概率统计与数理分析 习题

概率论与数理统计作业册



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浙江传媒学院


作业1　随机事件与概率
1、用集合的形式表示下列随机试验的样本空间与随机事件A：
（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A表示“点数之和大于10”。
；A 。
（2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A表示“射击次数不超过5次”。
；A 。
2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：
（1） A，B，C都发生： ；
（2） A，B，C都不发生： ；
（3） A发生，B与C不发生： ；
（4） A，B，C中至少有一个发生： ；
（5） A，B，C中至少有两个发生： ；
（6） A，B，C中不多于两个发生： 。
3、设某工人连续生产了4个零件， 表示他生产的第 个零件是正品（ ），试用 表示下列各事件：
（1）只有一个是次品 ；
（2）至少有一个次品； ；
（3）没有一个是次品； ；
（4）恰好有三个是次品； ；
（5）至少有三个不是次品。 。
4、选择题
（1）设 为三个事件，则“ 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ ）
A B
C D
（2）设三个元件的寿命分别为 ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过 ”可表示为（ ）
A B
C D .
（3）如果 与 互不相容，则（ ）
A B C D
（4）事件 与 互相对立的充要条件是（ ）
A B
C D
（5）设 、 是任意两事件，则 。
A ； B ；
C ； D 。
（6）如果 ，则（ ）
A 与 不相容 B 与 不相容
C D
（7）设 ，则（ ）
A B
C D
5、填空题
（1）已知 ， ， ，则 ，

　， ， ， ， 。
（2）一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取3件产品，其中恰有1件次品的概率为 。
（3）某寝室住有6名学生，至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率为 。

6、袋内放有2个伍分，3个贰分，5个壹分的钱币，任取其中5个，求其金额总数超过壹角的概率。












7、向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个军火库的概率各为0.1。只要炸中一个另外两个必然爆炸，求军火库发生爆炸的概率。














8、两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两艘轮船停靠泊位的时间分别为1 和2 ，求有一艘轮船停靠泊位时需要等待一段时间的概率。




















作业2　条件概率
1、选择题：
（1）设A，B为两个互逆事件，且 ， ，则 。
（A） ； （B） ；
（C） ； （D） 。
（2）已知 ， ， ，则 。
（A） ； （B） ；
（C） ； （D） 。
2、已知 ， ， ，求 。










3、口袋中有20个球，其中两个是红球，现从袋中取球三次，每次取一球，取后不放回，求第三次才取到红球的概率。













4、 已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱任取3件放入乙箱，然后再从乙箱中任取一件产品，求该产品为次品的概率。










5、 一箱产品，A，B两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？











6、某学校五年级有两个班，一班50名学生，其中10名女生；二班30名学生，其中18名女生．在两班中任选一个班，然后从中先后挑选两名学生，求（1）先选出的是女生的概率；（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率．








作业3　独立性
1、选择题：
（1）设 ， ， ，则下列结论正确的是 。
（A） ； （B） ；
（C）事件 与事件 相互独立； （D）事件 与事件B互逆。
（2）设 ， ， ，则 。
（A）　事件 与 互不相容； （B）事件 与 互逆；
（C）　事件 与 不相互独立； （D）事件 与 相互独立。
（3）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p，第二道工序的废品率为q，则该零件加工的成品率为（ ）
（A） （B）

（C） （D）
2、已知 ， ， 。
（1）若事件 与 互不相容，求 ；
（2）若事件 与 相互独立，求 ；









3、对同一目标进行三次独立射击，第一次、第二次、第三次射击的命中率分别为0.4，0.5，0.7。求在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率。









4、甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别是0.4、0.5、0.7。目标被击中一发而冒烟的概率为0.2，被击中两发而冒烟的概率为0.6，被击中三发则必定冒烟，求目标冒烟的概率。



作业4 离散型随机变量
1． 填空题
(1) 设随机变量X的分布律为: ，试确定 。
(2) 一批产品共100个，其中有10个次品，以X表示任意取出的5个产品中的次品数，则X的分布律为 。
(3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是 ，以X
表示射击的次数，则X的分布律为 。
2. 设随机变量 的分布律为:
X 0 1 2 3






求X的分布函数F(x), 及 , 。










3． 将一颗骰子抛掷两次，以X1表示两次所的点数之和，，以X2表示两次中得到的小的点数，试分别求X1，X2的分布律。









4． 设一批产品共100只，其中有10只次品，从中取3次，每次任取1只，以X表示取出的3只中次品的只数，分别求出在不放回抽样和有放回抽样两种情形下X的分布律。








5． 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,试问
(1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？
(2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？









6． 某厂有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的可能性都是0.6. 现在为某件事的可行与否个别地征求每个顾问的意见，并按多数顾问的意见作决策. 求作出正确决策的概率。










作业5 连续型随机变量
1. 设随机变量X的分布函数为 , 试求：
（1）系数A；（2）X的密度函数；（3）








2. 设随机变量X的概率密度为

试求：(1)系数A; (2)X的分布函数; (3)









3. 设连续型随机变量 ，（1）求 ；（2）确定常数C使 .






4. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度
，
现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？












5. 设K在(0，5)内服从均匀分布, 求方程 有实根的概率.












作业6 随机变量的函数的分布
1．设随机变量X的分布律为
X
-2 -1 0 1

1/6 1/3 1/6 1/

3
试求：(1) ，(2) 的分布律。










2．设随机变量X~U(0,1), 求: 的密度函数。








3．设随机变量X~N (0,1)，求： 的密度函数。







4．设随机变量X的密度函数为

求 的概率密度。
作业7 二维随机变量
1．一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件.现从中随机抽取一件，记

求随机变量 的联合分布律.








2． 带中装有标号为1，2，2的3个球，从中任取一个并且不放回，用 分别表示第一、第二次取到球上的号码数. 求 的联合分布律.








3．设随机变量 的概率密度为
求（1）常数 ；（2） 的分布函数 ；（3） ．








作业8 边缘分布
1． 完成下列表格

Y
X




0.1 0.2 0.4

0.2 0.2

1

2．随机变量 在1，2，3，4四个整数中等可能的取值，另一随机变量 在1～ 中等可能的取值，试求 的联合分布律和边缘分布律.










3．二维随机变量 的概率密度为

求 的边缘概率密度.










4．二维随机变量 在以原点为圆心， 为半径的圆上服从均匀分布，试求 的联合概率密度和边缘概率密度.




































作业9 条件分布、随机变量的独立性
1．二维随机变量 的联合分布律为

0 1
0 0.3 0.2
1 0.4 0.1
试求在 的条件下 的条件分布律.










2．随机变量 的联合概率密度为
（1）求条件概率密度 ；
(2）说明 与 的独立性.















3. 设随机变量 与 相互独立，试完成下表：

Y





1/8

1/8

1/6 1












4．设 和 是两个相互独立的随机变量， 在（0,1）内服从均匀分布， 的概率密度为 ．
（1） 求 与 的联合概率密度；
（2） 设关于 的二次方程为 ，求此方程有实根的概率.












作业10 两个随机变量的函数的分布
1．设 的联合分布律为：
X
0 1 2
0 0.25 0.1 0.3
1 0.15 0.15 0.05
求：（1） 的分布律；（2） 的分布律.








2．设随机变量 的概率密度为
试求 的概率密度.








3. 设随机变量 服从参数为1的指数分布，记 ，试求 的联合分布律和边缘分布律，并判断它们的独立性.
作业11 数学期望

-1 0 1 2


1．设 的分布列为：



求（1） ；（2） ；（3） .







2．设二维随机向量 的联合分布列为

0 1
0 0.3 0.4
1 0.2 0.1

求 , , , .









3．把4个球随机地放入4个盒子中去，设 表示空盒

子的个数，求 。







4．设连续型随机变量 的概率密度为

其中 ， ，又已知 ，求 ， 的值.







5．设 服从在 上的均匀分布，其中 为 轴， 轴及直线 所围成的区域，求（1） ; （2） ;（3） .









6．某工厂生产的某种设备的寿命 （以年计）服从指数分布，其概率密度为: 。工厂规定，出售的设备在售出一年之内可以调换，若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元,试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。







作业12 方差
1、 填空题
（1）已知 ，则 ＝
（2）设 ，且 与 相互独立，则
（3）设 的概率密度为 ，则 ＝
（4）设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1~U[0，6]，X2~N（0，22），X3服从参数为 =3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=
2、选择题
（1）对于任意两个随机变量 和 ，若 ，则
A） B）
C） 和 独立 D） 和 不独立
（2）设X~ ，且 ，则 =
A）1， B）2， C）3， D）0
3、一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3， 假设各部件的状态相互独立，以 表示同时需要调整的部件数，试求 的数学期望 和方差 。








4、设两个随机变量 ， 相互独立，且都服从均值为0，方差为 的正态分布，求随机变量 的方差。





5、设 的概率密度为 , 求 ， 。















6、在每次试验中，事件 发生的概率为0.5，利用契比雪夫不等式估计：在1000试验中，事件 发生的次数X在400～600之间的概率。


















作业13 协方差与相关系数、矩和协方差矩阵
1、选择题和填空题
（1）设 与 的相关系数 ，则
A. 与 相互独立。 B. 与 不一定相关。
C. 与 必不相关。 D. 与 必相关。
（2）设随机变量 与 的期望和方差存在，且 ，则下列说法哪个是不正确的 。
A. B. ，
C. 与 不相关， D. 与 独立；
（3）设 ，则
2、已知随机变量 与 都服从二项分布B(20，0.1)，并且 与 的相关系数 =0.5，试求 的方差及 与 的协方差。











3、设二维连续型随机变量（X ，Y）的联合概率密度为：f (x ,y)=
求：① 常数k.. ② 及 。









4、假设随机变量 服从参数 的指数分布，随机变量

求（1） 的联合分布； （2） ， 。









5、设随机变量 在区间 上服从均匀分布，求 的 阶原点矩和三

阶中心矩。









6、已知随机变量 与 的相关系数为 .（1）求随机变量 的数学期望和方差 ；（2）求随机变量 与 的相关系数 .
作业14 大数定律、中心极限定理
1、设随机变量X的分布率如下：
X 0.3 0.6
p 0.2 0.8
试求： 。
















2、利用中心极限定理确定当投掷一枚均匀硬币时，需投掷多少次才能保证使得正面出现的频率在0.4到0.6之间的概率不小于90%。














3、由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率都为90% ．为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件在正常工作，求整个系统能正常运行的概率．














4、一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元, 1.2元, 1.5元各值的概率分别为0.3, 0.2, 0.5，若售出300只蛋糕，（1）求收入至少为400元的概率；
（2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。

作业15 样本及抽样分布
1、填空题：
（1）设 是来自总体 的样本，则样本分布律为 ；
（2）设 为总体 的一个样本， ，且 服从 分布，则 ；
（3）设 为总体 的一个样本，则 ；
（4）设随机变量 ,则Y服从 分布。
2、设某种电灯泡的寿命 服从指数分布，求来自这一总体的简单随机样本 的联合概率密度。









3、设 ，…， 是来自正态总体 的样本。试求样本方差 的数学期望及方差。












4、设总体 ，总体 ，从总体 中抽取容量为10的样本，其样本方差计为 ；从总体 中抽取容量为8的样本，其样本方差记为 ，求下列概率：
（1） ； （2）













5、从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0.02，求总体的标准差。
作业16 点估计、估计量的评选标准
1、选择题
（1）设 是取自总体 的一个简单样本，则 的矩估计是
（A） （B） （C） （D）
(2)设 为总体 的一个随机样本， ， 为 的无偏估计，C＝
（A） / （B） / （C） 1/ （D） /
（3）设总体 服从正态分布 是来自 的样本，则 的最大似然估计为
（A） （B） （C） （D）
（4）在（3）题条件下， 的无偏估计量是
（A） （B） （C） （D）
2、设总体X具有分布律 ：
X 1 2 3





其中 为未知参数，已知取得了样本值 试求 的矩估计值和极大似然估计值。












3、设总体 的概率密度为 ， 是来自总体 的

样本，求分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量。













4、设总体 服从正态分布 ， 是从此总体中抽取的一个样本．试验证下面三个估计量：
（1） ， （2） ， （3） ，
都是 的无偏估计，并指出哪一个估计量最有效．
















作业17 区间估计、正态总体参数的区间估计
1、设有一组来自正态总体 的样本观测值：
0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512，
⑴ 已知 ，求 的置信区间（设置信度为0.95）；
⑵ 未知，求 的置信区间（设置信度为0.95）．












2、某厂生产一批金属材料，其抗弯强度服从正态分布，现从这批金属材料中抽取11个测试件，测得它们的抗弯强度为（单位：kg）：
42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7
求：抗弯强度标准差 的置信度为0.90的置信区间。















3、某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，分别以两条流水线上抽取样本： 及 算出 ，假设这两条流水线上灌装的番茄酱的重量都服从正态分布，且相互独立，其均值分别为 （1）设两总体方差 ，求 置信水平为 ％的置信区间；（2）求 / 的置信水平为 ％的置信区间。







作业18 假设检验
1、已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55，0.1082).现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果方差没有变化，可否认为现在生产之铁水平均含碳量仍为4.55( )？






2、有一批枪弹，出厂时测得枪弹射出枪口的初速度 服从 (单位: ).
在储存较长时间后取出9发进行测试，得样本值:914、920、910、934、953、945、912、924、940. 假设储存后的枪弹射出枪口的初速度 仍服从正态分布，可否认为储存后的枪弹射出枪口的初速度 已经显著降低(取 )?









3、从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取容量分别为9与8的样本进行测试，且测得含锌量的样本均值与样本方差如下，东支: ；西支: .假定东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布，那么东、西两支矿脉的含锌量有无显著差异(取 )？







4、某批导线的电阻 (单位: )，从中随机地抽取9根，测得其样本标准差 .可否认为这批导线电阻的标准差仍为 (取 )？










5、测得两批电子元件样品的电阻( )：
I批 0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137
II批 0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140
设这两批元件的电阻总体分别服从 ， ，且两样本相互独立。试问这两批电子元件电阻的方差是否一样？
参　考　答　案
作业1
1、（1） ；
（2） ；
2、 （1） ； （2） ； （3） （或 ）；
（4） ； （5） （

或 ）；
（6）
3、 （1） ；
（2） （或 ）；
（3） ；
（4） ；
（5）
4、（1）D；（2）D；（3）C；（4）C；（5）A；（6）C；（7）B
5、（1）0.6，0.4，0.6，0.2，0，0.4； （2）99/392； （3）0.777
6、0.5； 7、0.225 ； 8、0.121

作业2
1、（1）C；　（2）ABCD 2、0.3 3、0.089
4、0.25； 5、乙厂； 6、（1）0.4；（2）0.4856

作业3
1、（1）C；　（2）D （3）　C 2、（1）0.3；　（2）
3、0.36； 4、0.458

作业4
1、(1) 1 ；
(2) ；
(3) ；

2、 ； ；
3、（1）
X1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
pk 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

（2）
X2 1 2 3 4 5 6
pk 11/30 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36

4、(1) ； (2)
5、(1)0.0333 (2)0.259 ； 6、5. 0.71

作业5
1、(1) 1； (2) , （3） ；
2、.(1) (2) (3)
3、（1）0.5328；0.6977；（2）3 ；
4、 ；
5、 .
作业6
1、
Y -5 -3 -1 1 Z 0 1 4
p 1/6 1/3 1/6 1/3 p 1/6 2/3 1/6
2、 ；
3、 ；
4、
作业7
1、

0 1
0 0.1 0.1
1 0.8 0
2、

1 2
1 0 1/3
2 1/3 1/3
3、(1) ； (2) ； （3）3/5
作业8
1、






0.1 0.1 0.2 0.4

0.2 0.2 0.2 0.6

0.3 0.3 0.4 1
2、
Y
1 2 3 4
1 1/4 1/8 1/12 1/16 25/48
2 0 1/8 1/12 1/16 13/48
3 0 0 1/12 1/16 7/48
4 0 0 0 1/16 1/16

1/4 1/4 1/4 1/4 1
3、 ，
4、 ； ；

作业9
1、

0 1

4/5 1/5
2、(1) ；
(2) X,Y相互独立
3、






1/24 1/8 1/12 1/4

1/8 3/8 1/4 3/4

1/6 1/2 1/3 1
4、（1） ； (2) 0.1448
1、（1）

0 1 2 3

0.25 0.25 0.45 0.05
（2）

0 1

0.8 0.2

2、.
3、

0 1
0


1 0





1

作业10
1、（1） ；（2） ；（3） 。 2、0.5, 0.3, -0.1, 0.3
3、 ； 4、 ，
5、（1） ；（2） ；（3） . 6、33.64
作业11
1、(1) 1.16 ；(2) 7.4 ；(3) ；(4) 16 . 2、(1) B；(2) A
3、 ， 4、
5、 6、 0.975
作业12
1、(1) C；(2) D (3) -8 2、5.4；0
3、(1) 2；(2)
4、（1）

0 1
0
0
1

（2） ，
5、 ，
6、（1） ， ； （2）

作业13
1、0.64 2、68； 3、0.9525 ； 4、(1) 0.003, (2) 0.5
作业14
1、（1） ；
（2）1/3； （3）0.025 （4）F(n,1)
2、
3、
4、0.9832；0.95
5、5.43
作业15
1、（1）D；（2）C；（3）A；（4）B
2、 ；
3、 ；
4、 最有效
作业16
1、⑴（0.5024，0.5154）；⑵（0.5006，0.5172）
2、（0.53，1.15）
3、（1）（-0.401，2.601）；（2）（0.128，1.283）

作业17
1、 可以

这样认为
2、 可以这样认为
3、 可认为是一样的
4、 不应该这样认为
一样