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1.3.2线段的垂直平分线 -

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榆林市十一中学生自主学习方案

班级 组号 姓名

【自主学习】

用尺规作出下列三角形三边的垂直平分线,你发现什么结论?

【讨论展示】

讨论1:证明:三角形三条边的垂直平分线交于一点 ,并且这一点到三个顶点的距离相等.

讨论2:已知三角形的一边及这边上的高做三角形

(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?如果能,能作几个?所作出的三角形都全等吗?

(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?

2017-2018 科

目 八年级数学(下) 课题 1.3.2线段的垂直平分线 授课时间 主 备人 张慧 使用人 八年级师生 课型 新授课 审核 张 慧 学案序号 8

学习目标 1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点。

2.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知底边及底边上的高作出等腰三角形。

3.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展自己的推理证明意识和能力。

重 点 能证明三角形三边垂直平分线交于一点;能利用尺规作底边及底边上的高作出等腰三角形。 难 点 三线共点的证明。

教师寄语 认真阅读教材P24-27页,尝试完成导学案.

我的课堂我做主,我的学习我主动,我的人生我努力!

展示1:已知:线段a,求作:线段a的垂直平分线.

a

展示2:如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点E,已知△BCE的周长为8,AC-BC=2,求AB与BC的长

【检测小结】

一、课堂达标训练:完成课本P26-27页习题

二、课后作业:

1、如图,D为BC边上一点,且BC=BD+AD,则AD__________DC,点D在

__________的垂直平分线上。

2、已知:如图,Rt△ABC中,∠ACB=900, ∠BAC=600,DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于点E,点F在DE 的延长线上,且AF=CE,试探究图中相等的线段。

教(学)后小结:

线段的垂直平分线的性质

§13.1.2线段的垂直平分线的性质 教学目标 1.了解两个图形成轴对称性的性质,了解轴对称图形的性质. 2.探究线段垂直平分线的性质. 3.经历探索轴对称图形性质的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观察.重点难点; 重点: 1.轴对称的性质. 2.线段垂直平分线的性质. 难点:体验轴对称的特征. 教学过程 一、创设情境,引入新课 上节课我们共同探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于有轴对称图形,而使得世界非常美丽.那么大家想一想,什么样的图形是轴对称图形呢? 今天继续来研究轴对称的性质. 二、导入新课:观看投影并思考. 如图,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称,点A′、B′、 C′分别是点A、 B、C的对称点,线段AA′、BB′、 CC′与直线MN有什么关系? 图中A、A′是对称点,AA′与MN垂直,BB′和CC′也与MN垂 直. AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗? △ABC与△A′B′C′关于直线MN对称,点A′、B′、C′分别 是点A、B、C的对称点,设AA′交对称轴MN于点P,将△ABC和△A′ B′C′沿MN对折后,点A与A′重合,于是有AP=A′P,∠MPA=∠MPA′=90°.所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外,MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点.对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线. 自己动手画一个轴对称图形,并找出两对称点,看一下对称轴和两对称点连线的关系. 我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样, 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段. 归纳图形轴对称的性质: 如果两个图形关于某条直线对称, 那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.类似地,轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线. 下面我们来探究线段垂直平分线的性质. [探究1] 如下图.木条L与AB钉在一起,L垂直平分AB,P1,P2, P3,…是L上的点, 分别量一量点P1,P2,P3,…到A与B 的距离,你有什么发现? 1.用平面图将上述问题进行转化,先作出线段AB,过AB中 点作AB的垂直平分线L,在L上取P1、P2、P3…,连结AP1、 AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… 2.作好图后,用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… 讨论发现什么样的规律. 探究结果: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.即AP1=BP1,AP2=BP2,…

线段的垂直平分线典型例题

典型例题 例1.如图,已知:在ABC ?中,?=∠90C ,?=∠30A ,BD 平分ABC ∠交AC 于D . 求证:D 在AB 的垂直平分线上. 分析:根据线段垂直平分线的逆定理,欲证D 在AB 的垂直平分线上,只需证明DA BD =即可. 证明:∵?=∠90C ,?=∠30A (已知), ∴ ?=∠60ABC (?Rt 的两个锐角互余) 又∵BD 平分ABC ∠(已知) ∴ A ABC DBA ∠=?=∠=∠302 1. ∴AD BD =(等角对等边) ∴D 在AB 的垂直平分线上(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上). 例2.如图,已知:在ABC ?中,AC AB =,?=∠120BAC ,AB 的垂直平分线交AB 于E ,交BC 于F 。 求证:BF CF 2=。 分析:由于?=∠120BAC ,AC AB =,可得?=∠=∠30C B ,又因为EF 垂直平分AB ,连结AF ,可得BF AF =. 要证BF CF 2=,只需证AF CF 2=,即证?=∠90FAC 就可以了. 证明:连结AF , ∵EF 垂直平分AB (已知) ∴FB FA =(线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等) ∴B FAB ∠=∠(等边对等角)

∵AC AB =(已知), ∴C B ∠=∠(等边对等角) 又∵?=∠120BAC (已知), ∴?=∠=∠30C B (三角形内角和定理) ∴?=∠30BAF ∴?=∠90FAC ∴FA FC 2=(直角三角形中,?30角所对的直角边等于斜边的一半) ∴FB FC 2= 说明:线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得,初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理,容易舍近求远,由三角形全等来证题. 例3.如图,已知:AD 平分BAC ∠,EF 垂直平分AD ,交BC 延长线于F ,连结AF 。 求证:CAF B ∠=∠。 分析:B ∠与CAF ∠不在同一个三角形中,又B ∠,CAF ∠所在的两个三角形不全等,所以欲证CAF B ∠=∠,不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF 垂直平分AD ,可得FD FA =,因此ADF FAD ∠=∠,又因为CAD FAD CAF ∠-∠=∠,BAD ADF B ∠-∠=∠,而BAD CAD ∠=∠,所以可证明B CAF ∠=∠. 证明:∵EF 垂直平分AD (已知), ∴FD FA =(线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等). ∴ADF FAD ∠=∠(等边对等角) ∵BAD ADF B ∠-∠=∠(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), CAD FAD CAF ∠-∠=∠,

线段垂直平分线经典练习题

《线段垂直平分线》中一道习题的变式 例1:如图1,在△ABC 中,已知AC=27,AB 的垂直平分线 交AB 于点D ,交AC 于点E ,△BCE 的周长等于50,求BC 的长. 点评:此题是△ABC 中一边AB 的垂直平分线AC 相交;那么当AB 的垂直平分线与BC 相交时,(如图2),对应的是△ACE 的周长,它的周长也等于AC+BC.图形变化,但结论不变. 变式1:如图1,在△ABC 中, AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E ,若∠BEC=70°,则∠A= . 点评:此题变式求角的计算方法,应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论:∠AEC=2∠B. 变式2: 如图3,在Rt △ABC 中,AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。若BE=2,∠B =15°求:AC 的长。 点评:此题为图形变式,由一般三角形变为直角三角形,上面我们总结的结论不变,然后再应用直角三角形的有关性质。 图1 图2 图3

[变式练习1] 如图4,在Rt△ABC中,AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2,∠B =°求:AC的长. 图4 例2: 如图5,在△ABC中,AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求∠EAN的度数. (2) 求△AEN的周长. (3) 判断△AEN的形状. 图5 [变式练习2]:如图6,在△ABC中,AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求△AEN的周长. (2) 求∠EAN的度数. (3) 判断△AEN的形状. 图6

作线段的垂直平分线教案

第2课时作线段的垂直平分线 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 能够作出轴对称图形以及轴对称的对称轴,明确对称轴是直线. 【过程与方法】 1.经历探索、猜测、动手操作的过程,进一步发展学生的动手操作能力; 2.体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神. 【情感、态度与价值观】 通过积极参与数学学习活动,在数学活动中获得成功的体验,建立学习的自信心. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 画轴对称图形的对称轴. 【教学难点】 作轴对称图形. ◇教学过程◇ 一、情境导入 我们知道某些图形是轴对称图形,你能想出除折叠外其他画出对称轴的方法吗? 二、合作探究 探究点1垂直平分线的尺规作图 典例1如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则直线DE是() A.∠A的平分线 B.AC边的中线 C.BC边的高线 D.AB边的垂直平分线

[解析]分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则DA=DB,EA=EB,所以点D,E在线段AB的垂直平分线上. [答案]D () A.过已知点作一条直线与已知直线相交 B.过已知点作一条直线与已知直线垂直 C.过已知点作一条直线与已知直线平行 D.不确定 [答案]B 探究点2画对称轴 典例2用刻度尺分别画下列图形的对称轴,可以不用刻度尺上的刻度画的是() A.①②③④ B.②③ C.③④ D.①②所有 [解析]①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴. [答案]A ,对称轴条数是四条的图形是() [答案]A 三、板书设计 作线段的垂直平分线 轴对称图形 ◇教学反思◇ 本节的内容是画轴对称图形的对称轴,在设计上可以通过给出轴对称图形让学生画对称轴的方式,让学生通过小组合作交流,探究、讨论,归纳出画对称轴的方法,体现学生自主学习和合作交流的学习方式,空间想象能力得到加强,创新意识得到培养,并且体验到成功的快乐.

线段的垂直平分线的性质教学设计(公开课)

《线段的垂直平分线的性质》教学设计 教学目标: 1.经历探索线段垂直平分线性质的过程,理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理。 2.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力。 3. 体验解决问题策略,发展实践能力和创新精神。 教学重点、难点: 重点:理解线段的垂直平分线的性质,并能运用性质解决相关问题。难点:线段垂直平分线的实际应用。 教学过程: 一、创设问题情境 如图,两个小区分别为中建芙蓉嘉苑小区和丽发新城小区,为了便于两个小区的居民看病,政府计划在环保西路上修建湘雅五医院,使它到两个小区的距离相等,那么医院应建在什么位置? 二、温故 我们上节课学习了线段的垂直平分线,那么线段的垂直平分线是怎样定义的呢?

线段的垂直平分线:经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(也叫做线段的中垂线)。 注意:1.线段的垂直平分线是直线。 2.这条直线经过线段的中点。 3.这条直线垂直于这条线段。 三、知新 我们知道了线段的垂直平分线的定义,现在请同学们根据定义,利用直尺和铅笔作图,画一条已知线段的垂直平分线。动动手,画一画。 下面我们来看一看这条线段的垂直平分线上的点有什么特点? 右图中,直线L 垂直平分线段AB,在L 上任取点P 1、P 2、P 3,连接P 1A 、P 1B,P 2A 、P 2B,P 3A 、P 3B 的长,你发现了什么?你有什么猜想吗? 猜想:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 那我们猜想出来以后,就可以直接运用了吗?嗯,我听到有同学说需要证明,很好,那我们看看应该怎样证明呢?如果证明的话,应该先怎样呢?(把文字语言转化成符号语言) A B l P P P

线段的垂直平分线与角平分线专题复习精编版

线段的垂直平分线与角平分线专题复习 知识点复习: 1、线段垂直平分线的性质 (1)垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. 定理的数学表示:如图1,∵ CD ⊥AB ,且AD =BD ∴ AC =BC. 定理的作用:证明两条线段相等 (2)线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理: 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示:如图2,∵ AC =BC ∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上. 定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论 (1)关于三角形三边垂直平分线的性质: 三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点.....的距离相等. 性质的作用:证明三角形内的线段相等. (2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系: 若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形内部; 若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点; 若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之,也成立。 4、角平分线的性质定理: 角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示:如图4, ∵ OE 是∠AOB 的平分线,F 是OE 上一点,且CF ⊥OA 于点C ,DF ⊥OB 于点D , ∴ CF =DF. 图1 图2

定理的作用:①证明两条线段相等;②用于几何作图问题; 角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理: 角平分线的判定定理:在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示:如图5, ∵点P 在∠AOB 的内部,且PC ⊥OA 于C ,PD ⊥OB 于D ,且PC =PD , ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用:用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 6、关于三角形三条角平分线的定理: (1)关于三角形三条角平分线交点的定理: 三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示:如图6,如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线,那么: ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ; ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,则DI =EI =FI. 定理的作用:①用于证明三角形内的线段相等;②用于实际中的几何作图问题. (2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系: 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心(即内切圆的圆心). 7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图: (1)会作已知线段的垂直平分线; (2)会作已知角的角平分线; (3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 精品习题: 1.在△ABC 中,∠C=90o,BD 是∠ABC 的平分线.已知,AC=32,且AD :DC=5:3,则点D 到AB 的距离为_______. 2.如图,在△ABD 中,AD=4,AB=3,AC 平分∠BAD ,则:A B C A C D S S ?? = ( ) A .3:4 B .4:3 C .16:19 D .不能确定

线段的垂直平分线经典习题及答(精.选)

线段的垂直平分线 一、选择题(共8小题) 1、如图,在△ABC 中,分别以点A 和点B 为圆心,大于的2 1 AB 的长为半径画孤,两弧相交于点M ,N ,作直线MN , 交BC 于点D ,连接AD .若△ADC 的周长为10,AB=7,则△ABC 的周长为( ) A 、7 B 、 14 C 、17 D 、20 第1题 第2题 第3题 2、如图,在Rt △ACB 中,∠C=90°,BE 平分∠ABC ,ED 垂直平分AB 于D .若AC=9,则AE 的值是( ) A 、6 B 、4 C 、6 D 、4 3、如图,直线CD 是线段AB 的垂直平分线,P 为直线CD 上的一点,已知线段PA=5,则线段PB 的长度为( ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 4、如图,等腰△ABC 中,AB=AC ,∠A=20°.线段AB 的垂直平分线交AB 于D ,交AC 于E ,连接BE ,则∠CBE 等于( ) A 、80° B 、70° C 、60° D 、50° 第4题 第 5题 第6题 5、如图,直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ,其中AP=2CP .甲、乙两人想在AB 上取两点D 、E ,使得AD=DC=CE=EB ,其作法如下: (甲)作∠ACP 、∠BCP 之角平分线,分别交AB 于D 、E ,则D 、E 即为所求; (乙)作AC 、BC 之中垂线,分别交AB 于D 、E ,则D 、E 即为所求. 对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确( ) A 、两人都正确 B 、两人都错误 C 、甲正确,乙错误 D 、甲错误,乙正确 6、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=30°.AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ,交BC 于点E ,则下列结论不正确的是( ) A 、AE=BE B 、AC=BE C 、CE=DE D 、∠CAE=∠B 7、如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( ) A 、△ABC 的三条中线的交点 B 、△AB C 三边的中垂线的交点 C 、△ABC 三条角平分线的交点 D 、△ABC 三条高所在直线的交点 第7题 第8题 8、如图,AC=AD ,BC=BD ,则有( ) A 、A B 垂直平分CD B 、CD 垂直平分AB C 、AB 与C D 互相垂直平分 D 、CD 平分∠ACB

线段垂直平分线的性质

线段的垂直平分线 一、学生知识状况分析 学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难,这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。 二、教学任务分析 本节课的教学目标是: 1.知识目标: ①经历探索、猜测过程,能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理. ②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线. 2.能力目标: ①经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力. ②体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神. ③学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果. 3.情感与价值观要求 ①能积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲. ②在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心. 4.教学重点、难点 重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节:第一环节:创设情境,引入新课;第二环节:探究新课;第三环节:想一想;第四环节:做一做;第五环节:随堂练习;第六环节:课时小结第七环节:课后作业。 第一环节:创设情境,引入新课

教师用多媒体演示: 如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”,要强调这几个字 在题中有很重要的作用. 在七年级时研究过线段的性质,线段是一个轴对 称图形,其中线段的垂直平分线就是它的对称轴.我 们用折纸的方法,根据折叠过程中线段重合说明了线 段垂直平分线的一个性质:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.所以在这个问题中,要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成. 进一步提问:“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?” 教师演示线段垂直平分线的性质: 定理线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 同时,教师板演本节的题目: 1.3 线段的垂直平分线(一) 第二环节:探究新知 第一环节提出问题后,有学生提出了一个问题:“要证‘线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等’,可线段垂直平分线上的点有无数多个,需一个一个依次证明吗?何况不可能呢.” 教师鼓励学生思考,想办法来解决此问题。 通过讨论和思考,有学生提出:“如果一个图形上每一点都具有某种性质,那么只需在图形上任取一点作代表,就可以了.” 教师肯定该生的观点,进一步提出:“我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可,因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质.” 已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的点. 求证:PA=PB. 分析:要想证明PA=PB,可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等. M 证明:∵MN⊥AB, ∴∠PCA=∠PCB=90°P

北师大版七年级数学下册《线段垂直平分线与角平分线的应用类型》专题试题(附答案)

北师大版七年级数学下册专题训练系列(附解析

专训2线段垂直平分线与角平分线的应用类型名师点金:本章内容除了等腰三角形之外,还有两类特殊的轴对称图形——线段和角,灵活运用它们的轴对称的性质可以求线段的长度、角的度数,说明数量关系等,还可以解决实际生活中的问题. 利用线段垂直平分线的性质求线段的长 1.如图,AB比AC长3 cm,BC的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是14 cm,求AB和AC的长. (第1题) 利用线段垂直平分线的性质求角的度数 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB边的垂直平分线DE 交BC于点D,交AB于点E,连接AD,AD将∠CAB分成两个角,且∠1∶∠2=2∶5,求∠ADC的度数. (第2题)

利用线段垂直平分线的性质解决实际问题 3.如图,某城市规划局为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区A,B,C之间修建一个购物中心,试问:该购物中心应建于何处,才能使得它到三个小区的距离相等? (第3题) 利用角平分线的性质解决面积问题 4.如图,已知△ABC的周长是20 cm,BO,CO分别平分∠ABC 和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=3 cm,求△ABC的面积. (第4题)

利用角平分线的性质说明线段的数量关系 5.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D.试说明:PC=PD. (第5题)

答案 1.解:因为△ACD的周长是14 cm, 所以AD+CD+AC=14 cm. 又因为DE是BC的垂直平分线, 所以BD=CD.所以AD+CD=AD+BD=AB. 所以AB+AC=14 cm. 因为AB-AC=3 cm,所以AB=8.5 cm,AC=5.5 cm. 2.解:因为∠1∶∠2=2∶5, 所以设∠1=2x,则∠2=5x. 因为DE是线段AB的垂直平分线, 所以AD=BD. 所以∠B=∠2=5x. 所以∠ADC=180°-∠ADB=∠2+∠B=10x. 因为在△ADC中,2x+10x=90°, 解得x=7.5°,所以∠ADC=10x=75°. (第3题) 3.解:如图,连接AB,BC,分别作AB,BC的垂直平分线DE,GF,两直线交于点M,则点M就是所要确定的购物中心的位置.点拨:解决作图选点类问题,若要找到某两个点的距离相等的点,

线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案

3.线段的垂直平分线 4.角平分线 例1:(1)在△ABC 中,AB =AC ,AB 的垂直平分线交AB 于N ,交BC 的延长线于M ,∠A =0 40,求∠NMB 的大小 (2)如果将(1)中∠A 的度数改为070,其余条件不变,再求∠NMB 的大小 (3)你发现有什么样的规律性?试证明之. (4)将(1)中的∠A 改为钝角,对这个问题规律性的认识是否需要加以修改 例2:在△ABC 中,AB 的中垂线DE 交AC 于F ,垂足为D ,若AC=6,BC=4,求△BCF 的周长。 例3:如图所示,AC=AD ,BC=BD ,AB 与CD 相交于点E 。求证:直线AB 是线段CD 的垂直平分线。 例4:如图所示,在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=1200,D 、F 分别为AB 、AC 的中点,DE AB FG AC ⊥⊥,,E 、G 在BC 上,BC=15cm ,求EG 的长度。 例5::如图所示,Rt △ABC 中,,D 是AB 上一点,BD=BC ,过D 作AB 的垂线交AC 于点E ,CD 交BE 于点F 。求证:BE 垂直平分CD 。 例6::在⊿ABC 中,点O 是AC 边上一动点,过点O 作直线M N ∥BC ,与 ∠ACB 的角平分线交于点E ,与∠ACB 的外角平分线交于点F ,求证:OE=OF D ,自D 作D E AB ⊥于M=20°; AB 的垂直平分线与底边BC 则有∠B= 1/2(180°-α),∠M=90°- 1/2(180°-α)= 1/2α. (4)改为钝角后规律成立.上述规律为:等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半. 例2:解:连接BF ,由线段的垂直平分线的性质可得,FB =FA 又因为AC =AF+CF =6,所以BF+CF =6△BCF 的周长=BC+CF+BF =4+6=10 例3:证明:因为AC=AD 所以A 在线段CD 的垂直平分线上 又因为BC=BD 所以B 在线段CD 的垂直平分线上 所以直线AB 是线段CD 的垂直平分线 例4:解:作AH ⊥BC 于H ,HC=15/2 ∵等腰 A B C N M A B C N M A B C N M

线段的垂直平分线综合提高测试带答案

线段的垂直平分线 一、选择题(共8小题) 1、如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于的错误!未找到引用源。AB的长为半径画孤,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为() A、7 B、14 C、17 D、20 2、如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,BE平分∠ABC,ED垂直平分AB于D.若AC=9,则AE的值是() A、6错误!未找到引用源。 B、4错误!未找到引用源。 C、6 D、4 3、如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长度为() A、6 B、5 C、4 D、3 4、如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE等于() A、80° B、70° C、60° D、50° 5、如图,直线CP是AB的中垂线且交AB于P,其中AP=2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D、E,使得AD=DC=CE=EB,其作法如下:(甲)作∠ACP、∠BCP之角平分线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求;(乙)作AC、BC之中垂线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求.对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确()

6、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,则下列结论不正确的是() A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、∠CAE=∠B 7、如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在() A、△ABC的三条中线的交点 B、△ABC三边的中垂线的交点 C、△ABC三条角平分线的交点 D、△ABC三条高所在直线的交点 8、如图,AC=AD,BC=BD,则有() A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB C、AB与CD互相垂直平分 D、CD平分∠ACB 二、填空题(共12小题) 9、如图,在△ABC中,∠B=30°,ED垂直平分BC,ED=3.则CE长为_________. 10、如图,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE=_________度. 11、如图,等腰三角形ABC中,已知AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于D,则∠CBD的度数为_________°. 12、如图,在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC

线段的垂直平分线及其应用

线段的垂直平分线性质及其应用 一、基础知识归纳 1 线段的垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 说明:它是证明两条线段相等的重要的方法之一,在证明线段相等时,不要再证明两个三角形全等了,方便了证明的过程. 2 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理 逆定理:到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 说明:(1)关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理;区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论;(2)要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线,只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可; (3)关于线段垂直平分线的判定定理的证明有多种思路,如①过点P 作已知线段AB 的垂线PC ,再证明PC 平分AB ;②取AB 的中点C ,证明PC⊥AB;③作∠APC 的平分线PC ,证明PC⊥AB,且AC=AB. 3 三角形的三边的垂直平分线 定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 说明:(1)上面的定理是由实践操作(折纸)发现猜想,然后又经过逻辑推理而获得的,它是由实践到理论,从感性到理性的认识过程; (2)该定理综合了线段垂直平分线性质定理和判定定理,是两个定理的升华; (3)锐角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的内部的一点,直角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形斜边的中点,钝角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的外部的一点,但无论这个点在什么位置,它到这个三角形的三个顶点的距离是相等的. 二、典型例题剖析 典例1:如图1,在△ABC 中,AB=AC ,∠A=120°, AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N. 求证:CM=2BM. 【研析】:由于MN 为线段AB 的垂直平分线,所以如果连接MA ,就可以得到MA=MB ,然后通过△M AC 把CM 和MA 联系起来。 证明:连接AM ,∵AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠B =∠C =30°,∵MN 垂直平分AB , ∴MB =MA ,∴∠B =∠MAB =30°,∴∠MAC =90°,∴AM =2 1CM , ∴CM =2BM 典例2:城A 和城B 相距24千米,如今政府为便利两城居民生活, 决定修建一个仓库,使得仓库到两城距离相等,请问这样的 仓库位应该修建在什么位置?仓库的位置惟一吗? 若要求仓库到两城距离均为15千米,则仓库的位置惟一吗? 【研析】:这是一个把数学知识运用到生活中的实际问题,也就是找一个点到线段AB 的两个端点的距离相等,因此仓库的位置在线段AB 的垂直平分线上,这样的点有无数个,所以仓库的位置不惟一;若仓库到两城距离均为15千米,则AM=BM=15,AC=BC=12,所以 图1 图2

线段的垂直平分线各种证明

证明线段的垂直平分线的性质的逆定理 线段的垂直平分线 一、学生知识状况分析 学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难,这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。 二、教学任务分析 本节课的教学目标是: 1.知识目标: ①经历探索、猜测过程,能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理. ②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线. 2.能力目标: ①经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力. ②体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神. ③学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果. 3.情感与价值观要求

①能积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲. ②在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.4.教学重点、难点 重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节:第一环节:创设情境,引入新课;第二环节:探究新课;第三环节:想一想;第四环节:做一做;第五环节:随堂练习;第六环节:课时小结第七环节:课后作业。 第一环节:创设情境,引入新课 教师用多媒体演示: 如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”,要强调这几个字在题中有很重要的作用. 在七年级时研究过线段的性质,线段是一个轴对称图形,其中线段的垂直平分线就是它的对称轴.我们用折纸的方法,根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质:线段垂直平分线上的点到线段两个端点

线段的垂直平分线,及性质

轴对称(二)——线段的垂直平分线及性质教学目标:⒈探索并理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质;⒉探索并理解线段垂直平分线的两个性质;⒊通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动,初步形成数学学习的方法⒋在数学学习的活动中,养成良好的思维品质。 教学重点:图形轴对称的性质和线段垂直平分线的性质 教学难点:探索并总结出线段垂直平分线的性质,能运用其性质解答简单的几何问题。教学方法:小组讨论法、引导发现法 教学工具:多媒体、三角板、圆规 教学过程:一、创设情境,引入新课 ⒈什么样的图形是轴对称图形呢?下面的图形是轴对称图形吗?如果是,请说出它的对称轴. ⒉前节课我们探讨了轴对称图形,今天我们一起来研究轴对称图形有什么性质?如果两个图形成轴对称,那么这两个图形有什么关系?(如下图,△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称) ⒊如图,△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,点A'、B'、C'分别是

图 3 点A 、B 、C 的对称点,线段AA'、BB'、CC'与直线MN 有什么关系? 下面我们来动手做一轴对称的图形,从图形中能得到结论? ⒋实验探究:⑴折一折:要解决问题3,我们可以从最简单的一个点开始:先将一张纸对折,用圆规在纸上穿一个孔,然后再把纸展开,记两个孔的位置为点A 和点A',折痕为直线MN(如图3).显然,此时点A 和点A'关于直线MN 对称.连结点A ,A',交直线MN 于点P 。 ⑵说一说:观察图形,线段AA'与直线MN 有 怎样的位置关系?你能说明理由吗?类似地, 点B 与点B',点C 与点C'是否也有同样的关系?你能用语言归纳上述发现的规律吗? ⑶想一想:上述性质是对两个成轴对称的图形来说的,如果是一个轴对称图形,那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也与同样的关系呢? ⒌合作探究:⑴课本32P 探究,能用我们已有的知识来证明这个结论吗?反过来,如果PA=PB ,那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上?(课本33P 探究)如果成立,试证明之。(利用判定两个三角形全等) (1) 证法一: 证明:过点P 作已知线段AB 的垂线PC . ∵PA =PB ,PC =PC , ∴Rt △PA C ≌Rt △PBC (HL 定理).

线段的垂直平分线中考题含答案

线段的垂直平分线中考题(含答案) 一.填空题(共7小题) 1.(2011?长春)如图,在△ABC中,∠B=30°,ED垂直平分BC,ED=3.则CE长为_________ . 2.(2011?莱芜)如图,在△ABC中,AB=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线交AC于点D.若AC=6cm,则AD= _________ cm. 3.如图,等边△DEF的顶点分别在等边△ABC各边上,且DE⊥BC于E,若AB=1,则DB= _________ . 4.如图,在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E,使BD=CE,AD与BE相交于点P.则∠APE的度数为_________ °. 5.如图,D是等边△ABC的AC边上的中点,点E在BC的延长线上,DE=DB,△ABC的周长是9,则∠E= _________ °,CE= _________ . 6.如图,△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=8cm,则CD= _________ .

二.解答题(共1小题) 7.(2011?香洲区一模)△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠A=36°. (1)利用尺规作B的角平分线BD,交AC于点D;(保留作图痕迹,不写作法)(2)判断△DBC是否为等腰三角形,并说明理由.

参考答案与试题解析 一.填空题(共7小题) 1.(2011?长春)如图,在△ABC中,∠B=30°,ED垂直平分BC,ED=3.则CE长为 6 . 考点:线段垂直平分线的性质;含30度角的直角三角形. 分析:由ED垂直平分BC,即可得BE=CE,∠EDB=90°,又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半,即可求得BE的长,则问题得解. 解答:解:∵ED垂直平分BC, ∴BE=CE,∠EDB=90°, ∵∠B=30°,ED=3, ∴BE=2DE=6, ∴CE=6. 故答案为:6. 点评:此题考查了线段垂直平分线的性质与直角三角形的性质.解题的关键是数形结合思想的应用. 2.(2011?莱芜)如图,在△ABC中,AB=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线交AC于点D.若AC=6cm,则AD= 2 cm. 考点:线段垂直平分线的性质;三角形内角和定理;等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形. 专题:计算题. 分析:连接BD,根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出DC=2BD,根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD,即可求出答案. 解答: 解:连接BD. ∵AB=BC,∠ABC=120°, ∴∠A=∠C=(180°﹣∠ABC)=30°, ∴DC=2BD, ∵AB的垂直平分线是DE, ∴AD=BD, ∴DC=2AD, ∵AC=6, ∴AD=×6=2, 故答案为:2.

尺规作图:作线段的垂直平分线

13.1.2《尺规作图:作线段的垂直平分线》课型:新授课时: 1 主备人:张艳峰修订人:授课时间: 教学目标 知识与技能 1.掌握线段的垂直平分线的性质和判定. 2.能够用尺规作图作出线段的垂直平分线,提高动手能力 过程与方法通过经历作图,理解作图原理,通过类比角的平分线学习本节内容,体会类比学习方法情感、态度、 价值观 通过作图和折叠,提高孩子学习数学的兴趣。 重 点 线段的垂直平分线尺规作图 难 点 尺规作图后的证明理解类比的学习方法。 环 节主备备注 复习巩固(1)什么叫线段的垂直平分线?(2)你会画出它吗? 自主学习阅读课本62页。并思考:有时候我们感觉两个平面图形是轴对称的,如何验证呢?不折叠图形,你能准确的作出对称图形的对称轴么? 精讲点拨1.如果找到了一组对应点,如何做它们的对称轴呢? 2.前面学了角平分线的画法,是到角的两个边的距离相等的点的集合,那么,线段的垂直平分什么特征呢? 3.根据这个特征,我们可以如何画图? 4.两个交点可以在线段的一侧,也可以在两侧,引导学生发现交点在两侧的时候方便作图,所以选用两侧。 5.交点能不能在线上呢?引导学生得到“找线段中点的办法” 合作探究如何证明以上作法得到的就是改线段的垂直平分线呢? 学生思考使用三角形全等,教师可以用“两个点确定一条直线”和“线段垂直平分线的判定定理”来证明。

课堂练习 1.课本64页练习1 2.如图,A 、B 、C 三点表示3个村庄,为了解决村民子女就近入学问题, 计划新建一所小学,要使学校到3个村庄的距离相等,请你在图中有尺规 确定学校的位置.(保留作图痕迹,写出画法) 3.如图,电信部门要在S 区修建一座电视信号发射塔。 按照设计要求,发射塔到两个城镇A ,B 的距离必须相等, 到两条高速公路m 和n 的距离也必须相等。发射塔应该修 建在什么位置?在图上标出它的位置。 课堂小结 本节课学到了什么知识? 还有什么困惑? 学到了什么数学思想? 作业部置 课本66页第10题 板书设计 教后反思 Q P B A

线段的垂直平分线的性质

线段的垂直平分线的性质 知识点:1、垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 2、逆定理就是: 3、在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半。 典例分析:例1:如图1,在△ABC 中,已知AC=27,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC 于点E,△BCE 的周长等于50,求BC 的长、 变式1:如图1,在△ABC 中, AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC 于点E,若∠BEC=70°,则∠A= 变式2: 如图3,在Rt △ABC 中,AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。若BE=2,∠B =15° 求:AC 的长。 [变式练习1] 如图4,在Rt △ABC 中,AB 的垂直平分线交BC 边于点E 、若BC=2+2,AE=2, ∠B =22、5° 求:AC 的长、 例2: 如图 5,在△ABC 中,AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N 、 (1) 求△AEN 的周长、 (2) 求∠EAN 的度数、 (3) 判断△AEN 的形状、 [变式练习3]:如图7,在△ABC 中, BC=12,∠BAC =100°,AB 的垂直平分线交BC 边于点 E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N 、 (1) 求△AEN 的周长、 (2) 求∠EAN 的度数、 [如图分线交BC 求练习 (1)如已,那 么(A)CD AB 垂直(C)CD 以上说法(2)如的交点正好在三角形的一条边上, 那么这个三角形就是( ) (A)直角三角形 (B)锐角三角形(C)钝角三角形 (D)以上都有可能 (3)在ABC ?中,AC AB =,AD 为角平分线,则有AD______BC (填⊥或//),=BD _____、 如果E 为AD 上的一点,那么=EB _______、 如果?=∠120BAC ,8=BC ,那么点D 到AB 的B C A E D 图1 A E D C B 图3 A E D C B 图4 A B C D E M N 图5 A C 图8

线段的垂直平分线的性质和判定精选优秀练习

13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第1课时线段的垂直平分线的性质和判定 一、选择题(共8小题) 1.如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5, CD 边垂直平分线的交点 ,连接EC;则∠AEC等于() F, : 第1题图第2题图第5题图 第6题图第7题图第8题图 B

二、填空题(共10小题) 9.到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是_________ . 10.如图,有A、B、C三个居民小区是位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个休闲广场,使广场到三个小区的距离相等,则广场应建在_________ . 11.在阿拉伯数字中,有且仅有一条对称轴的数字是____________. 12、如图,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE= _________ 度. 13、如图,△ABC的周长为19cm,AC的垂直平分线DE交BC于D,E为垂足,AE=3cm,则△ABD的周长为_________ cm. 14.如图,已知在△ABC中,AB=AC=10,DE垂直平分AB,垂足为E,DE交AC于D,若△BDC的周长为16,则BC= _________ . 15.如图,在△ABC中,∠B=30°,直线CD垂直平分AB,则∠ACD的度数为_________ .16.已知如图,在△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC与E,则△ADE的周长等于_________ . 17.如图,AB=AC,AC的垂直平分线DE交AB于D,交AC于E,BC=6,△CDB的周长为15,则AC= _________ . 18.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AC的垂直平分线分别交AB,AC于D,E两点,连接CD.则∠BCD=_________ 度. 第10题图第12题图第13题图第14题图 第15题图第16题图第17题图第18题图 三、解答题(共5小题) 19.如图,四边形ABCD中,AC垂直平分BD于点O. (1)图中有多少对全等三角形?请把它们都写出来; (2)任选(1)中的一对全等三角形加以证明. 20.如图,在△AB C中,AB=AC,D是AB的中点,且DE⊥AB,△BCE的周长为8cm,且AC﹣BC=2cm,求AB、BC的长. 21.如图,已知:在ABC 中,AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.

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