一元三次多项式函数的图像与性质
专题17 三次函数的图像与性质 一、例题选讲 题型一 运用三次函数的图像研究零点问题 遇到函数零点个数问题,通常转化为两个函数图象交点问题,进而借助数形结合思想解决问题;也可转化为方程解的个数问题,通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题,故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高,后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的. 例1、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数3()3 .x x a f x x x x a ?=?- ≥, ,,若函数()2()g x f x ax =-恰 有2个不同的零点,则实数a 的取值范围是 . 例2、(2017南京学情调研)已知函数f (x )=????? 12x -x 3, x ≤0, -2x , x >0. )当x ∈(-∞,m ]时,f (x )的取值范围为[-16, +∞),则实数m 的取值范围是________. 题型二 三次函数的单调性问题 研究三次函数的单调性,往往通过导数进行研究。要特别注意含参的讨论。 例3、已知函数32 ()3f x x x ax =-+()a ∈R ,()|()|g x f x =. (1)求以(2,(2))P f 为切点的切线方程,并证明此切线恒过一个定点; (2)若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立,求k 的最小值()h a 的表达式; (3)设0a >,求()y g x =的单调增区间. 例4、(2018无锡期末) 若函数f(x)=(x +1)2|x -a|在区间[-1,2]上单调递增,则实数a 的取值范围是________.
一次函数概念、图像及性质 【教学目标】 1. 了解认识一次函数定义、图像,并能根据函数解析式画出图像 2. 理解一次函数的截距概念,会根据直线的表达式指出它在y 轴上的截距 3. 理解、掌握一次函数性质,熟悉图像所经过的象限及y 随x 变化而变化的情况 4. 能运用一次函数的图像及性质解综合型问题 【教学重难点】 1. 根据一次函数的图像确定解析式 2. 掌握一次函数性质,并能灵活运用于解题 3. 能结合一次函数知识点灵活求解综合型问题 【教学内容】 ★ 知识梳理 一、概念 定义:解析式形如)0( ≠+=k b kx y 的函数叫做一次函数 二、图像 一次函数的图象满足:(1)形状是一条直线;(2)始终经过(0 , b )和(k b - , 0)两点 三、截距 定义:直线)0( ≠+=k b kx y 与y 轴的交点坐标是) , 0 (b ,截距是b 四、性质 1. 一次函数)0( ≠+=k b kx y ,当0>k 时,函数值y 随自变量x 的值增大而增大;当0 一、概念 例1. 下列关于x 的函数中,是一次函数的是( ) (A )1)1(32+-=x y (B )x x y 1+ = (C )x y 3-= (D )x y 5-= 例2. 下列各式中,y 与x 成正比例关系的是 ;成一次函数关系的是 (1)x y 43= (2)x y 2 2-= (3)x y 29-= (4)x y 4= (5)52=+xy (6)765=+y x 例3. 下列说法中,不正确的是( ) (A )一次函数不一定是正比例函数 (B )不是一次函数就一定不是正比例函数 (C )正比例函数是特殊的一次函数 (D )不是正比例函数不一定不是一次函数 例4. 下列说法不正确的是( ) (A )在32--=x y 中,y 是x 的正比例函数 (B )在x y 21-=中,y 与x 成正比例 (C )在1=xy 中,y 与x 1成正比例 (D )在圆的面积公式2r S π=中,S 与2r 成正比例 例5. 已知b kx y +=,当3-=x 时,0=y ;当1=x 时,4=y ,求k 、b 的值 三次函数与四次函数 大连市红旗高中王金泽 wjz9589@https://www.wendangku.net/doc/6816598451.html, 在初中,已经初步学习了二次函数,到了高中又系统的学习和深化了二次函数,三次函数是继二次函数后接触的新的多项式函数类型,它是二次函数的发展,和二次函数类似也有“与x轴交点个数”等类似问题。三次函数是目前高考尤其是文科高考的热点,不仅仅如此,通过深化对三次函数的学习,可以解决四次函数问题。2008年高考有多个省份出现了四次函数高考题,本文的目的就是,对三次函数做个重点的归纳,并且阐述在四次函数中的应用 第一部分:三次函数的图象特征、以及与x轴的交点个数(根的个数)、极值情况 三次函数图象说明 a对图象 的影响 可以根据极限的思想去分析 当a>0时,在x→+∞右向上 伸展,x→-∞左向下伸展。 当a<0时,在x→+∞右向下 伸展,x→-∞左向上伸展。 (可以联系二次函数a对开口的影 响去联想三次函数右侧伸展情况) 与x轴有三 个交点 若0 3 2> -ac b,且 ) ( ) ( 2 1 < ?x f x f,既两个极 值异号;图象与x轴有三个交点 与x轴有二 个交点 若0 3 2> -ac b,且 ) ( ) ( 2 1 = ?x f x f,既有一 个极值为0,图象与x轴有两个 交点 与x轴有一 个交点 1。存在极值时即0 3 2> -ac b, 且0 ) ( ) ( 2 1 > ?x f x f,既两个 极值同号,图象与x轴有一个交点。 2。不存在极值,函数是单调函数 时图象也与x轴有一个交点。 1.()0f x =根的个数 三次函数d cx bx ax x f +++=23)( 导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f , 二次函数的判别式化简为:△=)3(412422ac b ac b -=-, (1) 若032 ≤-ac b ,则0)(=x f 恰有一个实根; (2) 若032>-ac b ,且0)()(21>?x f x f ,则0)(=x f 恰有一个实根; (3) 若032>-ac b ,且0)()(21=?x f x f ,则0)(=x f 有两个不相等的实根; (4) 若032>-ac b ,且0)()(21-ac b ,且0)()(21>?x f x f ). (3)0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有两个公共点且其中之一为切点,所以 032>-ac b ,且0)()(21=?x f x f . (4)0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有三个公共点,即)(x f 有一个极大值,一个极小值,且两极值异号.所以032 >-ac b 且0)()(21++=a c bx ax x f , 二次函数的判别式化简为:△=)3(412422ac b ac b -=-, (1) 若032 ≤-ac b ,则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数; (2) 若032>-ac b ,则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数,)(x f 在),(21x x 上为减函数,其中 a ac b b x a a c b b x 33,332221-+-= ---=. 证明:c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(41242 2ac b ac b -=-, (1) 当0≤? 即032 ≤-ac b 时,0)('≥x f 在 R 上恒成立, 即)(x f 在),(+∞-∞为增函数. 三次函数性质的探索 我们已经学习了一次函数,知道图象是单调递增或单调递减,在整个定义域上不存在 最大值与最小值,在某一闭区间取得最大值与最小值.那么,是什么决定函数的单调性呢? 利用已学过的知识得出:当k>0时函数单调递增;当k<0时函数单调递增;b决定函数与y轴相交的位置. 其中运用的较多的一次函数不等式性质是: 在上恒成立的充要条件 接着,我们同样学习了二次函数, 利用已学知识归纳得出:当时(如图1) ,在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增, 对称轴 上取得最小值; 当时(图2) ,在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减, 对称轴 上取得最大值. 在某一区间取得最大值与最小值. 其中决定函数的开口方向,同时决定对称轴,决定函数与轴相交的位置. 总结:一次函数只有一个单调性,二次函数有两个单调性,那么三次函数是否就有三个单调性呢? 三次函数专题 一、定义 定义1 形如的函数,称为“三次函数”(从函数解析式的结构上命名)。 定义 2 三次函数的导数 ,把叫做三次函数导函数的判 别式。 由于三次函数的导函数是二次函数,而二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题,已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 系列探究1: 从最简单的三次函数开始 反思1 :三次函数的相关性质呢? 反思2 :三次函数的相关性质呢? x y O 反思3 :三次函数的相关性质呢? 例题 1.(2012天津理4) 函数在区间内的零点个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 探究一般三次函数的性质: 先求导 1、单调性: (1 )若,此时函数() f x在R上是增函数; (2 )若 ,令两根为 12 ,x x 且, 则 在 上单调递增,在上单调递减。 导函数 图 象 极值点 个数 2 0 2 0 2、零点 (1) 若0 3 2≤ -ac b,则恰有一个实根; (2) 若,且,则恰有一个实根; (3) 若,且,则有两个不相等的实根; (4) 若,且,则有三个不相等的实根. 说明: (1)(2) 有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次,即在上为单调函数或两极值 同号. x x1x 2 x0x x1x2 x x0 x 22.1 二次函数(6) 教学目标: 1.使学生掌握用描点法画出函数y =ax 2+bx +c 的图象。 2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3.让学生经历探索二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解二次函数y =ax 2+bx +c 的性质。 重点难点: 重点:用描点法画出二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。 难点:理解二次函数y =ax 2+b x +c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x =-b 2a 、(-b 2a ,4ac -b24a )是教学的难点。 教学过程: 一、提出问题 1.你能说出函数y =-4(x -2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 2.函数y =-4(x -2)2+1图象与函数y =-4x 2的图象有什么关系? (函数y =-4(x -2)2+1的图象可以看成是将函数y =-4x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的) 3.函数y =-4(x -2)2+1具有哪些性质? (当x <2时,函数值y 随x 的增大而增大,当x >2时,函数值y 随x 的增大而减小;当x =2时,函数取得最大值,最大值y =1) 4.不画出图象,你能直接说出函数y =-12x 2+x -5 2的图象的开口方向、对称轴和顶点 坐标吗? 5.你能画出函数y =-12x 2+x -5 2的图象,并说明这个函数具有哪些性质吗? 二、解决问题 由以上第4个问题的解决,我们已经知道函数y =-12x 2+x -5 2的图象的开口方向、对称 轴和顶点坐标。根据这些特点,可以采用描点法作图的方法作出函数y =-12x 2+x -5 2的图 象,进而观察得到这个函数的性质。 解:(1)列表:在x 的取值范围内列出函数对应值表; x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y … -612 -4 -212 -2 - 212 -4 - 612 … (2)描点:用表格里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点。 “三次函数的图象与性质”教学设计 一、教学内容解析: 三次函数是高中数学人教版选修2-2第一章第三节的内容。三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体,有着重要的地位,围绕三次函数命制的试题,近几年来在全国各地高考及模拟试题中频繁出现,已成为高考数学的一大亮点,特别是文科数学。因此学习和掌握三次函数的基本性质很有必要。但教材也没提及三次函数的这一概念,题型也局限在只是解决系数为常数的极值和单调区间问题,各种教辅资料中也往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索,而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。 本节课是高三复习探究课,具体内容是:借助信息技术、通过几何画板的操作生成关于三次函数的动态效果,从而以三次函数的图像的形状特征为主线,探究三次函数的单调性和极值问题,加强学生对三次函数图像与性质的感性认识、引发学生的理性思考,形成经验。同时在此过程中体会数形结合、分类讨论、化归与类比等思想方法。基于对教材的认识和分析,本节课的教学重点和难点分别确定为: 重点: (1)探究系数a,b,c,d的大小的变化与三次函数图像之间的变化规律; (2)根据图像探究三次函数的性质:单调性和极值。 难点: 根据图像分析出三次函数的性质:单调性和极值。 二、教学目标设置: 根据本节课的内容和地位,让学生通过这节课的教学达到下列三个目标: 1、知识与能力: ①加深对三次函数图像和性质的认识,学会利用三次函数解决问题;增强分析问题,解决问题的能力。 ②培养自主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力。 ③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段,提高现代教育技术素养。 2、过程与方法: 通过对函数)0(,)(23≠+++=a d cx bx ax x f 性质的研究,引导学生建立讨论函数性质的基本框架,知道函数性质的基本内容及其作用,掌握研究函数性质的基本过程和方法。 3、情感态度与价值观: 通过直观的图形和抽象的函数性质的统一,培养学生的辨证唯物主义思想观;在研究的过程中,通过同学之间的讨论与协作,培养合作精神。 三、学生学情分析: 本节课,学生已初步搭建起研究函数的基本平台,借助导数的工具和图形技术(几何画板)来研究三次函数的图象和性质,符合学生的认知规律。三次函数的导数是二次函数,二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力。三次函数虽同样是初等函数,学生能通过导数解决一些三次函数性质相关的题型,但利用几何画板探究三次函数的性质仍显力不从心。首先学生对《几何画板》不够熟悉。其次三次函数的图像与性质本身就有一定的难度。对于观察图像探究系数的变化对图像的影响,学生通过自己的努力基本能够解决。但由此归纳总结性质就存在问题,因为函数的图像与性质本身就很复杂,对学生能力方面的要求较高,不仅需要调动广泛的知识,而且需要有比较清晰的思路。因此这方面教师要通过设置问题、追问、恰当提示等方法加强引导,从而达到突破教学难点。 四、教学策略分析: 根据这节课内容的特点,本节课设计强调学生主动探究式的学习方式,这也是新课程所倡导的教学理念。为突破难点,紧紧围绕教学重点,结合学生已有的基础:会用导数研究三次函数的性质,通过创设问题情境,搭设台阶,并以追问或问题串的形式引导学生积极参与 一次函数的性质和图像 目录一、函数的定义 (一)、一次函数的定义函数。 (二)、正比例函数的定义 二、函数的性质 (一)、一次函数的性质 (二)、正比例函数的性质 三、函数的图像 (一)、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置 (二)、一次函数的图像 1、一次函数图像的形状 2、一次函数图像的画法 (三)、正比例函数的图像 1、正比例函数图像的形状 2、正比例函数图像的画法 3、举例说明正比例函数图像的画法 四、k、b两个字母对图像位置的影响 K、b两个字母的具体分工是: (一次项系数)k决定图象的倾斜度。 (常数项)b决定图象与y轴交点位置。 五、解析式的确定 (一)一个点坐标决定正比,两个点坐标决定一次 (二)用待定系数法确定解析式 六、两条函数直线的四种位置关系 两直线平行,k1= k2,b1≠b2 两直线重合,k1= k2,b1=b2 两直线相交,k1≠k2 两直线垂直,k1×k2=-1 (一)两条函数直线的平行 (二)两条函数直线的相交 (三)两条函数直线的垂直 一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数 这一节我们要学习正比例函数和一次函数。一次函数的解析式是y=kx+b,如果当这个式子中的b=0时,式子就变成了正比例函数y=kx。因此,正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。正是因为正比例函数实际上就是一次函数,所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。 在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中,由于函数y与自变量x之间有比例关系,就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系,因而字母k就取名为比例系数。确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。 22.1 二次函数(第二课时) 教学目标: 1.会用描点法画出形如y = ax 2 的二次函数图象,了解抛物线的有关概念; 2.通过观察图象,能说出二次函数y = ax 2 的图象特征和性质; 3.在类比探究二次函数y = ax 2 的图象和性质的过程中,进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想 教学重点:会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,观察图象,得出二次函数y = ax 2 的图 象特征和性质。 教学难点:抛物线的图像特征。 教学过程: 一、问题引新 1,同学们可以回想一下,一次函数的性质是什么? 2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢? 3.一次函数的图象是什么?二次函数的图象是什么? 二、学习新知 1、例1、画二次函数y=2x2与y=2x2的图象。(有学生自己完成) 解:(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表: (2)描点(3)连线 x …-3 -2 -1 0 1 2 3 … y …9 4 1 0 1 4 9 … 找一名学生板演画图 提问:观察这个函数的图象,它有什么特点? (让学生观察,思考、讨论、交流,) 2、归纳: 抛物线概念:像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的 顶点.顶点坐标(0,0) 3、运用新知 (1).观察并比较两个图象,你发现有什么共同点?又有什么区别? (2).课件出示:在同一直角坐标系中,y=2x2与y=-2x2的图象,观察并比较 (3).将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么?(课件出示) 让学生观察y=x2、y=2x2的图象,填空; 当a>0时,抛物线y=ax2开口______,在对称轴的左边,曲线自左向右______;在对称 轴的右边,曲线自左向右______,______是抛物线上位置最低的点。 当X<0时,函数值y随着x的增大而______,当X>O时,函数值y随X的增大而______; 当X=______时,函数值y=ax2 (a>0)取得最小值,最小值y=______ 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质: 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ;开口向上;在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移。 (2)抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移;当0高三数学三次函数图象和性质与四次函数问题
三次函数性质总结
22.1.4二次函数的图像和性质 教案
高中数学三次函数的图象和性质精品教案教学设计
一次函数的图像与性质
二次函数的图像和性质第二课时教案
二次函数的图像和性质总结