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一些重要不等式的运用(第2,6,7,10,14,16个有趣不等式问题)

八个著名的不等式

第八讲几个著名的不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们将成为我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。下面择要介绍一些著名的不等式． 1.柯西（Cauchy ）不等式定理：设()n i R b a i i Λ2,1,=∈则 ()2 221 1n n b a b a b a Λ++≤()( ) 2 22212 222 1 n n b b b a a a ΛΛ++?++ 等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.。 [一般形式的证明] 作函数 ()()()() ( ) ( ) )(22 2 222122112 2 22212 2 222 11≥+++++-+++=-++-+-=x b b b x b a b a b a x a a a b x a b x a b x a x f n n n n n n ΛΛΛΛ 0≤?∴ 此时04412122 1≤?? ? ????? ??-??? ??=?∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a ?? ? ????? ??≤??? ??∴∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 12122 1，得证。 [向量形式的证明] 令(),2,1n a a a A Λρ= (),2,1n b b b B Λρ = ()()( ) 2 22212 222 1 2211cos n n n n b b b a a a B A B A b a b a b a B A ΛΛρρρρΛρρ++?+++= ≤=++=?θ ()1cos 1≤≤-θ 两边同时平方得： ()2 221 1n n b a b a b a Λ++≤()( ) 2 22212 222 1 n n b b b a a a ΛΛ++?++，得证。

初中数学竞赛专题：几何不等式与极值问题

初中数学竞赛专题：几何不等式与极值问题 17.1.1★ 一个凸行边形的内角中,恰好有4个钝角,求n 的最大值．解析考虑这个凸行边形的n 个外角,有4n -个角90?≥,故有()490360n -??,P 为BC 边的高AD 上的一点,求证：AB AC PB PC -<-. P C D B A 解析易知AB AC PB PC +>+, 又2222AB AC BD CD -=- 22PB PC =-, 故有AB AC PB PC -<-．评注读者不妨考虑AD 是角平分线与中线的情况． 17.1.3 已知四边形ABCD ,AC 、BD 交于O ,ADO △和BCO △的面积分别为3、12,求四边形ABCD 面积的最小值． C B O D A 解析易知 ABO BCO ADO DCO S S BO S DO S == △△△△,故36ABO CDO ADO BCO S S S S ?=?=△△△△. 从而12ABO CDO S S +△△≥, 且当ABO CDO S S =△△（此时四边形ABCD 为一梯形）时等号成立,所以此时四边形ABCD 面积达到最小值27. 17.1.4★ 已知：直角三角形ABC 中,斜边BC 上的高6h =．（1）求证：BC h AB AC +>+；

（2）求()()2 2BC h AB AC ++-. 解析 () ()2 2 BC h AB AC +-+ 222222BC h BC h AB AC AB AC =++?---?, 由条件,知242ABC BC h S AB AC ?==?△,且222AB AC BC +=, 于是()()2 2 236BC h AB AC h +-+==. 注意：这同时解决了（1）和（2）. 17.1.5★ 设矩形ABCD ,10BC =,7CD =,动点F 、E 分别在BC 、CD 上,且4BF ED +=,求AFE △面积的最小值． B F C E D A 解析设 BF x =,()4DE y x ==-,则()()()1 1 7101077022ABF ADE ECF S S S x y x y xy ++=++--=+????△△△。由()2 144 xy x y +=≤。故 ()1 70704332 AEF S -?+=△≥. 当2BF ED ==时达到最小值． 17.1.6★ 设P 是定角A ∠内一定点,过P 作动直线交两边于M 、N ,求证：AMN △面积最小时,P 为MN 的中点．解析如图,连结AP ,设MAP α∠=,NAP β∠=,θαβ=+,由 AMP ANP MAN S S S +=△△△,得 sin sin sin AM AP AN AP AM AN αβθ??+??=?。又左式2AP ≥,

不等式知识点详解

考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ §06. 不等式知识要点 1. 不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a （对称性）（2）c a c b b a >?>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+?>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加）（5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系）（11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +≤（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.

几何不等式

中国计量学院吴跃生几何问题中出现的不等式称为几何不等式．证明几何不等式的方法大致可分为三种方法：几何方法、代数方法和三角方法．记号约定：在ABC V 中，,,a b c 表示三边长；,,A B C 表示对应角；s 表示半周长；,,a a a h t m 分别表示a 边上的高、内角平分线长、中线长；R 和r 分别表示ABC V 的外接圆半径和内接圆半径；S 表示ABC V 的面积．设P 是ABC V 内任意一点，记123,,PA R PB R PC R ===；点P 到三边,,BC CA AB 的距离分别记为123,,r r r ；记,,BPC CPA ABC αβγ∠=∠=∠=；,,BPC CPA ABC ∠∠∠的内角平分线长分别记为123,,w w w ．一、距离不等式与化直法仅仅涉及线段长度的几何不等式称为距离不等式． 1．设,,a b c 是ABC V 的边长，求证： 2a b c b c c a a b ++<+++．２．已知：在ABC V 中，c 是最小边，P 是ABC V 内任意一点，求证： PA PB PC a b ++<+．（冷岗松）加强：在ABC V 中，c 是最小边，P 是ABC V 内任意一点，求证：存在(01)p p λλ<<，使得 (1)[min(,)]p PA PB PC a b a b c λ++<+---．（鱼儿） 3．设a 是ABC V 的最大边，O 是ABC V 内任意一点，设直线AO BO CO 、、与ABC V 的三边分别交于点P Q R 、、，证明： OP OQ OR a ++<．二、托勒密(Ptolemy)定理及其应用托勒密定理：在凸四边形ABCD 中，有 AB CD AD BC AC BD ?+?≥?，当且仅当四边形ABCD 是圆内接四边形时等号成立．下面各例中的不等式的等号成立的条件，请读者自行判明，不再赘述． 1． 242b c m m a bc ≤+(1993年，陈计) 对偶式：22242449b c m m a b c bc ≥--+．(1992年，陈计)

几个著名的不等式.doc

.. 【本讲教育信息】一 . 教学内容：几个著名的不等式二、本周教学目标： 1、掌握柯西不等式、平均不等式等几个著名不等式的基本形式和特点． 2、会用参数配方法证明柯西不等式，体会构造方程解决数学问题的思想． 3、能将基本不等式推广到一般形式． 4、掌握利用均值不等式、柯西不等式在求函数最值中的应用，体会不等式与其它知识及现实世界的联系。三、本周知识要点：定理 1：设 a ， b ， c ， d 均为实数，则 ( ac bd ) 2 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) 当且仅当 ad bc 时等号成立。定理 2：（柯西不等式的向量形式）设α，β是平面上的两个向量，则当且仅当两个向量方向相同或相反时等号成立．定理 3：（柯西不等式的一般形式）给定两组实数 a 1， a 2，， a n ； b 1， b 2，，b n 有 n n n ( a i b i ) 2 ( a i 2 ) ( b i 2 ) ，（ *） i 1 i 1 i 1 当且仅当 a i kb i (i ，，， n ) 时等号成立。 1 2 n n n f ( x) ( a i 2 )x 2 (2 a i b i )x b i 2 证明： i 1 i 1 i 1 （ 1）若 a i 全为 0，则结论显然成立； n 2 （ 2）若 a i 不全为 a i 0，则 i ， f (x) 为首项系数大于 0 的一元二次函数，并且

.. n f ( x) (a i x b i ) 2 ( x) 的判别式 i 1 ，故 f n n n (2 a i b i )2 4 a i 2 b i 2 i 1 i 1 i 1 ，即 n n n ( a i b i )2 ( a i 2 ) ( b i 2 ) i 1 i 1 i 1 显然，当且仅当 a i kb i (i ，，， n) 时等号成立。 1 2 定理4 ：设 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 为任意实数，则这个不等式通常称为三角形不等式定理 5： n 个正数的算术—几何平均不等式： a 1 a 2 a n 其中， n 称为这 n 个正数的算术平均，几何平均．这个不等式通常称为算术－几何平均不等式，它表明：于它们的几何平均． n a 1a 2 a n 称为这 n 个正数的 n 个正数的算术平均不小【典型例题】设 a ， b ， c 为正数，且 a ＋ b ＋ c ＝ 1，求证： (a 1 )2 (b 1 ) 2 (c 1 )2 100 例 1. a b c 3 1 (12 12 12 )[( a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 ] 证明：左边＝ 3 a b c

第13讲几何不等式深圳中学周峻民

·竞赛专题几何不等式深圳中学周峻民一、知识与方法几何不等式，顾名思义是研究几何图形中有关元素的数量不等关系，较多的涉及到三角形或多边形的边长、面积等方面的不等式．处理方法一般分为纯几何方法和转化为代数方法、三角方法加以解决，可寻找解题规律，但没有固定的解题模式，要善于抓住主要矛盾解决问题。其知识往往涉及到平面几何的重要定理、公式，代数（三角）的基本等式和不等式以及相关知识。 1．将几何问题转为代数问题（1）利用三角形三边关系化为代数式：若三角形三边长为,,a b c ，则b c a +>， c a b +>，a b c +>，由此，可设2y z a += ，2z x b +=，2 x y c +=，即x a b c =-++ 0>，0y a b c =-+>，0z a b c =+->，将含有边长,,a b c 的不等式（三角形几个重要元素，如，外接圆半径R 、内切圆半径r 、面积、中线、高线、角平分线等）化为含有正数 ,,x y z 的代数不等式. （2）利用正弦定理：2sin ,2sin ,2sin ,a R A b R B c R C ===将含有边长,,a b c 的不等式化为三角函数不等式.在化为三角函数不等式时应注意以下等式的应用： 2 2 2 cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=； 222222444 2(sin sin sin sin sin sin )sin sin sin B C C A A B A B C ++--- 2 2 2 64sin sin sin A B C =； tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=； cot cot cot cot cot cot 1B C C A A B ++= 等等。 2．几何方法利用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式：

不等式测试卷(简单)

谷老师赠言：① 目标以提升热忱,毅力以磨平高山。③练习就是高考，高考就是练习 ④ 每道错题做三遍。第一遍：讲评时；第二遍：一周后；第三遍：考试前。 ⑤失败不是成功之母，总结和反思才是成功之母；⑥有高水平的集体，才有高水平的个人。 1、当天的任务当天完成，不积攒； 2、不会的要问，即使不问也要老师知道；3不会的重点标记，认真听；4、一定要复习，一定要再看几遍。《不等式》测试题一．填空题： (32%) 1. 设2x -3 ＜7,则 x ＜ ; 2. 5－＞0且＋1≥0 解集的区间表示为___ ______ ； 3. | x 3 |＞1解集的区间表示为________________; 4.已知集合A = [2,4],集合B = (-3,3] ,则A ∩ B = ,A ∪B = . 5.不等式x 2 ＞2 x 的解集为_______ _____;不等式2x 2 －3x －2＜0的解集为________________. 6. 当X 时,代数式有意义. 二．选择题：(20%) 7.设、、均为实数，且＜，下列结论正确的是( )。 (A) ＜ (B) ＜ (C)－＜－ (D)＜ 8.设a ＞＞0且＞＞0，则下列结论不正确的是( )。 (A) ＋＞＋ (B)－＞－ (C)－＞－ (D) ＞ 9.下列不等式中，解集是空集的是( )。 (A)x 2 - 3 x –4 ＞0 (B) x 2 - 3 x + 4≥ 0 (C) x 2 - 3 x + 4＜0 (D) x 2 - 4x + 4≥0 10.一元二次方程x 2 – mx + 4 = 0 有实数解的条件是m ∈（）（A ）（－４,４）（B ）［－４,４］（C ）（－∞，－４）∪（４, ＋∞）（D ）（－∞，－４］∪［４, ＋∞）三．解答题(48%) 11.比较大小：2x 2 －7x ＋ 2与x 2 －5x (8%) 12 .解不等式组(8%) 2 x - 1 ≥3 x - 4≤ 7 12.解下列不等式，并将结果用集合和区间两种形式表示：(20%) (1) | 2 x – 3 |≥5 （2） - x 2 + 2 x – 3 ＞0 13.某商品商品售价为10元时，销售量为1000件，每件价格每提高0.2元,会少卖出10件,如果要使销售收入不低于10000元,求这种图书的最高定价.(12%)

有趣的不等式

有趣的不等式一、2005年10月12日，我国“神舟”六号飞船在甘肃酒泉卫星发射中心成功发射，千年飞天梦，今朝又成真。这一伟大成就庄严地载入了中华民族的光辉史册，豪情满怀之后，你可曾知道，飞船是必须由火箭运载上天的，并且只有当火箭的速度大于1.12×104米/秒时，飞船才能脱离地球的引力束缚，飞入太空。二、把看似枯燥的数学问题用朗朗上口的诗歌形式表达出来或编成有趣的小故事，让人们耳目一新，备受喜欢，不少的问题还涉及不等式。请看以下几例。 1、诗歌与不等式诗歌曰：六丈六尺布，裁成两种裤，长的七尺二，短的二尺五，布要全用尽，规格要相等，各样有几条，请问大师傅？解：设长裤裁出x 条，短裤裁出y 条，根据题意，得7.2x ＋2.5y=66, 转化为y=25 72660x -。显然x ，y 必是正整数，即 2572660x -＞0，解得x ＜96 1。所以x 为1至9的整数。由y=2572660x -可知，x 必须是5的倍数，否则2572660x -就不是整数。所以x=5，代入得y=12。即长裤裁5条，短裤裁12条。 2、建筑物与不等式一位意大利数学家游玩了比萨斜塔后，提出了一道有趣的问题。他说：比萨斜塔共有8层，其中顶层有12根石柱，中间6层，每层的石柱一样多，底层石柱只有中间每层石柱的一半，而且中间每层和底层的石柱数都是5的倍数。告诉你比萨斜塔是由200多根石柱构成，但不会超过250根。请问比萨斜塔由多少根石柱构成？解：设比萨斜塔的底层有x 根石柱，那么中间6层各有2x 根，则比萨斜塔共有（13x ＋12）根石柱。由于中间每层和底层的石柱数都是5的倍数，即x 是5的倍数，因此x 可取

常见不等式的几何直观

常见不等式的几何直观数学与统计学院2008级1212408087 陈小丽研究不等式的出发点是实数的大小关系。我们知道，数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B。那么，当点A 在点B 的左边时，ab（图1）。图1 不等式的基础性质也可以通过作图来表示：用线段AB的长表示a，线段BA表示-a；线段CD表示b，线段DC表示-b。如：（1）如果a>b，b>c，那么a>c。画图2表示：绝对值|a|表示数a到原点的距离。即若a>0, |a|=a；若a<0, |a|=-a；若a=0, |a|=0。对于任意的两个实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别是A,B，那么|a-b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离。为了在直观上刻画绝对值，我们做函数y=x,y=-x,y=|x|,y=-|x|的图像。图3

图3-1 图3-2 图3-3 由图易得-|x|≤x≤|x|，于是对每个实数a，有-|a|≤a≤|a|。绝对值的几何意义是我们认识绝对值不等式的重要工具。实际上，我们可把“距离大小”作为研究绝对值不等式的基本出发点，解决相应的问题。把|a|+|b|≥|a+b|，等号成立当且仅当ab≥0中a,b 用向量α，β代替，可以很明显地看出其几何意义。当向量α，β不共线时，那么由向量加法的三角形法则，向量α，β，α+β构成三角形，因此我们有向量形式的不等式|α|+|β|≥|α+β|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。所以我们称该不等式为绝对值三角不等式。如|x|≤1的解如图4：

算术-几何平均值不等式

算术-几何平均值不等式信息来源：维基百科在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。例子在的情况，设: ，那么 .可见。历史上的证明

历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。柯西的证明 1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：命题：对任意的个正实数，当时，显然成立。假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，假设成立，那么成立。证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。但是，，因此上式正好变成也就是说

综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且有。根据二项式定理，于是完成了从到的证明。此外还有更简洁的归纳法证明[3]：在的情况下有不等式和成立，于是：

几个著名不等式

几个著名不等式 1 著名不等式柯西不等式对于任意两组实数和有上述不等式只有当时，等号才能成立．证明因为对任意x，有将上式展开得上述二次三项式对任意x均大于等于0，故其判别式不能大于0，所以当判别式等于0时，上述方程有重根，设重根为x=k，则这时所以上述不等式只有当时等号才能成立。如令，则得

柯西不等式在高等代数中的意义是：两个向量的数积不大于两个向量长度的乘积．若则其中例１若都是正数，求证证明构造两个实数列则由柯西不等式得即 *赫勒德尔不等式由柯西不等式可得

但所以有同理有一般地有现在证明上述不等式对任意不等于2m的正整数也成立（假定所有数列均为正数列）．设共k个实数列设共k个再令

则有但所以所以即该不等式对任意不等于2m的整数k也成立．上述不等式的证明有些麻烦，不好记，现用反归纳法给出一个简洁的证明．由证明知，不等式对无穷多个自然数k=2m成立．现在假设不等式对m=k成立．（是k个数列）≤ 但是左边

所以即不等式对m=k-1也成立。由反归纳法知，不等式对任意整数k均成立．例２设非负实数满足求证．证明当n=1时，结论显然正确．假设命题在n=k时正确，非负实数满足则成立．现设为k+1个非负实数，满足 +要证令，则由归纳假设但是，因为，所以所以

证毕如果令．这里均为正实数，则得现在证明下面不等式其中均为正有理数，且证明上面的不等式称为赫勒德尔不等式．当为正无理数且满足条件时，上述不等式当然也成立，只要根据“每一无理数都有理数的极限”，便可证明．最后，再应用“算术平均值大于几何平均值”来证明赫勒德尔不等式．对于，得

几何不等式讲解

几何不等式的证明及应用一、1．定义：几何问题中出现的不等式称为几何不等式. 常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等. 在几何不等式的证明中，将综合运用到我们所学的很多知识，但最首要的是要注意运用几何中基本的不等关系和一些重要定理．证明不等式，视其论证过程中，以运用何种知识为主，大致分为三种方法：几何方法；三角方法；代数方法。 2．证明几何不等式常用方法（1）代数方法：利用变量代换、因式分解、配方等手段将几何问题转为代数问题，其思路是：适当地引入变量，将几何问题化为代数问题，特别是二次函数；恰当选择变量为关键；利用重要的几何不等式及代数不等式当证明涉及三角形不等式时，注意应用：①三边长的固有不等关系；②海伦公式；③边长的大小顺序关系与对应角的大小顺序关系相同，而与对应高、中线及分角线长的顺序相反. （2）三角方法：利用三角函数来反映几何图形的变化规律，从而将几何问题转化为三角问题，这时最常用的三角知识是：三角恒等变形：这主要是应用和、差、倍、半角公式，积化和差及和差化积公式等，制造出便于应用已知不等式的形式，以完成命题的证明；边角互换：这主要是利用三角函数定义、正弦定理、余弦定理等，把一个关于角（边）的不等式转化成边（角）的不等式. （3）几何方法：即指用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式，这时最常用的平面几何知识是：抓住几何图形的特征，挖掘几何图形中最基本的几何不等关系.事实上，一些最基本的几何不等关系在有关几何不等式的论证中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙；与面积有关的几何不等式也占有重要地位.其内容丰富，涉及面宽，富于智巧.证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识. 3．几个著名代数不等式：柯西不等式，排序不等式，算术平均不等式等. 4．几个著名的几何不等式（1）托勒密定理的推广：在凸四边形ABCD 中，一定有：BD AC BC AD CD AB ?≥?+?，等号成立时四边形 ABCD 是圆内接四边形. 证明1：取点E ，使ACD ABE CAD BAE ∠=∠∠=∠，则ABE ?∽ACD ? ∴ CD BE AC AB =，AD AE AC AB = ∴BE AC CD AB ?=? （1）又DAE BAC ∠=∠ ∴ABC ?∽AED ? ∴ AD AC DE BC = ∴DE AC AD BC ?=? ∴BD AC DE BE AC DE AC BE AC AD BC CD AB ?≥+?=?+?=?+?)(

算术—几何平均不等式

江苏省郑梁梅高级中学高二数学教学案（理）主备人：冯龙云做题人：顾华章审核人：曾庆亚课题：算术—几何平均不等式一、教学目标： 1．掌握平均不等式的基本形式和特点，体会特殊化到一般化的思考方法； 2．利用平均不等式证明相关结论；二、教学重点、难点重点：掌握平均不等式的基本形式和特点；难点：利用平均不等式证明相关结论。三、教学过程 1、问题情境复习回顾：基本不等式 2、建构数学算术—几何平均不等式： 3、数学运用例1、设,,a b c 为正数，证明：2 (1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥。

例2、设12,,,n a a a L 为正数，求证：1212111n n a a a n n a a a +++≥+++L L 。例3、证明：对于任意正整数n ，有111(1)(1)1n n n n ++<+ +。 4、课堂练习（1）已知x 、y 都是正数，且 141x y +=，求x y +的最小值。（2）已知x 、y 都是正数，且x y >，求证：22 12232x y x xy y + ≥+-+。 5、课堂小结四、板书设计五、教学后记

江苏省郑梁梅高级中学高二数学作业（理）班级__________ 姓名________ 学号_________ 1、设,,a b c 为正实数，求证：333111abc a b c +++≥ 2、已知a 、b 为正数，求证：22 (1)(1)9a b a b ab ++++≥。 3、已知a 、b 、c 为正数，且()1abc a b c ++=，求()()a b a c ++的最小值。

几何不等式测试题

几何不等式测试题 1．在△ABC中，M为BC边的中点，∠B=2∠C，∠C的平分线交AM于D。证明：∠MDC≤45°。 2．设NS是圆O的直径，弦AB⊥NS于M，P为弧上异与N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交圆O于Q，求证：RS＞MQ。 3．在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的平分线交外接圆于P、Q、R。证明：AP+BQ+CR＞BC+CA+AB。 4．过△ABC内一点O引三边的平行线，DE∥BC,FG∥CA,HI∥AB,点D、E、F、G、I都在△ABC的边上，表示六边形DGHEFI的面积，表示△ABC的面积。求证：。 5．求证：△ABC的内心I到各顶点的距离之和不小于重心G到各边距离之和的2倍。 6．凸四边形ABCD具有性质：（1）AB=AD+BC，（2）在其内部有点P，P点到CD的距离为h，并使AP=h+AD,BP=h+BC，求证：。 7．设H为锐角△ABC的垂心，A1，B1，C1，分别为AH，BH，CH与△ABC外接圆的交点。求证：。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。 8．一凸四边形内接于半径为1的圆。证明：四边形周长与其对角线之和的差值u,满足0AC，直线EF交BC 于P，过点D且平行于EF的直线分别交AC、AB于Q、R。N是BC上的一点，且∠NQP+∠NRP ＜180°，求证：BN>CN。参考答案【同步达纲练习】 1．设∠B的平分线交AC于E，易证EM⊥BC作EF⊥AB于F，则有EF=EM， ∴AE≥EF=EM，从而∠EMA≥∠EAM,即90°-∠AMB≥∠EAM。又 2∠MDC=2（∠MAC+∠ACD）=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB， ∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC，∴∠MDC≤45°。 2．连结NQ交AB于C，连结SC、SQ。易知C、Q、S、M四点共圆，且CS是该圆的直径，于是CS>MQ。再证Rt△SMC≌Rt△SMR，从而CS=RS，故有RS>MQ. 3．设的内心为I，由IA+IB>AB,IB+IC>BC, 即2（AP-IP+BQ-IQ+CR-IR）＞AB+BC+CA （1）连AR，∵∠AIR=∠IAR，∴IR=AR，又AR=BR，

世界数学史上的十个著名不等式

数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立．平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且

两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值．在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立．柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则

（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．三、闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为

四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则

初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第17章几何不等式与极值问题试题新人教版

第17章几何不等式与极值问题一个凸行边形的内角中，恰好有4个钝角，求n 的最大值．解析考虑这个凸行边形的n 个外角，有4n -个角90?≥，故有()490360n -??，P 为BC 边的高AD 上的一点，求证：AB AC PB PC -<-. 解析易知AB AC PB PC +>+，又2222AB AC BD CD -=- 22PB PC =-，故有AB AC PB PC -<-．评注读者不妨考虑AD 是角平分线与中线的情况． 17.1.3 已知四边形ABCD ，AC 、BD 交于O ，ADO △和BCO △的面积分别为3、12，求四边形ABCD 面积的最小值．解析易知ABO BCO ADO DCO S S BO S DO S == △△△△，故36ABO CDO ADO BCO S S S S ?=?=△△△△. 从而12ABO CDO S S +=△△≥，且当ABO CDO S S =△△（此时四边形ABCD 为一梯形）时等号成立，所以此时四边形ABCD 面积达到最小值27. 已知：直角三角形ABC 中，斜边BC 上的高6h =．（1）求证：BC h AB AC +>+；（2）求()()2 2 BC h AB AC ++-. 解析 () ()2 2 BC h AB AC +-+ 222222BC h BC h AB AC AB AC =++?---?，由条件，知242ABC BC h S AB AC ?==?△，且222AB AC BC +=，于是()()2 2 236BC h AB AC h +-+==. 注意：这同时解决了（1）和（2）. 设矩形ABCD ，10BC =，7CD =，动点F 、E 分别在BC 、CD 上，且4BF ED +=，求AFE △面积的最小值．解析设 BF x =， () 4DE y x ==-，则 ()()()11 7101077022ABF ADE ECF S S S x y x y xy ++=++--=+????△△△。由()2 144 xy x y +=≤ 。故 ()1 70704332 AEF S -?+=△≥.

6几个著名的不等式1doc

6几个著名的不等式在不等式的证明中，掌握一些常用的不等式是必要的，下面我们对几个常用的著名不等式作一介绍。 1 基本原理先介绍排序不等式，设n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 是两组实数，且 n a a a 21，n b b b 21，我们将n n b a b a b a 2211称为这两组实数的顺序积和，将1121b a b a b a n n n 称为这两组实数的倒序积和，设n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列，则称 n i n i i b a b a b a 2121为这两组实数的乱序积和。对于这3类积和我们有如下结论：定理1（排序不等式）设n a a a 21，n b b b 21， n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个全排列，则有 1121b a b a b a n n n n i n i i b a b a b a 2121 n n b a b a b a 2211，等号全成立的充要条件是n a a a 21或n b b b 21. 证我们先用数学归纳法证明. n i n i i b a b a b a 2121n n b a b a b a 2211 （1）当2 n 时，因为 )(12212211b a b a b a b a 0))((1212 b b a a ，所以 2 n 时，（1）式成立。假设对于k n 时（1）式成立，即 k i k i i b a b a b a 2121k k b a b a b a 2211，其中k i i i ,,,21 是1,2,k , 的一个排列，那么对于1 k n ，设121,,, k i i i 是1,2， 1, k 的一个全排列，则当11 k i k 时，由归纳假设知， 121121 k k i k i k i i b a b a b a b a

证明几何不等式证法举例

证明几何不等式证法举例四川省广元市宝轮中学唐明友几何不等式的证明是初中数学一个难点，所用知识不外乎有：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；同一三角形中，大角对打边，大边对大角以及三角形内角和定理等知识，下面就其证明思路进行分析。一.中线加倍法例1.如图，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，求证：A D<2 AC AB + 证明：延长AD 至E ，使DE=DA ，连接CE ∵DA=DE,DC=DB,∠1=∠2，∴△AB D ≌△EC D ，∴AB=EC 在△ACE 中AEAD+BC 证明：分别取AB 、CD 的中点E 、F ，连接OE 、OF 、EF ∵A C ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点∴OE 、OF 分别是Rt △ABO 、Rt △CDO 斜边上的中线，即OE= 21AB,OF=2 1CD, 又EF 是梯形ABCD 的中位线，可得EF=2 BC AD + 在△OEF 中，OE+OF>EF ，即21AB+21CD>2 BC AD + ∴AB+CD>AD+BC 评注：由结论的右边AD+BC 可联想到梯形的中位线，确定取AB 、CD 的中点E 、F,再由A C ⊥BD 可得一些直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，便迎刃而解了。四.平移法例4.如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，BE=CF ，求证：EF

不等式的趣味应用题赏析(作者赵先举)

不等式的趣味应用题赏析作者: 赵先举不等式不仅是数学的基础,在现实生活中也有着广泛的应用,灵活应用不等式知识可以帮助我们化解困难,使得生活更加美好.下面给出几个例子供大家欣赏. 一、交通问题中的基本不等式问题繁华都市中,人们的生活节奏在不断加快,交通的压力越来越大.为了解决交通拥挤问题,政府想了很多办法,对车辆的行驶速度等进行了调查,试图通过对数据的分析,来减轻交通的压力.下面给出的是一个城市的数据模型,我们来帮政府分析一下吧. [案例]：2012年伦敦奥运会进行期间,为了缓解交通压力,在一交通要道交通部门规定:在此段内的车距d 正比于车速v(km/h)的平方与车身长s(m)的乘积,且最小车距不得少于半个车身长.假设车身长均为s(m),且车速为50(km/h)时,车距恰为车身长s.问交通繁忙时,应规定怎样的车速,才能使此地段的车流量Q 最大. [探究]：这一问题可以利用均值不等式求最值的方法进行解决.车身长s 为常量,设d=kv 2s,把v=50,d=s 代入可得12500k =,把12d s =代入212500 d v s =, 可得v = 所以21(021(2500 s v d v s v ?<≤??=??>?? 于是, 车流量21000(0310*******((1)2500v v s v Q v d s v v s ?<≤???==?+?>?+?? 当0v <≤时,Q 为v 的增函数,所以 ,v =时,Q 最大, 为100032 v s =; 当v > ,1000250001()2500Q v s s v =≤=+. 当且仅当12500 v v =,即50v =时,等号成立. 又25000s <,所以,v=50km/h 时,车流量最大. 二、市场经营中的不等式证明问题市场经济给世界带来了竞争,也带来了活力,在市场经济下,我们更应该学会灵活应用数学知识,只有这样才能使我们的成本最低,盈利最大,进而使得我们的实力更强大,下面来看一个例子,来分析数学知识在市场经营中的灵活应用.

三个正数的算术-几何平均不等式优秀教学设计

三个正数的算术－几何平均不等式【教学目标】 1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。【教学重难点】 1．三个正数的算术-几何平均不等式 2．利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题【教学过程】一、知识学习：定理3：如果+∈R c b a ,,，那么 33abc c b a ≥++。当且仅当c b a ==时，等号成立。推广： n a a a n +++ 21≥n n a a a 21 。当且仅当n a a a === 21时，等号成立。语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。思考：类比基本不等式，是否存在：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时，等号成立）呢？试证明。二、例题分析：例1：求函数)0(322>+=x x x y 的最小值。解一： 3322243212311232=??≥++=+=x x x x x x x x y ∴3min 43=y 解二：x x x x x y 623223222 =?≥+=当x x 322=即2123=x 时 ∴633min 324212322 1262==?=y 上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 b b a a b a R b a )(1,,-+>∈+求且若的最小值。

由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值。由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________。三、巩固练习 1．函数)0(1232>+=x x x y 的最小值是 ( ) A ．6 B ．66 C ．9 D ．12 2．函数2 22)1(164++=x x y 的最小值是____________ 3．函数)20)(2(24<<-=x x x y 的最大值是（） A ．0 B ．1 C ．2716 D ． 2732 4．(2009浙江自选)已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求2 444z y x ++的最小值。 5.（2008，江苏，21）设c b a ,,为正实数，求证：32111333≥+++abc c b a 四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。