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拉格朗日插值公式的完全展开

拉格朗日插值公式的完全展开
拉格朗日插值公式的完全展开

数值分析拉格朗日插值法上机实验报告

课题一:拉格朗日插值法 1.实验目的 1.学习和掌握拉格朗日插值多项式。 2.运用拉格朗日插值多项式进行计算。 2.实验过程 作出插值点(1.00,0.00),(-1.00,-3.00),(2.00,4.00)二、算法步骤 已知:某些点的坐标以及点数。 输入:条件点数以及这些点的坐标。 输出:根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值。 3.程序流程: (1)输入已知点的个数; (2)分别输入已知点的X坐标; (3)分别输入已知点的Y坐标; 程序如下: #include #include #include float lagrange(float *x,float *y,float xx,int n) /*拉格朗日

插值算法*/ { int i,j; float *a,yy=0.0; /*a作为临时变量,记录拉格朗日插值多项*/ a=(float*)malloc(n*sizeof(float)); for(i=0;i<=n-1;i++) { a[i]=y[i]; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i]; } free(a); return yy; } int main() { int i; int n; float x[20],y[20],xx,yy; printf("Input n:");

scanf("%d",&n); if(n<=0) { printf("Error! The value of n must in (0,20)."); getch();return 1; } for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("x[%d]:",i); scanf("%f",&x[i]); } printf("\n"); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]); } printf("\n"); printf("Input xx:"); scanf("%f",&xx); yy=lagrange(x,y,xx,n); printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy); getch(); } 举例如下:已知当x=1,-1,2时f(x)=0,-3,4,求f(1.5)的值。

不等距节点下的牛顿插值公式以及拉格朗日插值公式实验课报告

数值分析实验报告三 插值法(2学时) 一实验目的 1.掌握不等距节点下的牛顿插值公式以及拉格朗日插值公式。二实验内容 1.已知函数表: 用牛顿插值公式求) (y的近似值。 102 2. 已知函数表: 用拉格朗日插值公式计算01 x以及所对应的近似值。 =y .5 4.1= 三实验步骤(算法)与结果 1.不等距节点下的牛顿插值公式 Ⅰ.按差商表计算n阶差商

12111[,,,][,,,] [,,,]i i i n i i i n i i i n i n i f x x x f x x x f x x x x x +++++-+++-= - 其中 Ⅱ.按以下公式,带入x 值 00010120101101()() ()[,] ()()[,,]()()()[,,] n n f x f x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x -=+-+--++--- Ⅲ.得出结果()f x 程序代码: #include"stdio.h" #include"math.h" int main() { int a,i,j; printf("输入x 系数的个数:"); scanf("%d",&a); float d,e=0,c; float x[a]; float y[a-1][a]; printf("输入x 的系数:"); for(i=0;i

拉格朗日插值公式的证明及其应用

拉格朗日插值公式的证明及其应用 摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论,譬如:线形插值,抛物插值,Lagrange 多项式等.然后将线形插值,抛物插值,Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中,并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导,唯一性,证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点,并且引人思考它在物理,化学等领域的应用.通过实际鉴定过程,利用插值公式计算生活中的成本问题,可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词: 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估 曲线插值问题,直观地说,认为已知的一批数据点()n k k k f x 0,=是准确的,这些数据点所表现的 准确函数关系()x f 是未知的,在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点,插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法,还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ,我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义,推导及其在解题中的应用 1.线性插值 1.1. 线性插值的定义 假定已知区间[]1,+k k x x 的端点处的函数值()k k x f y =, ()11++=k k x f y ,要求线性插值多项式()x L 1使它满足()k k y x L =1, ()111++=k k y x L . ()x L y 1=的几何意义:通过两点()k k y x ,和()11,++k k y x 的直线, 如图1所示,()x L 1的表达式由几何意义直接给出,即 ()()k k k k k k x x x x y y y x L ---+ =++111 (点斜式), 图1 ()11111++++--+--= k k k k k k k k y x x x x y x x x x x L (两点式). y=L 1x () y=f x () y k+1 y k x k+1 x k o y x

拉格朗日插值法C语言的实现

实验 一 .拉格朗日插值法C 语言的实现 1.实验目的: 进一步熟悉拉格朗日插值法。 掌握编程语言字符处理程序的设计和调试技术。 2.实验要求: 已知:某些点的坐标以及点数。 输入:条件点数以及这些点的坐标 。 输出:根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值 。 3.程序流程: (1)输入已知点的个数; (2)分别输入已知点的X 坐标; (3)分别输入已知点的Y 坐标; (4)通过调用函数lagrange 函数,来求某点所对应的函数值。 拉格朗日插值多项式如下: 0L ()()0,1,n n j k k j j k x y l x y j n ====∑…… 其中00()()0,1,,()k k x x l x k n x x -= =-k-1k+1n k k-1k k+1k n ……(x-x )(x-x )?…(x-x )…………(x -x )(x -x )?…(x -x ) 程序流程图:

↓ 程序如下: #include #include <> #include <> float lagrange(float *x,float *y,float xx,int n) /*拉格朗日插值算法*/ { int i,j; float *a,yy=; /*a作为临时变量,记录拉格朗日插值多项式*/ a=(float *)malloc(n*sizeof(float)); for(i=0;i<=n-1;i++) { a[i]=y[i]; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i]; } free(a); return yy; } int main() { int i; int n; float x[20],y[20],xx,yy; printf("Input n:"); scanf("%d",&n); if(n>=20) { printf("Error!The value of n must in (0,20)."); getch();return 1; } if(n<=0) { printf("Error! The value of n must in (0,20)."); getch(); return 1; } for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("x[%d]:",i); scanf("%f",&x[i]); } printf("\n");

实验一拉格朗日插值法

实验一 拉格朗日插值法 基本信息 实验课程:计算方法 设课形式:非独立 课程学分:3 实验项目:拉格朗日插值法 项目类型:基础 项目学时:2 目的和要求 该实验在计算机上实现拉格朗日插值法并进行验证。要求对拉格朗日插值法的流程进行分析,设计算法,并使用一种编程语言实现,最后通过具体例子进行验证,得到正确结果。 实验条件 装有编程语言的计算机一台、项目相关材料。 实验内容和原理或涉及的知识点 公式: 基点x i 的n 次插值基函数( i=0,1,…,n): n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l j i j n i j j n i i i i i i i n i i i ,,1,0) ())(())(() ())(())(()(011101110 =--∏ =----------= ≠=+-+- n 次拉格朗日插值多项式: ∑∏ =≠=--=+++=n i n i j j j i j i n n n x x x x y x l y x l y x l y x P 0 01100)()()()(

流程图: 输入及x y x i i i n ,,,,,=012 P i ??00 ,L ?1 L L x x x x j i j j n j i ?--=≠()() ,,,() 01 P P y L i ?+i i ?+1 开始T F 输出P 结束 i n = 验证例子 已知如下的函数表,试编写程序,用拉格朗日插值多项式求0.5,0.7,0.85三点处的函数值。 x 0.40.550.80.91y 0.410750.578150.88811 1.02652 1.1752 实验结果: 插值点的个数 m=3

数值计算方法—拉格朗日插值

数值计算方法作业 专业:测控1002 学号:10540226 姓名:崔海雪

拉格朗日插值的算法及应用 【摘要】 本文简介拉格朗日插值,它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式,以及它在MATLAB 中的算法程序,并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用,具有很高的应用价值。 【关键词】 拉格朗日;插值;公式;Matlab 算法程序; 一、绪论 约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange),法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献,其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献,提出了描述流体运动的拉格朗日方法。数据建模有两大方法:一类是插值方法,另一类是拟合函数一般的说,插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange 插值有很多种,1阶,2阶,…n 阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程,根据它的程序求原方程的图像。下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。 二、正文 1、基本概念 已知函数y=f(x)在若干点i x 的函数值i y =()i x f (i=0,1,???,n )一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x):p(i x )=i y ,i=0,1,???,n, (1) 则p(x)为f(x)的插值函数,而f(x)为被插值函数会插值原函数,0x ,1x ,2x ,...,n x 为插值节点,式(1)为插值条件,如果对固定点-x 求f(-x )数值解,我们称- x 为一个插值节点,f(-x )≈p(-x )称为-x 点的插值,当-x ∈[min(0x ,1x ,2x ,...,n x ),max(0x ,1x ,2x ,...,n x )]时,称为内插,否则称为外插式外推,特别地,当p(x)为不超过n 次多项式时称为n 阶Lagrange 插值。 2、Lagrange 插值公式 (1)线性插值)1(1L 设已知0x ,1x 及0y =f(0x ) ,1y =f(1x ),)(1x L 为不超过一次多项式且满足 )(01x L =0y ,)(11x L =1y ,几何上,)(1x L 为过(0x ,0y ) ,(1x ,1y )的直线,从而得到 )(1x L =0y +0101x x y y --(x-0x ). (2)

拉格朗日插值法理论及误差分析

浅析拉格朗日插值法 目录: 一、 引言 二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验 四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献 一、引言 插值在数学发展史上是个古老问题。插值是和拉格朗日(Lagrange )、牛顿(Newton )、高斯(Gauss )等著名数学家的名字连在一起的。在科学研究和日常生活中,常常会遇到计算函数值等一类问题。插值法有很丰富的历史渊源,它最初来源人们对天体研究——有若干观测点(我们称为节点)计算任意时刻星球的位置(插值点和插值)。现在,人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用,最常见的应用就是气象预报。插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂,如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。 二、插值及多项式插值 1、插值问题的描述 设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值: 插值问题:根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式,以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠= 的函数值()f x ,或计算函数的一阶、二阶导数值。 x 0x 0 y y 1 y 1 n y -n y 1 x 1 n x -n x

2、插值的几何意义 插值的几何意义如图1所示: 图1 3、多项式插值 3.1 基本概念 假设()y f x =是定义在区间,a b ????上的未知或复杂函数,但一直该函数在点01n a x x x b ≤<<<≤ 处的函数值01,,n y y y 。找一个简单的函数,例如函数 ()P x ,使之满足条件 (),0,1,2,, i P x y i n == (3.1) 通常把上述01n x x x <<< 称为插值节点,把()P x 称为()f x 的插值多项式,条件(3.1)称为插值条件,并把求()P x 的过程称为插值法。 3.2 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式: 1 011()m m m m m P x a x a x a x a --=+++ 那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数 011,,,m m a a a a - 。由于插值条件包含n+1独立式,只要m=n 就可证明插值函数多项式是唯一存在。 实际上,由n+1个插值条件可得

实验1拉格朗日插值与牛顿插值

数学与计算机学院上机实践报告 课程名称:计算方法A年级:上机实践成绩: 指导教师:姓名: 上机实践名称:拉格朗日插值和牛顿插值法学号:上机实践日期: 上机实践编号:1上机实践时间: 一、目的 1.通过本实验加深对拉格朗日插值和牛顿插值法构造过程的理解; 2.能对上述两种插值法提出正确的算法描述编程实现。 二、内容与设计思想 自选插值问题,编制一个程序,分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求解某点的函数近似值。(从课件或教材习题中选题) 已知y=f( 三、使用环境 操作系统:windows XP 软件环境:Microsoft Visual C++6.0 四、核心代码及调试过程 (一) 拉格朗日插值法: lude double product(double *p,double newx,int k,int n); main() { /*divisor,dividend double x[10]={0.10,0.15,0.25,0.40,0.50,0.57,0.70,0.85,0.93,1.00}; double newx[3]={0.45,0.6,0.80},divisor,dividend,quotient,result; double y[10]={0.904837,0.860708,0.778801,0.670320,0.606531,0.565525,0.496585,0.427415,0.394554; int i,th; for(th=0;th<3;th++) { result=0; for(i=0;i<10;i++)

{ dividend=product(x,newx[th],i,9); divisor=product(x,x[i],i,9); quotient=dividend/divisor; result+=quotient*y[i]; } printf("%lf处的近似值为%lf\n",newx[th],result); } } double product(double *p,double newx,int k,int n) { int cycle_times; double result=1; for(cycle_times=0;cycle_times<=n;cycle_times++) if(cycle_times!=k) result=result*(newx-p[cycle_times]); return result; } (二)牛顿插值法: #include #define total_points 10 void fill_in_the_blank(double *p,int x,int y); double newton(double (*p)[total_points+1],double newx); main() { double table[total_points][total_points+1], newx; int x,y; printf("Please notice (x,y) is from (x1,y1) to (x%d,y%d)!\n",total_points,total_points); for(x=0;xy) fill_in_the_blank(table,x,y); } printf("input a number you want to calculate:"); scanf("%lf",&newx); printf(" the result is:%lf\n",newton(table,newx)); } void fill_in_the_blank(double (*p)[total_points+1],int x,int y) { double diff_up,diff_down; diff_up=*(*(p+x)+y-1)-*(*(p+x-1)+y-1); diff_down=*(*(p+x))-*(*(p+x-y+1)); *(*(p+x)+y)=diff_up/diff_down; }

多项式插值法和拉格朗日插值

多项式插值法和拉格朗日插值 教案一多项式插值法和拉格朗日插值 基本内容提要 1 多项式插值法的基本概念 2 插值多项式的存在性与唯一性分析 3 拉格朗日插值多 项式的构造及截断误差 4 截断误差的实用估计式 5 逐次线性插值法教学目的和要求 1 熟练掌握多项式插值法的基本概念 2 理解插值多项式的存在性与唯一性 3 掌握拉 格朗日插值法 4 掌握截断误差的估计方法 5 理解逐次线性插值法的基本思想,掌握Aitken逐次线性插值法 6 掌握运用拉格朗 日插值法处理问题的基本过程教学重点 1 拉格朗日插值基函数及拉格朗日插值多项式的构造 2 拉格朗日插值多项式的截断 误差分析 3 逐次线性插值法的基本思想教学难点 1 插值多项式存在唯一性条件的讨论分析 2 插值误差的分析与估计 3 Aitken逐次线性插值法的计算过程课程类型新知识理论课教学方法 结合提问,以讲授法为主教学过程 问题引入 实际问题中许多变量间的依赖关系往往可用数学中的函数概念刻画,但在多数情况下,这些函数的表达式是未知的,或者函数已知,但形式十分复杂。基于未知函数或复杂函数 的某些已知信息,如何构造这些函数的近似表达式?如何计算这些函数在其它点处的函数值?所构造的近似表达式与真实函数的误差是多少?插值理论与方法就是解决这些问题的 有效工具之一。 §2.1 多项式插值 2.1.1 基本概念 假设f(x)是定义在区间[a,b]上的未知或复杂函数,但已知该函数在点a≤x0 P(xi)=yi,i=0,1,2,L,n,即在给定点xi处,P(x)与f(x)是相吻合的。 (2.1) 把P(x)称为f(x)的插值多项式(函通常把上述x0 数), f(x)称为被插函数。[a,b]称为插值区间,条件(2.1)称为插值条件,并把 求P(x)的过程称为插值法。

计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题

计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题 一、方法原理 n次拉格朗日插值多项式为:Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) n=1时,称为线性插值,L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0) n=2时,称为二次插值或抛物线插值,精度相对高些 L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x 2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1) 二、主要思路 使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂,可改用构造方法来插值。 对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0<=k<=n)作一n次多项式lk(xk),使它在该点上取值为1,而在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0,则插值多项式为Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) 上式表明:n个点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是lk(x)的零点。可求得lk 三.计算方法及过程:1.输入节点的个数n 2.输入各个节点的横纵坐标 3.输入插值点 4.调用函数,返回z 函数语句与形参说明 程序源代码如下: 形参与函数类型 参数意义 intn 节点的个数 doublex[n](double*x) 存放n个节点的值 doubley[n](double*y) 存放n个节点相对应的函数值 doublep 指定插值点的值 doublefun() 函数返回一个双精度实型函数值,即插值点p处的近似函数值 #include #include usingnamespacestd; #defineN100 doublefun(double*x,double*y,intn,doublep); voidmain() {inti,n; cout<<"输入节点的个数n:"; cin>>n;

数值分析实验一——拉格朗日插值算法报告

拉格朗日插值算法的实现 实验报告 姓名:** 年级:****专业:计算机科学与技术科目:数值分析题目:拉格朗日插值算法的实现 实验时间: 2014年5月27日实验成绩: 实验教师: 一、实验名称:拉格朗日插值算法的实现 二、实验目的: a. 验证拉格朗日插值算法对于不同函数的插值 b. 验证随着插值结点的增多插值曲线的变化情况。 三、实验内容: 拉格朗日插值基函数的一般形式: 也即是: 所以可以得出拉格朗日插值公式的一般形式: 其中, n=1时,称为线性插值,P1(x) = y0*l0(x) + y1*l1(x) n=2时,称为二次插值或抛物插值,精度相对高些,P2(x) = y0*l0(x) + y1*l1(x) + y2*l2(x) 四、程序关键语句描写 double Lagrange(int n,double X[],double Y[],double x) { double result=0; for (int i=0;i

for(int j=0;j #include using namespace std; int main() { double Lagrange(int n,double X[],double Y[],double x); //插值函数double x;//要求插值的x的值 double result;//插值的结果 char a='n'; double X[20],Y[20]; do { cout<<"请输入插值次数n的值:"<>n; cout<<"请输入插值点对应的值及函数值(xi,yi):"<>X[k]>>Y[k]; } cout<<"请输入要求值x的值:"<>x; result=Lagrange(n,X,Y,x); cout<<"由拉格朗日插值法得出结果:"<>a; }while(a=='yes'); return 0; }

插值算法之拉格朗日插值

记一下拉格朗日插值公式的推导和一些要点【这里说的都是二维插值,多维上的以此类推】 1、插值问题:在做实验的过程中,往往得到一堆离散的数据,现在想用数学公式模拟这堆离散数据。怎么办,数学家们提出了插值问题。插值问题的提法是这样的给定一堆数据点(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)...(xn, yn),要求一个函数y = f(x) ,要求该函数经过上面所有的数据点。 2、多项式插值及其唯一性:在所有的函数中,多项式函数是最简单的函数,所以只要是人就会想到用多项式函数来作为插值函数,好,以上给定了n+1个点,现在要求一个n次多项式y = an * x^n + ... a1 * x + a0, 使它们经过这n+1个点;通过范德蒙行列式和克莱姆法则,可以判定如果这n+1个点的x值各不相同,那么这个多项式是唯一的。结果唯一,但是用直接法很不好求。现在用别的办法来求之。这就是:拉格朗日多项式 3、拉格朗日多项式的构造,以四个点为例子进行说明 由于函数经过4个点(x0, y0),(x1, y1),(x2, y2),(x3, y3),所以可以设函数为: f(x) = b0(x) * y0 + b1(x) * y1 + b2(x) * y2 + b3(x) * y3 注意:b0(x),...,b3(x)都是x的3次多项式,称之为拉格朗日插值基函数。 由于要求当x为x0时候,f(x) = y0, 所以最简单的做法就是让b0(x0) = 1, b1(x0) = b2(x0) = b3(x0) = 0; 同理可知,在x1,x2,x3点上,插值基函数的值构造如下:

b0(x) b1(x) b2(x) b3(x) x=x0 1 0 0 0 x=x1 0 1 0 0 x=x2 0 0 1 0 x=x3 0 0 0 1 问题1、根据这些值来确定b0(x)的表达式, 由于b0(x1) = b0(x2) = b0(x3) = 0,所以x1, x2, x3是b0(x)的零点,由于b0(x)是三次多项式,所以设 b0(x) = c0 * (x-x1) * (x-x2) * (x-x3) 由于b0(x0) = 1,所以1 = c0 * (x0-x1) * (x0-x2) * (x0-x3) 得到c0 = 1/[(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)] 所以:b0(x) = (x-x1)*(x-x2)*(x-x3)/[(x0-x1)*(x0-x2)*(x0-x3)] 同理可求b1(x)、b2(x),略 问题2、根据上面的表格说明插值基函数的一个性质:无论x取和值,它们的和都为1.【这

拉格朗日插值法1

拉格朗日抛物线插值法 1、定义若多项式l j (j=0,1,2...n )在n+1个节点x 0

end end S=t*y(k)+s; end; yi=s; 3、例题 1)计算115 解: L 2(x)=0201021))(())((y x x x x x x x x ----+ 1201020) )(())((y x x x x x x x x ---- + 2201010) )(())((y x x x x x x x x ---- = 10)44(21)144)(121(?-?---x x + 11) 23(21)144)(100(?-?--x x + 1223 44)144)(100(??--x x L 2(115)= 10)44(21)29(6?-?--?-x + 11) 23(21)29(15?-?-? + 1223 44)6(15??-? ≈10.7228 在Matlab 窗口输入

对拉格朗日插值法与牛顿插值法的学习和比较

对拉格朗日插值法与牛顿插值法的学习和比较 摘要:根据对拉格朗日插值法和牛顿插值法的理解,本文主要介绍了拉格朗日插值法和牛顿插值法的相关内容以及它们的区别。 关键词:拉格朗日插值法;牛顿插值法 The leaning and comparison of the Lagrange interpolation and Newton interpolation Abstract: Based on the understanding of the Lagrange interpolation and Newton interpolation ,this paper mainly describes some related knowledge as well as the difference between these two methods. Keywords: Lagrange interpolation ; Newton interpolation 前言 在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况:在某个实际问题中,虽然可以断定所考虑的函数)(x f 在区间],[b a 上存在且连续,但却难以找到它的解析表达式,只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值(即一张函数表)。显然,要利用这张函数表来分析函数)(x f 的性态,甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非常困难的。面对这些情况,总希望根据所得函数表(或结构复杂的解析表达式),构造某个简单函数)(x P 作为)(x f 的近似。这样就有了插值法,插值法是解决此类问题目前常用的方法。 如设函数)(x f y =在区间],[b a 上连续,且在1+n 个不同的点b x x x a n ≤≤,,,10 上分别取值n y y y ,,,10 。 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类Φ中,求一简单函数)(x P ,使 ),,1,0()(n i y x P i i == 而在其他点i x x ≠上,作为)(x f 的近似。 通常,称区间],[b a 为插值区间,称点n x x x ,,,10 为插值节点,称式i i y x P =)(为插值条件,称函数类Φ为插值函数类,称)(x P 为函数)(x f 在节点n x x x ,,,10 处的插值函数。求插值函数)(x P 的方法称为插值法。 插值函数类Φ的取法不同,所求得的插值函数)(x P 逼近)(x f 的效果就不同。它的选择取决于使用上的需要,常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时,相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与牛顿插值法就是这类插值问题。 在多项式插值中,最常见、最基本的问题是:求一次数不超过n 的代数多项式 n n x a x a a x P +++= 10)( 使),,1,0()(n i y x P i i n ==,其中,n a a a ,,,10 为实数。

计算方法实验四拉格朗日插值实验报告

实验报告 学院:电子信息工程 实验课程:计算方法 学生姓名: 学号: 专业班级:通信工程17-3班级

实验四 Lagrange 插值 1 目的与要求 (1)进一步理解和掌握Lagrange 插值的数值算法。 (2)能够根据给定的函数值表求出插值多项式和函数在某一点的近似值以解决实际问题 2 实验内容 已知函数表如下,通过编制程序,试用拉格朗日插值多项式求0.5,0.7,0.85三点处的近似函数值。 3 实验原理 拉格朗日插值多项式: 4 程序设计 (1)流程图 拉格朗日插值程序流程图 ∑=== n i 0 i i i ) x (l y y ) x x ()x x )(x x ()x x () x x ()x x )(x x ()x x ()x (l n i 1i i 1i i 0i n 1i 1i 0i --------= +-+-ΛΛΛΛ

(2)程序代码 #include #include #define n 5 double lagrange(long double a[n],long double b[n],double x) { int k,l; long double y1,m; y1=0.0; for(k=0;k

{ m=1.0; for(l=0;l

拉格朗日插值法理论及误差分析

目录: 一、 引言 二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验 四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献 一、引言 插值在数学发展史上是个古老问题。插值是和拉格朗日(Lagrange )、牛顿(Newton )、高斯(Gauss )等著名数学家的名字连在一起的。在科学研究和日常生活中,常常会遇到计算函数值等一类问题。插值法有很丰富的历史渊源,它最初来源人们对天体研究——有若干观测点(我们称为节点)计算任意时刻星球的位置(插值点和插值)。现在,人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用,最常见的应用就是气象预报。插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂,如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。 二、插值及多项式插值 1、插值问题的描述 设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值: 插值问题:根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式,以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ,或计算函数的一阶、二阶导数 值。 2、插值的几何意义 x x 0 y y 1 y 1 n y -n y 1 x 1 n x -n x

插值的几何意义如图1所示: 图1 3、多项式插值 基本概念 假设()y f x =是定义在区间,a b ????上的未知或复杂函数,但一直该函数在点01n a x x x b ≤<< <≤处的函数值01,,n y y y 。找一个简单的函数,例如函数 ()P x ,使之满足条件 (),0,1,2, ,,i P x y i n == () 通常把上述01n x x x << < 称为插值节点,把()P x 称为()f x 的插值多项 式,条件()称为插值条件,并把求()P x 的过程称为插值法。 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式: 1011()m m m m m P x a x a x a x a --=++ + 那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数 011,, ,m m a a a a -。由于插值条件包含n+1独立式,只要m=n 就可证明插值函数多 项式是唯一存在。 实际上,由n+1个插值条件可得

Lagrange插值程序1

在Matlab中,可以编写如下程序来利用Lagrange插值公式进行计算: function f=Lagrange(x,fx,inx) n=length(x);m=length(inx); for i=1:m; z=inx(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x(j))/(x(k)-x(j)); end end s=p*fx(k)+s; end f(i)=s; end plot(x,fx,'O',inx,f) x=[1:12] fx=[12 234 34 -1 34 2 5 23 34 9 45 23] xi=[1:0.2:12] Lagrange(x,fx,xi) 得出结果: 12.0000 -60.5937 18.2765 124.9778 202.5952 234.0000 223.3757 184.1249 131.4738 78.4253 34.0000 2.9467 -13.6885 -17.5810 -12.0379 -1.0000 11.7556 23.1624 31.1611 34.7730 34.0000 29.6054 22.8332 15.1153 7.8099 2.0000 -1.6307 -2.8397 -1.7907 1.0404 5.0000 9.4024 13.6643 17.4033 20.4834 23.0000 25.2037 27.3769 29.6858 32.0400 34.0000 34.7742 33.3426 28.7320 20.4439 9.0000 -3.4848 -12.8605 -12.8873 4.0592 4 5.0000 112.3788 197.1817 267.9699 254.3439 23.0000

拉格朗日插值法课程设计

摘要 插值法是函数逼近的一种重要方法,是数值计算的基本课题.数学上来说,拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.Lagrange 插值是n次多项式插值,其成功地用构造插值基函数的方法,解决了求n次多项式插值函数问题.Lagrange插值的基本思想是将待求的n次多项式插值函数改写成另一种表示方式,再利用插值条件确定其中的待定函数,从而求出插值多项式. 拉格朗日插值法是一种很实用的插值方法,可以应用在渔业资源评估中、化学中、工程中、工业中、机械设计与制造领域,以及计算机方面.本课题意在将拉格朗日插值法应用到实际中,主要通过程序的编写(有拉格朗日插值法的Matlab和C语言实现)将算法在计算机中实现,求得相应的解.进一步体现拉格朗日插值法在解决问题时的实际意义. 关键词插值基函数;插值多项式;Lagrange插值;算法

Abstract Interpolation function approximation is a kind of important method, numerical calculation is the basic subject.Mathematical speaking,Lagrange interpolation method can give a right through the two dimensional plane several known point polynomial https://www.wendangku.net/doc/6c15579898.html,grange interpolation is n times polynomial interpolation,which succeeded in structure interpolation basis function method,solve the on times polynomial interpolation function problem. Lagrange interpolation basic idea is to will stay for n times polynomial interpolation function rewritten into another means,reuse interpolation condition to determine the required function,so as to find out the interpolation polynomial. Lagrange interpolation method is a very practical interpolation method, can be used in fishery resources evaluation,chemistry,engineering, industry, mechanical design and manufacturing,and computers to.This topic will be Lagrange interpolation method was used to practice,mainly through the process of writing(with Lagrange interpolation method of Matlab and C language implementation)algorithm is realized in computer,get the corresponding solution.Further reflected Lagrange interpolation method in solving problems of practical significance. Keywords interpolation basis function;Interpolation polynomial;Lagrange interpolation;algorithm

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