中考复习专题二次函数经典分类讲解复习以及练习题_(_含答案)【精编】

? 1、二次函数的定义

? 2、二次函数的图像及性质 ? 3、求解析式的三种方法

? 4、a ，b ，c 及相关符号的确定 ? 5、抛物线的平移

? 6、二次函数与一元二次方程的关系 ? 7、二次函数的应用题 ? 8、二次函数的综合运用 1、二次函数的定义

定义： y=ax 2 ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式

练习：1、y=-x 2，y=2x 2-2/x ，y=100-5 x 2，y=3 x 2-2x 3+5,其中是二次函数的有____个。

2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？

2、二次函数的图像及性质

例2：已知二次函数

抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值

y=ax2+bx+c(a>0)

y=ax 2+bx+c (a<0)

由a,b 和c 的符号确定

由a,b 和c 的符号确定 a>0,开口向上

a<0,开口向下

在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着x 的增大而增大.

在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大. 在

对称轴的右侧, y 随着x 的增大而减小.

???? ??--a b ac a b 44,22???

? ??--a b ac a b 44,22a

b

x 2-

=直线a

b

x 2-

=直线a

b a

c y a b x 44,22

--=最小值为

时当a

b a

c y a b x 44,22

--=最大值为

时当x

y

x

y

m

m -22

3

212-+=

x x y

（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。

（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。

（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？

（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？

3、求抛物线解析式的三种方法

1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________

y=ax2+bx+c(a≠0)

2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.

y=a(x-h)2+k(a≠0)

3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)

练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。

(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；

(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1) ；

(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。

例1已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。

解：∵二次函数的最大值是2

∴抛物线的顶点纵坐标为2

又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上

∴当y=2时，x=1

∴顶点坐标为（ 1 ， 2）

∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2

又∵图象经过点（3，-6）

∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2

∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2

即： y=-2x2+4x

4、a，b，c符号的确定

抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：

（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定

（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.

（3）b的符号：由对称轴的位置确定

（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定

（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。当x=1时，y>0,则a+b+c>0

当x=1时，y<0，则a+b+c<0

当x=1时，y=0，则a+b+c=0

(6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。当x=-1，y>0,则a-b+c>0

当x=-1，y<0,则a-b+c<0

当x=-1，y=0,则a-b+c=0

练习

１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（）

A、a<0,b>0,c>0

B、a<0,b>0,c<0

C、a<0,b<0,c>0

D、a<0,b<0,c<0

2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（）

A、a>0,b>0,c=0

B、a<0,b>0,c=0

C、a<0,b<0,c<0

D、a>0,b<0,c=0

3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c 、△的符号为（）

A、a>0,b=0,c>0,△>0

B、a<0,b>0,c<0,△=0

C、a>0,b=0,c<0,△>0

D、a<0,b=0,c<0,△<0

熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异)

4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和二、三、四象限，

判断a、b、c的符号情况：a 0,b 0,c 0.

5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限，

则a、b、c满足的条件是：a 0,b 0,c 0.

6.二次函数y=ax2+bx+c 中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数 图象的顶点必在第 象限

先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想）

7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a

其中正确的结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x 轴、y 轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。

5、抛物线的平移

左加右减，上加下减 练习

⑴二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。 ⑵二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。

引申：

y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2

（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.

y=x2-5x+6

6二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程根的情况与b 2-4ac 的关系

我们知道:代数式b2-4ac 对于方程的根起着关键的作用.

二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象和x 轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的解。

二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况: (1)有两个交点b2 – 4ac > 0 (2)有一个交点b2 – 4ac= 0

4

1)2

5(2

--=x y=x

2 41)25(2--=x y ()有两个不相等的实数根方程时当00,0422≠=++>-a c bx ax ac b .2422,1a ac

b b x -±-=∴():00,0422有两个相等的实数根方程时当≠=++=-a

c bx ax ac b .22,1a b x -=∴()没有实数根方程时当00,0422

≠=++<-a c bx ax ac b

(3)没有交点 b2 – 4ac< 0

若抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴有交点,则b2 – 4ac ≥0

例(1)如果关于x 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m 与x 轴有＿＿＿＿个交点.

(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c 的顶点在 x 轴上,则c=＿＿＿＿.

(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x 轴的交点坐标是＿＿＿＿. 判别式： b2-4ac

二次函数 y=ax2+bx+c （a ≠0）

图象

一元二次方程ax2+bx+c=0 （a ≠0）的根 b2-4ac ＞0

与x 轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）

有两个不同的解x=x1，x=x2

b2-4ac=0

与x 轴有唯一个 交点

有两个相等的解

x1=x2=

b2-4ac ＜0

与x 轴没有 交点

没有实数根

7二次函数的综合运用

1.已知抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x 轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.

解:Θ抛物线y=ax2+bx+c 与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 ∴ a=1或-1

又Θ顶点在直线x=1上,且顶点到x 轴的距离为5, ∴ 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为:

(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.

2.若a+b+c=0,a ≠0,把抛物线y=ax2+bx+c 向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.

)

0,2(a

b -x

y

O

x y

O

x

y O a

b

2-

分析:

(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)

(2) 新抛物线向右平移5个单位,

再向上平移4个单位即得原抛物线

练习题

1．直线y ＝3 x －1与y ＝x －k 的交点在第四象限，则k 的范围是………………（ ）

（A ）k ＜

31 （B ）3

1

＜k ＜1 （C ）k ＞1 （D ）k ＞1或k ＜1 【提示】由???-=-=k x y x y 13，解得???

????-=-=.

2312

1k y k x 因点在第四象限，故21k -＞0，

231k -＜0．

∴ 3

1

＜k ＜1．

【答案】B ．

【点评】本题应用了两函数图象交点坐标的求法，结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特征等．

2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是…………（ ）

（1）abc ＜0； （2）a ＋b ＋c ＜0； （3）a ＋c ＞b ； （4）a ＜－

2

b ．

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【提示】由图象知a ＜0，－

a

b

2＞0，故b ＞0，而c ＞0，则abc ＜0．当x ＝1时，y ＞0，即a ＋c －b ＞0；当x ＝－1时，y ＜0，即a ＋c －b ＜0． 【答案】B ．

【点评】本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系．因a ＜0，把（4）a ＜－

2

b

两边同除以a ，得1＞－a b 2，即－a b 2＜1，所以（4）是正确的；也可以根据对称轴在x ＝1的左侧，判断出－

a

b

2＜1，两边同时乘a ，得a ＜－2

b

，知（4）是正确的．

3．若一元二次方程x 2－2 x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝（m ＋1）x ＋m －1的图象不经

过…………………………………………………………………………………（ ）

（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限

【提示】由? ＝4＋4 m ＜0，得m ＋1＜0，则m －1＜0，直线过第二、三、四象限． 【答案】A ．

【点评】本题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质．注意，题中问的是一次函数图象不经过的象限．

4．如图，已知A ，B 是反比例函数y ＝

x

2

的图象上两点，设矩形APOQ 与矩形MONB 的面积为S 1，S 2，则………………………………………………………………（ ）

（A ）S 1＝S 2 （B ）S 1＞S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）上述（A ）、（B ）、（C ）都可能 【提示】因为S APOQ ＝|k |＝2，S MONB ＝2，故S 1＝S 2． 【答案】A ．

【点评】本题可以推广为：从双曲线上任意一点向两坐标轴引垂线，由这点及两个垂足和原点构成的矩形的面积都等于|k |．

5．若点A （1，y 1），B （2，y 2），C （π，y 3）在反比例函数y ＝－x

k 1

2＋的图象上，则（ ）

（A ）y 1＝y 2＝y 3 （B ）y 1＜y 2＜y 3 （C ）y 1＞y 2＞y 3 （D ）y 1＞y 3＞y 2

【提示】因－（k 2＋1）＜0，且－（k 2＋1）＝y 1＝2 y 2＝π y 3，故y 1＜y 2＜y 3．或用图象法求解，因－（k 2＋1）＜0，且x 都大于0，取第四象限的一个分支，找到在y 轴负半轴上y 1，y 2，y 3 的相应位置即可判定． 【答案】B ．

【点评】本题是反比例函数图象的性质的应用，图象法是最常用的方法．在分析时应注意本题中的－（k 2＋1）＜0．

6．直线y ＝ax ＋c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系内大致的图象是……（ ）

（A ） （B ） （C ） （D ）

【提示】两个解析式的常数项都为c ，表明图象交于y 轴上的同一点，排除（A ），（B ）．再从a 的大小去判断． 【答案】D ．

【点评】本题综合运用了一次函数、二次函数的性质．（B ）错误的原因是由抛物线开口向上，知a ＞0，此时直线必过第一、三象限．

7．已知函数y ＝x 2－1840 x ＋1997与x 轴的交点是（m ，0）（n ，0），则（m 2－1841 m ＋1997）（n 2－

1841 n ＋1997）的值是……………………………………………（ ） （A ）1997 （B ）1840 （C ）1984 （D ）1897 【提示】抛物线与x 轴交于（m ，0）（n ，0），则m ，n 是一元二次方程x 2－1840 x ＋1997＝0的两个根．所以m 2－1840 m ＋1997＝0，n 2－1840 n ＋1997＝0，mn ＝1997． 原式＝［（m 2－1840 m ＋1997）－m ］［（n 2－1840 n ＋1997）－n ］＝mn ＝1997． 【答案】A ．

【点评】本题揭示了二次函数与一元二次方程间的联系，应用了方程的根的定义、根与系数的关系等知识点，并要灵活地把所求代数式进行适当的变形．

8．某乡的粮食总产量为a （a 为常数）吨，设这个乡平均每人占有粮食为y （吨），人口数为x ，则y

与x 之间的函数关系为……………………………………………（ ）

（A ） （B ） （C ） （D ）

【提示】粮食总产量一定，则人均占有粮食与人口数成反比，即y ＝

x

a

．又因为人口数不为负数，故图象只能是第一象限内的一个分支． 【答案】D ．

【点评】本题考查反比例函数图象在实际问题中的应用．（A ）错在画出了x ＜0时的图象，而本题中x 不可能小于0．

（二）填空题（每小题4分，共32分）

9．函数y ＝

12-x ＋

1

1

-x 的自变量x 的取值范围是____________． 【提示】由2 x －1≥0，得x ≥2

1

；又x －1≠0，x ≠1．综合可确定x 的取值范围．

【答案】x ≥2

1

，且x ≠1．

10．若点P （a －b ，a ）位于第二象限，那么点Q （a ＋3，ab ）位于第_______象限． 【提示】由题意得a ＞0，a －b ＜0，则b ＞0．故a ＋3＞0，ab ＞0． 【答案】一．

11．正比例函数y ＝k （k ＋1）1

2--k k x 的图象过第________象限．

【提示】由题意得k 2

－k －1＝1，解得k 1＝2，k 2＝－1（舍去），则函数为y ＝6 x ． 【答案】一、三．

【点评】注意求出的k ＝－1使比例系数为0，应舍去．

12．已知函数y ＝x 2－（2m ＋4）x ＋m 2－10与x 轴的两个交点间的距离为22，则m ＝___________．

【提示】抛物线与x 轴两交点间距离可应用公式

|

|a ?

来求．本题有

?

＝

)10(4)42(22--+m m ＝5616+m ＝2

2，

故m ＝－3． 【答案】－3．

【点评】抛物线与x 轴两交点间距离的公式为

|

|a ?，它有着广泛的应用．

13．反比例函数y ＝

x

k

的图象过点P （m ，n ），其中m ，n 是一元二次方程x 2＋kx ＋4＝0的两个根，那么P 点坐标是_____________．

【提示】P （m ，n ）在双曲线上，则k ＝xy ＝mn ，又mn ＝4，故k ＝4． 【答案】（－2，－2）．

【点评】本题是反比例函数、一元二次方程知识的综合应用．由题意得出k ＝mn ＝4是关键．

14．若一次函数y ＝kx ＋b 的自变量x 的取值范围是－2≤x ≤6，相应函数值y 的范围是－11≤y ≤9，

则函数解析式是___________．

【提示】当k ＞0时，有???+=+-=-b k b k 69211，解得?????

-==

.

625b k

当k ＜0时，有???+-=+=-b k b k 29611，解得???

??=-=.

425b k

【答案】y ＝25x －6或y ＝－2

5

x ＋4．

【点评】因k 是待定字母，而k 的不同取值，导致线段分布象限不一样，自变量的取值与函数取值

的对应关系也就不同．故本例要分k ＞0时自变量最大值对应函数最大值，与k ＜0时自变量最大值对应函数最小值两种情形讨论．

15．公民的月收入超过800元时，超过部分须依法缴纳个人收入调节税，当超过部分不足500元时，

税率（即所纳税款占超过部分的百分数）相同．某人本月收入1260元，纳税23元，由此可得所纳税款y （元）与此人月收入x （元）(800＜x ＜1300)间的函数关系为____________． 【提示】因1260－800＝460，

460

23

＝5%，故在800＜x ＜1300时的税率为5%． 【答案】y ＝5%（x －800）． 【点评】本题是与实际问题相关的函数关系式，解题时应注意并不是每个人月收入的全部都必须纳税，而是超过800元的部分才纳税，故列函数式时月收入x 须减去800．

16．某种火箭的飞机高度h （米）与发射后飞行的时间t （秒）之间的函数关系式是h ＝－10 t 2

＋20 t ，经过_________秒，火箭发射后又回到地面．

【提示】火箭返回地面，即指飞行高度为0，则－10 t 2＋20 t ＝0，故t ＝0或t ＝20． 【答案】20．

【点评】注意：t ＝0应舍去的原因是此时火箭虽在地面，但未发射，而不是返回地面． （三）解答题

17．（6分）已知y ＝y 1＋y 2，y 1 与x 成正比例，y 2 与x 成反比例，并且x ＝1时y ＝4，x ＝2时y ＝5，

求当x ＝4时y 的值．

【解】设y 1＝k 1x ，y 2＝

x

k 2，则y ＝k 1x ＋

x

k 2．

把x ＝1时y ＝4，x ＝2时y ＝5分别代入上式，得

??

???+=+=22542121k k k k ，

解得

???==.22

21k k ∴ 函数解析式为y ＝2 x ＋x 2

．

当x ＝4时，y ＝2×4＋42＝217

．

∴ 所求的y 值为2

17

．

【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式．关键在于正确设出y 1，y 2 与x 的函数解析式．注意两个比例系数应分别用k 1，k 2 表示出来，而不能仅用一个k 值表示． 18．（6分）若函数y ＝kx 2＋2（k ＋1）x ＋k －1与x 轴只有一个交点，求k 的值． 【提示】本题要分k ＝0，k ≠0两种情况讨论．

【解】当k ＝0时，y ＝2 x －1，是一次函数，此时，直线与x 轴必有一个交点．

当k ≠0时，函数为二次函数，

此时，? ＝4（k ＋1）2－4 k （k －1）

＝12 k ＋4＝0．

∴ k ＝－

3

1．

∴ 所求的k 值为0或－

3

1

． 【点评】注意，当问题中未指明函数形式，而最高次项系数含字母时，要注意这个系数是否为0．函数图象与x 轴有一个交点包括两种情形：当函数是一次函数时，直线与x 轴必只有一个交点；当函数是二次函数时，在? ＝0的条件下，图象与x 轴只有一个交点． 19．（8分）已知正比例函数y ＝4 x ，反比例函数y ＝

x

k

．（1）当k 为何值时，这两个函数的图象有两个交点？k 为何值时，这两个函数的图象没有交点？（2）这两个函数的图象能否只有一个交点？若有，求出这个交点坐标；若没有，请说明理由． 【解】由y ＝4 x 和y ＝

x

k

，得 4 x 2－k ＝0，? ＝16 k ．

（1）当? ＞0，即k ＞0时，两函数图象有两个交点；

当? ＜0，即k ＜0时，两函数图象没有交点；

（2）∵ 比例系数k ≠0，故? ≠0．

∴ 两函数图象不可能只有一个交点．

20．（8分）如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的一个示意图，横断面的地平线

为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的D ′GD 部分为一段抛物线，顶点G 的高度为8米，AD 和AD ′是两侧高为5.5米的立柱，OA 和OA ′为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和CD ′为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4．（1）求桥拱DGD ′所在抛物线的解析式及CC ′的长．（2）BE 和B ′E ′为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ′B ′为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ′B ′的宽．（3）按规定，汽车通过桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不可小于0.4米，今有一大型运货汽车，装载上大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离为7米，它能否从OA （OA ′）安全通过？请说明理由．

【分析】欲求函数的解析式，关键是求出三个独立的点的坐标，然后由待定系数法求之．所以关键是由题中线段的长度计算出D 、G 、D ′的坐标，当然也可由对称轴x ＝0解之．

至于求CC ′、AB 、A ′B ′的数值，则关键是由坡度的定义求解之；到底能否安全通过，则只需在抛物线的解析式中令x ＝4，求出相应的y 值，即可作出明确的判断． 【解】（1）由题意和抛物线的对称轴是x ＝0，可设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c ．

由题意得G （0，8），D （15，5.5）

∴

?

?

?=+=.5.52258

c a c ∴ ?????

=-=.

8901c a

∴ y ＝2

901x -＋8．

又 AC AD ＝4

1且AD ＝5.5，

∴ AC ＝5.5×4＝22（米）．

∴ CC ′＝2C ＝2×（OA ＋AC ）＝2×（15＋22）＝74（米）． ∴ CC ′的长是74米． （2）∵

BC EB ＝4

1

，BE ＝4， ∴ BC ＝16．

∴ AB ＝AC －BC ＝22－16＝6（米）．

A ′

B ′＝AB ＝6（米）．

（3）此大型货车可以从OA （OA ′）区域安全通过．

在y ＝2901x -

＋8中，当x ＝4时，y ＝－901×16＋8＝45

377，而 45

377－（7＋0.4）＝4519

＞0， ∴ 可以从OA 区域安全通过．

21．（8分）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象抛物线G 经过（－5，0），（0，

2

5

），（1，6）三点，直线l 的解析式为y ＝2 x －3．（1）求抛物线G 的函数解析式；（2）求证抛物线G 与直线l 无

公共点；（3）若与l 平行的直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点P ，求P 点的坐标． 【分析】（1）略；（2）要证抛物线G 与直线l 无公共点，就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解；（3）直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点，就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解，求出这组解，就得P 点的坐标． 【解】（1）∵ 抛物线G 通过（－5，0），（0，

2

5

），（1，6）三点， ∴

????

???++==--=c

b a c

c b a 6255250， 解得 ???

?

???===.

25321c b a

∴ 抛物线G 的解析式为y ＝21x 2＋3 x ＋2

5

．

（2）由?????++=-=25321322x x y x y ，

消去y ，得21x 2＋x ＋2

11

＝0，

∵ ?＝12－4×21×2

11

＝－10＜0，

∴ 方程无实根，即抛物线G 与直线l 无公共点．

（3）由??

???++=+=2532122x x y m x y ，消去y ，得

21x 2＋x ＋2

5

－m ＝0． ①

∵ 抛物线G 与直线y ＝2 x ＋m 只有一个公共点P ， ∴ ? ＝12－4×

21×（25

－m ）＝0． 解得m ＝2．

把m ＝2代入方程①，解得x ＝－1． 把x ＝－1代入y ＝

21x 2＋3 x ＋2

5

，得y ＝0．

∴P（－1，0）．

【点评】本题综合运用了二次函数解析式的求法．抛物线与直线的交点等知识，其关键是把函数问题灵活转化为方程知识求解．

中考复习：二次函数题型分类总结

【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ； （3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】 （1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可； （2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】

二次函数中考复习(题型分类练习)

二次函数题型分析练习 题型一：二次函数对称轴及顶点坐标的应用 1.（2015?兰州）在下列二次函数中，其图象对称轴为x =﹣2的是（ ） A ． y =（x +2）2 B ．y =2x 2﹣2 C ．y =﹣2x 2﹣2 D ．y =2（x ﹣2）2 2.（2014?浙江）已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y =x 2+4x +10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称 点坐标为（ ） A.（﹣3，7） B.（﹣1，7） C.（﹣4，10） D.（0，10） 3.在同一坐标系中，图像与y=2x 2 的图像关于x 轴对称的函数是（ ） A.212y x = B.212y x =- C.22y x =- D.2y x =- 4.二次函数 无论k 取何值，其图象的顶点都在( ) A.直线 上 B.直线 上 C.x 轴上 D.y 轴上 5.（2012?烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2 +1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直 线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6.（2014?扬州）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y 轴的直线，若点 P （4，0）在该抛物线上，则4a ﹣2b +c 的值为 ． 7.已知二次函数 ，当 取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则当 取 时，函数值为 （ ） A. B . C. D.c 8.如图所示，已知二次函数 的图象经过（-1,0）和（0,-1）两点，则化简代数式 = . 题型二：平移

二次函数综合题类型

二次函数综合题常见题型 一、线段最值 1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）． （1）求直线BC与抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．

7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截2、如图，二次函数的图象经过点D(0，3 9 得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

3、如图，已知直线 1 1 2 y x =+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线2 1 2 y x bx c =++与直 线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。 ⑴求该抛物线的解析式； ⑵动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。 ⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使|| AM MC -的值最大，求出点M的坐标。

4、如图，已知ABC =,点A、C在x轴上，点B坐标 ∠=?，AC BC ACB ?为直角三角形，90 为（3，m）（0 m>），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ Array并延长交AC于点F，试证明：() FC AC EC +为定值．

二次函数的定义专项练习30题有答案

二次函数的定义专项练习30题（有答案） 1．下列函数中，是二次函数的有（） 2y=③y=x（1﹣x）④y=﹣x（②1﹣2x）（1+2x）①y=1 A．1个B．2 个C．3个D．4 个 2．下列结论正确的是（） 2．A是二次函数y=ax B．二次函数自变量的取值范围是所有实数C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数自变量的取值范围是非零实数 3．下列具有二次函数关系的是（） A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x ）是二次函数，则m等于（）4．若y=（2﹣m ±2 B．2 C．﹣2 D．不A．能确定 2）是二次函数，则m的值是（（m+m）5．若y= B．m =2 C．m=﹣A．1或m=3 D．m =3 ±2m=1

222中，二次函数的个数为（x），y=（x﹣1）6．，下列函数y=3x﹣x，，y=x（﹣2）5个4个D．．A．2个B．3个 C ）7．下列结论正确的是（ 二次函数中两个变量的值是非零实数A． xB．二次函数中变量的值是所有实数 2． C +bx+cy=ax的函数叫二次函数形如2 D ．c的值均不能为零二次函数y=axa+bx+c中，b， ）8．下列说法中一定正确的是（ 2．A c为常数）一定是二次函数，函数y=ax（其中+bx+ca，b B．圆的面积是关于圆的半径的二次函数路程一定时，速度是关于时间的二次函数． C 圆的周长是关于圆的半径的二次函数．D 2）是二次函数的条件是（m﹣n）x+mx+n．函数9y=（n ≠n是常数，且m≠0 B．m、A．m、n是常数，且m 可以为任何常数m、nn≠0 D．C．m、n是常数，且 ）．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（10 ．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系 A ．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 B ．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 C ．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系D ）11．下列函数中，y是x二次函数的是（22 DC．．A．y=x﹣1 B．1 y﹣=x+2x =xy210 y=x+﹣ 个函数：12．下面给出了6 222 y=y=；﹣②y=xy=x﹣3x；③；y=④（x⑥+x+1）；⑤①y=3x．﹣1；）其中是二次函数的有（个D．4 C2A．1个B．个．3个 2）之间的关系是（t（g为常量），h13．自由落体公式与h=gt 以上答案都不对D．一次函数C．二次函数A．正比例函数 B． 的值一定是_________+kx+1是二次函数，那么k．﹣14．如果函数y=（k3 ）

初中数学中考复习 二次函数知识点总结

二次函数知识点总结20110311 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：左图画2221,2,2 y x y x y x === ， 右图画22 21,2,2y x y x y x =-=-=- 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质：左图画221,1y x y x =+=-，右图画2 2 1,1y x y x =-+=-- 结论：上加下减。

总结： 3. ()2 y a x h =-的性质：左图画22(1),(1)y x y x =+=-，右图画22 (1),(1)y x y x =-+=-- 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质：左图画22(1)1,(1)1y x y x =++=--，右图画2 2 (1)1,(1)1y x y x =-++=---

总结： 二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2 245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．

二次函数应用题(含答案)

二次函数应用题 一、选择题 1．烟花厂为扬州烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度 与飞行时间t(s)的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( ) A．3s B．4s C．5s D．6s 2．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( ) A．5元B．10元C．0元D．3600元 3．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为 ，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( ) A．10m B．20m C．30m D．60m 4．由表格中信息可知，若设，则下列y与x之间的函数关系式正确的是( ) x -1 0 1 1 8 3 A．B． C．D． 5．一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S(米)与时间t(秒)间的关系式为 ，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为( ) A．24米B．12米C．米D．6米

6．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是( ) A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 7．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为，则该企业一 年中应停产的月份是( ) A．1月、2月、3月B．2月、3月、4月 C．1月、2月、12月D．1月、11月、12月 8．如图，点C是线段AB上的一个动点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( ) A．当C是AB的中点时，S最小B．当C是AB的中点时，S最大 C．当C为AB的三等分点时，S最小D．当C为AB的三等分点时，S最大 二、填空题 9．如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN

重庆市中考数学题型复习 题型八 二次函数综合题 类型一 线段、周长最值问题练习

类型一线段、周长最值问题 1. 如图，抛物线y＝－x2－2x＋3交x轴于A，C两点(点A在C的左边)，抛物线交y轴于点B，点D是抛物线的顶点． (1)求线段AB的长； (2)点P是直线AB上方的抛物线上一点(不与A，B重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G，求出△PFG周长的最大值； 2. 已知二次函数y＝x2－x－2的图象和x轴相交于点A、B，与y轴交于点C，过直线BC

的下方抛物线上一动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D. (1)求直线AC的解析式； (2)求△PQD周长的最大值； (3)当△PQD的周长最大值时，在y轴上有两个动点M、N(M在N的上方)，若MN＝1，求PN ＋MN＋AM的最小值． 第2题图 3. (2017重庆大渡口二模)如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点(点A在点B

的左侧)，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于H. (1)求A、B两点的坐标； (2)设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP＝∠CDB时，求出点P的坐标； (3)以OB为边在第四象限内作等边△OBM，设点E为x轴正半轴上一动点(OE>OH)，连接ME，把线段ME绕点M旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值． 第3题图 4. (2017遵义改编)如图，抛物线y＝ax2＋bx－a－b(a<0，a、b为常数)与x轴交于A、C

两点，与y 轴交于B 点，直线AB 的函数关系式为y ＝89x ＋16 3. (1)求该抛物线的函数关系式与C 点坐标； (2)已知点M (m ，0)是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点．当△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M ′，将OM ′绕原点O 顺时针旋转得到ON (旋转角在0°到90°之间)； ⅰ：探究：线段OB 上是否存在定点P (P 不与O 、B 重合)，无论ON 如何旋转，NP NB 始终保持 不变，若存在，试求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； ⅱ：试求出此旋转过程中，(NA ＋3 4 NB )的最小值． 第4题图 5. (2016重庆渝中区校级二模)如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－ 33 x 2 －3

人教版数学九年级上册《二次函数》综合练习题及答案

二次函数综合练习题附答案 ●基础巩固 1.如果抛物线y =－2x 2+mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m =______. 2.二次函数y =－2x 2+x － 2 1，当x =______时，y 有最______值，为______.它的图象与x 轴______交点(填“有”或“没有”). 3.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示. ①这个二次函数的表达式是y =______；②当x =______时，y =3；③根据图象回答：当x ______时，y >0. 4.某一元二次方程的两个根分别为x 1=－2，x 2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可) 5.不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是______(填“有解”或“无解”). 6.某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”). 7.如图2，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m). 8.若抛物线y=x 2－(2k+1)x+k 2+2，与x 轴有两个交点，则整数 k 的最小值是______. 9.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图1所示，由抛物线的特征你能得到含有a 、b 、c 三个字母的等式或不等式为______(写出一个即可). 10.等腰梯形的周长为60 cm ，底角为60°，当梯形腰x=______

中考数学专题复习分类练习 二次函数综合解答题及详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=1 4 x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=1 4 x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（ 28 13 ，﹣1）．（3） 定点F的坐标为（2，1）． 【解析】 分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标 特征，即可得出（1-1 2 - 1 2 y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关 于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y=a（x-2）2． ∵该抛物线经过点（4，1）， ∴1=4a，解得：a=1 4 ， ∴抛物线的解析式为y=1 4（x-2）2= 1 4 x2-x+1．

二次函数综合应用题(有答案)

解：(1) y=50- x (0≤x ≤160，且 x 是 10 的整数倍)。 2 2(3) W= - x +34x +8000= - (x -170) +10890， ∴当 x=160 时，W 最大=10880，当 x=160 时，y=50- x=34。答：一天订住 34 个房间时， （ （ 函数综合应用题 题目分析及题目对学生的要求 1. 求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。 需要注意的是： (1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下) (2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。 2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项 式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。 一般式化为定点式） 最值的求法： (1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。 (2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。 3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起 来。 推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出 x 的取值范围。 备选思路一：先将不等号看做等号，求出 x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后 x 的取值范围； 备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。这一问里需要注意的是在 注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。 一、求利润的最值 1. (本题满分 10 分) 某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时， 房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对 游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元。设每个房间的房价每天增加 x 元(x 为 10 的正整数倍)。 (1) 设一天订住的房间数为 y ，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； (2) 设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式； (3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 1 10 1 1 (2) W=(50- x)(180+x -20)= - x 2 +34x +8000； 10 10 1 1 10 10 当 x<170 时，W 随 x 增大而增大，但 0≤x ≤160， 1 10 宾馆每天利润最大，最大利润是 10880 元。 2． 本题满分 10 分）某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件； 如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件 商品的售价上涨 x 元（ x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元． （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接 写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？

二次函数单元测试题A卷(含答案)

第22章二次函数单元测试题(A卷) (考试时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（） A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2 C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x2 2．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（） A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．若将函数y=3x2的图象向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（） A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2 4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 5．给出下列函数：①y=2x；②y=﹣2x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜﹣1）．其中，y随x 的增大而减小的函数是（） A．①②B．①③C．②④D．②③④6．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（） A．B． C．D．

7．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表，则y＞0时，x的取值范围是（） A．﹣1＜x＜2 B．x＞2或x＜﹣1 C．﹣1≤x≤2D．x≥2或x≤﹣1 8．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（） A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点9．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y 与x的函数关系式为（） A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π10．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（） A．B．C．D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是． 12．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值为． 13．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为． 14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价元，最大利润为元．

人教版数学中考复习二次函数专题练习题含答案

人教版数学 初三中考复习 二次函数 专题练习题 一、选择题 1 抛物线y ＝x 2＋2x ＋3的对称轴是( ) A ．直线x ＝1 B ．直线x ＝－1 C ．直线x ＝－2 D ．直线x ＝2 2．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－x －6向上(下)或向左(右)平移m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2经过平移得到抛物线y ＝12 x 2－2x ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 4. 如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( ) A ．b 2 ＞4ac B ．ax 2＋bx ＋c≥－6 C ．若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，则m ＞n D ．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的两根为－5和－1 5. 如图，观察二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，下列结论：①a ＋b ＋c ＞0；②2a ＋b ＞0；③b 2－4ac ＞0；④ac ＞0.其中正确的是( ) A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④ 6. 如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于P ，Q 两点，则函数y ＝ax 2 ＋(b －1)x ＋c 的图象可能是( )

7. 如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8 cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1 cm /s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动，设运动时间为t(s )，△OEF 的面积为S(cm 2)，则S(cm 2)与t(s )的函数关系可用图象表示为( ) 二、填空题 8．若y ＝(2－m)xm 2－3是二次函数，且开口向上， 则m 的值为 ． 9．已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在二次函数y ＝(x －1)2＋1的图象上，若x 1>x 2>1，则y 1____y 2.(填“>”“<”或“＝”) 10．已知二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1，当－3≤x ≤0时，它的最大值是____，最小值是____． 11．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m )与足球被踢出后经过的时间t(s )之间具有函数关系h ＝at 2＋19.6t ，已知足球被踢出后经过4 s 落地，则足球距地面的最大高度是____m . 12. 如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，点D(0，1)，点P 是抛物线上的动点．若△PC D 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为 ． 三、解答题 13．如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线． (1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y ＝2x 2＋3x －4，请你写出一个不同于小敏的答案； (2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y ＝－x 2＋2bx ＋c ＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．

二次函数典型应用题

个性化辅导教育 新启点教育学科辅导讲义 年级：姓名：辅导科目： 授课内容 教学内容

个性化辅导教育 二次函数应用题分类 二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类： 第一类、利用待定系数法 对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。 例1． 某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表： x （十万元） 0 1 2 … y 1 1.5 1.8 … （1）求y 与x 的函数关系式； （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式； （3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？ 二、分析数量关系型 题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。 例2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x 元，日均获利为y 元。 （1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围； （2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形 式，写出顶点坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价 定为多少元时日均获得最多，是多少？ a 4 b a c 4)a 2b x (a y 2 2-+ +=

二次函数题型分类总结(学生版)

二次函数的定义 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2 +4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2 +nx+p ； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2 +2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。 3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 4、若函数y=(m －2)x m －2 +5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 6、已知函数y=(m －1)x m2 +1 +5x －3是二次函数，求m 的值。 二次函数的对称轴、顶点、最值 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2 +k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2 +bx+c 则最值为4ac-b 2 4a 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2 ＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2 －6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线y ＝x 2 ＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 7．抛物线y=x 2 +2x －3的对称轴是 。 8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 9．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 10．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 11．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。 12．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。 函数y=ax 2 +bx+c 的图象和性质 1．抛物线y=x 2 +4x+9的对称轴是 。 2．抛物线y=2x 2 －12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。 3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。 4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y=12 x 2－2x+1 ； （2）y=－3x 2 +8x －2； （3）y=－14 x 2+x －4 5．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2 －3x+5，试求b 、c 的值。

人教版初中数学九年级上册 二次函数综合题训练及答案

二次函数中考综合题 1、如图11，抛物线与轴 相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物 线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）. (1)求a的值及直线AC的函数关系式； (2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛 物线于点M，交x轴于点N. ①求线段PM长度的最大值； ②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与 △APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的 坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由. 解：（1）由题意得6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-21分 ∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x轴交于B（-3，0）、 A（1，0） 设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b 6=-2k+b解得k=-2 b=2 ∴直线AC为y=-2x+2 （2）①设P的横坐标为a(-2≤a≤1)，则P（a,-2a+2），M（a,-2a2-4a+6）4分 ∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92 =-2a+122+92 ∴当a=-12时，PM的最大值为92 ②M1（0，6） M2（-14，678） 2、如图9，已知抛物线y=x2–2x＋1的顶点为P， A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另 一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l 交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在 点D的位置． (1) (3分) 求直线l的函数解析式； 图9 (2) (3分) 求点D的坐标； (3) (3分) 抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC= S△DPB? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

中考复习专题二次函数分类讲解复习以及练习题含答案

1、二次函数的定义 定义： y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习：1、y=-x2，y=2x2-2/x ，y=100-5 x2，y=3 x2-2x3+5,其中是二次函数的有____个。 2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？ 2、二次函数的图像及性质 例2：已知二次函数 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。 （2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标。 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax 2+bx+c (a<0) 由a,b 和c 的符号确定 由a,b 和c 的符号确定 a>0,开口向上 a<0,开口向下 在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而 在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而 ???? ??--a b ac a b 44,22??? ? ??--a b ac a b 44,22a b x 2- =直线a b x 2- = 直线 2 3 212-+= x x y

（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ （4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 3、求抛物线解析式的三种方法 1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ y=ax2+bx+c(a≠0) 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式. y=a(x-h)2+k(a≠0) 3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1) ； (3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。 例1已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。 解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2）

九年级数学二次函数应用题 含答案

九年级数学专题二次函数的应用题 一、解答题 1.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。 （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 2.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．（1）试求y与x之间的关系式； （2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 3.在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）（1）求这个二次函数的解析式； 米，）2）该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01 （ 元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件）某商场以每件42，4.

件）可看成是一次函数关系：/（元与每件的销售价 之间的函数关系式（每天的销售与每件的销售价写出商场卖这种服装每天的销售利润1. 利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 5.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路 线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由 6.某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时 每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有 如下关系： 转让数量（套）120011001000900800700600500400300200100 价格（元/套）240250260270 280290 300310 320330 340 350 方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装； 方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装； 方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。 问： ①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？