第30课时 与圆有关的位置关系

第30课时与圆有关的位置关系

一、温故而知新

1、已知⊙O的半径为5cm,A为线段OP的中点,当OP=6cm,点A与⊙O的位置关系时()

A. 点A在⊙O内

B. 点A在⊙O 上

C. 点A在⊙O 外

D.不能确定

2、已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm,圆心距=10cm,那么⊙O1与⊙O2的位置关系是()

A.内切

B.相交

C.外切

D.外离

3、直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于.

二、考点解读:

10、考点

1、点与圆的位置关系:设点到圆心的距离为d,圆的半径为r

①点在圆内?d<r ②点在圆上?d=r ③点在圆外?d>r

2、直线和圆的位置关系:设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r

⑴①直线和圆相交?d<r ②直线和圆相切?d=r ③直线和圆相离?d>r

⑵切线的性质和判定:①切线的判定定理:过半径外端且垂直于这条切线的直线是圆的切线②切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。③性质定理的推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。推论2:经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。

⑶切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这点的连线平分两条切线所夹的角

⑷弦切角定理:弦切角等于它所夹弧所对的圆周角

推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。

⑸相交弦定理:如图,已知AB、CD是⊙O内的两条相交弦,

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则有PA·PB=PC·PD=R2—OP2

相交弦定理的推论:已知AB是⊙O的直径,CD是弦,AB⊥CD,

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则有:PA·PB=PC2=PD2=R2—PD2

(6)切割线定理:如图,PC是⊙O的切线,PAB是⊙O的割线,

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则有:PA·PB=PC2=OP2—R2

切割线定理的推论:如图PAB、PCD是⊙O 的两条割线,则有

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PA ·PB=PC ·PD=OP 2—R 2

3、圆与圆的位置关系

(1)设R 、r 为两圆的半径,d 为圆心距

①两圆外离? d > R+r ②两圆外切?d=R+r

③两圆相交?R —r < d > R+r (R ≥r ) ④ 两圆内切?d=R —r (R >r )

⑤两圆内含? d < R —r (R > r ) (两圆内含时,如果d 为0,则两圆为同心圆 )

(2)两圆相交连心线垂直平分公共弦,且平分两条外公切线的夹角。

(3)两圆相切,连心线必过切点。

20、难点:

1、判定与圆有关的位置关系 的关键:① 点与圆的位置关系是比较点到圆心的距离与圆半

径的大小关系来确定 ②直线与圆的位置关系是比较圆心到直线的距离与半径的大小来

确定 ③圆与圆的位置关系是比较圆心距与半径之和或半径之差的大小来确定。

2、如何判定该直线是圆的切线

3、切割线定理的使用不正确:如上图 PC 是⊙O 的切线,PAB 是⊙O 的割线,则PC 2=PA ·AB

和 PAB 、PCD 是 ⊙O 的两条割线,则有PA ·AB=PC ·CD

三、例题讲解

1、(2005年,武汉)已知圆的半径为6.5cm ,如果一条直线和圆心的距离为9cm ,那么这条

直线和这个圆的位置关系是———( )

A 、 相交

B 、 相切

C 、 相离

D 、 相交或相离

解:根据已知条件圆心到直线的距离为9cm ,大于圆的半径6.5cm ,所以直线与圆相离。应

选C

变式题:同一平面上的两圆,有两条公切线,则它们的位置关系是:

A 、 相交

B 、 相切

C 、 相离

D 、 相交或相离

2、如图,在△ABC 中,∠C=900,AC=8,AB=10,点P 在AC

上,AP=2,若⊙O 的圆心在线段BP 上,且⊙O 与AB 、AC

都相切,求

第30课时 与圆有关的位置关系

解:由题,

过O 分别作OD ⊥AB,

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OE ⊥OE ,则D 、E 分别是AB 、AC 与⊙O 相切的切点

则AD=AE ,OD=OE ,

2

6,AP CP AC AP BC OE CP BC CP

BCP =∴=-==⊥⊥∴ 又△∽△OEP

∴EP=OE ,设OE=x

则BD=AB-AD=AB-AE=10-(2+x)=8-x

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∴(8-x)2+x 2=2(6-x)2

x=1

∴⊙O 的半径为1

变式题:已知:如图,△ABC 中,∠A=600,BC 为定长,

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以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E.连接DE 、

OE. 下列结论:①BC =2DE ;②D 点到OE 的距离不变;③

BD+CE=2DE;④OE 为△ADE 外接圆的切线。其中正确的结论是

3、(2006年,广安)已知: 如图, AB 是⊙O 的直径, ⊙O 过AC 的中点D, DE 切

⊙O 于点D, 交BC 于点E. (1)求证: DE ⊥BC; (2)如果CD=4, CE=3, 求⊙O

的半径.

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(1)连结OD.

∵DE 切⊙O 于点D

∴DE ⊥OD, ∴∠ODE=900

又∵AD=DC, AO=OB

∴OD//BC)

∴∠DEC=∠ODE=900, ∴DE ⊥BC)

(2)连结BD.

∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=900

∴BD ⊥AC, ∴∠BDC=900

又∵DE ⊥BC, △RtCDB ∽△RtCED ∴CE DC DC BC =, ∴BC=3

163422==CE DC 又∵OD=21BC ∴OD=3831621=?, 即⊙O 的半径为3

8

变式题:如图所示,外切于P 点的

⊙O 1和⊙O 2是半径为3cm 的等圆,

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连心线交⊙O 1于点A ,交⊙O 2于点

B ,A

C 与⊙O 2相切于点C ,连接PC ,

求PC 的长

四、中考视窗

(2006年,盐城)

B

A O 如图,已知:C 是以A

B 为直径的半圆O 上一点,CH ⊥AB 于点H ,直线A

C 与过B

点的切线相交于点D ,E 为CH 中点,连接AE 并延长交BD 于点F ,直线CF 交直线AB 于

点G.

(1)求证:点F 是BD 中点;

(2)求证:CG 是⊙O 的切线;

(3)若FB=FE=2,求⊙O 的半径.

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证明:∵CH ⊥AB ,DB ⊥AB ,∴△AEH ∽AFB ,△ACE ∽△ADF ∴FD

CE AF AE BF EH ==,∵HE =EC ,∴BF =FD (2)方法一:连接CB 、OC ,

∵AB 是直径,∴∠ACB =90°∵F 是BD 中点,

∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO

∴∠OCF=90°,∴CG 是⊙O 的切线

方法二:可证明△OCF ≌△OBF()

(3)解:由FC=FB=FE 得:∠FCE=∠FEC-′

可证得:FA =FG ,且AB =BG-

由切割线定理得:(2+FG )2=BG ×AG=2BG 2 ○

1 在Rt △BGF 中,由勾股定理得:BG 2=FG 2-BF

2 ○

2 由○

1、○2得:FG 2-4FG-12=0 解之得:FG 1=6,FG 2=-2(舍去)

∴AB =BG =24

∴⊙O 半径为22

五、牛刀小试

1、如图,AB 与⊙O 切于点B ,AO =6㎝,AB =4㎝,则⊙O 的半径为 ( )

A 、

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B 、

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C 、

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D

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2、如图,点P 是⊙O 的直径BA 延长线上一点,PC 与⊙O 相切于点C ,CD ⊥AB ,垂足为

D ,连结AC 、BC 、OC ,那么下列结论中:①PC 2=P A ·PB ;②PC ·OC =OP ·CD ;③

OA 2=OD ·OP .正确的有

(A )0个 (B )1个

(C )2个 (D )3个

3、如图,⊙O 的直径AB =12,AM 和BN 是它的两条切线,

切点分别为A 、B ,DE 切⊙O 于E ,交AM 于D ,交BN

于C ,设AD=x ,BC=y ,则y 与x 的函数关系式是 .

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4、如图,已知:C是以AB为直径的半圆O上一点,CH⊥AB于点H,直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G.

(1)求证:点F是BD中点;

(2)求证:CG是⊙O的切线;

(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径.

5、已知:AB为⊙O的直径,P为AB弧的中点.

(1)若⊙O′与⊙O外切于点P(见图甲),AP、BP的延长线分别交⊙O′于点C、D,连接CD,则△PCD是三角形;

(2)若⊙O′与⊙O相交于点P、Q(见图乙),连接AQ、BQ并延长分别交⊙O′于点E、F,请选择下列两个问题中的一个

..作答:

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问题一:判断△PEF的形状,并证明你的结论;

问题二:判断线段AE与BF的关系,并证明你的结论.

我选择问题,结论:.

六、总结、反思、感悟——————

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