琴生不等式【讲师版】
自招竞赛 数学讲义
琴生不等式和幂平均不等式
知识定位
不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。
本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。
知识梳理
琴生不等式
1. 凸函数的定义：
设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有
1212()()
(
)22
x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()
()22
x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。 常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2
π上的tan y x =，R +
上的2y x =，3y x =等
常见的上凸（凹）函数有[0,)2π上的sin y x =，cos y x =，R +
上的ln y x =等
2. 琴生(Jensen)不等式
若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()
()n n x x x f x f x f x f n n
++???+++???+≤
上式等号在12...n x x x ===时取到
反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向 琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）：
1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；
2）假设n k =时命题成立，即1212()()()(
)k k x x x f x f x f x f k k
++???+++???+≤
那么当1n k =+时，设121
11
k k x x x A k ++++???+=+，
1211
111(1)(1)(1)()()()22
k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++???++-+
++-==
11111()(1)()(1)()11[()()][]22k
i k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k
++=+++-+-≤+≤+∑
所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++???+++-
所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++???++，变形即得证。
3.加权平均琴生不等式：
若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数， 且
1
1,0n
i
i i λ
λ==>∑，
则1
1
(()()n n
i i i i i i f x f x λλ==≤∑∑
4．曲线凸性的充分条件：设函数()f x 在开区间I 内具有二阶导数， （1）如果对任意x I ∈，''()0f x ≥，则曲线()y f x =在I 内是下凸的； （2）如果对任意x I ∈，''()0f x ≤，则()y f x =在I 内是上凸的。
幂平均不等式
若αβ>，且0,0αβ≠≠，0i x >，则1
1
11()()n
n
i
i
i i x
x n n
α
β
βα==≥∑∑．
（幂平均不等式的证明见当堂练习题）
推论：由幂平均不等式得333222333
a b c a b c
++++≥
例题精讲
【试题来源】2006复旦
【题目】 设12,(0,
)2x x π
∈，且12x x ≠，下列不等式成立的有
（1）
1212tan tan tan 22x x x x ++> （2）1212tan tan tan 22x x x x
++< （3）1212sin sin sin 22x x x x ++> （4）1212
sin sin sin 22
x x x x ++<
【选项】（A ）（1）（3） （B ）（1）（4） （C ）（2）（3） （D ）（2）（4）
【答案】B
【解析】
y=tanx 在给定区间上是下凸函数；y=sinx 是上凸函数，由凹函数、凸函数定义和性质显然。 【知识点】当堂例题 【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】 【题目】
证明：(1) ()sin f x x =在[0)π，上是上凸函数
(2) ()lg g x x =在(0)+∞，上是上凸函数 (3) ()tan )2
h x x π
=在[0，上是下凸函数
【答案】（证明题） 【解析】 证明：
(1) 对12[0)x x π?∈，，
121212121212()()1(sin sin )sin cos sin ()222222
f x f x x x x x x x x x
x x f ++-++=+=≤=
(2) 对12[0)x x ?∈∞，，+ 121212lg lg lg lg 22
x x x x
x x ++=≤ 即：
1212()()()22
g x g x x x
g ++≤．
(3) 当1202
x x π
≤<
，时
1212121212121212sin sin sin()2sin()
tan tan cos cos cos cos cos()cos()x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+==++-
1212122sin()2tan cos()12x x x x x x ++≥
=++ （∵sin tan 1cos 2
αα
α=+）
即：
1212()()()22
h x h x x x
h ++≥．
【知识点】凹函数、凸函数的定义
【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2
【试题来源】 【题目】
用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，即：1212
n
n i n a a a a R a a a n
+++
+∈≥，则．
【答案】（证明题） 【解析】 证：∵i a R +∈
设()lg f x x =，则()f x 为(0)+∞，
上的上凸函数 由琴生不等式：12121
(lg lg lg )lg
n
n a a a a a a n
n
++
+++
+≤
即
1212n
n
n a a a a a a n
++
+≤
【知识点】琴生不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2
【试题来源】 【题目】
证明幂平均不等式：若αβ>，且0,0αβ≠≠，0i x >，则1
1
11()()n
n
i
i
i i x
x n n
α
β
β
α==≥∑∑ 【答案】（证明题） 【解析】
0αβ>>时，()f x x α
β
=为下凸函数，
1212()n n x x x x x x n n ααααβββ
β
++???+++???+≤，1
1
1212()()n n x x x x x x n n
αααβββ
βα
++???+++???+≤
用i x β
代替i x ，得证。当0αβ>>和0αβ>>时，有同样的结论。
注：1
1
1
1
1
11
1
()
(
)(
)(
)(
)
n
n
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i i i i i i i x
x
x
x
x
x n
n
n
n
n
n
αα
β
αβ
β
β
βααβ
β
βα===
=
=
=
≥?
≥?
≥∑∑∑∑∑∑，构造
()f x x αβ
=解题。
1
1
11()()n
n
i
i
i i x
x n n
α
β
βα==≥∑∑两边同形，把i x β看成i x 是关键。
【知识点】琴生不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】 【题目】
a b c +∈R ，，，且a + b + c = 3，求证：8181819a b c +++++≤．
【答案】（证明题）
【解析】
证明：设()81f x x =+，则()(0)f x ∞为，+上的上凸函数． 由琴生：1[()()()]()(1)333
a b c
f a f b f c f f ++++≤==
∴ ()()()9f a f b f c ++≤． 【知识点】琴生不等式
【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2
【试题来源】 【题目】
()f x 定义在 (a ，b ) 上，()f x 在 (a ，b ) 上恒大于0，且对12()x x a b ∈，，，
2
1212()()[(
)]2
x x f x f x f +≥。 求证：当12()n x x x a b ∈，，，时，有1212()()()[(
)]n n
n x x x f x f x f x f n
++
+≥。
【答案】（证明题）
证明：由题：对12()x x a b ?∈，，，有2
1212()()[()]2
x x f x f x f +≥，两边取常对： 则有12
12lg ()lg ()2lg ()2
x x f x f x f ++≥ 即
1212lg ()lg ()lg ()22
f x f x x x
f ++≥
于是：令()lg ()g x f x =，则()g x 为(a ，b ) 上下凸 由琴生不等式：对12()n x x x a b ∈，，，，有 1212lg ()lg ()lg ()
lg (
)n n
f x f x f x x x x f n
n ++
+++
+≥
即1212()()()[(
)]n n
n x x x f x f x f x f n
++
+≥．
【知识点】琴生不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】2
【试题来源】 【题目】
设0i x >(1,2,,)i n =???，
1
1n
i
i x
==∑，
求证：
1212
121111
n
n n
x x x x x x x x x n ++???+++???+≥----
【答案】（证明题）
【解析】 设函数()1x
f x x
=
-，则32
2()2(1)
x f x x -'=-，
31312
2
2
2
33
2(1)(2)3(1)(1)3(1)
()04(1)4(1)x x x x x f x x x --+-?--+-''=
=>--
所以()f x 在(0,1)上下凸，
12121212
1()1111n
n n n
x x x x x x n n x x x x x x n ++???+++???+≥---++???+-
所以
12121111
n n x x x n
x x x n ++???+≥---- 又由算术平均不大于平方平均得1212n
n
x x x x x x n
n
++???+++???+≤
所以12n n x x x ≥++???+
所以
1212
121111
n
n n
x x x x x x x x x n ++???+++???+≥----
注：
1
1n
i
i x
==∑，适合应用琴生不等式。构造函数，用二阶导数判断函数的凸性，求导运算
是关键。
【知识点】琴生不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3
【试题来源】 【题目】
已知,,0a b c >，1a b c ++=，求证：11113
a b c
a b c ---≤
【答案】（证明题）
【解析】
111111
ln (1)ln (1)ln (1)ln 222
a b c a b c a a b b c c ---=
-+-+- 因为()ln f x x =在(0,)+∞上是上凸函数，且111
(1)(1)(1)1222a b c -+-+-=
由加权平均琴生不等式
111111
(1)ln (1)ln (1)ln ln[(1)(1)(1)]222222
a a
b b
c c a a b b c c -+-+-≤-+-+- 222111ln[()]ln 223a b c ≤-++≤（2222
()133
a b c a b c ++++≥=）
所以11113
a b c
a b c ---≤
注：“两边取自然对数，把积化为和”是处理乘积问题的常用手段 【知识点】加权平均琴生不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】 【题目】
证明赫尔德（Holder ）不等式：,(1)i i a b i n ≤≤是2n 个正实数，,0,1αβαβ>+=，
则11221212()()n n n n a b a b a b a a a b b b αβαβαβαβ++???+≤++???+++???+
【答案】（证明题） 【解析】
令1212,n n A a a a B b b b =++???+=++???+，()ln f x x =上凸，
ln
ln ln()i i i i a b a b A B A B αβαβ+≤?+?，所以()()i i i i a b a b A B A B
αβαβ≤?+? 累加得111
[()()]1n
n
i i n
i i i i i a b a b A B A B αβ
αβαβ===≤?+?=+=∑∑∑，得证。
注：变形：112212121()()n n
n n a b a b a b a a a b b b αβαβαβ
αβ
++???+≤++???+++???+，再变形
11
12121212()()()()1n n n n n n
a b a b a a a b b b a a a b b b αβαβ?+???+?≤++???+++???+++???+++???+ 对第i 项取自然对数，得1212ln ln
n n
n n
a b a a a b b b αβ+++???+++???+是加权平均琴生(Jensen)不等式的形式。
好方法是在有目的的变形之后想到的。 【知识点】加权平均琴生不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3
【试题来源】匈牙利奥林匹克数学竞赛 【题目】
求椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>内接n 边形的最大面积
【答案】
2
sin
2
nab
n
π
??
?
??
【解析】
【知识点】琴生不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】5
习题演练
【试题来源】02成都模拟 【题目】
在ABC ?中，sinA sin sin B C ++的最大值为（ ） 【选项】 A
21 B 23 C 223 D 2
3 【答案】C 【解析】
【知识点】琴生不等式 【适用场合】课后随堂练习 【难度系数】1
【试题来源】02成都模拟改编 【题目】
在锐角ABC ?中，cosA cos cos B C ++的最大值为（ ） 【选项】
时，取等号；
时，即当且仅当上是凹函数，则：
在3
sin sin sin 233sin sin sin 2360sin )3sin()sin sin (sin 31),0(sin ππ=====≤
++=?=++≤++=C B A C B A C B A C B A C B A x y
A
21 B 23 C 223 D 2
3
【答案】B
【解析】略。（方法与上题雷同） 【知识点】琴生不等式 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】1
【试题来源】 【题目】
若12,,...,n a a a 是一组实数，且12...n a a a k +++=（k 为定值），试求22212...n a a a +++的最小值。
【答案】2k n
【解析】
时，取等号
当且仅当上是凸函数
在分析：n n n n a a a n
k a a a n
k n a a a a a a n x x f ===≥
+++∴=+++≥+++∴+∞-∞= 2122
22212
22212
22212)()(1),()( 【知识点】琴生不等式 【适用场合】课后随堂练习 【难度系数】1
【试题来源】 【题目】
设A B C 、、是ABC ?的三个内角，λ是非负常数，求
tan
tan tan tan tan tan 222222
B C C A A B
λλλ+++++的最大值。 【答案】1
33
λ+ 【解析】
在ABC ?中，tan
tan tan tan tan tan 1222222
B C C A A B
++=，
考察y x =，其在R +上凸，
因此
tan
tan tan tan tan tan 222222
3
tan tan tan tan tan tan 3122222233
B C C A A B B C C A A B λλλλλ
++++++++≤
=+ 所以最大值为1
3
3
λ+ 【知识点】琴生不等式 【适用场合】课后随堂练习 【难度系数】2
【试题来源】 【题目】
已知：120,(1,2,,)2,1i n x i n n x x x >=≥++
+=，，求证：12121
n x x x
n x x x n
≥
. 【答案】（证明题） 【解析】
在R +
上()ln y f x x x ==为下凸函数（求二阶导数可证：1
''()0f x x
=
>），所以对不等式左边取对数有：121211221212ln ...ln ln ...ln ......()ln 1ln n
x x x n n n
n n x x x x x x x x x x x x x x x n n
n
n =+++++++++??≥ ?
?
?
??= ?
??，
即12
121...n
x x x n
x x x n
≥ ∴得证
【知识点】琴生不等式 【适用场合】课后随堂练习 【难度系数】2
【试题来源】 【题目】
证明不等式3
()
a b c a b c abc a b c ++≤，其中，,,a b c 均为正数。
【答案】（证明题） 【解析】 证 设
.0,ln )(>=x x x x f 由)(x f 的一阶和二阶导数
x
x f x x f 1)(,
1ln )('=
''+= 可见，
.0,ln )(>=x x x x f 时为严格凸函数，依詹森不等式有
)),()()((3
13c f b f a f c b a f ++≤??? ??++
从而
),ln ln ln (3
13ln 3c c b b a a c b a c b a ++≤++++ 即
c b a c
b a
c b a c b a ≤?
?
? ??++++3
又因,3
3
c
b a ab
c ++≤
所以c b a c b a c b a abc ≤++3
)(
【知识点】琴生不等式 【适用场合】课后随堂练习 【难度系数】2
【试题来源】 【题目】
求证:在凸四边形ABCD 中,有 1)
1
sin sin sin sin 22224A B C D ≤
2)
sin
sin sin sin 222222A B C D
+++≤
【答案】(证明题)
【解析】
【知识点】琴生不等式 【适用场合】课后随堂练习 【难度系数】2
【试题来源】 【题目】
若23A B C π++=
则求证：1) 2sin sin 3sin 3
A B C ++≤ 2)
23
27cos cos cos 64A B C ≤
【答案】(证明题) 【解析】
【知识点】琴生不等式 【适用场合】课后随堂练习 【难度系数】2
【试题来源】 【题目】
30P ABC PAB PBC PCA ?∠∠∠?若为内任一点，求证、、中至少有一个小于或等于；
【答案】(证明题) 【解析】
2''';sin sin 'sin sin 'sin sin sin sin 'sin 'sin '
sin sin '(sin sin sin )sin sin sin sin 'sin 'sin '
PAB PBC PCA PAC PBA PCB PA PB PB PC PC PA αβγαβγαββγαβγαβγγααβγαβγαβγ∠=∠=∠=∠=∠=∠==?
?
=?=??=?∴=证：设、、，且、、依正弦定理有：
?
∴≤∴30150,302
1sin ,)2
1
(sin sin sin 3
γγβαααγβαγβα中必有一个满足、时，否则中必有一个角满足、、在
【知识点】琴生不等式 【适用场合】课后随堂练习 【难度系数】3
【试题来源】2011湖北 【题目】 设(),1,2,
,k k a b k n =均为正数，证明：
（i ）若112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++，则12121n b b b n a a a ≤
（ii ）若121n b b b +++=，则1222212121
n b b b n n b b b b b b n
≤≤+++。
【答案】（证明题） 【解析】 证明：
（i ）令g(x )=lnx (x>0), 则g ”(x )=21
0,x
-
<∴g (x ) 在（0，+∞）上是上凸函数，对于?a k ∈(0, +∞), (k=1,2,…，n)，由琴生不等式：
1
11
1
1
1
ln ln()ln10(
)
n
n
k
k
k
k
n n
k k k k k
n
n
k k k
k
k k b
a b
a a
b b b b ======?≤≤=≤∑∑∑∑∑∑
1
1
ln 0
1k
n
n
k k k k k b b a =+∴?≤≤∑∏故a
(ii) 由(i)知，g(x)=lnx 在()0,+∞ 上是上凸函数，由琴生不等式：
6
66
)21()6'''(sin )
6
'sin 'sin 'sin sin sin sin (
=+++++≤+++++≤γβαγβαγβαγβα
10
对于?b k ∈(0,1), 且
1
1n
k
k b
==∑
22
1
1
1
1
1
1
ln ln()k n
n
k k
k
n
n
b k k k k n
n
k k k
k
k k b b b
b b b
b
======?≤?≤∑∑∑∏∑∑ （*）
（此处提供了左边不等式另一种证明方法，构造一个更普通的函数g(x )=lnx 后利用加权平均琴生不等式）
【知识点】琴生不等式 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】3
【试题来源】 【题目】
已知3x ≥，求证： （1）当01t <<时，有不等式(1)(2)(3)t t t t
x x x x --<---；
（2）当1t >时，有不等式(1)(2)(3)t t t t
x x x x -->---。
【答案】（证明题） 【解析】
（1）当01t <<时，2
()(1)0t f x t t x -''=-<，()t f x x =在(0,)+∞上是上凸函数，
所以
()(2)2
()(1)22
f x f x x x f f x +-+-<=-（因为2x x ≠-，所以等号不能取）
所以()(1)(1)(2)f x f x f x f x --<---
递推得(1)(2)(2)(3)f x f x f x f x ---<---，
从而有()(1)(2)(3)f x f x f x f x --<---，故(1)(2)(3)t t t t
x x x x --<--- （2）当1t >时，2()(1)0t f x t t x -''=->，()t
f x x =在(0,)+∞上是下凸函数，
类似（1）可证(1)(2)(3)t t t t
x x x x -->--- 【知识点】琴生不等式 【适用场合】课后两周练习 【难度系数】3
k 111111
1
1
2b ,(0,),111ln 1ln()ln ,ln ln n n 1(**)k k n k k k n n
k k k k k
k n n n b k k k k k k n b k k b b b b b b b b b b n =======∈+∞=?≤=≤≥∑∑∑∑∑∏∏对于且从而故ln
基本不等式专题 ---完整版(非常全面)
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅 当b a =时取“=”） （4）若 R b a ∈,，则 2)2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （ 5 ） 若 * ,R b a ∈，则 2 2111 22b a b a ab +≤+≤≤+ （ 1 ） 若 ,,,a b c d R ∈，则 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 2222222 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+) 22212) n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等
一元一次不等式---教师版
不等式的俩边都乘上(或除去）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的俩边都乘上(或除去）同一个负数，不等号的方向改变。“>”填空。若a>b 且m≠0，则 ___a b (2) 2 2 ____ a b m m ___m a m b (4) ___a m b m 1. 若0,a 则下列各式错误的是（C ） 1a B 10a 10a 2a 0,m 那么（20032004m m 3.14m m C 2003 200420042003m m D 1 1 23 m m 关于x 的方程7 45ax x 的解是正数，求的取值范围。 解： ax+7=4x-5 ax-4x=-12 x=-12÷(a-4)>0 a b a m b m m>0am>bm: a b a b m m 且m<0am 2 1 32 x x 2)36 x x 436 x x 364 x x 合并同类项得2 x 把系数化为1得2 x 解不等式： 221 23 x x 2)2(21) x x 622 x x 226 x x 合并同类项得8 x 把系数化为1得8 x 解关于x的不等式：(m m-1＞0，m＞1时， 变式 不等式-2x<4的解集表示在数轴上，正确的是（B ） A C 四．一元一次不等式组 一元一次不等式组解集的确定主要是借助数轴直观找到．共分四种情况，“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小解不见”， 例6 不等式组 2110 x x >-?? -≤?的解集是_1 12x -<≤-____________________ 不等式组 图示 解集 x a x b b a x a >（同大取大） x a x b ? b a b x a <<（大小交叉取中间） x a x b >?? 基本不等式中“1 的妙用” 例1：（1）已知,x y R *∈，21x y +=，求12x y +的最小值；（2）已知,x y R *∈，23x y +=，求12x y +的最小值；（3）已知,x y R *∈，322x y +=，求62x y +的最小值；（4）已知,x y R *∈，2x y xy +=，求2x y +的最小值； 【解析】这四个题目中，（1）是“1的替换”的最基础题目，已知整式的值为1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换. 【答案】（1）121222(2)()1459x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=，当且仅当22x y y x =即13 x y ==时取等号. （2）121121221(2)(1453333x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=（）（，当且仅当22x y y x =即13 x y ==时取等号. （3）1323662=(2)92182y x x y x y x y x y +++=+++≥+，当且仅当63x y y x =即 2 y ==时取等号. （4）因为2x y xy +=，所以121y x +=，然后1242=(+2y)(+)=48x y x y x y x y x +++≥，当且仅当4x y y x =即24x y ==时取等号.例2：（1）已知,x y R *∈，1x y +=，求 1213 x y +++的最小值；（2）已知,x y R *∈，1x y +=，求2211x y x y +++的最小值；（3）已知,x y R *∈，1x y +=，求1223 x y y +++的最小值；（4）已知,x y R *∈，231x y +=，求123x y y +++的最小值； 【解析】这四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数. 【答案】（1）整式变形成113x y +++=， 5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新???? 不等式复习资料 1 ?已知f3为R 上的减函数，贝IJ 满足f （丄）>f （l ）的实数W 的取值范围是（ ） X A. (—8,1) B ?(1,+8) C ?(―8,0)U (0,1) D ?(―8, 0)U (I, + 8) 【答案】D fx>0 2x-2y+l<0 【答案】B 5. 当XG （1,2）时，不等式x 2+/m+4<0恒成立，则加的取值范围是 ________________ 。 【答案】（一8，—5] 6. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4俩甲型货车和 8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台：每辆乙型货 车 运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费 用为（ ） A. 2000 元 B. 2200 元 C. 2400 元 D. 2800 元 【答案】B 0 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则2 2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 222 222 2 1 2311 23112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：222 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 2 3 3 22-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域 （1）2 2 21 3x x y += （2）)4(x x y -= 一、不等式及其性质 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系； 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用； 3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号读法意义 “≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大 “≤”读作“小于或等 于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥”读作“大于或等 于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 类型一、不等式的概念 例1. 判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． （1）4＜5； （2）x2+1＞0； （3）x＜2x-5； （4）x=2x+3； （5）3a2+a； （6）a2+2a≥4a-2． 变式练习： 1.（2017春?城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（） A．18＜t＜27 B．18≤t＜27 C．18＜t≤27D．18≤t≤27 2.（2017春?未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a；②-2＞-5；③x≥-1；④ VIP 免费 欢迎下载 学生姓名： 任课教师： 试卷审查教师： 测试科目： 涉及章节： 教师评语： 不等是知识点 ★ 知 识 梳理 ★ 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则2a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立. 2求最值:当ab 为定值时,22,a b a b ++有最小值;当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>). 3.拓展：若0,0a b >>时,22 2 1122a b a b ab a b ++≤≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解基本不等式2 a b ab +≤ 等号成立条件，掌握用基本不等式证明不等式 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 2.难点：利用基本不等式2a b ab +≤求最大值、最小值 3.重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值 二 方法技巧讲解 (1) 灵活运用基本不等式处理不等关系 问题1. 已知正数x 、y 满足x +2y =1，求 x 1+y 1的最小值. 点拨：∵x 、y 为正数，且x +2y =1， 日期： 2012- 时间： ∴x 1+y 1=（x +2y ）（x 1+y 1） =3+x y 2+y x ≥3+22， 当且仅当 x y 2=y x ，即当x =2－1，y =1－22时等号成立. ∴x 1+y 1的最小值为3+22. （2）注意取等号的条件 问题2. 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y ++ 的最小值为 。 点拨： 错解1、因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y ++≥4,所以z 的最小值是4。 错解2、222222()22x y xy z xy xy xy xy xy +-==+-≥22(21)-=-，所以z 的最小值是2(21)-。 错因分析：解一等号成立的条件是11,11,1x y x y x y x y ====+=且即且与相矛盾。解二等号成立的条件是2,2xy xy xy ==即，与104 xy <≤相矛盾。 解析：z=11()()x y x y ++=1y x xy xy x y +++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210( )24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4?? ???上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值254 。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 不等式及其性质(教师 版) https://www.wendangku.net/doc/6516598729.html,work Information Technology Company.2020YEAR 一、不等式及其性质 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系； 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用； 3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2) (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 类型一、不等式的概念 例1.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． 例2.（1）4＜5； 例3.（2）x2+1＞0； 例4.（3）x＜2x-5； 例5.（4）x=2x+3； 例6.（5）3a2+a； 例7. （6）a 2+2a≥4a -2． 变式练习： 1.（2017春?城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t ℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（ ） A ．18＜t ＜27 B ．18≤t ＜27 C ．18＜t≤27 D ．18≤t≤27 2.（2017春?未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a ；②-2＞-5；③x≥-1；④ 31y-4＜1；⑤2m≥n ；⑥2x-3，其中不等式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3.（2017春?南山区校级月考）下面给出了6个式子：?3＞0； x+3y ＞0； x=3；④x-1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0；其中不等式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4.（2017春?太原期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x 辆，租用30座客车y 辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（ ） A ．两种客车总的载客量不少于500人 B ．两种客车总的载客量不超过500人 C ．两种客车总的载客量不足500人 D ．两种客车总的载客量恰好等于500人 5.已知有理数m ，n 的位置在数轴上如图所示，用不等号填空． （1）n-m 0；（2）m+n 0；（3）m-n 0；（4）n+1 0；（5）m?n 0； （6）m+1 0． 例2．用不等式表示： (1)x 与-3的和是负数； (2)x 与5的和的28％不大于-6; (3)m 除以4的商加上3至多为5． 举一反三： 【变式】a a 的值一定是（ ）． 高一数学秋季班（教师版）教师日期 学生 课程编号08课型同步复习课题基本不等式 教学目标 1.掌握基本不等式的概念； 2.掌握几个重要不等式； 3.掌握比较法，综合法，分析法证明不等式的基本思路； 4.掌握简单基本不等式的相关证明问题； 教学重点 1.掌握不等式的使用条件； 2.掌握不等式的变形； 3.掌握多次使用不等式的方法； 教学安排 版块时长1知识梳理10 2例题解析60 3巩固训练40 4师生总结10 5课后练习60 一、基本不等式： 1.若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号 2.（1）“积定和最小”：ab b a 2≥+?如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值 2P ； （2）“和定积最大”：2 2? ? ? ??+≤b a ab ?如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S 。 3.若,a b R + ∈，22 22 a b a b ab ++≥≥ 加权平均》算术平均》几何平均 二、均值不等式：若a 、b 为正数，则2 a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号 变式：2 2 2 ()22 a b a b ab ++≥ ≥ 推广：123,,,,n a a a a L 是n 个正数，则 12n a a a n +++L 称为这n 个正数的算术平均 数，12n n a a a ???L 称为这n 个正数的几何平均数， 它们的关系是： 1212n n n a a a a a a n ++???+≥??????， 当且仅当12n a a a ===L 时等号成立。 知识梳理 基本不等式 不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =-- 2 8 基本不等式专题辅导 2 2 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 a,b R ,则 a b 2 ab 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若 a,b R *，则 2 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数 的和为定植时，它们的积有最小值； a b 6、柯西不等式 （1）若 a, b,c, d R ，则（a 2 b 2）（c 2 d 2） （ac bd ）2 (2) 若 a 1, a 2, a 3, bi, b 2, b 3 R ，则有： 2 2 2 2 2 2 2 (a 1 a 2 a 3 )(柑 b ? b 3 ) (aQ a ?b 2 a s b s ) (3) 设a 1,a 2, ,a n 与 db, ,b 是两组实数，则有 2 2 2 p22 2 佝 a 2 a . )(0 b 2 b n )(日山 a 2b 2 a n b n ) 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 (1)若 a,b R ，则 a 2 b 2 2ab 1、设a,b 均为正数，证明不等式：、.ab 二 (2)右 a, b R ，则 ab a,b,c 为两两不相等的实数， (2)若 a, b R ,则 ab b 2 ab bc ca 4、求最值的条件：“一正， 二定，三相等” 5、常用结论 1 (1)若 x 0，则 x — 2 （当且仅当 x 1时取“=”) x 1 (2)若 x 0,则 X - 2 （当且仅当 x 1时取 “=”) X (3)若 ab 0,则-- 2 （当且仅当 a b 时取 “=”) b a 2 2 (4)若 a, b R ，则 ab （ 旦 b)2 a b 2 2 (5)若 a, b R ，贝U 1 . a ab b a 2 b 2 v ------ 1 1 2 2 (1 已知a a,b,c a )(1 1, 求证: b)(1 c) 8abc a, b, c R 高中数学不等式专题教师版 一、 高考动态 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 二、不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b ab +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； 第一课时：不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，用不等式如何表示？ 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系： (1)a 大于b a ＞b (2)a 小于ba b ?a －b >0；a ＝b ?a －b ＝0； a b ?b b ，b >c ?a >c (传递性)； 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式 (3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)； (4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac 学习必备 欢迎下载 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则 2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当 b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,abc d R ∈，则22222 () ()()a b c d a c b d ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 2 2 2 (a a a ++???+)2 2 2 )b b b ++???+(2 ()a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：222 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： a b c c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 1111118a b c ?????? ---≥ ??????????? 教案7 不等式证明 一、课前检测 1．若0>x ，则x x 432+ +的最小值是_________．342+ 2. 已知1>x ，1>y ，且4lg lg =+y x ，则y x lg lg 的最大值为（ B ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．41 3. 设a 、b 是正实数，则下列不等式中不成立的是（ D ） (A)221≥++ab b a (B)4)11)((≥++b a b a (C)b a ab b a +≥+2 2 (D)ab b a ab ≥+2 4. 设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y )的最小值为( B ) （A ） 6 （B ）9 （C ）12 （D ）15 二、知识梳理 1. ．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分_______________两种形式．比差、比商 (1)作差比较法，它的依据是________________： ?? ????>-b a b a b a b a b a b a 000 它的基本步骤：___________________，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等． 作差——变形——判断 (2) 作商比较法，它的依据是：____________________________ 若a >0，b >0，则 ???? ???>b a b a b a b a b a b a 111 它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到． 2．综合法：综合法证题的指导思想是___________(“由因导果”)，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论． 3．分析法：分析法证题的指导思想是_____________(“由果索因”)，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立。 三、典型例题分析 例1. 已知0,0>>b a ，求证： b a a b b a +≥+ 证法1： )(b a a b b a +-+ ＝ ab ab b a b a )()()(33+-+ ＝ ab b ab a b a ])(2))[((22+-+ ＝ab b a b a 2 ))((-+ ∵b a +>0，ab >0，0)(2≥-b a ∴ 0)(≥+-+b a a b b a 即 b a a b b a +≥+ 证法2：ab ab b a ab b a b a b a a b b a -+=++=++)()()(3 3 ＝1＋1)(2 ≥-ab b a 2.3 基本不等式 1．基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ﹥0，b ﹥0. (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号． (3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数． 注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误． 2．几个重要不等式： (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)． (2)b a ＋a b ≥ (a ，b 同号)． (3)ab 2 2? ? ? ??+b a (a ，b ∈R)． (4)a 2＋b 2 2 22?? ? ??+b a (a ，b ∈R)． (5)则b a 11 2 + ≤ab ≤a ＋b 2≤ 2 22b a +(a ﹥0,b ﹥0)其中当且仅当a =b 时取等号（调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数） 3．利用基本不等式求最值问题 已知x ﹥0，y ﹥0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最 (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当 时，xy 有 (简记：和定积最大)． 自查自纠 1．(2)a ＝b 2．(2)2 (3)≤ (4) ≥ 3．(1)x ＝y 小值是2p (2)x ＝y 最大值是s 24 1．下列说法正确的是 ( ) A ．a ≥0，b ≥0，则a 2＋b 2≥2ab B ．函数y ＝x ＋1 x 的最小值是2 C ．函数f (x )＝cos x ＋ 4cos x ，x ∈?? ? ??2,0π的最小值等于4 D ．“x >0且y >0”是“x y ＋y x ≥2”的充分不必要条件 答案：D. 解析：选项A 中，a ＝b ＝0.1时不成立；选项B 中，当x ＝－1时y ＝－2；选项C 中，x ∈?? ? ??2,0π时，0基本不等式中“1的妙用教师版PDF
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