概率统计复习辅导材料

第一章 随机事件及其概率

本章介绍概率的基础概念与理论，重点内容是：

（1）古典概型、几何概型和贝努里概型的概率计算； （2）利用事件的关系与独立性进行概率计算；

（3）利用加法定理、条件概率公式、乘法定理、全概率公式及贝叶斯公式进行概率计算

例题分析

本章的重点是事件概率的计算：

用古典概型，几何概型的定义计算概率

例 随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名优秀生，求： 每个班各有一名优秀生的概率；

3名优秀生分在同一个班的概率。

解 将15名新生平均分配到三个班级中的总分法数为：

5

5

510515C C C n = （1） 事件A ={将15名新生平均分配到三个班级中去，且每个班各有一名优秀生}，完成事件A 可分两步，先把3名优秀生各班分1名共有!3种分法，再把3名新生平均分配到三

个班级共有4

4

48412C C C 种分法，由乘法原理知中完成事件A 的方法数即事件A 包含的基本事

件数44

48412!3C C C m A =。故 9125

!3)(55

5105154

448412=

==C C C C C C n m A P A 。 (2) 事件B ={将15名新生平均分配到三个班级中去，其中3名优秀生分在同一个班}。

完成事件B 可分两步，先把3名优秀生分在同一个班，共有3种分法，对于这每一种分法，

其余12名非优秀生的分法（一个班2名，另两个班各5名）共有5

5

510212C C C 种分法，由乘法

原理知中完成事件B 的方法数即事件B 包含的基本事件数55

5102123C C C m B =。故 916

3)(55

5105155

5510212===C C C C C C n m B P B

例（852） 从10,,2,1 共10个数中，每次取一个数，假定每个数被抽取的可能性都相

等，取后放回，先后取出7个数，试求下列各事件的概率；

1o =A {7个数中不含1和10}； 2o =B {数10恰好出现2次}

解 由于是有放回地抽取，故基本事件总数为107

，因此

1o 7

77)54(10

8)(==A P 2o 7

527109)(C B P = 例 在区间（0，1）中随机地取出两个数，则事件{两数之和小于5

6

}的概率为 。 解 如图1.2知

25

171)54(2112

=-=

P 2．利用概率的基本性质计算事件概率

例（859） 设B A ,为随机事件，3.0)(,7.0)(=-=B A P A P ，则)(AB P ＝

解 因为)()()(),(1)(B A P AB P A P AB P AB P +=-=，所以

6.03.0

7.01)()(1)(=+-=+-=B A P A P AB P

例（860） 设事件A 与B 相互独立且互不相容，则min =))(),((B P A P 。 解 由A 与B 相互独立知)()()(B P A P AB P =，又因A 与B 互不相容，故0)(=AB P ，

所以

0)()()(==AB P B P A P

因此，min 0))(),((=B P A P

3．利用条件概率、乘法公式进行计算

例（868） 某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为3／10，第二次落地打破的概率为4／10，第三次落地打破的概率为9／10，求透镜落地三次被打破的概率。

分析 第二次落地打破的概率，实际上是指在第一次落地未打破的条件下，第二次落地才打破的条件概率，同样，第三次落地打破的概率是指在第一、二次落地都未打破的条件下，第三次落地才打破的条件概率。

解 设i A ：“透镜第i 次落地被打破”3,2,1=i A ：“落地三次，透镜被打破”， 依题意321211A A A A A A A ??=，且211,A A A ，321A A A 两两互不相容，故有 算法1

958.010

9

)1041)(1031(104)1031(103)|()|()()|()()()

()()()(2131211211321211=--+-+=

++=++=A A A P A A P A P A A P A P A P A A A P A A P A P A P 算法2 先求)(A P

,

1000

42)1091)(1041)(1031( )

|()|()()()(213121321=---===A A A P A A P A P A A A P A P 所以，958.0)(1)(=-=A P A P

例（854） 从装有红、白、黑球各一个的口袋中任意取球（取后放回），直到各种颜色的球至少取得一次为止。求：

1o 摸球次数恰好为6次的概率； 2o摸球次数不少于6次的概率。 解 设k A ：“直到各种颜色的球至少取得一次为止所需摸球次数为k 次”， ,4,3=k ，

则事件`k A 发生必为第k 次首次摸到红球、或白球、或黑球，其概率为3

1

3

1?

C ，剩下)1(-k 次摸到的必是其余两种颜色的球，且每种颜色至少出现一次，至多重复)2(-k 次，每次出现的

概率都是3

1

，因此

,,4,3 )31()31()31(31)(21

1112

1113 ==??=∑∑-=-----=-k C C C A P k i k i k i k i k i i

k k

1o ∑===4

1

5568110

)31()(i C A P

2o 81

31

)]())()([1543=++-=A P A P A P P

注：此题也可用古典概型计算

,4,3,3/)22()(11

3=-=-k C A P k k k

4．利用全概率公式，贝叶斯公式计算概率

例（870） 有两个箱子，第一个箱子有3个白球2个红球，第二个箱子有4个白球4个红球，现从第一个箱子中随机地取出1个球放在第二个箱子里，再从第二个箱子中取1个球，此球是白球的概率为 ，已知上述从第二个箱子中取出的球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为 。

分析 本题第一问是考查全概率公式，第二问是求条件概率，故应用叶贝斯公式

设=1A {从第i 个箱子中取出的球是白球}，i ＝1，2，由条件知，

9/5)|(,5/3)(121==A A P A P ，故由全概率公式得

45

23

)951)(531(9553)|()()|()()(1211212=--+?=+=A A P A P A A P A P A P

第二问由贝叶斯公式有

23

15

95532345)()|()()|(212121=

??==

A P A A P A P A A P 解 应分别填

4523和23

15

例 有两个箱子，第一个箱子有5个白球10个红球，第二个箱子有5个白球10个红球，现从第一个箱子中任取出1个球放于第二个箱子里，然后从第二个箱子中任取1个球放于第一个箱子里，最后从第一个箱子中任取2个球,求2个球全是红球的概率.

分析 本题是考查全概率公式.

解 设i A ={从第一个箱子中任取出1个球放于第二个箱子里，然后从第二个箱子中任取1个球放于第一个箱子后第一个箱子中含有i 个红球}，i ＝4,5,6，

=B {最后从第一个箱子中任取2个球全是红球}

由条件知，

)(4A P =P (先从第一个箱子中任取出红球, 后从第二个箱子中取出白球)

485165155=

?=

)(5A P =P (先从第一个箱子中任取出红球, 后从第二个箱子中取出红球)

+P (先从第一个箱子中任取出白球, 后从第二个箱子中取出白球)

482316615101611155=?+?=

)(6A P =P (先从第一个箱子中任取出白球, 后从第二个箱子中取出红球)

48/2016/1015/10=?=

105/6/)|(2

15244==C C A B P ,

105

/10/)|(2

15255==C C A B P ,

105/15/)|(215266==C C A B P

故由全概率公式得

911051548201051048231056485)|()()(6

4

=?+?+?=

=∑=i i i A B P A P B P

5．利用贝努里概型公式进行计算

例 某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现一盒火柴已经用完，如果最初两盒中各有m 根火柴，求这时另一盒还的r 根火柴的概率。

解 假若甲盒已空而乙盒还剩r 根火柴，则在这之前一定已经取过)2(r m -次火柴，每次取甲、乙盒的概率为2

1

=

=q p ，在)2(r m -次中，恰有m 次取于甲盒，)(r m -次取于乙盒，第)12(r m -+次必然抓了甲盒，否则不会发现甲盒是空的，因此这种情况的概率为

122221)21()21(21+----==

r m m r m r m m r m C C P 故求一盒空而另一盒还剩r 根火柴的概率为

r m m r

m C P P P --=+=2221)2

1( 例（877） 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，以概率0.20定为不合格仪器不能出厂，现

该厂新生产了)2(≥n n 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求： 1o全部仪器能出厂的概率α；

2o其中恰好有两台不能出厂的概率β； 3o其中至少有两台不能出厂的概率θ。 分析 由于各台仪器的生产过程相互独立，故生产的n 台仪器中能出厂的仪器数服从参数为),(p n 的二项分布，问题的关键是p 的确定

解 设=A {仪器需要进一步调试}，=B {仪器能出厂}；则=A {仪器能直接出厂}，=AB {仪器经调试后能出厂}。由条件知

94

.080.030.070.0)|()()()()()(80

.0)|(,30.0)(,=?+=+=+====?=A B P A P A P AB P A P B P p A B P A P AB A B 记X 为所生产的n 台仪器中能出厂的台数，则)94.0,(~n B X 分布，故

n n X P 94.0}{===α

n

n n n n n n X P n X P n X P C n X P 94.006.094.01)()1(1}2{06.094.0}2{1

2

22-??-==--=-=-≤=??=-==---θβ

6．关于最小样本容量n 的简单求法

例（878） 已知步枪射击命中目标的概率4.0=p ，问至少需要多少支步枪才能保证击

中目标的概率不少于0.9？

分析 此类问题首先设所需步枪数为n ，再根据题意写出计算有关事件的概率式子，把对概率的要求用不等式表示出来，从而解出n 。

解 设X 为n 支步枪中命中目标的次数，则

n X P X P 6.01)0(1)1(-==-=≥

由条件知5,9.0)6.0(12

≥≥-n ，故最少步枪数为5支

7．配对模型

例 从5双不同的手套中任取4只，求至少有两只配成一双的概率。 解 记=A {4只手套中至少有两只配成一双}，有二种解法： 1o利用对立事件计算

21

13

78910468101)(1)(=??????-

=-=A P A P

2o用配对法计算。记=i A {取得了第i 双手套}，5,,2,1 =i

2113001

5)

()()()()(4

1025410285

1

51521／＝＋）＋／（）－／（＝ C C C C A A A P A A P A P A A A P A P i j

i j i i ?++-=+++=∑∑=≠

例 将n 封信从信封中取出后随机地装入，求至少有一封放进它原来信封内的概率)(n p ，并计算)(lim n P n ∞

→

解 此题用逆事件难以得到一般公式，故选用配对法计算，记=i A {第i 封信装入第i 个信封中}，n i ,,2,1 =，则

1

121

1

21121211!

1)1(!211!1)1(1111)()1()()()()(!

1)( ,111)( ,,,2,1,1)(--=≠--→-++-=-+-??-?

=-++-=+++==≠-===

∑∑e n n n n C n C A A A P A A P A P A A A P n P n A A A P j i n n A A P n i n A P n n n n n i j

i n n j i i n n j i i

小结 本章重点是随机事件的计算，考生除应熟记有关的公式，根据题目的条件作出正

确的计算外，还要熟练地掌握一些技巧（如利用逆事件等），以简化解法，提高效率。

第二章 随机变量及其分布

2． 离散型随机变量的分布律和分布函数

例（882） 设随机变量X 的分布律为（0>α为参数）

2,1,1

)(==

=k a

k X P k 求（1）)3()2();5(的倍数为X P X P ≥。

解 因为∑∞

=-=

-=

=1

11

)11/(1)(1k a a a k X P ＝

，所以2=a ， （1）∑∞

==??? ??-=≥5161

211/2

1)5(k k X P ；

（2）X P (为3的倍数）＝71

2

113=∑∞

=k k

例（886） 假设飞机在飞行中引擎不损坏的概率为)10(<

3引擎飞机更安全。

解 设X 表示飞行中飞机引擎不损坏数，对5引擎机，可视为5重贝努利试验，对3引擎机，可视为3重贝努利试验，于是对5引擎机，X 的可能值为0，1，2，3，4，5，

{5引擎机成功飞行}这一事件等价于}3{≥X ，故5引擎机成功地飞行的概率为

5

4452335)1()1()

5()4()3()3(p p p C p p C X P X P x P X P +-+-==+=+==≥

同理，3引擎机成功地飞行的概率为

32

23)1()2(p p p C X P +-=≥

故5引擎机比3引擎机更安全的充分条件

322354452335)1()1()1(p p p C p p p C p p C +->+-+-，

化简后得

0)12)(1(>--p p

故得，当2/1>p ，5引擎机比3引擎机飞行更安全。

例（888） 某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80，10和10件，现从中随机地抽取一件，记

??

?=其它等品若抽到，），，＝

（，，03211i Z i i 试求随机变量1Z 和2Z 的联合概率分布。

解 （1Z ，2Z ）为二维离散型随机变量，其可能取值为（0，0），（0，1），（1，0），（1，

1），故

)()1,1(8

.010080)0,1(1.010010)1,0(1.010010)0,0()()()()

(21212121＝＝＝／＝＝／＝＝／＝＝等品该产品为一等品且为二该产品为一等品该产品为二等品（该产品为三等品）是二等品该产品不是一等品且不φP P Z Z P P Z Z P P Z Z P P P Z Z P ============

例 设某班车起点站上的乘客数X 服从参数为)0(>λλ的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为)10(<

解

,2,1,0,0,!

)

1()()|(),(=≤≤?-=======--n n m n e p p C n X P n X m Y P m Y n X P n

m

n n

m n

λλ 例 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红、绿信号灯的路口，每个信号灯为“红或绿”与其它信号灯为“红或绿”相互独立，且红绿两种信号显示时间相等，以X 表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求X 的分布律。

解 此题是有限几何分布模型，求X 的分布律。

8

1

8141211)3(,)0(2,1,2121121)(1=

---=====???

??=?

?

?

??-==-X P p X P k k X P k

k

2．连续型随机变量的分布密度和分布函数 例（892） 设随机变量X 的分布函数为

∞<<∞-+=x Barctgx A x F ,)(

试求：1o系数A 与B ；2o)11(<<-X P ；3oX 的分布密度

解 1o由分布函数的性质1)(,0)(=+∞=-∞F F ，知

??

?=+=-+1

)2(;

0)2(ππB A B A 解方程组得：π/1,2/1==B A

即

+∞<<∞-+=x arctgx x F ,1

21)(π

2

1)4(1214121))

1(1

21()1121()1()1()11(2=---?+=-+-+=--=<<-πππππ

πarctg arctg F F X P

3o+∞<<∞-+='+='=x x arctgx x F x f ,)

1(1

)121()()(2ππ

例（894） 设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布，现对X 进行三次独立观测，试求至

少有两次观测值大于3的概率。

解 由条件知X 的分布密度为

??

?≤≤=其它

,0;

52,3/1)(X x f 令3υ表示三次独立观测是中观测值大于3的次数，则3υ服从),3(p B ，其中p 为

?

==>=5

3

3

231)3(dx X P p

故有 27

20)3

2()321()3

2

()2(3

3

32

2

33=

+-=≥C C p υ 例（20021） 设随机变量X 服从正态分布N （2,σμ），且二次方程042=++X y y 无实根的概率为本1/2，则=

μ___

__________。

解 由二次方程042=++X y y 无实根的条件知

,0442<-X 故

4,2/1)04(,2/1)0416(==<-=<-μX P X P 例（896） 设随机变量),(Y X 的概率密度为

????

?≥+<++-=2

2222222,

0;

),(),(R y x R y x y x R c y x f

试求1o系数c ；2o),(Y X 落在圆)0(2

2

2

R r r y x <<≤+内的概率。

解：

3

32)

()(),(113

330

20

3

2222

2sin ,cos 2

222

22R c R c R c d d c cR dxdy

y x c R cR dxdy y x R c dxdy y x f R

R y x R y x y x πππρθρρπππ

θρθρ=

-=?-=+-?=+-=

=?

?

??

??

?

?

==<+<+∞

∞-∞

∞

-令

所以 3

3

R c π=

2o 设{}

,:,2

22r y x y)(x D ≤+=

{})

321(332)(),(2232

33R r R r r Rr c dxdy

y x R c D Y X P D

-=?????

?-=+-=∈??ππ

注 利用分布函数的基本性质可以确定待定系数，从而可以计算二维随机变量落在某一

区域内的概率，值得注意的是计算过程中，由于),(y x f 通常是分区域函数，故积分区域要特别小心，以免出错。

例（898） 考虑一元二次方程02

=++C Bx x ，其中C B ,分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q 。

解 方程02

=++C Bx x 有实根的充要条件是判别式042

≥-=?C B 或4/2

B C ≤，

0＋1＋2＋4＋6＋6＝19

所以36/19=p ，使方程有重根的充要条件是C B 42

=，满足此条件的基本事件个数为

0＋1＋0＋1＋0＋0＝2

因此 18/136/2==q

例（900） 设随机变量),(Y X 均匀分布于以(1,0)，(0,1)，(－1,0)，(0,－1)四项点所构成的正方形中，求X 与Y 的边缘密度函数。

解 如图2.3

??

?<+=其它,01

||||,2/1),(y x y x f 1o当01<

时，??+--∞∞-+===11121

),()(x x X x dy dy y x f x f 当10<≤x 时，12

1

),()(11+-===??+--∞∞-x dy dy y x f x f x x X 所以

?

?

?<<--=其它,0;

11|,|1)(x x x f X 2o类似1o可得

?

?

?<<--=其它,01

1|,|1)(y y y f Y 例 设随机变量X 的绝对值不大于1；;4

1

}1{,81}1{===

-=X P X P 在事件}11{<<-X 出现的条件下，X 在（-1，1）内的任一子区间上的条件概率与该子区间长度成

正比。

试求（1）X 的分布函数}{)(x X P x F ≤=；

（2）X 取负值的的概率p 。

解 （1）由条件知，当1-

8

541811}11{=--

=<<-X P 。 故在}11{<<-X 条件下，事件}1{x X ≤<-的条件概率为

2

1

}111{+=<<-≤<-x X x X P (注意该式？）

于是，对于11<<-x ,有

=≤<-}1{x X P }11,1{<<-≤<-X x X P (注意该式？）

=?<<-≤<-}111{X x X P }11{<<-X P =16

)

1(58521+=?+x x ; 16

7

5165581}1()1()(+=++=≤<-+-≤=x x x X P X P x F

对于1≥x ,有1)(=x F .从而

?????≥<≤-+-<=1,

111,16

751,

0)(x x x x x F

(2) X 取负值的的概率

16

7

)0(}0{)0(}0{===-=<=F X P F X P p .

3．随机变量函数的分布

例 设随机变量1X ，2X 的概率分布为

???

? ?????? ??-2/12/110

~,4/12/14/1101~21X X

且1)0(21==X X P ，求),(21X X 的联合分布。

解 ),(21X X 为二维离散型随机变量，由条件1)0(21==X X P 知

0)0(21=≠X X P

故 0)1,1()1,1(2121=====-=X X P X X P

由联合分布与边缘分布的关系立得

)0,0(,2/1)1,0(4

/1)0,1()0,1(21212121===========-=X X P X X P X X P X X P

例（910） 设随机变量X 在(0，π2)内服从均匀分布，求随机变量X Y cos =的分布密度。

解 由条件知X 的分布密度为

?

?

?<<=其它,0,

20,2/1)(ππx x f 由于函数x y cos =在)2,0(π内为分段单调函数，其反函数分别为

)

1,1(),,0(,11)

2,(,arccos 2),,0(,arccos 12

12211-∈∈--='∈-=∈=y x y x x y x x y x πππππ

)1,1(),2,(,1122

2

-∈∈-='y x y

x ππ

故

??

???

-∈-='?-+'?=其它，0);

1,1(,11||)arccos 2(||)(arccos )(2

21

y y x y f x y f y f Y ππ

注 此题也可用分布函数法解。

（3）二维连续型随机变量函数的分布

例（916） 在),0(a 线段上任意抛两个点（抛掷二点的位置在),0(a 上独立地服从均匀分布），试求两点间距离的分布函数。

解 设抛掷两点的坐标分别为X 和Y (图2.5)，则X 与Y 相互独立，且都服从）（a ,0上的均匀分布，故),(Y X 的联合概率密度为

?

??<<<<=其它,0;

0,0,/1),(2a y a x a y x f

记两点距离为Z ，则||Y X Z -=的分布函数为 )|(|)(z Y X P x F Z ≤-=

当0

????--+--=

---=-=<-=z a z a z y z

a Z a z a z dy z y a a dx

dy a z Y X P z F 02

200

2)2()(2121)|(|)(α

当a z ≥时，1)(=z F Z 故两点距离Z 的分布函数为

????

???≥<≤-<=a

a a z a z a z z z F X ,1;0,)2(0,0)(2

例（918） 假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障时间都

服从参数为0>λ的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T 的概率分布。

解 设)3,2,1(=i X i 为第i 个电子元件无故障工作的时间，则321,,X X X 是独立同分布的随机变量，其分布函数为

??

?<≥-=-0

,00

,1)(x x e x F x λ 记)(t G 为了T 的分布函数，则 当0

t

e t F t X t X t X P t T P t T P t G λ333211)](1[1)

,,(1)(1)()(--=--=>>>-=>-=≤=

所以 ???<≥-=-0,

00

,1)(3t t e t G t λ

即电路正常工作时间T 服从参数为λ3的指数分布。

例（920） 设随机变量X 与Y 独立同分布，其概率密度为

??

???∞<<=-其它,00,2)(2

x e x f x π

求随机变量22Y X Z +=的概率密度。

解 由于X 与Y 独立同分布，故),(Y X 的联合概率密度为

?????∞

<<∞<<==+-其它

,00,0,4)()(),()

(22y x e

y f x f y x f y x Y X π

当0≤z 时，显然0)(=z F Z 当0>z 时，

2

2

2222222

14

4

),()(020

)

(z z

z

y x z y x y x Z e

d e

d dxd

e dxdy y x

f z F --≤+≤++--==

==

??

??

??

ρρθπ

π

ρπ

故22Y X Z +=

的概率密度为

?????≥<='=-0

,2;

0,0)()(2z ze z z F z f z Z

（4）正态随机变量

例（923） 设X 服从正态分布)2,3(2

N ，则)52(<≤X P ＝ ，)72(<≤-X P ＝ ，若)()(c X P c X P <=≥，则=c

。

解 记正态分布),(2ομN 的分布函数为)(x F ,标准正态分布)1,0(N 的分布函数为)(x Φ,则

)(

)(σ

μ

-Φ=x x F

5328.0)21

()1()232()235(

)2()5()52(=-Φ-Φ=-Φ--Φ=-=<≤F F X P )

2

3

(5.0)()()(1)(9710

.0)21

2()2()232()237()2()7()72(-Φ==

由标准正态分布的对称性知，302

3

=?=-c c 例（925） 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态)1,0(N 分布，求Y X Z 2-=的分布密度。

解 由正态随机变量的性质知),(~2

σμN Z ，由于

5

2)2(,02)2(22=?+=-===-=-==DY DX Y X D DZ EY EX Y X E EZ σμ

故)5,0(~N Z ，其概率密度为 ∞<<-∞?=-x e x f x

,5

21)(10

/2

π`

第三章 随机变量的数字特征及极限定理

例题分析

一．随机变量的数字特征

1．一维随机变量的数字特征 解题步骤

1o正确写出随机变量X 的分布律或分布密度；

2o利用定义计算)(),(X D X E ，注意方差DX 的简化公式22)(EX EX DX -=的使用。 例（927） 一整数等可能地在1到10中取值，以X 记除得尽这一整数的正整数的个数，求DX EX ,。

解 记)(n d 表示除尽)10,2,1( =n n 的正整数的个数，则

4

)10()8()6(,3)9()4(2)7()5()3()2(,1)1(==========d d d d d d d d d d

故X 的分布列为

10

3102104101)

(4321k X P X

=

所以

100

1

1

)(10

83

1034102310421011102710341023104210112222222=-==

?+?++?==?+?+?+?

=EX EX DX EX EX 例（932） 将n 个球放于M 个盒子中，设每个球放于各个盒子是等可能的，求有球的盒

子数X 的数学期望和方差。

解 记随机变量 ???==M

i i i X i ,,2,1,0,1 ，个盒子中无球第，个盒子中至少有一个球

第

则i X 两两独立，且同分布

n n M

i i M i i M

i n i M i i n n i i i n

i n i n

i n i M M M M M DX X D DX M M M EX X E EX M

M M M EX EX DX M

M EX M M EX M M X P M M X P )

1()1(1)()1(1)()1()1(1)()

1(1,)1(1)1()0(,)1(

1)1(1

11

1222-??????

--===?

?????

--===-??????--=-=--=--=-==--==∑∑∑∑==== 例（936） 设随机变量X 的概率密度为

?

?

?<<++=其它,0;

10,)(2x c bx ax x f 已知15.05.0=DX EX ，＝，求系数c b a ,,。

解 1)(,

1)(1

2=++∴=??

∞

∞

-dx c bx ax dx x f

即

12

1

31=++c b a

（3.1）

又

??∞

∞-=++∴++==1

025.02

1

3141,)()(c b a dx bx ax x dx x xf EX （3.2）

4.03

1

4151,5.0)()(1022222=++∴-++=-=?c b a dx c bx ax x EX Ex DX ` （3.3）

解方程组(3.1)，(3.2)，(3.3)得 3,12,12=-==c b a

2．二维随机变量的数学特征 （1）解题步骤

1o计算),(Y X 关于Y X ,的边缘分布密度； 2o利用公式计算数字特征XY DY EY DX EX ρ,,,,。 （2）注意

1oDY DX DY DX Y X DY Y X D XY ?±+=±=±ρ2),cov(2)(

2o若Y X ,相互独立，则EY EX XY E ?=)(； 若X 与Y 互不相关，则DY DX Y X D +=+)(；

3o若X 和Y 独立，则X 与Y 互不相关；反之不成立，对正态随机变量),(Y X ，则X 与Y 互不相关等价于X 与Y 相关独立。

4o相互独立正态随机变量的线性组合仍为正态随机变量

例（942） 设二维随机变量),(Y X 在矩形}10,20|),{(<≤<<=y x y x G 上服从均匀分布，记

?

?

?>≤=???>≤=Y X Y

X V Y X Y X U 2,12,0,,1,,0若若若若 （i ）求),(V U 的联合分布；（ii ）求U 与V 的相关系数r 。

解 ),(V U 为二维离散型随机变量，其可能值为（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）；由条件知

),(Y X 的联合概率密度为

?????∈∈=G

y x G

y x y x f ),(,0),(,2

1

),( （i ）4

1

)()2,()0,0(=

≤=≤≤===Y X P Y X Y X P V U P 2

1

)1,1(,41)0,1(0

)()2,()1,0(=

=======>≤===V U P V U P P Y X Y X P V U P φ （ii ），由（i ）知

???

? ?????? ??2/12/110

~4/34/110~V U

4/1,2/1,16/3,4/3====DV EV DU EU

2/12/1114/10.10104/100)(=??+??+??+??=UV E

3

3

,),cov(8

1

214321)(),cov(=

=

=?-=

-=DV

DV V U r EUEV UV E V U 例(938)

设

5.0,9,4,4,2-=====XY DY DX EY EX ρ，1o试求

32322-+-=Y XY X Z 的数学期望；2o53+-=Y X W 的方差。

分析 此题条件中没有给出有关随机变量Y X ,的分布信息，故其函数Z 与W 的数学特

征只能运用性质来计算。

解

68

3])([]))([(2])([33

)(2312222=-++?+-+=-+-=EY DY DY DX EY EX EX DX EY XY E EX EZ XY ρ

2o

63

645)

,cov(6949),3cov(29=?-=-+?=--+=DY DX Y X Y X DY DX DW XY ρ

3．随机变量函数的数字特征

计算公式：

一维随机变量X 函数)(X g Y =的数字特征的计算公式

∑==i

i i x X P x g EY )()(或dx x f x g EY X )()(?∞

∞

-=

22)(EY EY DY -=

二维随机变量),(Y X 的函数),(Y X g Z =的数字特征的计算公式

∑∑===j

i i i

i i y Y x X P y x g EZ ),(),(

或

dxdy y x f y x g EZ ?

?

∞

∞-∞

∞

-=),(),(，

22)(EZ EZ DZ -=

例 已知连续型随机变量X 的概率密度函数为1

22

1

)(-+-=x x

e x

f π

，则X 的数字期望为

；方差为 。

解 此题简单解法是利用正态分布的均值与方差已知直接写出，即把)(x f 变形为标准

型，从而有2/1,1==DY EX 。

例（947） 一零件的横截面是圆，对截面的直径进行测量，设其直径服从区间[0，2]上的均匀分布，则横截面积的数学期望为 ，而面积的方差为 。

分析 此题是计算均匀分布随机变量函数的期望与方差，由公式得

45

4)3(5)(5

2116)()4(,3

214)(42222

2202422

2

22

022

ππππππππ

π=

-=-==?===?=

=???

?∞∞-∞

∞-ES ES DS dx x dx x f x ES dx x dx x f x ES 解 分别填3π和45

42

π。

例（948） 设随机变量||),1,0(~X Y N X =，求Y 的概率密度及DY EY ,。

解 此题计算Y 的期望与2

EY 时可直接用公式：

π

ππ

π2

1)22(

1)(101)(||;

22

22

||||22222222

2-

=-=-==+=+====

?

==-

∞

∞

-?EY EY DY EX DX EX X E EY dx e

x X E EY x 例（954） 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？

分析 若以X 表示一周5天内机器发生故障的天数，Y 表示一周利润，则Y 为X 的函数，

故问题化为求随机变量Y 的数学期望。

解 由条件知)2.0,5(~B X ，即5,,1,0,8.02.0}{55 ===-k C k X P k k k

????

??

?≥-=====3

,

2;2,0;

1,5;

0,

10)(X X X X X g Y

)

(216.5057.02410.05328.010}]5{}4{}3{[2}2{0}1{5}0{10}

{)()(50

万元=?-?+?==+=+=?-=?+=?+=?====∑=X P X P X P X P X P X P k X P k g X Eg EY k

三．大数定律和中心极限定理

用切比雪夫不等式来估计事件的概率及试验次数n 。

要点：1o合理选择随机变量X ；2o求出DX EX ,；3o根据题意利用切比雪夫不等式进行计算。

例（960） 已知随机变量X 的数学期望100=EX ，方差10=DX ，试用切比雪夫不等式估计X 落在（80，120）内的概率。

解 由切比雪夫不等式

975.020

10

1)20|100(|)12080(2

=-

≥<-=<

解 1o设X 表示在1000次独立试验中事件A 发生的次数，则)75.0,1000

(B X -，且 5.187)1(750

=-===p np DX np EX

将事件}800

700{<

在切比雪夫不等式中取50=ε，则有

9925

.0075.0125005

.187150

1}50|{|}800700{2=-=-

=-≥<-=<

}

01.0|{|}01.001.0{}75.076.075.075.074.0{}

76.074.0{}76.074.0{n EX X n EX X n n n n X n n n X n n

X

<-=<-<-=-<-<-=<<=<<

)1875.0,75.0(n DX n EX ==

在切比雪夫不等式中取n 01.0=ε，则有

n n n n DX n EX X P n X P 1875

1)01.0(1875.01)01.0(1}01.0|{|}76.074.0{2

2

-

=-

=-≥<-=<<

由题意取90.01875

1≥-

n

可解得18750≥n ，即至少做18750次重复独立试验，可使事件A 出现的频率在0.74至0.76之间的概率至少为0.90。

例(961) 设X 为连续型随机变量，c 为常数，0>ε，求证

ε

ε|

|}|{|c X E c X P -≤

≥-

分析 此类概率不等式的证明，一般考虑用切比雪夫不等式或直接从定义用类似切比雪夫不等式的方法来证。

证 设X 的密度函数为)(x f ，则

?≥

-=

≥-εε||)(}|{|c x dx x f c X P

|

|1

)(||1

)(|

|)(|

|||c X E dx x f c x dx

x f c x dx x f c x c x -=

-=-≤-≤?

?

?∞∞

-∞

∞

-≥

-ε

ε

ε

ε

ε

2）中心极限定理的应用

4． 求总和n S 落在某区间内的概率。

例 一加法器同时收到20个噪声电压)20,,2,1(, =i V i ，设它们是相互独立且都服从区间（0，10）上的均匀分布，求总和噪声电压超过计划105（伏）的概率。 解 记∑==

20

1

i i

V

V ，因2021,,,V V V 是相互独立且都服从（0，10）上的均匀分布，且

20,,2,1,12

100

)(,5)( ==

===i V D V E i i i σμ 由独立同分布中心极限定理知

),3

500

,100()1210020,520(20

1

N N V V n i i =?

???→?=∞

→=∑ 故

.

3483.0)39.0(1)3/500100

105(1)105(1)105(=Φ-=-Φ-=≤-≈>V P V P

例（963） 一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间。

每个部件损坏的概率为0.1，为使整个系统起作用，至少需要85个部件工作，求整个系统工作的概率。

解 设X 表示整个系统中处于工作状态的部件数，由题设X 服从)9.0,100(B ，由德莫佛－拉普拉斯定理

977

.0)2(1.09.01009.01008411.09.01009.0100841

.09.01009.01001)

84(1)85(=Φ=???

?

?

????-Φ-≈???

?

?????-≤

???--=≤-=≥X P X P X P

即系统工作的概率为0.977。

例（965） 假设n X X X ,.,21 是来自总体X 的简单随机样本；已知

),4,3,2,1(==k EX k k α证明当n 充分大时，随机变量

∑==n i i n X n Z 1

2

1

近似服从正态分布，并指出其分布参数。

分析 此题主要考查考生对中心极限定理的理解与运用。

解 依题意知n X X X ,,,21 独立同分布，从而其函数2

2221,,,n

X X X 也是独立同分布，且

)(11

)1(,

1,

)(,2

241

22

122122

242242222αααααα-=

====-=-===∑∑∑===n

DX n

X n D DZ EX n EZ EX EX DX EX EX n

i i n i i n n

i i n i i i i

由中心极限定理

n

Z U n n /)(22

42ααα--=

的极限分布为标准正态分布，即当n 充分大时，n Z 近似地服从参数为),(2

2

42n

ααα-的正态

分布。

5． 已知n S 取值概率，求最小的n 。

例 某电视机厂每月生产一万台电视机，但它的显像管车间的正品率为0.8，为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管，问该车间每月应生产多少只显像管？ 解 设该车间每月应生产n 只显像管，这n 只显像管中正品的只数为X ，则)8.0,(~n B X 。本题即求满足

997.0)10000(≥≥X P

的最小的n 。由徳莫佛-拉普拉斯定理中心极限定理知，X 近似服从

)16.0,8.0()2.08.0,8.0(n n N n n N =? 于是

997

.0)4.08.010000(1)]16.08.00()16.08.010000([1)

100000(1)10000(≥-Φ-≈-Φ--Φ-≈<≤-=≥n

n

n n

n n X P X P

即 997.0)4.010000

8.0(

≥-Φn n

查表可得75.24.0100008.0≥-n

n ，解之得58.12654≥n ，取12655=n 即克满足要求。

第四章 数理统计初步

例题分析

1．选择题

例 设),(~2σμN X ，μ已知，2σ未知，),,(321X X X 为X 的样本，则非统计量的有（ ）

（A ）21X X +； （B ）μ-++321X X X ； （C ）

σ

μ

-1X （D ）

σ

2

32

221X X X ++

解 应填（C ），（D ）

例 θ为总体X 的未知参数，θ的估计量是θ?，则有（ ） （A ）θ?是一个数，近似等于θ；

（B ）θ?是一个随机变量；

（C ）θ?是一个统计量，且θθ

＝?E ；

（D ）当n 越大，θ?的值可任意靠近θ。

解 应填（B ）

例 设),,,(21n X X X 是总体),(2σμN 的一个简单样本，

2,σμ未知，

∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X 1

22

1)(11,1，则（ ） （A ）2S 是2σ的线性无偏估计量； （B ）S 是σ的无偏估计量； （C ）S 是σ的极大似然估计量； （D ）S 是σ的相合估计量。

解 应填（D ）

例 对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平0.05下，接受零假设

00:μμ=H ，那么在显著性水平0.01下，下列结论中正确的是（ ）

（A ）必接受0H ； （B ）可能接受，也可能拒绝0H （C ）必拒绝0H ； （D ）不接受，也不拒绝0H

解 应填（A ） 2．填空题

例 设总体),(~2

σμN X ，2

2

5.1=σ，今抽得一样本，数据如下：11，9，14，10，12，7，13，11，12，则总体期望值的95％的置信区间是

分析 11)1211137121014911(9

1

=++++++++-

x 由于05.0%951=-=α，所以96.12

=αu ，故所求的置信区间为

98.1102.10,96.19

5.1119

6.19

5.111≤≤?+

≤≤?-

μμ

解 应填[10.02，11.98]

例 设总体μσμ),,(~2

N X 未知，2

σ已知，为使总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间长度为l ，则应抽取的样本容量n 最少应为 。

分析 在方差2

σ已知的条件下，均值μ的置信区水平α-1的置信区间为

???

????

?+-

22,αασ

σu n X u n X ，其区间长度为22

ασu n ，为使122≤ασ

u n ，最少应为22

224l u α

σ。 解 应填

2

2

2

24l

u α

σ。

例 设),,,(21n X X X 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，其中参数2,σμ未

知，记∑∑==-==n

i i n i i X X Q X n X 1

212

)(,1，则假设00＝：μH 的t 检验使用统计量

t ＝

分析 )1(~/),1,0(~/),,(~2222--n Q N n

X n N X χσσμ

σμ

因此在原假设0:0=μH 成立下，其检验统计量

)1(~)1(1

)(---=

--=

n t n n Q

X n Q

n X t μ

σσ

μ 解 应填

)1(--n n Q

X μ

3．证明题

例 设总体的均值μ与方差2σ都存在，试证样本均值X 是μ的一致估计。

证 2

2

1)()(σμn

X D X E =

=- ，由切比雪夫不等式，当∞→n 时， X n X

D X P ∴→=≤>-,0)|(|22

2ε

σεεμ是μ的一致估计。

例 设),,,(21n X X X 为总体),(2

σμN 的一个样本，试证存在常数c ，使

∑-=+-1

121)(n i i i X X c 为2σ的无偏估计。

证

[]

2

1

1

222221

12121112

111212)1()2()

()(2)()()(σσμμμσ?-=++-+=+-=-=??????-∑∑∑∑-=-=++-=+-=+n c c X E X X E X E c X X E c X X c E n i n i i i i i n i i i n i i i

要使2

22)1(σσ=?-n c ，只须取)1(2/1-=n c

4．计算题

例（972） 设总体X 服从泊松分布),,,(),(21n X X X P λ为X 的一个样本，求样本均值X 的概率分布。

解 由于),,,(21n X X X 为)(λP 的样本，故由泊松分布的可加性知

)(~1

λn P X X n n

i i ∑==

即X 的分布列为

,2,1,0,!

)()()(=====-k e k n k X n P n k X P n k λ

λ

例 设总体X 服从泊松分布),,(),(21n X X X P λ为来自X 的一个样本，求

1o),,,(21n X X X 的概率分布； 2oX D X E ,和2ES 的值。 解 1o由于)(~λP X ，故

,2,01!

}{==

=-x e x x X P x

λ

λ

故),,(21n X X X 的概率分布为

11

12211)!()!(},,,{1-=-=-∏∏∑======n i i n n

i x i x n n x e x e

x X x X x X P n

i i i

λλ

λλ ，

2o因为λλ==)(,)(X D X E ，所以

,11)1(

)(,

1)1()(1

111∑∑∑∑============n

i i

n

i i n

i i n i i n DX n DX n x n D X D EX EX n x n E X E λ

λ

[][]

λ==---=+--+-=??????--=??????--=∑∑∑===DX DX n DX n n X E X D n n EX DX n X nE EX n X X n E ES n i i

i n i i n i i 1

11)()(1)(11)(11)(11212

122122

注 上述结论对任意总体X 均成立，即

DX ES DX n

X E EX X E ==

=2,1

)(,)(。 例（977） 设总体X 服从),(211θθθ+上的均匀分布，即

??

???+∈=其它,0];

,[,1

)(2112

θθθθx x f 其中21,θθ为未知参数，试求21,θθ的矩估计。

解

3

|31

1

)(2

|21

2

2

21213

2

2

2

2212222

11211

2

112

11

θθθθθθ

μθθθθμθθθθθθθθθθθθ++=?

=

==+==+++?

?

x dx x X E x dx x EX ＋＝＝

由矩估计定义得两个方程：

概率论与数理统计公式大全

第1章 随机事件及其概率 例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A 为“至少有一张红桃”，B 为“恰有2张红桃”，C 为“恰有5张方块”，求条件概率P (B |A )，P (B |C )解 13 52 1339 1352135213391)(1)(C C C C C A P A P -=-=-=13 52 11 39 213)(C C C AB P ?=13 39 135211392131352 13 39135213521139 213)() ()(C C C C C C C C C C A P AB P A B P -=-==1352 839 513)(C C C C P =13 52626213513)(C C C C BC P =8 39 6262131352 8395131352626 213513)() ()(C C C C C C C C C C C P BC P C B P === 某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率. 解设A 表示事件“活到20岁以上”，B 表示事件“活到25岁以上”，显然A B ?7.0)(=A P 56.0)(=B P 56 .0)()(==B P AB P 8.07 .056 .0)()()(=== A P A B P A B P

例1.21 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不 超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数0 1 2 3 4 概率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认 为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。4 ()()() k k k P B P A P B A == ∑解设B 表示事件“一批产品通过检验”，A i (i =0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i 件次品”，则A 0,A 1, A 2, A 3, A 4组成样本空间的一个划分， 00()0.1,()1 P A P B A ==1099 1110100 ()0.2,()0.900 C P A P B A C ===1098 2210100 ()0.4,()0.809 C P A P B A C ===1097 3310100 ()0.2,()0.727 C P A P B A C ===1096 4410100 ()0.1,()0.652 C P A P B A C ===814.0652 .01.0727.02.0809.04.0900.0.021.0≈?+?+?+?+=顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是 0004 ()(|) 0.11(|)0.123 0.814 ()(| ) i i i P A P B A P A B P A P B A =??= = ≈?∑类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约 为0.221、0.398、0.179、0.080。 贝叶斯公式(Bayes) 1 ()() ()1,2,,()() k k k n i i i P A P B A P A B k n P A P B A =?= =∑L 第二章 随机变量及其分布 1离散型 随机变量 P(X=x k )=p k ，k=1,2,…， （1）0≥k p ， （2）∑∞ ==1 1 k k p 2连续 型随机变量概 ? ∞-=x dx x f x F )()( (1)0)(≥x f ;(2) ? +∞ ∞ -=1 )(dx x f 。 ()=()F x f x '? =-=≤

概率统计知识点汇总

概率第一章 (一)概率的加减乘除运算 (二) 概率的计算 1. 古典概型的计算 2. 条件概率的计算 (三) 全概率公式与贝叶斯公式 (四) n 重伯努利试验 概率第二章 （一）随机变量分布函数 1. 分布函数的定义及性质 2. 学会用分布函数表示随机变量落入指定区域的概率 （二）离散型随机变量 1. 具体问题会求解离散型随机变量的分布列 分布列要满足的条件 2. 由分布列会求解分布函数 3. 由分布函数会求解分布列 4. 掌握三个常见的离散型随机变量 （三）连续型随机变量 1. 由分布函数会求解分布密度 2. 由分布密度会求解分布函数 3. 利用分布密度求解未知参数 4. 掌握三个常见的连续型随机变量 （四）随机变量函数的分布 1. 离散型随机变量的函数 2. 连续型随机变量的函数 概率第三章 二维随机向量 (一)联合分布函数的定义及性质 联合概率分布函数定义为____),(=y x F 联合分布函数的性质： ___),(____,),(),(),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F y F x F 用联合概率分布函数表示二维随机向量落入指定区域的概率 ____),(2121=≤<≤

(完整版)2019理科专题--概率与统计

知识梳理 一、 两个计数原理 分类，分步不仅仅是计数方法，更是解决问题的思想方法 二、 随机事件的概率，概率与频率 频率是直观的，具体的，外在的，是可变的，概率是抽象的，是数学抽象的产物，是频率大数次试验下，稳定的理论值，不变的 三、 古典概型和几何概型 本质都是求一个比例，求事件A 占总体的比例，它们的区别在于测度不同，古典概型的基本事件是离散的有限的，几何概型的基本事件是连续的无限的, 四、 复杂事件的概率的计算 1、条件概率：)()()|(A P AB P A B P 2、互斥事件至少有一个发生的概率（加法公式），对立事件 3、相互独立事件同时发生的概率（乘法公式） 4、独立重复试验：在_____条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．

五、离散型随机变量的分布列从随机变量值到P∈[0,1]的函数1、两点分布 2、超几何分布 3、二项分布 六、正态分布

2019高考理科专题 概率与统计（解析） 一、选择题 1． 5个车位分别停放了,,,,,5A B C D E 辆不同的车，现将所有车开出后再按,,,,A B C D E 的次序停入这5个车位，则在A 车停入了B 车原来的位置的条件下，停放结束后恰有1辆车停在原来位置上的概率是（ ） A. 38 B. 340 C. 16 D. 112 2．如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图（单位：秒），则（ ） A. 平均数为64 B. 众数为7 C. 极差为17 D. 中位数为64.5 3．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若 硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两 个人站起来的概率为（ ） A. 516 B. 1132 C. 1532 D. 12 4． 5名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是（ ） A. 54 B. 72 C. 78 D. 96 5．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定．．．所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ） A. 3 B. 72 C. 18 5 D. 4 6．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是 A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 7．某厂家为了解广告宣传费与销售轿车台数之间的关系，得到如下统计数据表：根据数据

概率统计公式大全(复习重点)

第一章随机事件和概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的

统计概率知识点归纳总结归纳大全

统计概率知识点归纳总结大全 1.了解随机事件的发生存在着规律性与随机事件概率的意义. 2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率、 3.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. 4.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率. 5.掌握离散型随机变量的分布列、 6.掌握离散型随机变量的期望与方差、 7.掌握抽样方法与总体分布的估计、 8.掌握正态分布与线性回归、 考点1、求等可能性事件、互斥事件与相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P (A )＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤: （1） 计算一次试验的基本事件总数n ; （2） 设所求事件A,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; （3） 依公式()m P A n =求值; （4） 答,即给问题一个明确的答复、 (2)互斥事件有一个发生的概率:P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例:对立事件的概率:P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1、 (3)相互独立事件同时发生的概率:P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例:独立重复试验的概率:P n (k )＝k n k k n p p C --)1(、其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式 [(1-P)+P]n 展开的第k+1项、

(4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”: ① 求概率的步骤就是: 第一步,确定事件性质???????等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种、 第二步,判断事件的运算???和事件积事件 即就是至少有一个发生,还就是同时发生,分别运用相加或相乘事件、 第三步,运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -?=???+=+???=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复、 考点2离散型随机变量的分布列 1、随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示、 ②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量、 ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量、 2、离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念与性质 一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ,2x ,……,i x ,……,ξ取每一个值i x (=i 1,2,……)的概率P(i x =ξ)=i P ,则称下表、

高考数学概率与统计知识点汇编

高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===?

概率论与数理统计公式定理全总结

第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义 ● E(a)=a ，其中a 为常数 ● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 ) () ()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑ ==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑ ==n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 )|()()|()()|() ,...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ 1)(=? +∞ ∞ -dx x f )(b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()() 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()() ,(y x f ),(y x F 0 ),(≥y x f 1),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()(?+∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()(} {}{},{j Y P i X P j Y i X P =====) ()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞ -∞ =?= k k k P x X E )(? +∞ ∞ -?=dx x f x X E )()(∑ =k k k p x g X g E )())((∑∑=i j ij i p x X E )(dxdy y x xf X E ??=),()() (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F =

最新统计概率知识点归纳总结大全

统计概率知识点归纳总结大全 1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． 2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． 4．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： （1） 计算一次试验的基本事件总数n ; （2） 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; （3） 依公式()m P A n =求值; （4） 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.

(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.

2019年高考真题理科数学分类汇编专题10 概率与统计和计数原理(解析版)

专题10 概率与统计 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【答案】C 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 【答案】A 【解析】设9位评委评分按从小到大排列为1234 89x x x x x x <<<<<． 则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<，中位数仍为5x ， A 正确； ②原始平均数1234891 ()9x x x x x x x = <<<<<，后来平均数234 81 ()7 x x x x x '=<<<，平均数 受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2 222111 [()()()]9q S x x x x x x = -+-++-，22222381 [()()()]7 s x x x x x x '=-'+-'+ +-'，由② 易知，C 不正确； ④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是

高考理科概率与统计专题

高考理科概率与统计专 题 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

2017 高考理科专题 概率与统计（解析） 一、选择题 1． 5个车位分别停放了,,,,,5A B C D E 辆不同的车，现将所有车开出后再按,,,,A B C D E 的次序停入这5个车位，则在A 车停入了B 车原来的位置的条件下，停放结束后恰有1辆车停在原来位置上的概率是（ ） A. 38 B. 340 C. 16 D. 112 2．如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图（单位：秒），则（ ） A. 平均数为64 B. 众数为7 C. 极差为17 D. 中位数为 3．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若 硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两 个人站起来的概率为（ ） A. 516 B. 1132 C. 1532 D. 12 4． 5名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是（ ） A. 54 B. 72 C. 78 D. 96 5．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定．．．所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ） A. 3 B. 72 C. 18 5 D. 4 6．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是 A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 7．某厂家为了解广告宣传费与销售轿车台数之间的关系，得到如下统计数据表：根据 数据表可得回归直线方程???y bx a =+，其中? 2.4b =， ??a y bx =-，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为 A. 17 B. 18 C. 19 D. 20

概率统计知识点全面总结

知识点总结：统计与概率 I 统计 1．三大抽样 (1)基本定义： ① 总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体． ② 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体． ③ 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本． ④ 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量． (2)抽样方法： ①简单随机抽样：逐个不放回、等可能性、有限性。=======★适用于总体较少★ 抽签法：整体编号（ 1~N ）放入不透明的容器中搅拌均匀逐个抽取n 次，即可得样本容量为 n 的样本。 随机数表法：整体编号（等位数，如001、111不能是1、111） 从0~9中随机取一行一列然后初方向随机 （上、下、左、右）重复，超过范围则忽略不计直至取得以n 为样本容量的样本。 ②系统抽样：容量大．等距，等可能。=======★适用于总体多★ 用随机方法编号，若N 无法被整除，则剔除后再分组，n N k 。再用简单随机抽样法来抽取一个个体，设为l ，则编号为l ，k+l ，2k+l ……（n-1）k ，抽出容量为n 的样本。（每组编号相同）。 ③分层抽样：总体差异明显．按所占比例抽取．等可能．=======★适用于由差异明显的几部分构成的总体★ 总体有几个差异明显的部分构成，经总体分成几个部分，然后按照所占比例进行抽样．抽样比为：k ＝n N 3．总体分布的估计： (1)一表二图： ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 ★注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 (2)茎叶图： ①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数．众位数等。 ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。

高中数学概率与统计(理科)常考题型归纳

高中数学概率与统计(理科)常考题型归纳 题型一:常见概率模型的概率 几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式. 【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； (2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列. 解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23. 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则 P (A i )＝C i 4? ? ???13i ? ?? ??234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24? ? ???132? ?? ??232＝8 27. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥， ∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34? ? ???133×23＋C 44? ?? ??134＝19. (3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥. 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝8 27， P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14? ????131·? ????233＋C 34? ?? ??133×23＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04? ? ???234＋C 44? ?? ??134＝1781.

概率论知识点总结及心得体会

概率论总结及心得体会 2008211208班 08211106号 史永涛 班内序号：01 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。

概率统计公式大全汇总

第一章
n Pm ?
随机事件和概率
（1）排列 组合公式
n Cm ?
m! (m ? n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 n!(m ? n)!
（2）加法 和乘法原 理
加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 m 种方法完成， 第二个步骤可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但 在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如 下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 ? 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 ? 表示。 一个事件就是由 ? 中的部分点（基本事件 ? ）组成的集合。通常用大写字母 A， B，C，…表示事件，它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件，? 为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生） ：
（3）一些 常见排列 （4）随机 试验和随 机事件
（5）基本 事件、样本 空间和事 件
（6）事件 的关系与 运算
A? B
如果同时有 A ? B ， B ? A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A ? B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表 示为 A-AB 或者 A B ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
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高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 ２、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数:112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积:f S y d ==?距；频率=频数／总数 2、频率之和:121n f f f ++???+=;同时 121n S S S ++???+=; 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 ２、平均数: 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中:1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- １、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关;?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。 五、回归分析 １、残差：??i i i e y y =-(残差=真实值—预报值)。分析:?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑, 分析：①意义:越小越好; ②计算:222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ ３、拟合度(相关指数）:221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑,分析:①．(]20,1R ∈的常数; ②．越大拟合度越高； 4、相关系数 ：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①．[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈;相关性很弱; (0.25,0.75)r ∈；相关性一般; [0.75,1]r ∈；相关性很强; 六、独立性检验 1、２×２列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -=++++

统计和概率知识点总结

数据的收集、整理与描述 1、全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2、抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3、总体：要考察的全体对象称为总体。 4、个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。 5、样本：被抽取的所有个体组成一个样本。 6、样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。 7、样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 8、总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。 9、频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 10、频率：频数与数据总数的比为频率。 11、组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。 数据的分析 1、平均数：一般地，如果有n 个数 ,,,,21n x x x 那么，)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数，x 读作“x 拔”。 2、加权平均数：如果n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次 （这里n f f f k =++ 21）。那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为 n f x f x f x x k k ++=2211，这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中k f f f ,,,21 叫做权。 3、中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 4、众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode ）。 5、极差：组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。 6、在一组数据,,,,21n x x x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，

2017高考理科数学第一轮基础知识点复习教案概率与统计1

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 第十二编概率与统计 §12.1 随机事件的概率 1.下列说法不正确的有 . ①某事件发生的频率为P（A）=1.1 ②不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1 ③小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件 ④某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 答案①③④ 2.给出下列三个命题，其中正确命题有个. ①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 答案0 3.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8，0.12，0.05，则这台纺纱机在1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为， . 答案0.97 0.03 4.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是,乙获胜的概率是，则乙不输的概率是 . 答案 5.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，则出现奇数点或2点的概率之和为 . 答案

例1盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球. （1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？ （2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ （3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ 解（1）“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0. （2）“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是. （3）“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1. 例2 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示： （1）计算表中击中10环的各个频率； （2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？ 解（1）击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906. （2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9. 例3（14分）国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示： 求该射击队员射击一次 （1）射中9环或10环的概率； （2）至少命中8环的概率； （3）命中不足8环的概率. 解记事件“射击一次，命中k环”为A k（k∈N，k≤10），则事件A k彼此互斥. 2分

2017-2018年高考真题解答题专项训练概率与统计(理科)学生版(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 2017------2018年高考真题解答题专项训练:概率与统计（理科）学生版 1．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足 的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期 ．． 望； （ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 2．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

假设所有电影是否获得好评相互独立． （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．3．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表： 超过不超过 第一种生产方式