第4讲 一元二次方程与二次函数(含答案)

中考数学重难点专题讲座

第四讲 一元二次方程与二次函数

【前言】

前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。

一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。

第一部分 真题精讲

【例1】2010，西城，一模

已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；

⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式；

②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；

⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，

，且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数

23=++y ax bx c 的解析式．

【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.

【解析】

解：（1）分两种情况：

当0m =时，原方程化为033=-x ，解得1x =， （不要遗漏） ∴当0m =，原方程有实数根.

当0≠m 时，原方程为关于x 的一元二次方程，

∵()()()2

22[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.

∴原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）

综上所述，m 取任何实数时，方程总有实数根.

（2）①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称， ∴0)1(3=-m .（关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0） ∴1=m .

∴抛物线的解析式为121-=x y .

②∵()()2

21212210y y x x x -=---=-≥，（判断大小直接做差） ∴12y y ≥（当且仅当1x =时，等号成立）. （3）由②知，当1x =时，120y y ==.

∴1y 、2y 的图象都经过()1,0. （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉） ∵对于x 的同一个值，132y y y ≥≥， ∴23y ax bx c =++的图象必经过()1,0. 又∵23y ax bx c =++经过()5,0-，

∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-. （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）

设)22(542

23---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=.

∵对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立， ∴320y y -≥，

图7

∴2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥. 又根据1y 、2y 的图象可得 0a >， ∴24(25)(42)04a a a y a

---=最小

≥.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）

∴2(42)4(25)0a a a ---≤. ∴2(31)0a -≤. 而2(31)0a -≥.

只有013=-a ，解得1

3

a =. ∴抛物线的解析式为3

5343123-+=x x y .

【例2】2010，门头沟，一模

关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=. （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；

（2）点()11A --，

是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.

【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b 以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.

【解析】：

（1）由题意得[]2

2224(1)0m m ?=---->（）

解得5

4

m < 210m -≠

解得1m ≠± 当5

4

m <

且1m ≠±时，方程有两个不相等的实数根. （2）由题意得212(2)11m m -+-+=-

解得31m m =-=，

（舍） (始终牢记二次项系数不为0) 28101y x x =++ （3）抛物线的对称轴是5

8

x =

由题意得114B ??

-- ???

， (关于对称轴对称的点的性质要掌握) 1

4

x =-与抛物线有且只有一个交点B (这种情况考试中容易遗漏)

另设过点B 的直线y kx b =+（0k ≠）

把114B ??

-- ???

，

代入y kx b =+，得14k b -+=-，114b k =-

1

14y k x k =+- 281011

14

y x x y kx k ?=++?

?=+-?? 整理得2

18(10)204

x k x k +--+=

有且只有一个交点，2

1(10)48(2)04

k k ?=--??-+=

解得6k = 162

y x =+

综上，与抛物线有且只有一个交点B 的直线的解析式有14x =-，1

62

y x =+

【例3】

已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点． （1）求b 的值；

（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；

（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．

【思路分析】 拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组， 十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P,Q 纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b 。 第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。

【解析】

(1)因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．

所以，抛物线对称轴3142

b x -+=-

=，所以，4b =． （2）由（1）可知，关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0． 因为，24b ac =-=16－8=8>0． 所以，方程有两个不同的实数根，分别是

1122b x a

-+=

=-

+

，2122

b x a

-==--

． （3）由（1）可知，抛物线2241y x x =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位后的解析式为2241y x x k =+++．

若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点，只需22410x x k +++= 无实数解即可．

由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0，得1k > 又k 是正整数，所以k 得最小值为2．

【例4】2010，昌平，一模

已知抛物线2442y ax ax a =-+-，其中a 是常数． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若2

5

a >

，且抛物线与x 轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．

【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a 提出来,里面就是一个关于X 的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X 轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给2

5

a >

,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值. （1）依题意，得0a ≠，

∴2442y ax ax a =-+- ()()22

4422 2.

a x x a x =-+-=--

∴抛物线的顶点坐标为(2,2)-

（2）∵抛物线与x 轴交于整数点， ∴24420ax ax a -+-=的根是整数．

∴2x == ∵0a >，

∴2x =± ∴

2

a

是整数的完全平方数． ∵2

5

a >， ∴2

5a

<． (很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手) ∴2

a

取1，4， 当

21a =时，2a =； 当24a =时，1

2

a = ． ∴a 的值为2或

1

2

． ∴抛物线的解析式为2286y x x =-+或2

122

y x x =-．

【例5】2010，平谷，一模

已知：关于x 的一元二次方程()()2

1210m x m x -+--=（m 为实数）

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线()()2

121y m x m x =-+--总过x

轴上的一个固定点；

（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程()()2

1210m x m x -+--=有两个不相等的

整数根，把抛物线()()2

121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．

【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式≥0就可以了，依然不能遗漏的是m －1≠0。第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y 的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m 提出,对其进行因式分解得到y=(mx －x －1)(x+1)就可以看出当x=－1时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X 轴上固定点.如果想不到因式分解,

由于本题固定点的特殊性(在X 轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.

解：（1）()()2

2241m m m ?=-+-= ∵方程有两个不相等的实数根, ∴0m ≠ ∵10m -≠,

∴m 的取值范围是0m ≠且1m ≠.

（2）证明：令0y =得()()2

1210m x m x -+--=.

∴()()

()()

222121m m m x m m --±--±==

--.

∴()()12221

121211

m m m m x x m m m -+--++=

=-==---， (这样做是因为已经知道判别式是2m ,计

算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)

∴抛物线与x 轴的交点坐标为()11001m ??

-

?-??

，，，, ∴无论m 取何值，抛物线()()2

121y m x m x =-+--总过定点()10-，

（3）∵1x =-是整数 ∴只需1

1

m -是整数. ∵m 是整数，且01m m ≠≠，

, ∴2m =

当2m =时，抛物线为21y x =-．

把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 ()2

23168y x x x =--=-+

【总结】 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于0，不要忘记二次项系数为0或者不为0的

情况。第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。

第二部分 发散思考

【思考1】. 2010，北京中考

已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线

()1

2

y x b b k =

+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.

【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k 为正整数的条件求k 很简单.第二问要分情况讨论当k 取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.

【思考2】2009，东城，一模

已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= （1）若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若12＜m ＜40的整数，且方程有两个整数根，求m 的值．

【思路分析】本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.

【思考3】2009，海淀，一模

已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2－bx+kc （c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；

（2）求代数式akc

ab

b k

c +-22)(的值；

（3）求证: 关于x 的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.

【思路分析】本题有一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论K 的取值即可。第二问则需要将k 用a,b 表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.

【思考4】2009，顺义,一模

. 已知：关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=． （1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根12x x ，满足122

11

m x x m +-=+-，求m 的值．

【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出12x x ，,

发现12x x ，都是关于m 的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.

第三部分 思考题解析

【思考1解析】

解：（1）由题意得，168(1)0k ?=--≥． ∴3k ≤． ∵k 为正整数，

∴123k =，

，． （2）当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零； 当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根；

当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根． 综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．

当3k =时，二次函数为2242y x x =++，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．

（3）设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于

A B 、两点，则(30)A -，

，(10)B ，． 依题意翻折后的图象如图所示．

当直线12y x b =

+经过A 点时，可得3

2b =； 当直线12y x b =+经过B 点时，可得1

2

b =-．

由图象可知，符合题意的(3)b b <的取值范围为13

22

b -<<

【思考2解析】 证明：

[]2

2=2(23)-4414884m m m m ---++（）=

0,m > 840.m ∴+>

∴方程有两个不相等的实数根。 （2）2(23)=

(23)2

m x m -±-±=

且m为整数．又∵12＜m＜40，

252181.

m

∴<+<

∴5

9．

35

6,.

2

7,24.

63

8,.

2

m

m

m

=∴=

=∴=

=∴=

∴m=24

【思考3解析】

解：由kx=x+2，得(k－1) x=2.

依题意k－1≠0.

∴

1

2

-

=

k

x.

∵方程的根为正整数，k为整数,

∴k－1=1或k－1=2.

∴k1= 2, k2=3.

（2）解：依题意，二次函数y=ax2－bx+kc的图象经过点（1，0），∴0 =a－b+kc, kc = b－a .

∴

2

2

2

2

2

2

22

a

ab

ab

b

a

ab

b

a

b

a

ab

b

a

b

akc

ab

b

kc

-

+

-

+

-

=

-

+

-

-

=

+

-

)

(

)

(

)

(

=.1

2

-

=

-

-

a

ab

ab

a

（3）证明：方程②的判别式为Δ=(－b)2－4ac= b2－4ac.

由a≠0, c≠0, 得ac≠0.

( i ) 若ac<0, 则－4ac>0. 故Δ=b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.

( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a－b+kc =0, 故b=a+kc.

Δ=b2－4ac= (a+kc)2－4ac=a2+2kac+(kc)2－4ac = a2－2kac+(kc)2+4kac－4ac

=(a －kc)2+4ac(k －1). ∵ 方程kx=x+2的根为正实数， ∴ 方程(k －1) x=2的根为正实数. 由 x>0, 2>0, 得 k －1>0. ∴ 4ac(k －1)>0. ∵ (a －kc)2≥0,

∴Δ=(a －kc)2+4ac(k －1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,

∵ 抛物线y=ax2－bx+kc 与x 轴有交点, ∴ Δ1=(－b)2－4akc =b2－4akc ≥0. (b2－4ac)－( b2－4akc)=4ac(k －1). 由证法一知 k －1>0, ∴ b2－4ac> b2－4akc ≥0.

∴ Δ= b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.

【思考4解析】

（1）[]2

2

(21)4(2)m m m ?=-+-+-

22441448m m m m =++--+ 90=>

∴不论m 取何值，方程总有两个不相等实数根

（2）由原方程可得12(21)3

2

m x +±=

=

，

∴ 1221x m x m =+=-， －－ ∴ 123x x -=

又∵ 12211m x x m +-=+- ∴ 2

311

m m +=+

- ∴ 4m = －

m 符合题意．经检验：4

∴m的值为4．

二次函数(第4课时)教案

二次函数（第4课时）教案 教学目标： 1．使学生能利用描点法画出二次函数y ＝a(x —h)2 的图象。 2．让学生经历二次函数y ＝a(x －h)2性质探究的过程，明白得函数y ＝a(x －h)2 的性质， 明白得二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2 的图象的关系。 重点难点： 重点：会用描点法画出二次函数y ＝a(x －h)2的图象，明白得二次函数y ＝a(x －h)2 的 性质，明白得二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2 的图象的关系是教学的重点。 难点：明白得二次函数y ＝a(x －h)2的性质，明白得二次函数y ＝a(x －h)2 的图象与二 次函数y ＝ax 2 的图象的相互关系是教学的难点。 教学过程： 一、提出咨询题 1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y ＝－12x 2，y ＝－12x 2 －1的图象，并回答： (1)两条抛物线的位置关系。 (2)分不讲出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。 (3)讲出它们所具有的公共性质。 2．二次函数y ＝2(x －1)2的图象与二次函数y ＝2x 2 的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 二、分析咨询题，解决咨询题 咨询题1：你将用什么方法来研究上面提出的咨询题? (画出二次函数y ＝2(x －1)2和二次函数y ＝2x 2 的图象，并加以观看) 咨询题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝2x 2与y ＝2(x －1)2 的图象吗? 教学要点 1．让学生完成下表填空。 x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝2x 2 y ＝2(x －1)2 2．让学生在直角坐标系中画出图来： 3．教师巡视、指导。 咨询题3：现在你能回答前面提出的咨询题吗? 教学要点 1．教师引导学生观看画出的两个函数图象．依照所画出的图象，完成以下填空： 开口方向 对称轴 顶点坐标 y ＝2x 2 y ＝2(x －1)2 2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y ＝2(x －1) 2 与y ＝2x 2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y ＝2(x 一1)2 的图象能够 看作是函数y ＝2x 2 的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，0)。 咨询题4：你能够由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2(x －1)2 的性质吗? 教学要点 1.教师引导学生回忆二次函数y ＝2x 2的性质，并观看二次函数y ＝2(x －1)2 的图象； 2．让学生完成以下填空： 当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的增大而增

第一章 二次函数专题复习一(含答案)

专题一 求二次函数的解析式 [见A 本P6] 一 利用一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)求二次函数的解析式 (教材P33目标与测定题第2题) 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝－2时，y ＝7；当x ＝3时，y ＝－3，求a ，b ，c 的值，并写出该二次函数的表达式． 解：依题意，得?????3＝a ＋ b ＋ c ，7＝4a －2b ＋c ， －3＝9a ＋3b ＋c ， 解得?????a ＝－13， b ＝－53， c ＝5 所求的函数解析式为y ＝－13x 2－53x ＋ 5 [2013·徐州]二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上部分点的坐标满足下表∶ x … －3 －2 － 1 0 1 … y … －3 －2 －3 －6 － 11 … 则该函数图象的顶点坐标为( B ) A ．(－3，－3) B ．(－2，－2) C ．(－1，－3) D ．(0，－6) 【解析】 ∵x ＝－3和－1时的函数值都是－3，相等， ∴二次函数的对称轴为直线x ＝－2， ∴顶点坐标为(－2，－2)． 故选B. 如图1，抛物线的函数表达式是( D )

图1 A ．y ＝x 2－x ＋2 B ．y ＝x 2＋x ＋2 C ．y ＝－x 2－x ＋2 D ．y ＝－x 2＋x ＋2 【解析】 根据题意，设二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为抛物线过点(－1，0)， (0，2)，(2，0)，所以?????a －b ＋c ＝0，c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝0， 解得a ＝－1，b ＝1，c ＝2，所以这个二次函数的表达式为y ＝－x 2＋x ＋2. [2012·绥化]如图2，二次函数y ＝ax 2－4x ＋c 的图象经过坐标原点，与x 轴交于点A (－4，0)． (1)求二次函数的解析式； (2)在抛物线上存在点P ，满足S △AOP ＝8，请直接写出点P 的坐标． 图2 解：(1)由已知条件得∶? ????c ＝0，a ×（－4）2－4×（－4）＋c ＝0， 解得?????c ＝0，a ＝－1， ∴此二次函数的解析式为y ＝－x 2－4x . (2)∵点A 的坐标为(－4，0)，∴AO ＝4. 设点P 的坐标为(x ，h )， 则S △AOP ＝12AO ·|h |＝12 ×4×|h |＝8，解得|h |＝4. ①当点P 在x 轴上方时，－x 2－4x ＝4，解得x ＝－2， ∴点P 的坐标为(－2，4)； ②当点P 在x 轴下方时，－x 2－4x ＝－4，

二次函数综合习题课课件

1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数 . 2. 二次函数 2 ax y = 的性质 （ 1 ）抛物线2 ax y = 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （ 2 ）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时 ?抛物线开口向上? 顶点为其最低点； ②当0

a b a c k a b h 4422 -=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2 h x a y -=；④ ()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0

第4讲 二次函数与幂函数

第4讲 二次函数与幂函数 1．幂函数 (1)定义： 形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见 的五类幂函数为 y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 1 2，y ＝x － 1. (2)五种幂函数的图象 (3)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 值域 ??? ?4ac －b 24a ，＋∞ ? ???－∞，4ac －b 24a 单调性 在? ???－∞，－b 2a 上单调递减； 在??? ?－b 2a ，＋∞上单调递增 在? ???－∞，－b 2a 上单调递增； 在??? ?－b 2a ，＋∞上单调递减

对称性 函数的图象关于x ＝－b 2a 对称 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 12 是幂函数．( ) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． ( ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) (4)二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是 4ac －b 2 4a .( ) (5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( ) (6)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ (教材习题改编)幂函数y ＝f (x )经过点(2，2)，则f (9)为( ) A ．81 B ．1 3 C ．1 81 D ．3 解析：选D.设f (x )＝x α，由题意得2＝2α，所以α＝1 2. 所以f (x )＝x 12 ，所以f (9)＝912 ＝3，故选D. (教材习题改编)如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c

第8讲：二次函数(专题讲座).doc

（聚焦 2008 ）第 8 讲：二次函数专题讲座 （一）二次函数的解析式的三种形式 （1）标准式： y=ax 2 +bx+c （ a≠0 ）； （2）顶点式： y=a （ x+m ）2 +n （ a≠0 ）； （3）两根式： y=a （ x － x 1）（ x－ x 2）（ a ≠ 0 ） 【例 1】已知二次函数y=f（ x）同时满足条件：（1）f（ 1+x）= f（1－ x）； （2） y=f （ x）的最大值是１５；（ 3） f （ x）＝０的两根立方和等于１ ７。求 y＝ f （ x）的解析式。 （二）二次函数的基本性质 （ 1）二次函数f（ x）=a x2 +bx+c （ a ≠０）的图像是一条抛物线，对称 轴方程为 x ＝－ b ，顶点坐标是（－ b ， 4ac b2 ）。2a 2a 4ac 当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－b ] 上递减，在 [ － b ，2a 2a ＋∞ ) 上递增。 当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数在(－∞，－b ] 上递增，在 [ － b ，2a 2a ＋∞ ) 上递减。 （ 2）直线与曲线的交点问题： ①二次函数f（ x）=ax 2 +bx+c （ a ≠０），当＝ b2－４ ac＞0 时，图像与 x 轴有两个交点Ｍ１（x１，０）Ｍ２（x２，０），于是 ｜Ｍ１Ｍ２｜＝｜ x１－ x２｜＝。 | a | ②若抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）与直线y=mx+n ，则其交点由二方程组成的方程组的解来决定，而方程组的解由一元二次方程ax 2 +bx+c =mx+n ，即 px 2 +qx+r=0的解来决定，从而将交点问题归结为判定一元二 次方程的判别式的符号决定。 特别地，抛物线与x 轴的交点情况由ax 2 +bx+c=0 的解的情况决定，于是也归结为判定一元二次方程ax 2 +bx+c = 0 的判别式的符号问题。

九年级上册(浙教版)-第一章-二次函数-同步练习(含答案)

九年级上册（浙教版）-第一章-二次函数-同步练习 一、单选题 1.已知，与为二次函数图象上的三点，则 的大小关系是（） A. B. C. D. 2.在平面直角坐标系中，若将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后，所得到的抛物线的顶点坐标为（） A.（-2,3） B.（-1,4） C.（1,4） D.（4,3） 3.在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2﹣4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（） A.（﹣2，3） B.（﹣1，4） C.（1，4） D.（4，3） 4.二次函数y＝ax2＋bx＋c 图象如图所示，反比例函数y＝与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系中大致图象是（） A. B. C. D. 5.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②2a+b=0； ③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0；④4a+2b+c＞0，其中正确结论的个数是（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m﹣2013的值是（） A.﹣2012 B.﹣2013 C.2012 D.2013 7.要由抛物线平移得到，则平移的方法是（）

A.向左平移1个单位 B.向上平移1个单位 C.向下平移1个单位 D.向右平移1个单位 8.函数y＝x2+2x﹣4的顶点所在象限为（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是（） A. B.当时，顶点的坐标为 C.当时， D.当时，y随x的增大而增大 10.已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0,2）的距离与到 x轴的距离相等，点M的坐标为（3,6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（） A.5 B.9 C.11 D.13 二、填空题 11.当x=0时，函数有最小值1，则b-c=________． 12.若为二次函数的图象上的三点,则y1、y2、y3的大小关系是________. 13.二次函数y=x2+4x﹣3的最小值是________． 14.二次函数y=x2+2x-6与y轴的交点坐标是________. 15.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围________．

第四讲-二次函数的图像与性质

第四讲 二次函数的图像与性质 （一） 学习目标：1．会用描点法画出二次函数y=ax 2+k 与y=a(x-h)2 的图象． 2.使学生了解并会求抛物线y=ax 2+k 与y=a(x-h)2的对称轴与顶点。 学习难点：二次函数y=ax 2+k ，y=a(x-h)2与y=ax 2的联系及如何平移以及对于抛物线y=ax 2 +k ， y=a(x-h)2 的对称轴方程的理解． 一、学前准备： 1、一次函数x y 2=与12+=x y 的图象关系是 2、二次函数 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 。 y=-2x 2 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 。 3、抛物线y=-2x 2 上有两点（x 1,y 1）,(x 2,y 2),且x 1＜x 2＜0,那么y 1 ( )y 2 二、探究归纳 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 x 取何值时y 随x 的增大而增大 三．自我测试 1、抛物线y=2(x+5)2 的顶点坐标是 ，对称轴是 2、抛物线y=-4x 2 -4的开口方向向 ，当x=时，y 有最 值，此时y= 3、抛物线y=-3(4x 2 -2)的开口方向向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大。 4、写出符合条件的二次函数表达式： （1） y=a(x-2)2 的图象与y= 2 1x 2 -2的开口方向相反，形状相同。

(2)y=a(x-2)2 的图象与y= 2 1x 2 -2的图象交点是（1，m ）. （二） 学习目标：1、使学生会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2 +k 的图象． 2、使学生了解并会求抛物线y=a(x-h)2 +k 的对称轴与顶点． 学习重点：用描点法画出二次函数y=a(x-h)2 +k 型的图象 学习难点：二次函数y=a(x-h)2+k 与y=a(x-h)2 的联系及如何平移．． 一、 学前准备： 1、二次函数y=ax 2 +k 的图象和性质，二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质。 2、二次函数y=ax 2 +k ，y=a(x-h)2 与y=ax 2 的联系及如何平移． 3、猜想抛物线y=a(x-h)2 +k 与y=ax 2 的形状 ，只是 不同，当a>0时，开口 ，当a<0时，开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标 。 二、探究活动 探索二次函数y=a(x-h)2 +k 的图象和性质 例、求二次函数 2 5212- +-=x x y 的顶点坐标和对称轴，并作 出函数图象 （三）探究应用 1、 指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 （1） y=2(x-3)2-5 (2)y=-0.5(x+1)2 (3)y=2(x-2)2 +5 (4)14 32--=x y （5）5)1(212-+-=x y （6）2)3(43--=x y 2、 下列函数，x 取何值时y 随x 的增大而增大？x 取何值时y 随x 的增大而减小？（注意 数形结合）（1）y=-2(x-8)2+5 (2) 32142 -?? ? ??-=x y 四．自我测试 1．将抛物线1)4(22 --=x y 如何平移可得到抛物线2 2x y = （ ） A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线2 2 3x y - =向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 3、二次函数y=-(x-1)2 +3图象的顶点坐标是 。 4、抛物线22121x x y - +=可由抛物线22 1 x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到． (第1 x

浙教版九年级数学上册第一章二次函数单元测试卷含答案

第一章 二次函数单元测试卷 （本试卷共三大题，26个小题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟） 姓名： 班级： 得分： 一、填空题（本题有10个小题，每小题4分，共40分） 1．抛物线2 (1)3y x =-+的对称轴是（ ） A ．直线1x = B ．直线3x = C ．直线1x =- D ．直线3x =- 2．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为 （ ） A ．2(3)2y x =++ B ．2(3)2y x =-- C ．2(6)2y x =-- D ．2(3)2y x =-+ 3．若二次函数c x x y ++=22配方后为7)(2 ++=h x y ，则c 、h 的值分别为（ ） A ．8、－1 B ．8、1 C ．6、－1 D ．6、1 4．二次函数y =2(x －1)2+3的图像的顶点坐标是（ ） A ．（1，3） B ．（－1，3） C ．（1，－3） D ．（－1，－3） 5．已知二次函数2 y 3=-+x x m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程230-+=x x m 的两实数根是（ ） A ．x 1=1,x 2=－2 B ．x 1=1,x 2=2 C ．x 1=1,x 2=0 D ．x 1=1,x 2=3 6．二次函数2 (1)2y x =-+的最小值是（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．1 7．抛物线24y x x =-的对称轴是 ( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝4 C ．x ＝2 D ．x ＝－4 8．已知二次函数y ＝2(x －3)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝－3；③其图象顶点坐标为(3，－1)；④当x <3，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

中考数学重难点专题讲座 第四讲 一元二次方程与二次函数

中考数学重难点专题讲座 第四讲 一元二次方程与二次函数 【前言】 前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。 一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。 第一部分 真题精讲 【例1】2010，西城，一模 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数23=++y ax bx c 的解析式． 【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M ≠

第一讲二次函数的意义

第1讲二次函数复习学案 班级：姓名： 【知识要点】 1.二次函数的定义：一般地，如果y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数. 2.抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“+”，下“－”）平移k（k﹥0）个单位得到函数y=ax2k±；将y=ax2沿着x轴（右“－”，左“+”）平移h（h﹥0）个单位得到y=a（x2)h ±.在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（（左加右减）． 【典型例题】 例1抛物线y=（x－2）2+3的顶点坐标是（） A. （－2，3）B .（2，3）C .（－2，－3）D .（2，－3） 分析：考查二次函数的顶点式y=a（x－h）2+k，确定顶点坐标（h，k）。例2将二次函数y=x2+4x－8，化为y=（x+m）2+n的形式正确的是（）。 A. y=（x+2）2－8 B. y=（x+2）2－4 C.y=（x+2）2+12 D. y=（x+2）2－12 分析：考查配方法． 例3二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次

函数表达式是（）。 A .y=x2－2 B. y=（x－2）2 C. y=x2+2 D. y=（x+2）2 分析：考查函数图象平移的规律，关键看抛物线的顶点移动前后的位置（即坐标），抛物线形状未变. 例4 已知一次函数y1=2x，二次函数y2=x2+1 (1)根据表中给出的值，计算对应的函数值，并填在表格中； (2)观察第（1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围 内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立。 分析：证明y1≤y2，可以说明y2－y1≥0。解：（略） 【知识运用】 一、选择题 1.下列函数中,是二次函数的是( ) A .2 =B. y=2x2C. y=x2－2x3+1 D .y=x+2π 5x y+ 2.抛物线y=（x－1）2+2的对称轴是( ) A.直线x=－1 B.直线x=1 C.直线x=2 D.直线x=－2 3.已知抛物线y=x2－2bx+4的顶点在x轴上,则b的值一定是( )

浙教版初中数学第一章 二次函数单元测试卷(含答案)

2018-2019学年第一章二次函数单元测试卷 一、选择题：（本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1、将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（） A、y=（x-1）2+2 B、y=（x+1）2+2 C、y=（x-1）2-2 D、y=（x+1）2-2 2、已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（） A、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限 C、第一、二、四象限 D、第一、三、四象限 3、将二次函数y=x2-2x+3化为y=（x-h）2+k的形式，结果为（) A、y=（x+1）2+4 B、y=（x-1）2+4 C、y=（x+1）2+2 D、y=（x-1）2+2 4、设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（） A、c=3 B、c≥3 C、1≤c≤3 D、c≤3 5、已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系正确的是( ) A、y3＜y2＜y1 B、y1＜y2＜y3 C、y2＜y1＜y3 D、y3＜y1＜y2 6、已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内， 下列说法正确的是（） A、有最小值0，有最大值3 B、有最小值﹣1，有最大值0 C、有最小值﹣1，有最大值3 D、有最小值﹣1，无最大值 7、在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（） A、B、C、D、 8、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C 的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为

常用的二次函数性质总结(第四讲)

常用的二次函数性质总结 2y ax =的顶点坐标______________对称轴___________,当a>0时开口_________,当x>0时，y 随x 的_____________，并简单画出其图像（在左侧空白处） 习题：212 y x =的顶点坐标_________________对称轴___________,开口_________,当x>0时，y 随x 的_____________画图像草图 213 y x =-的顶点坐标_________________对称轴___________,开口_________,当x<0时，y 随x 的_____________画图像草图 2y ax k =+的顶点坐标___________对称轴___________,当a>0时开口_________,当x<0时，y 随x 的_____________，并简单画出其图像（在左侧空白处） 习题：221y x =+的顶点坐标_________对称轴_________,开口_________,当x>0时，y 随x 的_____________，并简单画出其图像（在左侧空白处） 2113 y x =--的顶点坐标__________对称轴___________,开口_________,当x<0时，y 随x 的_____________，并简单画出其图像（在左侧空白处） 2()y a x h =-的顶点坐标__________对称轴___________,当a>0时开口_________,当x>0时，y 随x 的_____________，并简单画出其图像（在左侧空白处） 习题：()2 31y x =-的顶点坐标_____________对称轴___________,开口_________,当x<1时，y 随x 的___________，并简单画出其图像（在左侧空白处） 21(2)3 y x =-+的顶点坐标______________对称轴___________,开口_________,当x>-2时，y 随x 的___________，并简单画出其图像（在左侧空白处） 2()y a x h k =-+的顶点坐标______________对称轴___________,当a>0时开口_________,当x>h 时，y 随x 的_____________，此时函数有最___值为_____并简单画出其图像 习题：2 3(1)4y x =++的顶点坐标______________对称轴___________,开口_________,当x>-1时，y 随x 的_____________，此时函数有最___值为_____并简单画图 21(2)13 y x =---的顶点坐标______________对称轴___________,开口_________,当x>2时，y 随x 的_____________此时函数有最___值为_____画图 2y ax bx c =++的顶点坐标______________对称轴___________画草图 将23(1)4y x =++化为2y a x b x c =++形式，并将2481y x x =-+-化为2()y a x h k =-+形式。 能否2y ax bx c =++求以上几种函数的顶点坐标，对称轴？说说理由

4-二次函数压轴题

二次函数压轴题 1．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点，过定点F（0，2）的直线l：y＝kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C． （1）求抛物线的解析式； （2）设点D（a，0）在x轴上运动，连接FD，作FD的垂直平分线与过点D作x轴的垂线交于点I，判断点I是否在抛物线y＝ax2+c，并证明你的判断； （3）若k＝1，设AB的中点为M，抛物线上是否存在点P，使得△PMF周长最小，若存在求出周长的最小值，若不存在说明理由； （4）若，在抛物线上是否存在点Q，使得△QAB的面积为，若存在求出点Q的坐标，若不存在说明理由．

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c与直线y＝x+交于A、B两点，已知点B 的横坐标是4，直线y＝x+与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在直线y＝x+下方，求△PAC的最大面积； （3）设M是抛物线对称轴上的一点，以点A、B、P、M为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

3．如图1，平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+4x与x轴交于O、A两点．直线y＝kx+m经过抛物线的顶点B及另一点D（D与A不重合），交y轴于点C． （1）当OA＝4，∠ABC＝90°时． ①求该抛物线解析式； ②求BC的解析式； （2）如图2，过点D作DE⊥x轴于点E，当a为任意负数时，试探究CO与OE的数量关系？

4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为M．（1）求抛物线的解析式和点M的坐标； （2）点E是抛物线段BC上的一个动点，设△BEC的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点E的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第4讲幂函数与二次函数

第4讲幂函数与二次函数 一、选择题 1.(2017·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为() A.1，3 B.－1，1 C.－1，3 D.－1，1，3 解析因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.答案 A 2.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则() A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0 C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0 解析因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为 x＝2，即－b 2a ＝2，所以4a＋b＝0. 答案 A 3.在同一坐标系内，函数y＝x a(a≠0)和y＝ax＋1 a的图象可能是() 解析若a<0，由y＝x a的图象知排除C，D选项，由y＝ax＋1 a 的图象知应选 B；若a>0，y＝x a的图象知排除A，B选项，但y＝ax＋1 a 的图象均不适合，综 上选B. 答案 B 4.(2017·焦作模拟)函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数 g(x)＝f（x） x在区间(1，＋∞)上一定() A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数

解析 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(－∞，1)上有最小值，且f (x )关于x ＝a 对称，∴a <1，则g (x )＝x ＋a x －2a (x >1). 若a ≤0，则g (x )在(1，＋∞)上是增函数， 若00在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6) 解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)， 所以f (x )12>25，得? ?? ??223>? ????123>? ?? ??253，即P >R >Q . 答案 P >R >Q 7.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ a x ＋1 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________. 解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1，2]上是减函数可得[1，2]?[a ，＋∞)，∴a ≤1.

2021年二次函数讲义详细

第一讲 二次函数的定义 欧阳光明（2021.03.07） 知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0 考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式 例1、函数y=（m ＋2）x 22-m ＋2x －1是二次函数，则m=． 例2、下列函数中是二次函数的有（） ①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x ＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式． 例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ． 训练题: 1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为。 3、已知函数y=(m －1)x 2m +1+5x －3是二次函数，求m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系． 5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限 6．下列不是二次函数的是（） A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x 2 C ．y=52-x D ．y=（x ＋1）（x －2） 7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（）

二次函数第四卷解析

§3.4二次函数 复习目标 1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数． 2．二次函数的图象及性质： （1）二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a ；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大 而增大，x ＜－2b a ，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点， 且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2b a ，y 随x 的增大而增大． （2）当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当x =－2b a 时，函数有最大值2 44ac b a - 3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=a(x －h)2＋k 的图象． 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移 |k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、 开口方向与抛物线y=ax 2相同． 4. 二次函数的图象与系数的关系： (1) a 的符号：a 的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a ＞0；物线开口向 下，则a ＜0． （2）b 的符号出的符号由对称轴决定，若对称轴是y 轴，则b=0；若对称轴在y 轴左侧，则－2b a ＜0即2b a ＞0，则a 、b 为同号；若对称轴在y 轴右侧，则－2b a ＞0，即2b a ＜0．则 a 、 b 异号．即“左同右异”． （3）c 的符号：c 的符号由抛物线与y 轴的交点位置确定．若抛物线交y 轴于正半轴，则 c ＞0，抛物线交y 轴于负半轴．则c ＜0；若抛物线过原点，则c=0． （4）△的符号：△的符号由抛物线与x 轴的交点个数决定．若抛物线与x 轴只有一个交点， 则△=0；有两个交点，则△＞0；没有交点，则△＜0 ． 5．二次函数表达式的求法： ⑴若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得c bx ax y ++=2； ⑵若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：2()y a x h k =-+其中顶点 为(h ，k)对称轴为直线x=h ； ⑶若已知抛物线与x 轴的交点坐标，则可采用交点式：12()()y a x x x x =--,其中与x 轴 的交点坐标为（x 1，0），（x 2，0） 6．二次函数与一元二次方程的关系： （1）一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况． （2）二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、 没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0

湘教版九年级下《第1章二次函数》单元测试(A卷)含答案

单元测试(一) 二次函数(A 卷) (时间：45分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是(B) A ．xy ＋x 2＝1 B ．x 2 －y ＋2＝0 C ．y ＝1 x 2 D ．y 2 －4x ＝3 2．抛物线y ＝(x －1)2 ＋1的顶点坐标为(A) A ．(1，1) B ．(1，－1) C ．(－1，1) D ．(－1，－1) 3．将二次函数y ＝x 2－4x －4化为y ＝a(x －h)2 ＋k 的形式，正确的是(D) A ．y ＝(x －2)2 B ．y ＝(x ＋2)2 －8 C ．y ＝(x ＋2)2 D ．y ＝(x －2)2 －8 4．抛物线y ＝2x 2 向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的表达式为(A) A ．y ＝2(x －3)2－5 B ．y ＝2(x ＋3)2 ＋5 C ．y ＝2(x －3)2＋5 D ．y ＝2(x ＋3)2 －5 5．关于函数y ＝3x 2 的性质的叙述，错误的是(B) A ．顶点是原点 B ．y 有最大值 C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 D ．当x<0时，y 随x 的增大而减小 6．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝a(x －h)2 (a≠0)的图象可能是(D) A B C D 7．小颖用计算器探索方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x ＝－3.4，则方程的另一个近似根为(精确到0.1)(D) A ．4.4 B ．3.4 C ．2.4 D ．1.4 8．如图，某运动员在10 m 跳台跳水比赛时估测身体(看成一点)在空中的运动路线是抛物线y ＝－256x 2＋10 3x(图中 标出的数据为已知条件)，运动员在空中运动的最大高度距离水面(D) A ．10 m B ．102 5 m C ．91 3 m D ．1023 m 9．二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a＋c ＜b ；④b 2 －4ac ＞0，其中正确的个数是(C)