第17章勾股定理全章集体备课教案
第十七章勾股定理单元教学计划
一、教材分析
本章主要研究勾股定理与其逆定理，包括它们的发现、证明和应用.首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题.在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念.
二、学情分析
学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。
三、教学目标
1.体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题.
2.会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
3.通过具体的例子，了解定理的含义；了解逆命题、逆定理的概念；知道原命题成了其逆命题不一定成立.
四、本章知识结构网络图
实际问题→勾股
（直角三角形边长计算）←定理
↓互逆定理
实际问题←勾股定理
（判定直角三角形）→的逆定理
五、本章的重点：勾股定理及其逆定理的探索与运用.
本章的难点：勾股定理的证明，勾股定理及其逆定理的运用。
六、课时安排
本章教学时间约需9课时，具体安排如下：
17．1 勾股定理（一） 2 课时
17．1 勾股定理（二） 2 课时
17．2 勾股定理的逆定理3课时
数学活动及小结2课时
县二中集体备课教学设计
学科八年级数学教师（主备人）：张振兴集体备课地点：毓林楼204室时间：2014年3 月11 日
教学内容17．1 勾股定理（一）
教材分析本节主要研究勾股定理与其应用，包括它们的发现、证明和应用.首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以
证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题.
教学目标1．知识技能：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程．2．过程与方法：通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维．在
探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果．
3．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情．在探究活动
中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神
教学重点探索和证明勾股定理
教学难点用拼图的方法证明勾股定理．
教学准备1、学生准备（有关勾股定理的材料）及四个直角边分别为a、b斜边为c 的直角三角形一个腰长为c的等腰直角三角形2．PPT
教学方法讲授法，练习法，实验法
课型课时2课时
学生分析学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够
形成解决问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师
设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示
自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。
教师导学及学生活动（第1 课时）辅备人建议个性化补
充
I．导入
[活动1]（教材21页）2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科
学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．这就是
本届大会的会徽的图案．
（1）你见过这个图案吗？你知道它叫什么图？
（2）你听说过“勾股定理”吗？
教师出示照片及图片．学生观察图片发表见解．你见过这个图案吗？
教师作补充说明：这就是著名的“赵爽弦图”，“赵爽弦图”既标志着中国古代数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎着来自世界各地的数学家们。
II．新授
1．[活动2] （教材22页思考题）毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性．（1）现在请你也观察一下，你能有什么发现吗？
（2）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？
（3）你有新的结论吗？
教师展示图片并提出问题：能
计算出图中A、B、C的面积吗？如何计算C
的面积？
目前世界
上许多科学家
正在试图寻找
其他星球的
“人”，为此向宇
宙发出了许多
信号，如地球上
人类的语言、音
乐、各种图形
等。我国数学家
华罗庚曾建议，
发射一种反映
勾股定理的图
形，如果宇宙人
是“文明人”，那
么他们一定会
识别这种语言
的。
教师出示照片
及图片．学生
观察图片发表
见解．教师作
补充说明：这
个图案是我国
汉代数学家赵
爽在证明勾股
定理时用到
的，被称为“赵
爽弦图”．
教师展示
图片并提出问
题．学生观察
图片，分组交
流讨论．教师
引导学生总
结：等腰直角
三角形的两条
直角边平方的
和等于斜边的
平方．在独立
学生观察图片，分组交流讨论 教师引导学生总结：等腰直角三角形的两条直角边平方的和等于斜边的平方．
在独立探究的基础上，学生分组交流．
做一做（教材22页探究题） 观察图3三个正方形之间围成了一个什么样的三角形? 你能计算出图中A 、B 、C 的面积吗？ 如何计算C 的面积？请将结果填入下表，你能发现正方形A 、B 、C 的面积关系吗？ 即S A +S B =S C
即直角边上的正方形的面积和等于斜边上的正方形的面积
若直角三角形的直角边长为a 、b ，斜边c 你能表示正方形的面积吗？
议一议: 根据上述等式,两直角边的平方和等于斜边的平方 a 2+b 2=c 2
A 的面积（单位面积）
B 的面积（单位面积）
C 的面积（单位面图1 图2 图3
探究的基础上，学生分组交流．教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积．
教师提出问题，学生在独立思考的基础上以小组为单位，动手拼接．
b
c
a (图4)
.2．[活动3]让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角
形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB 的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多．下面，我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的．
（1）以直角三角形ABC的两条直角边a、b为边作两个正方形．你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？
（2）大正方形的面积面积分别怎样表示？还可以怎样表示能得到怎样的结论：
教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，帮助指导学生完成拼图活动．
学生展示分割、拼接过程．
教师提出问题，学生在独立思考的基础上以小组为单位，动手拼接．
教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，帮助指导学生完成拼图活动．教师总结：再来展示一下古代数学家赵爽的证明思路，由（3）图知c 2＝1/2 ab ×4＋（b －a ）2，化简得c 2＝
a 2＋
b 2.（正因为此，“赵爽弦图”才成为2002年在北京召开的了第24届国际数学家大会会徽图案.
3．课堂练习（教材24页）
补充题：1勾股定理的具体内容是： 。
2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；
⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；
⑷三边之间的关系： 。
3．△ABC 的三边a 、b 、c ，若满足b 2= a 2＋c 2，则 =90°；
若满足b 2＞c 2＋a 2，则∠B 是 角； 若满足b 2＜c 2＋a 2，则∠
B 是 角。
III ．小结：
A
C
B
D
勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的又一特征．人类对勾股定理的研究已有近3000年的历史，在西方，勾股定理又称“毕达哥拉斯定理”、“百牛定理”、“驴桥定理”等等．
布置作业：
收集有关勾股定理的证明方法，下节课展示、交流．学生谈体会．
教师进行补充、总结，为下节课做好铺垫．
学生谈体会．教师进行补充、总结，为下节课做好铺垫．
课下根据自己的情况选择完成．
教师导学及学生活动（第2 课时）辅备人建议个性化补
充
I ． 导入 [活动1]问题1复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。问题2：（1）求出下列直角三角形中未知的边．
回答：
①在解决问题时，每个直角三角形需知晓几个条件？ ②直角三角形中哪条边最长？
（2）在长方形ABCD 中，宽AB 为1m ，长BC 为2m ，求AC 长． II ．新授
1．[活动2] （教材25页）问题
（1）在长方形ABCD 中AB 、BC 、AC 大小关系？ （2）一个门框的尺寸如图1所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
针对问题2教师提出问题后让四位学生板演，剩下的学生在课堂作业本上完成．问题（2）学生分组讨论，自己解决；教师巡视指导答疑．
教师与学生一起完成问题，引导学生将实际问题转化为数学模型；
教师
6
10
A
C
B
2
45°
A
15
C
B
2
30°
C
A
图1
（3）教材第26页练习1．
2．[活动3]（1）如图2，一个2.6米长的梯子AB ，斜着靠在竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.4米．
①球梯子的底端B 距墙角O 多少米？
②如果梯的顶端A 沿墙下滑0.5米至C ，请同学们 猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？
算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）． （2）教材第26页练习第2题．
（3）变式：以教材第76页练习第2题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB ．
（4）如图3，分别以Rt △ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，容易得出S 1、S 2、S 3
之间有的关系式 ．
变式：教材第29页第13题， 如图4．
参与学生活动，适当地给与指导．
在活动3中，教师应重点关注：（1）根据学生在练习中反映出的问题，有针对性地对不同层次的学生进行指导；
教师布置作业，学生记录并按要求在课外完成．
在课时小结中，
S
S S 3
图
S 1
S
2
S 3B A
C
图
3．课堂练习
1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。
2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。
3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。
Iii．课时小结
这节课你有什么收获？教师应重点关注：
（1）培养学生对所学内容进行归纳、整理、总结的好习惯；（2）对学生在作业中反映出的问题，应做好记载，找出解决教、学不足的措施．
30
A B
C C A
B
板书设计
17．1 勾股定理
[活动1] [活动2] 课堂练习
[活动3] 课时小结作
业布置
作
业
布
置
①教材第
28页习题第1、
2题．
②教材第
28页习题第3、
5题．
思
17．1．3 勾股定理（2）
一、教学目标
1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
二、重点、难点
1．重点：勾股定理的简单计算。
2．难点：勾股定理的灵活运用。
三、教学过程设计
I．课堂引入
1．将竖立的两块砖头踢倒后的瞬间便证明了勾股定理，你相信吗？
证明：连结BG、BD、DG，很容易证明BG⊥BD．
化简得a2+b2=c2
2复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。这节课我们学习勾股定理的应用。
1.例1（补充）在Rt △ABC ，∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c 。⑵已知a=1,c=2, 求b 。⑶已知c=17,b=8, 求a 。 ⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。
分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。
2.例2（P39复习12题）已知圆柱的底面半径为6cm ，高为10cm ，蚂蚁从A 点爬到B 点的最短路程是多少厘米（结果保留小数点后1位）？
分析：蚂蚁爬过圆柱侧面的一半，将它展开，找到A 、B 、C 、D 对应的位置（如图），所求最短路程就是线段AB 之 长。
解：在Rt △ABC 中，∠C=900， BC 是底面周长的一半， ππ6622
1
=??=BC ，AC=10cm ∴)(3.2122cm AC BC AB ≈+=
答：蚂蚁从A 点爬到B 点的最短距离是21.3cm 。
3.例3（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm 。⑴求等边△ABC 的高。
⑵求S △ABC 。
分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用
C
A B
D
A
C
的创造直角三角形的辅助线做法。欲求高CD ，可将其置身于Rt △ADC 或Rt △BDC 中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求
AD=CD=2
1
AB=3cm ，则此题可解。
4.课堂练习
（1）．教材第27页第11题 （2）．教材第28页第9题 III 、课堂小结
1. 总统证法
2.
最短路径
四、课后作业
教材第28页第7题，第8题
板书：
17.1.4勾股定理（2）
教学目标:
1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上表示无理数。
2、体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。
3、培养学生数形结合的数学思想，并积极参与交流，并积极发表意见。 重点：利用勾股定理在数轴上表示无理数。
难点：确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。
17．1．3 勾股定理（2） 课堂引入
例1 课堂练习 例2 课时小结 作业布置
教学过程设计
I．复习导入
1．直角三角形中，若两条直角边的长分别为3米、5米，则斜边的长为________米。2．如图，填空.
z
=w
x若按照图中的规律一直做下去，说
=
y
____,=
____
=
____,
____,
说第n个小直角三角形的各边长。
II．新授、
1．教材第26页思考题证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等已知两个直角三角形△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°AB=DE BC=EF。证：△ABC≌△DEF。
证：∵△ABC和△DEF是直角三角形
∴AC2=BC2-AB2
∴DF2=EF2-DE2
∵AB=DE BC=EF
∴AC2=DF2∴AC=DF
在△ABC和△DEF中
∵∠A=∠D AC=DF AB=DE
∴△ABC≌△DEF
2．探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？
（1）分析：如果能画出长为____的线段，就能在数轴上画出表示13的点。容易知道，长为2的线段是两条直角边都为___的直角边的斜边。长为13的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？
利用勾股定理，可以发现，长为13的线段是直角边为正整数_____，_____的直角三角形的斜边。
（2）作法：在数轴上找到点A ，使OA=_____，作直线l 垂直于OA ，在l 上取点B ，使AB=_____，以原点O 为圆心，以OB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 即为表示13的点。
（3）利用勾股定理，可以作出长为2，3，5，…的线段。按照同样的方法，可以在数轴上画出表示1，2，3，4，5…的点（请试试自己动手作图）。 （4）在数轴上画出表示17的点？（尺规作图）
3、典型例题 例1（补充）1．已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长。
分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2-BD 2=AC 2-AD 2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。 要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求AB ，可由AB=BD+CD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。或欲求AB ，可由
22BC AC AB +=
，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。
4.巩固提升
（1）．教材第29页第14题 （2）．教材第28页第12题 III 、小结反思
1、勾股定理_______________________________
2、在数轴上画出表示无理数的点的做法 四、课后作业
教材第28页第6题，第11题 板书：
B
A
C
D
17．1．3 勾股定理（2）
课堂引入 例1 课堂练习
教后记：
17．2 勾股定理的逆定理（一）
【教学目标】
一、知识与技能
1．掌握直角三角形的判别条件．
2．熟记一些勾股数．
3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
二、过程与方法
1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想．2．通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神．
三、情感态度与价值观
1．通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望．
2．通过对勾股定理逆定理的探究；培养学生学习数学的兴趣和创新精神．
【教学重点】探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系．【教学难点】归纳、猜想出命题2的结论．
【教具准备】多媒体课件．
【教学过程】
I 、课堂引入
创设情境：⑴直角三角形具备什么性质？
⑵一个三角形满足怎样的条件才是直角三角形？
II 、新授
1.探究：读下面的信息，你能得到什么结论？
2.例1（P31）证明：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，
那么这个三角形是直角三角形。
分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有
一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A 1B 1=c ，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。
3. 互逆命题，原命题、逆命题的有关概念
（ 补充练习）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴同旁内角互补，两条直线平行。
a
b c
a
b
B
C
A
A1
C1
B1
人教版八年级下册第17章勾股定理考点和答案
勾股定理考点及答案 1701 勾股定理 一．选择题（共4 小题） 〖案例分析〗如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°．ED 是BC 的垂直平分线，BD 平分∠ABC，AD＝〖课后巩固〗则CD 的长为（） A．6 B．5 C．4 D．3 〖课堂练习〗如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D，若AC＝2，BC＝，则CD 为（） A．B．2 C．D．3 〖课后巩固〗如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AE 为△ABC 的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD 的长（） A．2 B．3 C．4 D．5 〖考前再练〗在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝4，则AC 的长是（）A．3 B．4 C．3 或D．
一．解答题（共 4 小题） 1702 勾股定理的证明 〖案例分析〗如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，正方形 IECF 中，IE ＝EC ＝CF ＝FI ＝ x （1） 小明发明了求正方形边长的方法： 由题意可得 BD ＝BE ＝a ﹣x ，AD ＝AF ＝b ﹣x 因为 AB ＝BD +AD ，所以 a ﹣x +b ﹣x ＝c ，解得 x ＝ （2） 小亮也发现了另一种求正方形边长的方法： 利用 S △ABC ＝S △AIB +S △AIC +S △BIC 可以得到 x 与 a 、b 、c 的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程： （3） 请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理． 〖课堂练习〗阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图 1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积＝小正方形的面积+4 个直角三角形的面积 从而得数学等式： ；（用含字母 a 、b 、c 的式子表示） 化简证得勾股定理：a 2+b 2＝c 2 【初步运用】 （1） 如图 1，若 b ＝2a ，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；
《勾股定理》教材分析
勾股定理教材分析 勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它揭示了三角形三条边之间的数量关系，主要用于解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，同时在实际生活中具有广泛的用途，“数学源于生活，又用与生活”是这章书所体现的主要思想。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际操作，使学生获得较为直观的印象；通过联系比较、探索、归纳，帮助学生理解勾股定理，以利于进行正确的应用。 2、教学目标 <1> 通过对几种常见的勾股定理验证方法，进行分析和欣赏。理解数学知识之间的内在联系，体会数形结合的思想方法，进一步感悟勾股定理的文化价值。 <２> 通过拼图活动，尝试验证勾股定理，培养学生的动手实践和创新能力。 <３>让学生经历查询资料、自主探究、合作交流、观察比较、计算推理、动手操作等过程，获得一些研究问题的方法，取得成功和克服困难的经验，培养学生良好的思维品质，增进他们数学学习的信心。 <4> 掌握勾股定理及其逆定理，并能运用这两个定理解决实际问题. 重点： <1> 分析和欣赏几种常见的验证勾股定理的方法。 <2>勾股定理和逆定理的探索和应用。 难点： <1> “数形结合”思想方法的理解和应用。 <2> 通过拼图，探求验证勾股定理的新方法。 4、教法和学法： 在整个教学过程中，本课的教法和学法体现如下特点： 1、以学生自我探索、合作交流为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学生活动，让学生主动参与学习全过程。 2、切实体现学生的主体地位，让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳，理解定理，提高学生动手操作能力，以及分析问题和解决问题的能力。 3、通过学生自己得到获得新知的成功感受，从而激发学生钻研新知的欲望。
第十七章勾股定理复习教案
第十七章 勾股定理 教学目标： 1.会用勾股定理解决简单问题。 2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。 教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理 教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。 教学过程： 一、出示目标 1.会用勾股定理解决简单问题。 2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。 二、知识结构图 三、知识点回顾 1.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 （4）勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形： 22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．
勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理． 2.如何判定一个三角形是直角三角形 （1） 先确定最大边（如c ） （2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系 （3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若 2c ≠22b a +， 则△ABC 不是直角三角形。 3、三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若2 22c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2 <+c b a 22，则三 角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边 4、勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 四、典型例题分析 例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少? 分析： 这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是_________还是_______，因此要分两种情况讨论． 例2： 如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ，高为15cm ，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?
八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理教案(新版)新人教版
勾股定理（1） 知识与技能：掌握勾股定理和他的简单的应用，理解定理的一般探究方法。 过程与方法：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数与形结合的数学思 想。 情感态度与价值观：在数学活动中发现探索意识和合作交流的良好学习习惯。 教学重点：经历探索和验证勾股定理的过程，会利用两边求直角三角形的另一边的长。 教学难点：拼图法验证勾股定理，会利用两边求直角形另一边的长。 教具准备：方格纸、4个全等的三角形，小黑板等。 教与学互动设计： 一、创设情境导入新课 引导学生观察课本第64页的地面图形，说说你发现了什么？ 提问：①图中有些什么形状？ ②三个正方形之间有什么关系？ ③通过②的结论你能有什么猜想？说说看。 二、实验操作探求新知 1.数格子 （1）要求学生在准备好的方格纸中作一个任意的等腰直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 （2）要求学生在方格纸中作一个任意的直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 （3）要求学生在方格纸中作一个任意的非直角三角形，分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 讨论、得出结论：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.证明猜想。 要求用四个全等到的直角三角形拼成一个以斜边为边长的正方形，推理得出 a2+b2=c2
10c 20cm 3.得出结论 定理：经过证明被确认的命题叫做定理。 勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 三、应用迁移 例1.求下图中的字母A ，B 所代表的正方形的面积。 例2.一个文具盒的尺如 图，一根长30cm 的细 木棒能否放进这个文具 盒，为什么？ 练习：填空 （1）在Rt ?ABC 中，∠C=90°，a=5,b=12,则c = (2) 在Rt ?ABC 中，∠B=90°，a=3,b=4, 则c = (3) 在等腰Rt ?ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AC ：BC ：AB= （4）在Rt ?ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC ：AC ：AB= 探究2.
勾股定理教材分析教案
本章教学时间约需8课时，具体安排如下： 18．1 勾股定理 4 课时 18．2 勾股定理的逆定理 3课时 数学活动 小结 1课时 一、教科书内容和课程学习目标 本章知识结构框图： 直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。 勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。 在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。 勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。在教科书中，图－3（1）中的图形经过割补拼接后得到图－3（3）中的图形。由此就证明了勾股定理。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。 由勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。由勾股定理可得或，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用勾股定理解决问题。 在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形。从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。 勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法。这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来。实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。从这个意义上讲，勾股定理的逆定理的学习，对开阔学生眼界，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义。 几何中有许多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念。学生已见过一些互逆命题（定理），例如：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命题。勾股定理与勾股定理的逆定理
第十七章《勾股定理》教材分析及教学建议
第十七章《勾股定理》教材分析及教学建议 本章主要内容是勾股定理及其逆定理。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。 本章教学时间约需8课时，具体安排如下： 18．1 勾股定理 4 课时 18．2 勾股定理的逆定理 3课时 数学活动 小结 1课时一、教科书内容和课程学习目标 本章知识结构框图： 直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。
勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。 在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。 勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。在教科书中，图－3（1）中的图形经过割补拼接后得到图－3（3）中的图形。由此就证明了勾股定理。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。 由勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。由勾股定理可得或，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用勾股定理解决问题。 在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形。从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。 勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法。这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来。实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。从
集体备课稿三角恒等变换
三角恒等变换 【1】（A ，新课标I ，理2）sin 20cos10-cos160sin10= A.2- B.2 C.12- D.12 【2】（A ，重庆，文6）若1 1 tan ,tan() 3 2 ,则tan = A.17 B.16 C.57 D.56 【3】（C ，重庆，理9）若5 tan 2tan πα=则 =-- ) 5 sin() 103cos(παπα A.1 B.2 C.3 D.4 【4】（A ，四川，理12） 75sin 15sin +的值是___. 【5】（B ，四川，文13）已知0cos 2sin =+αα，则ααα2cos cos sin 2-的值是 . 【6】（B ，江苏，文理8）已知2tan -=α，7 1 tan =+）（βα，则βtan 的值为 . 【7】（A ，广东，文16）已知tan 2α=． (1)求tan()4 π α+的值； (2)求 2sin 2sin sin cos cos 21 α αααα+--的值．
解三角形 【1】（A ，广东，文5）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ．若2a = ，c = cos A = b c <，则b = A.3 B. C.2 【2】（A ，湖 北，文15理13）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得 公路北侧一山顶D 在西偏北 30 的方向上， 行驶600m 后到达B 处，测 得此山顶在西 偏北75的方向上，仰角为 30 ，则此山的高度CD = m. 【3】（A ，广东，理11）．设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ，c ，若a = 1 sin 2 B =，6 C π =，则b = . 【4】（A ，福建，理12）若锐角ABC ? 的面积为，且5,8AB AC ==，则BC 等于 . 【5】（B ，北京，文11）在ABC △中，3=a ， 6=b ，3 π 2= ∠A ，则=∠B . 【6】（B ，北京，理12）在ABC ?中，6,5,4===c b a 则=C A sin 2sin . 【7】（ B ，天津，理13）在△AB C 中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知△ABC 的面积为153,2=-c b ,4 1cos -=A ,则a 的值为 . 【8】（B ，重庆，文13）设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且2a =,1 cos 4 C =-，3sin A A B 第2题图
人教版第17章《勾股定理》单元测试(含答案)
第十七章 勾股定理单元测试 （题数： 20 道 测试时间： 45 分钟 总分： 100 分） 班级： _______ 姓名： ________ 得分： ________ 、单选题（每小题 3分，共 24 分） 1．在△ ABC 中， AB= 2 ，BC= 5，AC= 3，则（ ） A. ∠ A=90 B. ∠ B=90 C. ∠ C=90 D. ∠ A=∠B 5．如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为 13cm ，则图中所有的正方形的面积之和为（ ） A. 169 cm 2 B. 196 cm 2 C. 338cm 2 D. 507 cm 2 6．如图，一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 A 点沿纸箱表面爬到 B 点，那么它所爬行的 最短路线的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 2 7 ．在直角三角形中，有两边分别为 3 和 4 ，则第三边是（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 5 或 7 8．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S 1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以 该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S 2， ? ，按照此规律继续 下去，则 S 9 的值为（ ） 2．如图，在 Rt △ABC 中，∠ B ＝ 90°， BC ＝15， AC ＝17，以 AB 为直径作半圆，则此半圆的 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．已知 VABC 中， A 1 B 1 C ，则它的三条边之比为（ 23 A. 1:1: 2 C. 1: 2: 3 D. 1:4:1
新人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理教案
八年级下册数学第十七章勾股定理集体备课（教案） 17．1 勾股定理（一） 一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、教学重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗 命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ， 那么 。 四、合作探究： 方法1：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 A B
第十七章-勾股定理第一节《勾股定理(3)》教学设计
17.1 勾股定理（3） 一、教学目标 知识与技能 1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点． 2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，?并能用勾股定理解决简单的实际问题． 过程与方法 1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，?发展学生灵活勾股定理解决问题的能力． 2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，?发展学生的动手操作能力和创新精神． 3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，?并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识． 情感、态度与价值观 1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，?体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中，?形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯． 二、教学重、难点 重点：……这样的表示无理数的点． 难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段． 三、教学准备 多媒体课件 四、教学方法 分组讨论，讲练结合 五、教学过程 (一)复习回顾，引入新课 复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。
思考：在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 先画出图形，再写出已知、求证. 探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在 设计意图： 上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们 ……这样的无理 ……可以当直角三 用． 师生行为： 学生小组交流讨论 ……这样的包含在直角三角形中的线段． 此活动，教师应重点关注： ②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志； ③学生能否积极主动地交流合作． 师：所以只需画出长 1的直角三角形的斜边． 生：设两直角边为a，b，根据勾股定理a2+b2=c2即a2+b2=13．若
最新人教版八年级数学第17章勾股定理教案
第十七章勾股定理教案 课题：17.1勾股定理（1） 课型：新授课 【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股 定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 【学习重点】：勾股定理的内容及证明。 【学习难点】：勾股定理的证明。 【学习过程】 一、课前预习 1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （2 ）若D 为斜边中点，则斜边中线 （3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、（1）、同学们画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用 刻度尺量出AB 的长。 （2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长 问题：你是否发现2 3+2 4与25，2 5+2 12和213的关系，即2 3+2 4 25，2 5+2 12 2 13， 二、自主学习 思考： （图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？ （3）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗？ （4）你能发现课本图1－3中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗？ （5）如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。 由此我们可以得出什么结论？可猜想： 命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么__________________ _____________________________________________________________________。 A B
《勾股定理教材分析》
《勾股定理》教材分析 一、课标要求： 1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题； 2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 3、通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。 二、中考要求： 1、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。 2、会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形。 3、了解定义、命题、定理含义；了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立。 三、 本章结构图： 互逆定理 四、 本章的地位和作用 五、本章课时安排： 本章教学时间约需要7课时，具体安排如下： 18.1 勾股定理 3课时 18.2 勾股定理的逆定理 2课时 18.3 小结 2课时
六、本章重要的数学思想和方法 1. 在定理、逆定理探究过程中所体现出来的由特殊到一般的思想 2.数形结合思想：面积法证明数学问题及由数到形、由形到数 3、整体的方法. 4.分类讨论思想 5.方程思想贯穿始终 6.转化思想：化斜为直，化空间为平面，化曲为直 七、教学内容设计 八、数学思想的贯穿 2、数形结合思想 例1、我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形。如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边分别为a,b. 那么（ a+b)2的值为_____ 例2 如图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，他们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1=2km,BB1=4km,A1B1=8km。现要在高速公路上
第十七章 勾股定理 小结 教案
勾股定理复习小结 一、 二. 1、 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形 （1） 先确定最大边（如c ） （2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系 （3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、 勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 二、 练习题 1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ ） A. 第三边一定为10 B.三角形的周长为24 C.三角形的面积为24 D.第三边有可能为10 2．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 3．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2, c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6, b=8, c=10 D 、a=3,b=4,c=5 3．三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 4、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是( ) A ．4 B ．310 C.25 D ．5 12 5．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2
最新北师大版初中数学八年级上册《勾股定理》教材分析优秀名师资料
北师大版初中数学八年级上册《勾股定理》教材分析核准通过，归档资料。 未经允许，请勿外传～心浪微博:朴恩俊丶熊猫 核准通过，归档资料。 未经允许，请勿外传～ 核准通过，归档资料。 未经允许，请勿外传～ 北师大版初中数学八年级上册《勾股定理》教材分析 本章主要研究勾股定理与其逆定理，包括它们的发现、证明和应用。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜 边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。 全章分为两节: 18。1勾股定理。本节教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起，让学生通过观察计算一些以直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理，这时教科书以命题1的形式呈现了勾股定理。关于勾股定理的证明方法有很多，教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理，并明确命题1就是勾股定理。之后，通过三个探究栏目，研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题(画出长度是无理数的线段等)中的应用，使学生对勾股定理的作用有一定的认识。
18。2勾股定理的逆定理。本节研究勾股定理的逆定理，教科书从古埃及人画 直角的方法说起，给出如果一个三角形的三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是 直角三角形的结论，然后让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，探索这些三角形的形状，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而猜想如果三角形的三边满足这种关系，那么这个三角形是直角三角形，这样就探索得出了勾股定理的逆定理。此时这个逆定理是以命题2的方式给出的，教科书通过对照命题1和命题2的题设、结论，给出了原命题和逆命题 的概念。命题2是否正确，需要证明，教科书利用全等三角形证明了命题2， 得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这在数学和实际中有着广泛应用，教科书通过两个例题，让学生学会运用这种方法解决问题。 课标对本章的要求(本章学习目标): 1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题; 2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形; 3、通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原 命题成立其逆命题不一定成立。 直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30?的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质，它是几何中几个最重要的定理之一，揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。
勾股定理集体备课
红崖子沟乡中心学校集体备课记录
前置性学习 1、设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜 边长为c （1）、已知a=6,c=10,求b; （2）、已知a=5,c=12,求b; （3）、已知c=25,b=15,求a; 2、在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，c=5，求b? 3、在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，求 AC长？ 小组长检查小组同学前 置性作业完成情况，向老师汇 报，并给小组评分。 1.（1）8 (2)13;(3)20 2.b=4 小组合作学习二、探索新知 一个门框的尺寸如图所示：回答下列问题 1、若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问 怎样从门框通过？ 2、若薄木板长3米，宽2.2米，能通过门框 吗？ 小组讨论：（1）木板横着能过吗？为什 么？竖着能过吗？为什么？若不能，你 会选择怎样做？ （2）门框内能通过的最大长度是那条线 段，你能计算它的长度吗？ （3）根据你的计算出的结果，判断木门 能否从门框内通过？ ∵木板的宽 2.2 米大于1米 ∴横着不能从门 框通过 ∵木板的宽 2.2 米大于2米 ∴竖着也不能从 门框通过 汇报交流例：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从 顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的 最短距离是 小组讨论：（1）A、B两点之间最短 （2）你能找到这条线段吗？怎样找？ （3）怎样求这条线段的长度？ 先独立思考并完成，然后在小 组内讨论交流解决，并在小组间展 示、交流。 长方体侧面展 开图是矩形，所 以A、B两点间 的距离即为直 角三角形对角 线的长
巩固拓展 2.一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上. ⑴若梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,则 梯子的顶端A与它的底端B哪个距墙角C 远? ⑵在⑴中如果梯子的顶端下滑1m,那么 它的底端是否也滑动1m? ⑶有人说,在滑动 过程中,梯子的底端滑动的距离总比顶端下 滑的距离大,你赞同吗 通过典型习题的训练，熟练掌 握勾股定理并学会运用勾股定理解 决实际问题 （1）利用勾股 定理可以得出 BC=6； （2）梯子顶端 下滑1m，即 AC=7,而AB=10 所以 2 2 2 2 7 10- = - =AC AB BC 作业布置1.课后作业： 课本28页习题17.1的第5、8、 11题。 2.前置作业： （1）. 直角三角形有哪些性质? 通过作业 中几个小练习， 让学生更好的 理解勾股定理， 并能运用勾股 定理解决实际 问题 （2）.一个三角形，满足 什么条件是直角三角形？ （3）我们是否可以不用 角,而用三角形三边的关系来 判断是否为直角三角形呢? 通过写作 业加深对勾股 定理的认识，利 用勾股定理解 决实际问题 板书预设 17.1勾股定理（2） 勾股定理：如果直角三角形两直角边 长分别为a,b,斜边为c，那么a2+b2=c 2 例题 练习
第十七章勾股定理数学活动课教学设计比赛
第十七章《勾股定理》数学活动教学设计 【教材】人教版数学八年级下册 【课时安排】1课时 【教学对象】育才学校八（2）班学生 【教材分析】本节课是人教版义务教育课程标准试验教科书《数学》八年级下册第十七章《勾股定理》中的数学活动，即通过“爽弦图”来进一步对勾股定理的证明。教学时数为1课时。勾股定理是直角三角形的重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典。是初中数学教学容重点之一。勾股定理可以解决许多直角三角形中的计算问题，是直角三角形特有的性质，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值． 【学情分析】学生在以前学习和掌握了一般三角形的基本性质，现在将进一步学习一种特殊三角形-直角三角形的三边关系“勾股定理”。以与勾股定理有关的历史知识为背景展开对直角三角形三边关系的讨论，能激发学生的学习兴趣。【教学目标】 知识技能：1、理解并掌握勾股定理的容及其证明方法，能运用勾股定理解决实际问题。 2、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理探索过程。 数学思考：在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想．问题解决：1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维． 2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究
过程。 情感态度：1、通过对勾股定理历史的了解，增强学生爱国情操，激发学生学习兴趣。 2、在探究活动中，培养学生的合作交流意识和积极探索精神 【教学重点】1．掌握勾股定理的容。 2、理解勾股定理的证明 3、运用勾股定理解决具体问题。 【教学难点、关键】利用“拼图”、“数形结合”的方法验证勾股定理. 【教学方法】观察法、小组讨论法、引导练习法、启发式教学及探究式教学法。【教学手段】三角尺、拼图、多媒体投影、课件 【教学过程设计】 一、教学流程设计
第十七章_人教版勾股定理教案
第十七章勾股定理 （一）教材所处的地位 教材分析：本章是人教版《数学》八年级下册第17章，本章的主要内容是勾股定理及勾股定理的应用，教材从实践探索入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形的勾股定理，介绍勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），最后介绍勾股定理及勾股定理逆定理的广泛应用。 勾股定理是直角三角形的一个很重要的性质，反映了直角三角形三边之间的数量关系。在理论和实践上都有广泛的应用。勾股定理逆定理是判定一个三角形是不是直角三角形的一种古老而实用的方法。在“四边形”和“解直角三角形”相关章节中，勾股定理知识将得到更重要的应用。 （二)单元教学目标（包括情感目标） 知识与技能目标： 1、经历由情境引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养 学数学、用数学的意识与能力。 2、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，会运用勾股定理解决相关问题。 3、掌握勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），会运用勾股定理逆定理解决相关问题。 4、运用勾股定理及其逆宣解决简单的实际问题。 情感与态度目标： 5、感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国 悠久文化的思想感情。 （三）单元教学重难点 教学重点： 1、探索勾股定理并掌握勾股定理； 2、直角三角形的判定方法（勾股定理的逆定理）； 3、勾股定理及其逆定理的应用； 教学难点： 1、从多个角度（代数、几何）探究勾股定理； 2、勾股定理逆定理的应用；
3、在勾股定理的应用过程中构造适用勾股定理的几何模型。 （四）单元教学策略 1、学时安排 全章教学时间为9课时，建议分配如下： §17.1 勾股定理--------------------3课时 §14.2 勾股定理的逆定理--------------3课时 复习-------------------------------2课时 2、教学步骤： ①整个章节的教学可分四步：探索结论——验证结论——初步应用结论——应用 结论解决实际问题。 ②在探索结论阶段，应调动学生的积极性，让学生充分参与。 ③初步应用结论阶段的重点是让学生明确：在直角三角形中，知道两边，可以求 第三边。 ④应用结论解决实际问题分两类：探索性问题和应用性问题。 3、实施建议 ①注重使学生经历探索勾股定理等过程； 本章从实践探索入手，创设学习情境，研究直角三角形的勾股定理及它的逆定理，并运用于解决一些简单的数学问题与实际问题。在整个学习过程中应注意培养学生的自主探索精神，提高合作交流能力和解决实际问题的能力。 ②注重创设丰富的现实情境，体现勾股定理及其逆定理的广泛应用； 本章从勾股定理的探索就来源于生活，而本章勾股定理的应用又直接应用于生活。因此，在探索、验证、应用等各阶段都应更多地设置与生活密切联系的现实情境，使学生能根据生活经验和情境类比较好地进行勾股定理应用的建模过程。教学时可更多地利用多媒体辅助教学手段以丰富课堂教学。 ③尽可能地介绍有关勾股定理的历史，体现其文化价值； 与勾股定理有关的背景知识丰富，在教学中，应注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理的丰富文化内涵，激发学生的学习兴趣。
初中数学八年级上册《勾股定理》教材分析
北师大版初中数学八年级上册《勾股定理》教材分析 本章主要研究勾股定理与其逆定理，包括它们的发现、证明和应用。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。 全章分为两节： 18。1勾股定理。本节教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起，让学生通过观察计算一些以直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理，这时教科书以命题1的形式呈现了勾股定理。关于勾股定理的证明方法有很多，教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理，并明确命题1就是勾股定理。之后，通过三个探究栏目，研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题（画出长度是无理数的线段等）中的应用，使学生对勾股定理的作用有一定的认识。 18。2勾股定理的逆定理。本节研究勾股定理的逆定理，教科书从古埃及人画直角的方法说起，给出如果一个三角形的三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形的结论，然后让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，探索这些三角形的形状，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而猜想如果三角形的三边满足这种关系，那么这个三角形是直角三角形，这样就探索得出了勾股定理的逆定理。此时这个逆定理是以命题2的方式给出的，教科书通过对照命题1和命题2的题设、结论，给出了原命题和逆命题的概念。命题2是否正确，需要证明，教科书利用全等三角形证明了命题2，得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这在数学和实际中有着广泛应用，教科书通过两个例题，让学生学会运用这种方法解决问题。 课标对本章的要求（本章学习目标）：
人教版八年级数学第17章勾股定理教案
第十七章勾股定理教案 课题：勾股定理（1） 课型：新授课 【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股 定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 【学习重点】：勾股定理的内容及证明。 【学习难点】：勾股定理的证明。 【学习过程】 一、课前预习 @ 1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （2）若D 为斜边中点，则斜边中线 （3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、（1）、同学们画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用 刻度尺量出AB 的长。 （2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长 问题：你是否发现2 3+24与2 5，2 5+212和2 13的关系，即2 3+24 2 5，2 5+2 12 2 13， 二、自主学习 # 思考： ： （图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗图1－2中的呢 （3）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗 （4）你能发现课本图1－3中三个正方形A ，B ，C 围成的直角三角形三边的关系吗 ！ （5）如果直角三角形的两直角边分别为个单位长度和个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗说明你的理由。 A B D （1）观察图1－1。 A 的面积是__________个单位面积； B 的面积是__________个单位面积； C 的面积是__________个单位面积。