零时是否是可能的解答. бx = 4x2,бy = 4y2, τxy=- 8xy (c)、在平面应变状态下,已知一组应变分量为 为非零的微小常数,试问由此求得的位移分量是否存在?三、平面问题,直角坐标,研究一点的变形,考虑通过P点的二个正向微段PA∥x, ,PB∥y,PA=dx, PB=dy, P点位移为u,v, (1) 正应变、剪应变的定义和正负号规定?(2) PA是x正向微段,PB是y正向微段,为何要正向微段? (3)写出A点和B点位移,推导出几何方程四、(1)平面应力问题z面上任一点的应力( s z t zx t zy) 是近似为0还是精确为0?为什么?(2)平面应变问题的z面上任一点的应力( t zx t zy) 是近似为0还是精确为0?为什么?五、空间问题的物理方程为: e x=[s x- ms y- ms z]/E r xy=t xy/G e y=[s y- ms x- ms z]/E r xz=t xz/G e z=[s z- ms x- ms y]/E r zy=t zy/G 由上式 推导出平面应力问题和平面应变问题的物理方程。六、已知平面应力问题矩形梁,梁长L,梁高h, 已知 E=200000, μ= 0.2. 位移分量为:u(x,y)=6(x-0.5 L)y/E v(x,y)=3(L-x)x/E-3μy2/E 求以下物理量在点P(x=L/2,y=h/2)的值: (1) 应变分量 (2) 应力分量, (3) 梁左端(x=0)的面力及面力的合力和合力矩。七、回答以下问题:1)单元结点力是什么?正负号规定?2)单元结点荷载是什么?正

弹性力学与有限元分析复习题(含答案)

分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件,并考虑下列平面问题的 应力分量是否可能在弹性体中存在。 (1)By Ax x +=σ,Dy Cx y +=σ,Fy Ex xy +=τ; (2))(22y x A x +=σ,)(22y x B y +=σ,Cxy xy =τ; 其中,A ,B ,C ,D ,E ,F 为常数。 解:应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件:(1)在区域内的平衡微分方程 ?? ? ? ???=??+??=??+??00x y y x xy y yx x τστσ;(2)在区域内的相容方程()02 222=+??? ? ????+??y x y x σσ;(3)在边界上的应力 边界条件()()()() ?? ?? ?=+=+s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ;(4)对于多连体的位移单值条件。 (1)此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程,必须A =-F ,D =-E 。此 外还应满足应力边界条件。 (2)为了满足相容方程,其系数必须满足A +B =0;为了满足平衡微分方程,其系数必须满足A =B =-C /2。上两式是矛盾的,因此,此组应力分量不可能存在。 2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ,222 3xy C y -=σ,y x C y C xy 2 332--=τ,体力不计,Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数C 1,C 2,C 3。 解:将所给应力分量代入平衡微分方程 ?? ? ? ?? ?=??+??=??+??00x y y x xy y yx x τστσ 得 ? ? ?=--=--+-0230 33322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即 ()()()?? ?=+=+--0 230333222231xy C C y C Q x C C 由x ,y 的任意性,得

《弹性力学及有限元》函授自学周历.

《弹性力学及有限元》函授自学周历课程名称:弹性力学及有限元年级专业: 08级水工

函授站要求: 1、测验卷做好后务必于集中上课的第一天直接交给函授站,由函授站统一集中寄给河海大学老师批改、评分。测验不交或迟交者无平时成绩,考试无效! 2、各位函授生要克服一切困难,排除各种干扰,自我约束,按照各门课程教学周历的要求,抓紧平时自学。大学的关键就是自学,以平时自学为主,仅仅靠集中上课的学习是完不成学业的。

《弹性力学及有限元》测验作业 站名:安徽水院站 专业:08级水工 姓名 学号 成绩 (告示:请各位同学一定要把姓名、学号和专业写清楚、写对,出现错误者作零分处理,特此告示) 一、简答题(29分) 1)、弹性力学平面问题的求解中,平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程(平衡方程、几何方程、物理方程)哪些相同,哪些不同?(5分) 2)、平面应力问题的等厚度薄板,以中面为xy 面,垂直中面的任一直线为z 轴,试简述z 面上的应力情况及原因。 (5分) 3)、平面应变问题的无限长柱形体,以任一横截面为xy 面,任一纵向为z 轴,试简述z 面上的应力情况及原因。 (6分) 4)、在建立弹性力学平衡微分方程、几何方程、物理方程时分别应用了哪些基本假定?(8分) 5) 下列位移函数 23210x a y a x a a u +++= ,23210y b y b x b b v +++=能否作为三结点三角形单元的位移模式? 简要说明理由。 (5分) 二、计算题 (71分 ) 1、体力为零的单连体平面应力边界问题,设下列应力分量已满足边界条件,试考察它们是否为正确解答,并说明理由(10分)。 xy y x qx qy τ=σ=σ3 3 =0

材料力学弹性力学有限元法的异同--tl

材料力学、弹性力学、有限元法的异同 力学是研究力对物体的效应的一门学科。力对物体的效应有两种:一种是引起物体运动状态的变化,称为外效应;另一种是引起物体的变形,称为内效应。材料力学研究力的内效应,即物体的变形和破坏的规律。材料力学主要研究物体受力后发生的变形、由于变形而产生的内力以及物体由此而产生的失效和控制失效的准则。工程中各种结构或机械都是由许多杆件或零部件组成。这些杆件或零部件统称为构件。工程上构件的几何形状是各种各样的,可分为杆件、板(或壳)、实体。材料力学主要的研究对象是杆状构件。材料力学的任务,就是在分析构件内力和变形的基础上,给出合理的构件计算准则,满足既安全又经济的工程设计要求,并为后续课程如机械设计、结构力学、弹性力学和复合材料力学等提供必要的理论基础。 弹性力学又称弹性理论,是固体力学的一个分支学科。它是研究可变形固体在外部因素(力、温度变化、约束变动等)作用下所产生的应力、应变和位移的经典科学。确定弹性体的各质点应力、应变、和位移的目的就是确定构件设计中的强度和刚度指标,以此来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。弹性力学具体的研究对象主要为梁、柱、坝体、无限弹性体等实体结构以及板、壳等受力体。 弹性力学的研究内容和目的的任务原则上与材料力学相同,但其学科所研究的对象不同,研究方法也不完全相同。 (1)在材料力学课程中,基本上只研究杆状构件(直杆、小曲率杆),也就是长度远大于高度和宽度的构件。这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移,是材料力学的主要研究内容。弹性力学解决问题的范围比材料力学要大得多。如孔边应力集中、深梁的应力分析等问题用材料力学的理论是无法求解的,而弹性力学则可以解决这类问题。如板和壳以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构,则必须以弹性力学为基础,才能进行研究。如果要对于杆状构件进行深入的、较精确的分析,也必须用到弹性力学的知识。同时弹性力学又为进一步研究板、壳等空间结构的强度、振动、稳定性等力学问题提供理论依据,它还是进一步学习塑性力学、断裂力学等其他力学课程的基础

弹性力学及有限元10级研究生课程试题

弹性力学及有限元10级研究生课程试题

湖南工业大学研究生课程考试试题 课程名称:《弹性力学及有限元》(开卷) 适用专业年级:机械设计及理论、机械制造及其自动化 10级 注意事项: 1.答卷可采取打印或手写方式在A4打印纸上完成。如果手写,必须字迹工整,以便老师批阅; 2.下载《标准答卷模版》; 3.凡有相同答案的试卷均按零分计; 4.答卷于11月30日之前交机械工程学院研究生办公室,过期不交按缺考处理。 试题:本试卷共2大题,共100分。 一、撰写读书报告(60分) 读书报告应包含以下内容: 1、论述弹性力学研究的对象和分析问题的方法。 2、本门课程讲授了弹性力学的哪些内容? 3、任何一个有限元分析问题都是空间问题,什么情况下可以简化为平面问题、轴对称问题?并举例说明平面应变问题、平面应力问题和轴对称问题。 4、你学习弹性力学和有限单元法以后最大的收获是什么?学习过程中遇到的最大困难是什么?你认为自己学懂了这门课程的知识没有? 二、结合你的研究课题,撰写一篇运用有限元进行仿真分析计算的报告(40分)。 分析报告要求如下: 1、问题的提出; 2、建立有限元模型; 3、施加载荷和边界条件;

4、求解,分析计算结果; 5、结论。

湖南工业大学研究生课程考试 《弹性力学及有限元》答卷 本人承诺:本试卷确为本人独立完成,若有违反愿意接受处理。签名:______________ 学号:____________________专业: __________________所在院(部): _________________ 优良中差评阅人签字 成 绩 注:90~100分为优,70~89分为良, 60~69分为中,0~59分为差。

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