函数表达式(例题练习题).doc
函数表达式
【教学目标】
1. 让学生充分掌握求函数解析式的方法
2. 学生能够独立解题
【重点难点】求函数表达式的方法 【教学内容】求函数解析式的常用方法
一、
待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1设/（X ）是一次函数，且.力
&CQ 匚,求
/（兀） 解：设（GH O ）,贝I J
1.设/（x ）是一元二次函数，且
求/（兀）与g （兀）?
变式训练.设二次函数/（兀）满足且图象在y 轴上截距为I, 在X 轴上截得的线段长为2血，求/（x ）的表达式.
卜=2
[b=l
二、配凑法：已知复合函数,/L^l的表达式，求/（兀）的解析式，./3C切的表达式容易配成g（兀）的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数/（兀）的定义域不是原复合函数的定义域，而是g（Q的值域。
例2已知.心J）"』（%>0）,求/（兀）的解析式
解：?——I — , x H— n 2
JV JV X
叮心』1 u>2）
三、换元法：己知复合函数皿&）］的表达式时，还可以用换元法求/（兀）的解析式。与配凑法一样，耍注意所换元的定义域的变化。
例3 已知. ~ir ,求,/*（乂+1）
解：令才=低：+1,贝ij r > 1, jc=（t—X）2
? 2/^^eT (x>l)
Xr^E (x>0)
1.已知f (3x+l)二4x+3,求f(x)的解析式.
变式训练.若/（丄）=亠，求/（兀）?
X 1 —X
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：
函数 尸壬4犬斧箱的图象关于点(一2,3)对称，求g(x)的解析式
解：设7V 心刃为；^=&劝上任一点，且八＜心^4为*心刃关于点(一2,3)的对称点
x f
= ~x — 4
），=6 — y
v 点必出刈在y=gQc )上
x 9 — —X — 4
,/
代入得:
=6_y
整理得
:.
—
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构 造方
程组，通过解方程组求得函数解析式。
解① 显然XH O,将I 换成一，得: I
.A-)—2心=—②
解①②联立的方程组，得: “、乂 2
1 .设函数/(%)是定义(一 00,0) U (0, + 8 )在上的函数，且满足关系式
护疋求/⑴的解析式.
则〈
例5 i
求/⑴
变式训练.若心十^^）=1宀，求fM ?
例6设/（兀）为偶函数，g （兀）为奇函数，又/3十实功」一,试求 心稲?的解析 JC —L 式
解'：/（兀）为偶函数，g （x ）为奇函数，
又.心+的①， A>-1
用_兀替换x 得： ———
^v+4
即②
JV4-1
解① ②联立的方程组，得
/心 士， 士
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性” 的
变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7已知：,/<0）=1,对于任意实数x 、y,等式恒成立,
求 /（X ）
再令 一，=乂得函数解析式为： 人
七、递推法：若题川所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过 迭
加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设/（兀）是定义在N *上的函数，满足/（1）=1,对任意的自然数Q# 都有
不妨令
得：
对于任意实数x 、y,
等式
成立,
分别令①式屮的=42小得:
f ⑵7⑴=2, /(3)-/(2) = 3,
/(?)- /(? -1)= “,
【过手练习】
1.已知函数/（X ）满足
则 /（X ）二 ___________
2.已知/（x ）是二次函数，且求/（兀）的解析式。
【拓展训练】
1.求下列函数的定义域:
\l
—2v —15 ⑴—申―3
(2)~^-j--
1H — JC —L
2.设函数/（兀）的定义域为[0, 1],则函数/U 2）的定义域为
；
函数f （^Jc —2）的定义域为 O
3.若函数/（乂+1）的定义域为[乜，3],则函数丿乂2^—1）的定义域是 _______________ ;函数
将上述各式相加得：＞
f (—H 2)的定义域为
。
X
4.知函数/(X )的定义域为(-1, 1| ,且函数的定义域存在,求
实数川的取值范围。
(8)，=A |2~~IA |"
(9)
、
土
7. 已知函数■刃求函数/(X ), ,/(2v4~D 的解析式。
5.求下列函数的值域： ⑴;(xe/?)
Q y _ ] ⑵
xe[1^2]
(3) y
=———
3r-1
⑷yp 心)
2仮-6
(5)
尸时
(11)
6. 已知函数yx^=
2A ?H -€AH 7?
的值域为[1, 3],求a 』的值。
8.设/(X)是R上的奇函数，且当乂时，7^^==^ /(x) = ___________________________ ; f(x)在R 上的解析式为 __________________________ o 9. 设/(兀)与g (兀)的定义域是：/(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 人Q 十gCQ=^,求/(x)与g(x)的解析表达式 jc —L 11.函数/(兀)在[O,S 上是单调递减函数，则护(1一壬)的单调递增区间是 【课后作业】 1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 3+3>* 5) 乂 三一^；⑵ ; 取；⑷/CQ =K . 若函数.欠口的定义域为R ,则实数加的取值范围是() (A) O (C) xvl 或 x>3 10.求下列函数的单调区间： (1) (2) ⑶ y=^C —^L^—\ 12.函数)‘，=丄二1的递减区间是 3兀+ 6 ；函数y = J 丄二-的递减区间是 V 3x + 6 AH-3 2. A 、⑴、(2) C 、 (4) D. (3)、(5) B. (2). (3) x-4 2 的定义域为R ，则实数刃 mX +4m.杆3 A^ (—oo,+oo) B 、(0,— ] 若函数/(%) = 的取值范围是 C 、(—,4-00) D 、[0, -I 3. (A) (B) (C) m>4 (D) A. [-2,2] B、(—2,2) D、{-2,2} x +2(x 5 —1) 7. _________________________________________________________ 函数/(%) = < x 2(-l 2x(% > 2) 8. 已知函数/(x)的定义域是(0, 1］,则的定义域 10. 把函数y =」一的图象沿I 轴向左平移一个单位后，得到图象C,则c 关于原点对称的 ?X+1 图象的解析式为 ______ 11 ?求函数在区间［0,2］上的最值 的最值。 13?已知acR ，讨论关于I 的方程 &的根的情况。 14.已知丄< a < 1，若丿?在区间卩，3］上的最大值为M(G ),最小值为N(a), 3 令(1)求函数g(a)的表达式；(2)判断函数g(a)的单调性，并求g(d) 的最小值。 6. 函数三是( A 、奇函数，且在(0, 1)上是增函数 C 、偶函数，且在(0, 1)上是增函数 ) B 、奇函数，且在(0, 1)上是减函数 D 、偶函数，且在(0, 1)上是减函数 9. , mx + n 已次口函数y = — ---- f + 1 的最大值为4,最小值为一1 ,则加二 ___________ 12 ?若函数 时的最小值为g(f),求函数g(f)当fw 卜3厂2］时 15.定义在R上的函数当兀＞0时，，/)(劝＞1,且对任意abwR, ⑴求/(0)；⑵求证：对任意⑶求证: /C0在R上是増函数；⑷若. 欠求X的取值范围。 函数练习题答案 4、一、函数定义域: 1 二、函数值域: 5、(1) (2)，曰Q5] (3) bdjV^S} 虽⑶ 6、 (6) {y\ ⑼ y*3] (n) {yly<|} 三、函数解析式: 4 /(x)=3x+- 四、单调区间: 6、(1)增区间：［Tg 减区间：(-严一1］(2)增区间：［一1,1］减区间：［1,3］ (3)增区间：减区间： 口(-2,2] 五.综合题: C D B B D B 18.解：对称轴为x=a (1) a>20 寸 r2+l(r<0) t久》时，+i为减函数 在［-3, —2］上，+1也为减函数 2()、21、22、(略) VT 〔5、(—16> m=zt4 n = 317、 19.解：ga)= fl(Ocvl) 尸一2/+ 2(01) /U) = 7^ [0J] 14、