函数的定义域,值域以及它的性质

一、集合与映射

1.集合符号的正确使用:关注空集!

例1、已知A={0,1},B={x∣x∈A},C={x∣x A},则A与B的关系是A=B ,A与C的关系是,B与C的关系是

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例2、已知:①,②2000,③,

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④. 正确式子的个数为(D )

A、1

B、2

C、3

D、4

2.集合运算与关系:注意数形结合!关注元素的形式!

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例3、已知:

则A∩B=, A∩C=, A∩=。

例4、I={(x,y)∣x∈R, y∈R},A={(x,y) ∣y = 2x+3},B={(x,y) ∣},

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则A∩= .

3.文氏图的应用

4.求参数范围:定集合!数形结合!注意:验端点,想空集!

例5、设A={x∣x2-3x+2<0},B={y∣y = a - x2},若A∩B=φ,则a 的取值范围是,若A∩B≠φ,则a 的取值范围是,若A B,则a 的取值范围是.

5.子集个数问题:乘法原理!关注要求非空或真子集!

例6、,其中含个元素,含个元素(),则满足条件的

的个数为__________.

6.映射:关注映射的有关概念!

例7、若集合,集合,是从到的映射,

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, 则中元素的原象为.

二、函数的性质(定义域、法则即解析式、值域(含最值)、单调性、奇偶性、周期性、反函数)

1. 定义域:由定义域求参数范围正面求!注意定型!复合函数定义域关注谁是自变

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例8、若函数的定义域为,则实数的取值范围是(B )

(A)(B)(C)(D)

例9、已知函数的定义域为(0,3),则的定义域为;

若的定义域为(0,3),则的定义域为;

2. 求解析式

(1)换元法:

(2)待定系数法:知函数形式

(3)图象变换法:关注变化方式!关注方向单位!

(4)性质(奇偶性周期性等):关注特殊点!

(5)轨迹法(如相关点代入法等)

例10、把函数的图象沿轴向左平移一个单位后,得到图象C ,则C 关于原

点对称的图象的解析式为

函数性质2:已知函数

是定义在R 上的奇函数,当

,则

= 3.求值域:关注定义域! (1) 先看是否单调函数

(2) 常见非单调函数(在有限区间上)求值域(反比例、二次、三角等) (3) 换元转化为(2):关注新元范围! (4) 平均不等式

(5) 几何法:和直线斜率、截距、和熟悉曲线联系! (6) 其他

关注复合函数值域的求法!

例11、已知数列的通项,则数列的前30项中,则最大值项是第 10 项

例12、在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得

次测量分别得到:

个数据。我们规定所测量物理量的“最佳近似值”是这样一个量:与

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其它近似值比较,与各数据的差的平方和最小。依此规定,从推出

=

例13、已知函数f(x)=lg(x 2-ax+a)的值域为R ,则实数的取值范围为;

4.单调性:定义法!问哪从哪证!关注函数方程的结构及已知条件!关注定义域!

函数)(x f y =定义域为A ,区间A M ?。

若对任意M x x ∈21,,且21x x <

(1)总有)()(21x f x f <,则称)(x f y =在M 上单调递增。 (2)总有)()(21x f x f >,则称)(x f y =在M 上单调递减。 若)(x f y =↑ ∴c x f y +=)(↑ ????

?↓

<↑

>?=00)(c c x f c y

若0)(≠x f ,)

(x f y 1

=

↓ )(x f y =,)(x g y = )]([)(x g f x F y ==

若f 、g 一致,)(x F ↑

若f 、g 不一致,)(x F ↓

例14、设函数f(x)=lg(x 2+ax-a-1),给出下述命题: ①f(x)有最小值

②当a=0时,f(x)的值域为R

③当a>0时,f(x)在区间[2, +∞]上有反函数

④若f(x)在区间[2, +∞]上单调递增,则实数a 的取值范围是a≥-4.

则其中正确的命题是(2)、(3)。(要求:把正确命题的序号都填上)

例15. 1)3(2)(2+-+==x a ax x f y 在区间),2[∞+-上↓,求a 的取值范围。 例16. )(x f y =偶函数,)2,2(-∈x ,当)2,0[∈x 时,)(x f ↓,若)()1(a f a f <-, 5.奇偶性:关注定义域!

判定:先看定义域(如判断函数

的奇偶性:奇)

判定方法:用定义;代入数验证+“”;图像

定义域关于原点对称。

奇函数)()(x f x f -=-,图象关于原点对称。

偶函数)()(x f x f =-,图象关于y 轴对称。 若0在定义域中

0)0(=f 是)(x f y =为奇函数的必要不充分条件。

例17.1

1)(-+

==x a m

x f y 是奇函数,求m 。 例18.10)2(,8sin )(35=--++=f x b ax x x f ,则=)2(f 。

例19、函数中 ,h(x) 是奇函数,

是偶函数.

6.周期性:与奇偶性、对称性结合;关注概念及图象!

一般地对于函数)(x f y =,若存在一个不为0的常数T ,使得当D x ∈内一切值时,总有)()(x f T x f =+

那么)(x f y =叫做周期函数,T 叫做周期。

对于周期函数来讲,如果在所有的周期中存在一个最小正数,就把这个最小正数叫最小正周期。

(1)T 为周期,nT 也是周期(0,≠∈n Z n 。) (2)周期函数,不一定有最小正周期。 例20、函数为偶函数,且对任意

,都有

,求证:函

为周期函数;(注:画图分析周期,然后用定义证明)

例21、已知函数

的周期为T ,则

的周期为

.

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例22、f(x)是定义在R 上的偶函数,并满足 f(x+2)= 当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(5.5)=( B ) (A)5.5 (B)2.5 (C)-2.5 (D)-5.5 例23. 求下列函数一个周期。

(1))(x f y =,对R x ∈,有)3()3(-=+x f x f

(2))(x f y =,对R x ∈,有)0()

(1)

(1)(≠+-=

+a x f x f a x f

(3))(x f y =,Z x ∈,且0)1(=f ,对任意a 、b Z ∈,

)()(b a f b a f -++)()(2b f a f ?=。

例24. 函数)(x f 的定义域关于原点对称,且满足

(1))

()(1

)()()(122121x f x f x f x f x x f -+?=-

(2)存在正常数a ,使1)(=a f 求证(1))(x f y =奇函数,;(2))(x f 为周期函数,一个周期为4a 。

7.反函数:必须先求原函数值域;关注原函数的定义域!关注性质! 例25、函数

的反函数是( C )

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8.性质的运用:关注各种性质的准确理解! 例26、若偶函数在

上是增函数,则( D )。

A 、

B 、

C 、

D 、 三、具体函数(一次、二次*、幂指对、三角)

关注:图像与性质;定义域的作用;单调性的作用; 特别关注二次(一定一动:看开口、对称轴)

关注实根分布:数形结合!看开口、对称轴、Δ、区间端点符号;

例27、

的定义域为D ,如果对任意的

,存在唯一的

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(C 为常数)成立,则称函数

在D 上的均值为C 。给

出下列四个函数:

则均值为2

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的函数为(3)

例28、已知f(x)= x +4x+3,函数g(t)表示函数f(x)在区间[t,t+1] ,( t ∈R)上的最小值,则

g(t)=. 四、图象及图象变换

关注:图象(复合)变换:一定要写出中间变换过程(两个);关注两个变换是有序还是无序;关注变换的方向和单位;

关注:看图识图及图象在解方程、不等式及求参数范围中的运用;关注特殊点;求参数时验端点!

例29、函数y=f (x )和函数y=g (x )的图象如下图所示,则y=f (x )·g (x )的图象可能是( A )

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例30、设是定义在R 上的奇函数,且在(0,+

)上是增函数。又f(-3)=0,,则

xf(x)≥0的解是 。

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例31、设x ∈(1,2),则不等式恒成立时,的取值范围是 五、方程与不等式:关注等价!单调时底的影响!要有数形结合的意识! 六、恒成立问题:转化为函数最值问题!选好变量:谁变选谁!

例31、对于-1≤a≤1,不等式x 2+(a-2)x+1-a>0恒成立的x 的取值范围是( B )。

(A) (B) (C) (D)

七、函数大题

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坚持从基本概念出发,注意寻找条件与结论间的关系,挖掘隐含条件。 例33、设二次函数

,已知不论为何实数值,恒有

。(1)求证:

;(2)求证:

;(3)若函

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的最大值为8,求b 、c 的值。

例34.定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意a 、b ∈R ,有f(a+b)=f(a)f(b)。 (1)求f(0);

(2)求证:对任意x ∈RR ,有f(x)>0; (3)求证:f(x)在R 上是增函数;

(4)若f(x)f(2x-x 2)>1,求x 的取值范围。 八、抽象函数

一、已知f x ()的定义域,求f g x [()]的定义域,

其解法是:若f x ()的定义域为a x b ≤≤,则f g x [()]中a g x b ≤≤(),从中解得x 的取值范围即为f g x [()]的定义域。

例35. 设函数f x ()的定义域为[]01,,则 (1)函数f x ()2的定义域为________。 (2)函数f x ()-2的定义域为__________。 解:(1)由已知有012

≤≤x ,解得-≤≤11x (2)由已知,得021≤-≤x ,解得49≤≤x 二、已知f g x [()]的定义域,求f x ()的定义域。

其解法是:若f g x [()]的定义域为m x n ≤≤,则由m x n ≤≤确定g x ()的范围即为

f x ()的定义域。

例36. 已知函数y f x =+[lg()]1的定义域为09≤≤x ,则y f x =()的定义域为________。

解:由09≤≤x ,得1110≤+≤x

三、已知f g x [()]的定义域,求f h x [()]的定义域。

其解法是:可先由f g x [()]定义域求得f x ()的定义域,再由f x ()的定义域求得

f h x [()]的定义域。

例37. 函数y f x =+()1定义域是[]-23,,则y f x =-()21的定义域是( )

A . []05

2

, B. []-14, C. []-55, D. []-37,

四、运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,再求交集。

例38. 已知函数f x ()的定义域是(]01,,求g x f x a f x a a ()()()()=+?--<≤1

2

0的定义域。函数g x ()的定义域是(]-+a a ,1 解: 由已知,有

0101<+≤<-≤?????x a x a ,即-<≤-<≤+????

?a x a a x a 11

九、函数综合题

例39.已知x ≥0,y ≥0,且x+2y=1,求2

2

y x +的最大值、最小值。

例40.设f (x )是定义在R 上的偶函数,并在区间(-∞,0)上递增,试解关于a 的不等

)123()12(2

2+-<++a a f a a f 。 例41.已知131

≤≤a ,若12)(2

+-=x ax x f 在区间[1,3]上的最大值为M (a ),最小值

为N (a ),令g (a )=M (a )-N (a )。

(1)求g (a )的函数表达式;

(2)判断g (a )的单调性,并求g (a )的最小值。 例42.某商品在最近100天内价格f (t )与时间t 的函数关系是

??????

?∈≤<+∈≤<+=N)t 100,t (40 522t -N)t 40,t (0 224

)(t

t f 销售量g (t )与时间t 的函数关系是)

,1000(3109

3)(N t t t t g ∈≤<+-=,求这种商品日销售额的最大值。 例43.已知不等式32

)1(log 121213

12111+

->+++++++a n n n n a 对一切大于1的自然数n 都成立,求实数a 的取值范围。

例44.已知a ∈R ,讨论关于x 的方程a x x =+-|86|2

的实数解的个数。

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