立体几何专题_不用坐标法_求二面角的大小_证明直线∥平面的2方法_垂直、平行等_答案、思路。
一、定理、公理总结：
一、四个公理：1；两点在平面内，直线在平面内；两点决定一条直线
2：两平面有交点，必有交线，所有交点（公共点）在交线上
3：不共线三点决定一个平面：a直线和线外一点b两条相交直线c两条平行直线决定一个平面
4：两条直线平行于第三条直线,这两条直线平行
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
二、异面直线的定义：不可能找到一个平面同时包含这两条直线；不同在任何一个平面内的两条直线
除定义外，还可以用下列定理：过平面内一点和平面外一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
三、异面直线所成角的范围：0＜θ≤90度；过空间任一点o，做a1∥a，b∥b1 ，把a1、b1所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角
若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直。
通过构造辅助平面、辅助几何体来平移直线，在同一三角形中，求异面直线所成的角，可以选择两条异面直线上一点做另一条异面直线的平行线。所求的角为钝角时，两条异面直线所成的角应为其补角。
直线和平面所成的角范围0≤θ≤90度，平行于平面或在平面内为0度，垂直于平面为90度
斜线和平面所成的角范围0＜θ＜90度
四、空间两条直线的位置关系共有三种：相交直线、平行直线、异面直线，前两种情况两条直线在同一平面内，后
种情况两条直线不在同一平面内。
五、直线和平面的位置关系
直线和平面相交、直线和平面平行统称为直线在平面外。
直线与平面的平行
1、直线和平面平行的判定定理：直线∥面内线?直线∥面；要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线和平面外的那条直线平行即可。
2、直线和平面平行的性质定理：直线∥平面?直线∥交线；线面平行，直线不平行于此平面内的任一条直线。
直线与平面的垂直
3、直线和平面垂直的判定定理；直线⊥交线?直线⊥平面
4、直线和平面垂直的性质定理：两直线⊥同一平面?直线∥直线
过一点做直线和平面垂直：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直；过一点有且只有一条直线与已知平面垂直
过一点做平面和平面平行：过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行。
平面和平面的平行
5、平面和平面平行的判定定理：交线∥平面?平面∥平面
6、平面和平面平行的性质定理：
①平面∥平面?交线∥交线，两个平面平行，他们和第三个平面的两条交线相互平行
②两个平行平面中，一个平面内的直线必平行于另一个平面，即：平面∥平面?线∥平面
③一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面
④垂直于同一条直线的两个平面平行
⑤两个平面同时和第三个平面平行，这两个平面平行
平面和平面的垂直
7、平面和平面垂直的判定定理：面内线⊥面?面⊥面
8、平面和平面垂直的性质定理；面⊥面?面内直线a ⊥交线，那么，此面内线a ⊥另一个面 ①平面α垂直于另一个平面，过平面α内一点A 做另一个平面的垂线，此垂线在平面α内 ②二面角的大小:0≤α≤180度 以上所有定理和公理可概括为：
一、 判定定理 判定定理
线线垂直 ???→←性质定理 线面垂直 ???→←性质定理
面面垂直 ┃ 性质定理 ┃
判定定理 判定定理
二、 线线平行 ? ? ? 线面平行 ? ? ? 面面平行 性质定理 性质定理
┃ ┃ 性质定理
一、证明直线AB ∥面α的两个方法:①面α内找根直线CD ∥AB ，C 、D 两点一定
有一点和点A 或点B 相连②过AB 做个平面和面α平行，即过B 点（或者A 点）做一根直线BF 平行于面α，连接AF ，面ABF 平行于面α，下面的三道题每题都用此两种方法做。
1、如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点。 求证：BD 1∥平面AEC 。 证明：
法一：过BD1再造一平行平面法：取CC1的中点F,连接D1F 、FB ，可以证明FB ∥AE,FD1∥EC,FB ∩FD1=F,
平面FBD1∥平面AEC,BD1?平面FBD1，所以BD1∥平面AEC,
法二：在平面AEC 内找一根直线与BD1平行：连接DB 、AC ，交于F,连接EF,可以证明EF ∥BD 1,EF ?平面AEC,所以，BD 1∥平面AEC
2、如图，在四棱锥
中，
是平行四边形，
，
分别是
，
的中点．求证：
平面．
证明法一：取CD 的中点F,连接NF 、MF ，可以证明NF ∥PD,MF ∥AD,平面MNF ∥平面PAD,所以NF ∥面PAD
证明法二：取PD 的中点F,连接NF 、AF,可以证明NF ∥等于AM ，在平行四边形AMNF 中，AF ∥MN,所以NF ∥面PAD
3、如图，在正方体中，，分别是棱，的中
点，求证：平面．
二：求二面角的方法：（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO
⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）
（五、六、九题用此方法）
一、推荐考题(p228推荐高考2009）
(2009．山东高考)如图，在直四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4,BC= CD= 2,AA1=2,E,E1分别是棱AD，AA1的中点．
(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；
(2)证明：平面D1AC⊥平面BB l C1C
[证明] (1)法一:平面ADD1A1∥FCC1，EE1包含于平面ADD1A1 ，所以，直线EE1∥平面FCC1
(2)在平面D1AC内或平面BB l C1C内找一根直线垂直于另一个平面，至少垂直于另一个平面内的一条直线，以此入手，这是证明此类题的关键，
AC⊥BC，AC⊥CC1，AC ⊥平面BB l C1C，平面D1AC⊥平面BB l C1C
二、（P233例题3文）[文]长方体ABCD -A1B l C1D1中，AA1=2，AB =BC=2，O是底面对角线的交点．求证：(1)B1D1∥平面BC1D;(2)求证：A1O⊥平面BC1D
证明：（2）A1O⊥平面BC1D，A1O必定垂直于C1O,可以求出A1O,C1O,A1C1的长度，用勾股定理可以证明A1O垂直C1O，BD⊥A1O，所以，A1O⊥平面BDC1
三、（P234,2009．浙江高考) （用到平移直线法，因为F为PB的中点,FM⊥面BOE不好求，PN⊥面BOE好求）如图，平面PAC⊥平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB．AC的中点，AC=16,PA=PC=10.
(1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE;
(2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥BOE，并求点M到OA、OB的距离．
[证明] (1)如图，取PE的中点为H，连纯HG、HF.
因为点E，0，G，H分别是PA，AC．OC，PE的中点，
所以HG//OE，HF//EB.所以平面FGH//平面BOE．
因为FG在平面FGH内，所以FG//平面BOE．
(2)在平面OAP内，过点P作PN⊥OE，交OA于点N，交OE于点Q．连结BN，过点F作FM∥PN，交BN于点M．ON=OP TAN∠NPO = OP * OQ/PQ=9/2 < OA,(先求PQ,再求OQ)所以点N在线段OA上．
因为F是PB的中点，所以M是BN的中点,BO⊥NO
因此点M在△AOB内，点M到OA ,OB的距离分别为1/2 0B=4, 1/2 0N = 9/4 ◇（14分）
四、（p232考点1例题1）
如图；已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB，PC的中点，若∠PDA=45°，
求证：MN⊥平面PCD．
【证明】法一：PA⊥平面ABCD → PA⊥AD，∠PDA=45→PA=AD=BC,又M是AB的中点，
Rt△PAM≌Rt△CBM，MP=MC,N是PC的中点→MN⊥PC,设E是CD的中点，连接ME、EN,
CD⊥平面PAD→CD⊥PD,PD∥NE→CD⊥NE，CD⊥ME→CD⊥平面MNE→CD⊥MN
→MN⊥CD，MN⊥PC，PC∩CD=C→MN⊥平面PCD
法二：如图，取PD的中点F．连接AF，NF，AF⊥面PCD,AF∥MN，MN⊥平面PCD
（用到平移直线法，因为N为PC的中点，MN平移到AF处，在证明垂直时常常用到直线平移法,上题也如此）五（P253三解答题10）(求二面角A-PC-D的大小，先过APC面上一个点A画线AE⊥二面角的另一个面PCD 于点E,再过垂足E做直线EN⊥二面角的棱PC于垂足N,连接AN，∠ENA即为所求的二面角A-PC-D的平面角，第一步画出垂线是关键)
如图，四棱锥P - ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．
(1)求证：PB//平面EAC
(2)若AD=AB，试求二面角A-PC-D的正切值．
解：法一：(1)证明：连接BD交AC于点0，连接OE，
在三角形PDB中，OE // PB，又OE 平面AEC，
PB//平面AEC．
(2)设AD =AB=PD=PA=a,侧面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD,CD⊥侧面PAD,CD⊥AE,AE⊥PD,AE⊥平面PDC，在平面PAC 内做AN⊥PC于N，连接EN,∠ENA是二面角A-PC-D的平面角，∠AEN=90°，TAN∠ANE = AE/EN
两个平面互相垂直，在一个面内垂直于它们交线的直线即垂直于另一个平面，侧面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD交线，CD⊥面PAD,CD⊥PD,∠CPD=45°，
在Rt△PNE SIN∠CPE =EN/PE 和Rt△PDC中 SIN∠CPE = DC/PC
EN=42a,在等边△PAD 中，AE=23 a,tan ∠ANE=AE/EN = 6
六、(p254,12题）如图甲，直角梯形ABCD 中，AB∥CD，∠DAB=90°M、N 分别在AB ，CD 上，且MN⊥AB，MC⊥CB,CB=2，MB=4，现将梯形ABCD 沿MN 折起，使平面AMND 与平面MNCB 垂直（如图乙）．。 (1)求证：AB∥平面DNC;
(2)当DN 的长为何值时，二面角D- BC-N 的大小为30°
（先过点画线⊥面，后线⊥棱，再连两点成线，方法同上题，这是做此类题的基本方法）
解：(1)证明：MB//NC ，MB ?平面DNC ，NC ?平面DNC ，MB ∥平面DNC ．
同理MA ∥平面DNC ，又MA ∩MB=M ，且MA 、MB ?平面MAB ，所以平面MAB ∥平面DNC,AB ?平面MAB,所以AB∥平面DNC;
(2)过N 作NH ⊥BC 交BC 延长线子H ，∠DHN 为二面角D-BC-N 的平面角。tan ∠NHD=DN/NH = 33 CN=4-2COS 60°=3,∴NH=3 SIN 60°，∴DN=NH*3/3=3/2
七、（p232例题2）如图，在三棱柱ABC-A 1B l C 1中，AB ⊥BC.BC ⊥BC 1,AB=BC 1.E 、F 、G 分别为线段AC 1、A 1C 1、BB 1的中点，求证：(1)平面ABC ⊥平面ABC 1；(2) FG ⊥平面AB l C 1．
平行线转换法，EB ∥FG
原题给出E 是AC1中点，暗示用到此点，用到平移直线法，因为F 为A 1C 1的中点，FG 与平面AB 1C 1内的直线不搭界
(2)平面ABC ⊥平面ABC 1,CB ⊥交线AB,CB ⊥面ABC 1，CB ⊥BE ，CB ∥B 1C 1，BE ⊥B 1C 1，在等腰三角形ABC 1中，E 是底边AC 1的中点，BE ⊥AC 1，BE ⊥平面AB l C 1，，BE ∥FG ，FG ⊥平面AB l C 1． 八、（p233例3）（理科2009北京高考）在三棱锥P-ABC 中，PA⊥底面ABC ，PA=AB,∠ABC =60°，∠BCA= 90°，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且DE∥BC．(1)求证；BC⊥平面PAC; (2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值，
(3)是否存在点E 使得二面角A-DE-P 为直二面角？并说明理由（不定E 点位置，线存在即可） 【解】 (1)证明；‘∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC ．又∠BCA=90。∴AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAC (2)ED//BC ，又由(1)知，BC ⊥平面PAC ，所以DE ⊥平面PAC.∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的
角，在RT △DAE 中，Sin ∠DAE=DE/AD=BC/2AD=2/4
（3）因为PA ⊥底面ABC ，所以PA ⊥AC ，所以∠PAC=90，所以在棱PC 上存在一点E,使得AE ⊥PC ．
又因为BC⊥面PAC,所以面PBC⊥面PAC，面PBC 面PAC=PC,故AE⊥PC即可AE⊥面PBC,使得二面角A-DE-P为
直二面角，故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角．
九、[考题4]（苏教必修二p65页）已知ABCD -A1B l C I D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且
2,点M在BB1上，GM ⊥BF，垂足为H，
AE= FC1=1.(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG=3
求证：EM⊥平面BCC l B1；(3)用θ表示截面EBFD1和侧面BCC l B1所成锐二面角的大小，求tanθ .
[解析] (1)如图在DD1上取点N，使DN =1，连结EN,CN，则AE =DN =1,CF =ND1=2.因为AE∥DN，NDl∥CF，所
以四边形ADNE、CFD1N都为平行四边形，FD1平行且等于BE, E、B、F、D1四点共面
(2)因为GM⊥BF，叉BM⊥BC，所以∠BGM=∠CFB， MB=BG*Tan∠BG M =BG·tan ∠CFB =BG*BC/CF=3/2×2/3=1．因
为AE∥＝BM，
所以四边形ABME为平行四边形，从而AB// EM.又AB⊥平面BCC l B1,所以EM⊥平面BCC1B1
(3)连结EH，因为为MH⊥BF，EM⊥BF，所以BF⊥平面EMH，使得EH⊥BF,
于是∠EHM是所求的二面角的平面角，即∠EHM=θ
因为∠MBH=∠CFB，所以MH = BM.sin ∠MBH=BM.sin ∠CFB ，tanθ=EM/MH=13
α
?
A
B ?β
25. 在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．
（1）求证：//EF 平面P AD ；（2）当平面PCD 与平面ABCD 成多大二面角时，直线⊥EF 平面PCD ？
证：（1）取CD 中点G ，连结EG 、FG
∵E 、F 分别是AB 、PC 的中点，∴EG//AD ，FG//PD ， ∴平面EFG//平面PAD ，∴ EF//平面PAD ．
（2）当平面PCD 与平面ABCD 成45?角时，直线EF ⊥平面PCD.
证明：∵G 为CD 中点，则EG ⊥CD ，∵PA ⊥底面ABCD ∴AD 是PD 在平面ABCD 内的射影。
∵CD ?平面ABCD ，且CD ⊥AD ，故CD ⊥PD ．又∵FG ∥PD ∴FG ⊥CD ，故∠EGF 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，即∠EGF=45?，从而得∠ADP=45?， AD=AP.由Rt ?PAE ?Rt ?CBE ，得PE=CE.又F 是PC 的中点，∴EF ⊥PC.，由CD ⊥EG ，CD ⊥FG ，得CD ⊥平面EFG ，∴CD ⊥EF ，即EF ⊥CD ， 故EF ⊥平面PCD ．
26、（2010四川理数）（15）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α?.B l ∈，
AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 . 解析：过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线.垂足为D 连结AD ，有三垂线定理可知AD ⊥l ，
α
?A
B
?β
C D
故∠ADC 为二面角l αβ--的平面角，为60°
又由已知，∠ABD ＝30°，连结CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角
设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1， AB ＝
sin 30AD ＝4 ， ∴sin ∠ABC ＝3
4AC AB =
答案：
3
4
27、（2010湖南文数）18.（本小题满分12分）
如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M
28、（2010辽宁文数）（19）（本小题满分12分）
如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面1AB C ⊥平面11A BC ；
（Ⅱ）设D 是11AC 上的点，且1//A B 平面1B CD ，求11:A D DC 的值. 解：（Ⅰ）因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以11BC C B ⊥ 又已知B BC B A B A C B =?⊥1111,且 所又⊥C B 1平面A 1BC 1，又?C B 1平面AB 1C ，
所以平面⊥C AB 1平面A 1BC 1 .
（Ⅱ）设BC 1交B 1C 于点E ，连结DE ， 则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线， 因为A 1B//平面B 1CD ，所以A 1B//DE. 又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点. 即A 1D ：DC 1=1.
29、（2010广东理数）18.（本小题满分14分）
如图5，?ABC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为?
AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点．平面AEC 外一点F 满足5FB DF a ==，FE=6a ． （1）证明：EB ⊥FD ；
（2）已知点Q,R 分别为线段FE,FB 上的点，使得22
,33
BQ FE FR FB ==,求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．
（2）设平面BED 与平面RQD 的交线为DG . 由BQ=
23FE,FR=2
3
FB 知, ||QR EB . 而EB ?平面BDF ，∴||QR 平面BDF ， 而平面BDF 平面RQD = DG ， ∴||||QR DG EB .
由（1）知，BE ⊥平面BDF ，∴DG ⊥平面BDF ，
而DR ?平面BDF ， BD ?平面BDF ， ∴,DG DR DG DQ ⊥⊥，
∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角． 在Rt BCF ?中，2222(5)2CF BF BC a a a =
-=-=，
22sin 55FC a RBD BF a ∠=
==，2
1cos 1sin 5
RBD RBD ∠=-∠=．
5222935sin 2929
3
a RDB a ?
∠==． 故平面
BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值是
22929． 30、（2010广东文数）18.（本小题满分14分）
如图4，弧AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED,FB=a 5 （1）证明：EB ⊥FD
（2）求点B 到平面FED 的距离. 解：（1）证明： 点E 为弧AC 的中点
31.四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，2CD =，AB AC =．
（Ⅰ）证明：AD CE ⊥； （Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45
，求二面角C AD E --的大小． 1.解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，
AB AC =，∴AF BC ⊥， 又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，
∴AF CE ⊥． 2t a n
t a n 2
C E
D F D C ∠=∠=，∴90OED OD
E ∠+∠=
， 90DOE ∴∠= ，即CE DF ⊥， CE ∴⊥面ADF ， CE AD ∴⊥．
（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．
CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥， 则CGE ∠即为所求二面角的平面角．
233AC CD CG AD =
= ，63DG =，22
303
EG DE DG =-=， 6CE =，则22210
cos 210
CG GE CE CGE CG GE +-∠=
=- ， 10πarccos 10CGE ??
∴∠=- ? ???
，即二面角
C A
D
E --的大小10πarccos 10??- ? ???． 32.如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=
，AP BP AB ==，PC AC ⊥．
（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．
解（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，． AP BP = ，PD AB ∴⊥． AC BC = ， CD AB ∴⊥． PD CD D = ，
AB ∴⊥平面PCD ． PC ? 平面PCD ， PC AB ∴⊥．
（Ⅱ）AC BC = ，AP BP =，
APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， P C B C ∴⊥．
又90ACB ∠=
，即AC BC ⊥，且AC PC C = ，
BC ∴⊥平面PAC ． 取AP 中点E ．连结BE CE ，．
A
C
B
D P
A
C
B
E P C
D E
A B
N M
A
B
D
C
O
N
M
A B
D
C
O
AB BP = ，BE AP ∴⊥． EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥． BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．
在BCE △中，90BCE ∠=
，2BC =，3
62
BE AB =
=， 6
sin 3
BC BEC BE ∴∠=
=
． ∴二面角B AP C --的大小为6arcsin 3． （Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ，
∴平面APB ⊥平面PCD ． 过C 作CH PD ⊥，垂足为H ． 平面APB 平面PCD PD =， CH ∴⊥平面APB ．
CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离．
由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A = ，PC ∴⊥平面ABC ． CD ? 平面ABC ， P C C D ∴⊥．
在Rt PCD △中，122CD AB =
=，3
62
PD PB ==，222PC PD CD ∴=-=． 3
3
2=
?=
PD CD PC CH ． ∴点C 到平面APB 的距离为233． 33.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4
ABC π
∠=
, OA ABCD ⊥底面,
2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；
（Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。
解。（1）取OB 中点E ，连接ME ，NE ME CD ME CD ∴ ，
‖AB,AB ‖‖ 又,NE OC MNE OCD ∴ 平面平面‖‖ MN OCD ∴平面‖
（2）CD ‖AB, M D C ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角） 作,AP CD P ⊥于连接MP ⊥⊥平面A BC D ，∵OA ∴CD MP
2
,4
2
ADP π
∠=
∵∴DP =
222
MD MA AD =+=
1cos ,23
DP MDP MDC MDP MD π
∠=
=∠=∠=∴ 所以 AB 与MD 所成角的大小为3π
（3）AB 平面∵∴‖OCD,点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP,过点A 作
A
C
B
D P H
AQ OP ⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥⊥⊥平面∵∴∴
又 ,AQ OP AQ OCD ⊥⊥平面∵∴,线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离
2
2
2
2
2
1324122
OP OD DP OA AD DP =-=+-=+-
=
∵，2
2AP DP == 2
222332
2
OA AP AQ OP =
==
∴，所以点B 到平面OCD 的距离为23 34.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥侧面11A ABB . （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；
（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ,二面角1A BC A --的大小为?，试判断θ与?的大小关系，并予以证明.
解（Ⅰ）证明：如右图，过点A 在平面A 1ABB 1内作
AD ⊥A 1B 于D ，则由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC 侧面A 1ABB 1=A 1B ,得 AD ⊥平面A 1BC ,又BC ?平面A 1BC ， 所以AD ⊥BC .
因为三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱， 则AA 1⊥底面ABC ， 所以AA 1⊥BC. 又AA 1 AD =A ,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1， 又AB ?侧面A 1ABB 1，故AB ⊥BC . （Ⅱ）解法1：连接CD ，则由（Ⅰ）知ACD ∠是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，
1ABA ∠是二面角A 1—BC —A 的平面角，即1,,ACD ABA ∠=θ∠=?
于是在Rt △ADC 中，sin ,AD AC θ=在Rt △ADB 中，sin ,AD
AB
?= 由AB ＜AC ，得sin sin θ?＜，又02
π
θ?＜，＜，所以θ?＜，
（二）1.如图，四棱锥ABCD P -的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为172.点H F E G ,,,分别是棱
PC CD AB PB ,,,上共面的四点，平面⊥GEFH 平面ABCD ，//BC 平面GEFH .
(1)证明：;//EF GH
(2)若2=EB ，求四边形GEFH 的面积
.
2.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F,P,Q,M,N 分别是棱AB,AD,DD 1,BB 1,A 1B 1,A 1D 1的中点.求证:
(1)直线BC 1∥平面EFPQ. (2)直线AC 1⊥平面PQMN.
3.如图，三棱锥A BCD -中，,AB BCD CD BD ⊥⊥平面. （1）求证：CD ⊥平面ABD ；
（2）若1AB
BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积.
4.如图，在四棱锥A —BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ；90CDE BED ∠=∠=?，2AB CD ==，1DE BE ==，
2AC =.
（1）证明：AC ⊥平面BCDE ；
（2）求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值.
5.
如图，
ABC ?和BCD ?所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，120ABC DBC ∠=∠= ， ,,E F G 分别为,,AC DC AD 错误！未找到引用源。的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面BCG ；
（Ⅱ）求三棱锥D BCG -的体积.
6.如图,四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥面ABCD,E 为PD 的中点. (1)证明:PB ∥平面AEC.
(2)设AP=1,AD=3,三棱锥P-ABD 的体积V=
3
4
,求A 到平面PBC 的距离.
立体几何证明垂直专项含练习题及答案
立体几何证明------垂直 一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义判定 语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直 线都垂直，我们就说直线l与平面 互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形 条件b为平面α内的任一直线，而l对这 一直线总有l⊥αl⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m?α，n?α 结论l⊥αl⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直） 知识点二、直线和平面垂直的性质 性质 语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条 直线垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行.
用向量法求二面角的平面角教案
用向量法求二面角的平面 角教案 Prepared on 24 November 2020
第三讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量；
求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ， 2 1 = AD ，求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值. 分析 分别以,,BA AD AS 所在直线为,,x y z 轴，
(完整版)高中立体几何证明垂直的专题训练
高中立体几何证明垂直的专题训练 深圳龙岗区东升学校—— 罗虎胜 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。 （4） 利用三角形全等或三角行相似。 (5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。 (1) 通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB= 2 1 DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC. 分析：取PC 的中点F ，易证AE//BF ，易证 B F ⊥平面PDC 2．如图，四棱锥P －ABCD ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点． 求证：平面PCE ⊥平面PCD ； 分析：取PC 的中点G ，易证EG//AF ，又易证A F 于是E G ⊥平面PCD,则平面PCE ⊥平面PCD （第2题图）
3、如图所示，在四棱锥P ABCD -中， AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且 1 2 DF AB = ,PH 为PAD ?中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面； （2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF PAB ⊥平面. 分析：要证EF PAB ⊥平面，只要把FE 平移到DG ，也即是取AP 的中点G ，易证EF//GD, 易证D G ⊥平面PAB 4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形 ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, P A ＝AD 。 证明: BE PDC ⊥平面; 分析：取PD 的中点F ，易证AF//BE, 易证A F ⊥平面PDC （2）利用等腰三角形底边上的中线的性质 5、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，AP BP AB ==， PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； A C B P
二面角的平面角及求法-高中数学知识点讲解
二面角的平面角及求法 1．二面角的平面角及求法 【知识点的知识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角 的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P ﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角 在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O 的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O． 3、二面角的平面角求法： （1）定义； （2）三垂线定理及其逆定理； ①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直． ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角 的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角． （3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．； （4）平移或延长（展）线（面）法； （5）射影公式； （6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角； 1/ 2
(完整版)二面角求解方法
二面角的作与求 求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4、投影法：利用s 投影面 =s 被投影面 θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立， 是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ?所在平面外一点，而PBC ?和ABC ?都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。 分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法 解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE Θ AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角 P-BC-A 的平面角 在PAE ?中AE=PE=3，PA=6 P C B A E
∴PEA ∠=900 ∴二面角P-BC-A 的平面角为900。 例2：已知ABC ?是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。 解1：（三垂线定理法） 取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF Θ⊥PA 平面ABC ，PA ?平面PAC ∴平面 PAC ⊥平面ABC, 平面PAC I 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面 PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角 设PA=1,E 为AC 的中点，BE= 23,EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=arctan 6 解2：（三垂线定理法） 取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM ΘAB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ?平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE I 平面PBC=PE 由三垂线定理知AM ⊥PC P C B A E F M E P C B A F 图1 图2
立体几何中垂直地证明
全方位教学辅导教案
5、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，,AB AC PA ABCD ⊥⊥平面，且 PA AB =,点E 是PD 的中点。 ⑴求证：AC PB ⊥； ⑵求证：PB AEC ∥平面； 6、 如图，在四棱锥P －ABCD 中， PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ， ∠ABC ＝60°，PA ＝ AB ＝BC ，E 是PC 的中点． (1)求证：CD ⊥AE ；(2)求证：PD ⊥面ABE. 题型二、面面垂直的判定与性质 1、如图AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点，求证：平面PAC 垂直平面PBC 。 2、如图，棱柱 111 ABC A B C -的侧面 11 BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC ； 3、已知：如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 将BCD 折起，使点C 移到点1C ，且
1C ABD O AB 在平面上的射影恰好在上。 11(2). BDC ⊥⊥1 1（）求证：AD BC 求证：面ADC 面 4、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 5、已知四面体ABCD 中，CD BD AC AB ==,,平面⊥ABC 平面BCD ,E 为棱BC 的中点。 （1）求证：⊥AE 平面BCD ; （2）求证：BC AD ⊥; 6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC. O B C 1 A D C
二面角的求法(教师版)
五法求二面角 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，2 6= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G
高中数学《二面角的平面角及求法》练习
高中数学《二面角的平面角及求法》练习 1. 如图，直三棱柱中，＝，＝，，分别为、的中点． （1）证明：平面； （2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 2. 已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中. 证明：平面平面； 若是的中点，求二面角的余弦值． 3. 如图，正方形所在平面与四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，＝，＝，＝． （1）求证：平面； （2）设线段、的中点分别为、，求与所成角的正弦值； （3）求二面角的平面角的正切值． 4. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （3）问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．5. 如图，在平行四边形中，＝，＝，＝，平面平面，且＝，＝．（1）在线段上是否存在一点，使平面，证明你的结论； （2）求二面角的余弦值． 6. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点，点在上，且．将 ，分别沿，折叠使，点重合于点，如图所示． （1）试判断与平面的位置关系，并给出证明； （2）求二面角的余弦值． 7. 如图，四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，＝，为中点． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值．
8. 已知四棱柱中，底面为菱形，＝，＝，＝，为中点，在平面 上的投影为直线与的交点． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 9. （ （1）如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，分别是棱、的中点，＝，，直线与平面所成的角的正弦值为．证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 10. 如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，＝＝，，＝＝ Ⅰ，直线与平面所成的角等于． Ⅱ证明：平面平面； 求二面角的余弦值． 11. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，将正方形沿着线段折起，使得＝，设为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 12. 已知三棱柱中，＝＝，侧面底面，是的中点，＝，． Ⅰ求证：为直角三角形； Ⅱ求二面角的余弦值． 13. 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，＝，是棱的中点，＝，在线段上，且＝． （1）证明：面； （2）若，面面，求二面角的余弦值． 14. 如图，在四棱锥中，平面底面，其中底面为等腰梯形，，＝＝＝，，＝，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值．
怎样找二面角的平面角
6.怎样找二面角的平面角 一、当图中明显给出二面角的棱时 1、利用定义 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，求平面BD A 1与平面BD C 1所成的二面角的余弦值。 2、利用三垂线定理和逆定理 当图中给出或能作出二面角的一个面内一点垂直于另一个面的直线时，则可通过垂足（或这点）作棱的垂线，连结所得垂足与前平面内的点（或前垂足），根据三垂线定理或其逆定理就可得出二面角的平面角。 在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ， P A =AB =2， ∠ABC =30°，求二面角 P -BC -A 的大小。 3、借助垂直平面 通过作两个平面的公垂面得到交线，这时棱与公垂面垂直，从而两交线所成的角就是二面角的平面角 设在棱形ABCD 中，,3 A π ∠=P A ⊥平面ABCD ，且12 AP AB = =，求二面角B -PC -D 的大小。
二、当图中未给出二面角的棱时 一、若给出了两个平面的公共点 ①若能找到分别含在两个平面内的互相平行的直线，则可通过两个平面的公共点作上述两直线的平行线，此直线即为二面角的棱。从而转化为给出棱时的二面角的问题。 过正方形ABCD的顶点A，作线段P A 平面ABCD，若P A=AB。求平面ABP和平面CDP所成的二面角。 ②若在二面角的两个面内找不到含在两个面内的两平行直线，可设法找这两个平面的另一个公共点。可分别在两个平面内找能相交于另一点的直线，这两条直线的交点与前一个公共点的连线即为二面角的棱。从而转化为给出二面角的棱时的二面角的问题。 已知正三棱柱ABC-A 1B 1 C 1 的侧棱BB 1 ，CC 1 上分别有点D,E使EC=BC=2DB 求截面ADE与底面ABC所成的二面角的大小。 ③补形法，其目的是使补形后两个平面有公共交线 在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝a，求平面PBA 与平面PDC所成二面角的大小。
高中立体几何证明方法及例题
1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。 （一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： ?a c //) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
最新版,二面角求法与经典题型归纳
αβa O A B 立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A --的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1
高中立体几何证明方法及例题
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角
面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。
立体几何垂直证明(基础)
立体几何垂直的证明 类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直） （1）共面垂直：掌握几种模型 ①等腰（等边）三角形中的中线 ②菱形（正方形）的对角线互相垂直 ③勾股定理中的三角形 ④ 直角梯形 ⑤利用相似或全等证明直角。 【例1】在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心， E 为1CC 中点,求证： (1) 1A O OE ⊥ (2) 1A O BDE ⊥平面 （2）异面垂直（利用线面垂直来证明） 【例2】在正四面体ABCD 中， 求证：AC BD ⊥ 【变式1】如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知 ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． 证明：AD PB ⊥；
【变式2】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点， 将△AED,△DCF分别沿, DE DF折起，使,A C两点重合于'A. 求证:'A D EF ⊥； 【变式3】如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB是等边三角形，∠P AC=∠PBC=90 o。 证明：AB⊥PC 类型二：直线与平面垂直证明 方法○1利用线面垂直的判断定理 【例3】在正方体 1111 ABCD A B C D -中，,求证： 11 AC BDC ⊥平面 【变式1】如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90?.E为BB1的中点，D点在AB上且DE= 3 . 求证：CD⊥平面A1ABB1； B E ' A D F G
P C B A D E 【变式2】如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的 中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== 求证：AO ⊥平面BCD ； 【变式3】如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，23AB =6BC = ()1求证：BD ⊥平面PAC ○ 2利用面面垂直的性质定理 【例4】在三棱锥P-ABC 中，PA ABC ⊥底面,PAC PBC ⊥面面，BC PAC ⊥求证：面。 【变式1】在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且 PAB ABCD ⊥面底面,求证：BC PAB ⊥面
立体几何证明方法大全
（二）立体几何证明方法汇总 1、线线平行判定定理 一个平面 点 平行于同一条直线的两条直线的 两条直线平行 线面平行性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 面面平行的性一个平面与两个平行平面相交 则交线平行 线面垂直的性垂直于同 行
两条直线所成的角是 线面垂直的性质一条直线垂直于一个平面任何一条直线 一条直线垂直三角形两边则垂直一条直线垂直于三角形的两条边 第三边 三垂线定理 个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直 三垂线定理逆定三垂线逆定理 这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直
一条直线与平面没有交点 线面平行判两个平面平行， 平行于另一个平面 如果一条直线垂直于平面内的任何一条 直线，则直线与平面垂直。 的一条直线垂直于平面内两条相交直线， 则平行于这个平面。 的推一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 的若二平面垂直，那么在一个平面内垂直 于它们的交线的直线垂直于另一个平面
如果两个平面没有公共点，则两个平面平行。 面面平行的如果一个平面内有两条相交直线平行于另一 个平面，那么这两个平面平行 面面平行的判定定理推如果两个平面内两条相交直线平行于另一个平面内两条相交直线，则两个平面平行。 线面垂直的 垂直于同一直线的两个平面平行 两个平面相交， 这两个平面垂直。 面面垂直的判如果平面经过另一个平面的一条垂线， 面垂直。
公理 么这条直线上的所有点都在这个平面内。（ （ 公理 它公共点，这些公共点的集合是一条直线（ （ 公理 个平面。 干个点共面的依据 推论 有一个平面。 （ （ 推论 推论
用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点
求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，
立体几何垂直证明
立体几何垂直证明方法技巧授课教师：吴福炬
类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直） （1） 共面垂直：掌握几种模型 ①等腰（等边）三角形中的中线 ②菱形（正方形）的对角线互相垂直 ③勾股定理中的三角形 ④ 直角梯形 ⑤利用相似或全等证明直角。 例：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心， E 为1CC 中点,求证： (1) 1A O OE ⊥ (2) 1A O BDE ⊥平面
（2） 异面垂直（利用线面垂直来证明） 例1 在正四面体ABCD 中， 求证：AC BD ⊥ 变式1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形， 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． 证明：AD PB ⊥；
变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中 点，点F是BC的中点，将△AED,△DCF分别沿, DE DF折起， 使,A C两点重合于'A. 求证:'A D EF ⊥； 变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB是等边三角形， ∠P AC=∠PBC=90 o证明：AB⊥PC 类型二：直线与平面垂直证明 B E ' A D F G
方法○1利用线面垂直的判断定理 例：在正方体1111ABCD A B C D -中，,求证：1 1AC BDC ⊥平面 变式1：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90?.E 为BB 1 的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； 变式2：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的
求二面角平面角的方法
寻找二面角的平面角的方法 面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点?对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们 并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法. 我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型. 1.1二面角的相关概念 新教材⑴在二面角中给出的定义如下： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的 平面角中去研究?教材如下给出了二面角的平面角的概念： 二面角的平面角是指在二面角:的棱上任取一点 0,分别在两个半平 面内作射线AO _ I, BO _丨，则.AOB为二面角〉-丨- 一：的平面角? 2.二面角的求解方法 对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角 形的边角问题加以解决?定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍： 一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角 二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角 三、“算”：计算出该平面角 由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介 绍? 2.1定位二面角的平面角，求解二面角 二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角 一、根据平面角的定义找出二面角的平面角 例1 在60的二面角:-a -■的两个面内，分别有A和B两点?已知A和B到棱的距离分别为2和4,且 线段AB =10 ,试求： (1 )直线 AB 与棱a所构成的角的正弦值; (2)直线AB与平面〉所构成的角的正弦值.
用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法 利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形” 的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数 方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课 程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1使学生会求平面的法向量； 2?使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 4. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高 教学重点 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法 教学难点 求解二面角的平面角的向量法 教学过程 I、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：[0,]）
2、 法向量的方向： 一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面 角等于法向量夹角的补角 . 3、 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ： （1） 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2） 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行 向量运算） （3） 把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形） n 、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形， ABC 90 , SA 求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值? 分析 分别以BA, AD,AS 所在直线为x,y,z 轴， 建立空间直角坐标系，求出平面 SCD 的法向量 仁, 平面SBA 法向量n 2，利用n i , n 2夹角 cos cos n 1, n 2 结论： 或 ——■ cos cos 门1,门2 cos cos n j , n 2 统一为： n 1 n 2 |n 1 n 2 1 面 ABCD , SA AB BC 1, AD -, 2
二面角求法及经典题型归纳
- 1 - αβa O A B 二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A 的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1
高中立体几何证明线垂直的方法(学生)
高中立体几何证明线线垂直方法 （1）通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB= 2 1 DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC. 2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点． 求证：平面PCE ⊥平面PCD ； 3.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是 CD 上的点，且1 2 DF AB = ,PH 为PAD ?中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面； （2）若11PH AD FC == =，， 求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF PAB ⊥平面. （第2题图）
4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为 PC 的中点, PA ＝AD 。 证明: BE PDC ⊥平面; 5.在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； 6.如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 o 证明：AB ⊥PC （3）利用勾股定理 7.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1 的正方形，,1,PA CD PA PD ⊥== 求证:PA ⊥平面ABCD ； _ D _ C _ B _ A _ P A C B P
找二面角的平面角的方法汇总
找二面角的平面角的方法汇总 二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法． 我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型． 一、根据平面角的定义找出二面角的平面角 例 1 在 60的二面角βα--a 的两个面内，分别有A 和B 两点．已知A 和B 到棱的距离分别为2和4，且线段10=AB ，试求： （1）直线AB 与棱a 所构成的角的正弦值； （2）直线AB 与平面α所构成的角的正弦值． 分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出 60角在哪儿．如果解决 了这个问题，这道题也就解决了一半． 根据题意，在平面β内作a AD ⊥；在平面α内作α⊥BE ，EB CD //，连结BC 、AC ．可以证明a CD ⊥，则由二面角的平面角的定义，可知ADC ∠为二面角βα--a 的平面角．以下求解略． 二、根据三垂线定理找出二面角的平面角 例2 如图，在平面β内有一条直线AC 与平面α成 30，AC 与棱BD 成 45，求平面α与平面β的二面角的大小． 分析：找二面角的平面角，可过A 作BD AF ⊥；⊥AE 平面 α，连结FE ．由三垂线定理可证EF BD ⊥，则AFE ∠为二面角 的平面角． 总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一 个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用 三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角． （2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作 BD AF ⊥” 、“连结EF ”、“证明BD EF ⊥”． 三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角 例3 如图1，已知P 为βα--CD 内的一点，α⊥PA 于A 点，β⊥PB 于B 点，如果 n APB =∠，试求二面角βα--CD 的平面角． 分析：⊥?⊥?⊥⊥?⊥CD CD PB PB CD PA PA βα平面PAB ． 因此只要把平面PAB 与平面α、β的交线画出来即可．证明AEB ∠为βα--CD 的平面角， n AEB -=∠180（如图2）． 注意：这种类型的题，如果过A 作CD AE ⊥，垂足为E ，连结EB ，我们还必须证明 图1 图2