1981年高考数学试题及答案

1981年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科）

一．（本题满分6分）

设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B, 2.A∩B.

解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ

二．（本题满分6分）

在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果

解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：

AB、AC、AD、BC、BD、CD、

BA、CA、DA、CB、DB、DC

2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：

ABC、ABD、ACD、BCD

三．（本题满分8分）

下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是

解：见上表

四．（本题满分8分）

写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明证二：解析法：以A 为原点，射线AB 为x 轴正向，建立直角坐标系，则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA). 由两点距离公式得：

a 2=|BC|2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2 =

b 2+

c 2-2bccosA.

五．（本题满分10分） 解不等式（x 为未知数）：

.0>-----c

x b

a

c b x a

c b a x 解：右式=x 2(x-a-b-c)>0 原不等式解是x ≠0,x>a+b+c

六．（本题满分10分） 用数学归纳法证明等式

Y

n

n n x

x x x x x 2

sin 2sin 2

cos 2cos 2cos 2cos

32=???

对一切自然数n 都成立

证：略

七．（本题满分15分）

设1980年底我国人口以10亿计算

（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？

（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？

解：1.所求人口数x （亿）是等比数列

10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即

x=10×（1.02）20,

两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,

∴x=14.859（亿)

2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得

10×（1+y%)20≤12， （1+y%)20≤1.2.

根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得

20lg(1+y%)≤lg1.2. 即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略

八．（本题满分17分）

在1200的二面角P-a-Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B A 和点B 到棱a 的距离分别为2和4，且线段AB=10， 1．求直线AB 和棱a 所成的角; 2．求直线AB 和平面Q 所成的角

解：1.在平面P 内作直线AD ⊥a 于点D;在平面Q 内，作直线BE ⊥a 于点E ，

从点D 作a 的垂线与从点B 作a 的平行线相交于点C

∴∠ABC 等于AB 和a 所成的角

∠ADC 为两面角P-a-Q 的平面角，

∴∠ADC=1200又AD=2，BCDE 为矩形，∴CD=BE=4

连接AC ，由余弦定理得.72=AC

又因AD ⊥a,CD ⊥a,所以a 垂直于△ACD 所在的平面再由BC ∥a 得知

BC 垂直于△ACD 所在的平面，∴BC ⊥AC

在直角△ABC 中，,5

7

sin ==

∠AB AC ABC

F D C

5

7arcsin

=∠∴ABC 2．在△ACD 所在的平面内，作AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F 因为△ACD 所在的平面⊥平面Q ，∴AF ⊥平面Q

在△ADF 中，∠ADF=600，AD=2，∴AF=360sin 2=?

连结BF ，于是∠ABF 是AB 和平面Q 所成的角，而△ABF 为直角三角形，所以.10

3

arcsin .103sin =∠==

∠ABF AB AF ABF 九．（本题满分17分）

给定双曲线.12

2

2

=-y x

1．过点A （2，1）的直线L 与所给的双曲线交于两点P 1及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程

2．过点B （1，1）能否作直线m ，使m 与所给双曲线交于两点Q 1及Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由解：设直线L 的方程为

y=k(x-2)+1, (1) 将（1）式代入双曲线方程，得：

(2) 0344)24()2(2222=-+--+-k k x k k x k

又设P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),),,(y x P 则x 1,x 2必须是（2）的两个实根，所以有

).02(2

2422221≠---=+k k k k x x

按题意，.2

2),(212

221--=∴+=k k

k x x x x 因为),(y x 在直线（1）上，所以

.2

)

12(21)222(1)2(222--=+---=+-=k k k k k k x k y

再由y x ,的表达式相除后消去k 而得所求轨迹的普通方程为

,17

)

21(47)1(82

2=---y x 这就是所求的轨迹方程 2．设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程，整理得

(3) 032)22()2(2222=-+--+-k k x k k x k

设21222111,),,(),,(x x y x Q y x Q 则必须是（3）的两个实根，即

.2222221--=+k k k x x 如果B 是Q 1Q 2的中点，就有121=+x x ，即221=+x x ，

所以有.22222

2=--k k

k 综合起来，k 应满足 ???

??=--≥-+----.22

22,0)32)(2(4)22()(222222k k k k k k k k I

由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I)无解

故满足题设中条件的直线不存在

十．（附加题，本题满分20分，计入总分）

已知以AB 为直径的半圆有一个内接正方形CDEF ，其边长为1（如图）设AC=a ，BC=b ，作数列u 1=a-b ，u 2=a 2-ab+b 2, u 3=a 3-a 2b+ab 2-b 3,…………，u k =a k -a k-1b+a k-2b 2-……+(-1)k b k ; 求证：u n =u n-1+u n-2(n ≥3) 证：通项公式可写成

u k =a k

-a k-1

b+a k-2

b 2

-……+(-1)k

b k

=b

a b a k k k +--+++1

11)1(

因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1, ab=AC ·BC=CD 2=1

111

2111

n 11n 111

112(1)(1) ab

a (1) ,

(1)(1)()

a (1)(1) (1)n n n n n n n n n

n n n n n n

n n n n n n n n n n a b u a b

a b a b

b ab a b

a b a b u a b a b a b a b ab b a b

a u u ---------+++++----=

+--=+--=+----==-++-----=

+--+=故得于是有11

.

n n b u a b

+=+