线性规划含参问题
简单的线性规划问题附答案
简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念 1．目标函数的最值 线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b ， 当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，
可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题 例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题 例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．
高中数学线性规划经典题型
高考线性规划归类解析 一、平面区域和约束条件对应关系。 例1、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥?? +≤??≤≤? (C) 003x y x y x -≤?? +≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围 成一个三角形区域（如图4所示）时有0 003x y x y x -≥?? +≥??≤≤? 。 点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 例2：在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是（） (A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域是一个三角形。容 易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为： 11 ||||42 4.22 S BC AO =?=??=从而选Ｂ。 点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 二、已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式，斜率——商的形式)目标关系最值问题（重点） 例3、设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则 ①y x 32+的最大值为 。（截距） 解析：如图1，画出可行域，得在直线 2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 ②则2 2 x y +的最小值是 . ③1y x =+的取值范围是 . 图1
走出含参变量的线性规划问题的解题陷阱
走出含参变量的线性规划问题的解题陷阱线性规划是沟通代数与几何的桥梁，是数形结合思想的集中体现.传统的线性规划问题主要研究的是在线性或非线性约束条件下求解目标函数的最值，就知识本身而言并不是难点.但是，近年来这类问题的命题设置在能力立意的命题思想指导下出现了新的动向：一方面将它与函数、方程、不等式、数列、平面向量、解析几何等知识交汇在一起；另一方面在这些问题背景中引进参变量，变换设问角度，提高思维强度，增加题目难度.下面我们对线性规划中参变量的新情景设置给出深度分析，帮助同学们走出思维误区，正确求解线性规划问题.
一、约束条件中的参变量 例1 已知实数,x y 满足01 240 y x y x y x my n ≥??-≥?? +≤??++≥? ，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为54 的直角三角形，则n 的值是 . 例2 设变量,x y 满足约束条件0 37x y x x ay ≥??≥??+≤? ，其中1a >若目标函数z x y =+的最大值为4，则a 的值为 . 例3 在平面直角坐标系中，设不等式组()003x y y n x >?? >??≤--? 所表示的平面 区域为n D ，记n D 内的整点（即横、纵都为正整数的点）的个数为n a ，则n a = . 例4 若实数,x y 满足不等式330 23010x y x y x my +-≥??--≤??-+≥? ，且x y +的最大值为9，则 实数m = . 例5 实数,,x y k 满足30 10x y x y x k +-≥??-+≥??≤? ， 若22z x y =+的最大值为13，则k = .
走出含参变量的线性规划问题的解题陷阱
走出含参变量的线性规划问题的解题陷阱 一、约束条件中的参变量 例1 已知实数,x y 满足01 240 y x y x y x my n ≥??-≥?? +≤??++≥? ，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为54 的直角三角形，则n 的值是 . 例2 设变量,x y 满足约束条件0 37x y x x ay ≥??≥??+≤? ，其中1a >若目标函数z x y =+的最大值为4，则a 的值为 . 例3 在平面直角坐标系中，设不等式组()003x y y n x >?? >??≤--? 所表示的平面 区域为n D ，记n D 内的整点（即横、纵都为正整数的点）的个数为n a ，则n a = . 例4 若实数,x y 满足不等式330 23010x y x y x my +-≥??--≤??-+≥? ，且x y +的最大值为9，则 实数m = . 例5 实数,,x y k 满足30 10x y x y x k +-≥??-+≥??≤? ， 若22z x y =+的最大值为13，则k = .
例6 已知由不等式组00 240 x y y kx y x ≤??≥?? -≤??--≤?，确定的平面区域Ω的面积为7，则k = . 例7 已知点(,)P x y 满足条件0 20x y x x y k ≥??≤??++≤? ，若3z x y =+的最大值为8，则k = . 例8 已知2z x y =+，,x y 满足2y x x y x a ≥??+≤??≥? ，且z 的最大值是最小值的4 倍，则a = . 例9 若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件0 230x y x y x m +≤??--≤??≥? ，则实数 m 的最大值为 . 例10 若不等式组0220x y x y y x y a -≥??+≤? ?≥??+≤?表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围为 .
线性规划问题经典习题
线性规划问题 1线性规划下的非线性问题 1.1线性规划下的距离问题 已知220 240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，当x ，y 取何值时（1 取得最大值？（2）()222x y ++取 得最小值？ 1.2线性规划下的斜率问题 已知220 240330 x y x y x y +-≥??-+≥??--≤? ，（1）当x ，y 取何值时，11y x ++取得最大值？（2）求3 22x y --取值范围。 1.3线性规划下的向量问题 （1）点P （x ，y ）满足不等式组10 5702x y x y y -+≥?? --≤??≥-? ，i 为x 轴正方向上的单位向量，则向量OP 在向量i 方向上的投影的最大值是____________ （2） 已知(A ，O 是原点，点P （x ，y ） 的坐标满足0200 y x y -
2.非线性规划下的线性问题 （1）实数x ，y 满足2222101212x y x y x y ?+--+≥? ≤≤??≤≤? ，则x+y 取得最小值时，点（x ，y ）的个数 是 ． （2）定义[]x 表示不超过x 的最大整数，又设x ，y 满足方程[][]313 435y x y x ?=+??=-+?? ，如果x 不 是整数，则x+y 的取值范围是 ． 3.非线性规划下的非线性问题 (1)已知钝角三角形ABC 的最大边长为2，其余两边长为x ，y ，则以（x ，y ）为坐标的点表示平面区域的面积是 ． (2)已知实数x ，y 满足不等式组226290 2312x y x y x y ?+--+≤? ≤≤??≤≤? ， 则 x 取值范围 是 ． 4线性规划的逆问题 4.1线性约束条件中的参数问题 （1）已知x ，y 满足140x x y ax by c ≥?? +≤??++≤? ，且目标函数2z x y =+的最大值是7，最小值是1， 则 _______ a b c a ++= (2)设m 为实数，若{}22 250(,)30(,)250x y x y x x y x y m x y ??-+≥????-≥?+≤?????? +≥??? ，则m 的取值范围 是 ． 4.2目标函数中的参数问题 （1）已知变量x ，y 满足的约束条件为23033010x y x y y +-≤?? +-≥??-≤? ，若目标函数z=ax+y （其中a>0） 仅在点（3，0）处取得最大值，则a 的取值范围是 ． （2）已知x ，y 满足4335251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，设z=ax+y （其中a>0），若当z 取得最大值时对应的 点有无数多个，求a 的值。 （3）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平
线性规划问题(含答案)
线性规划问题 1、已知实数x y ，满足2203x y x y y +??-??? ≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．[]57-， 2、已知实数x 、y 满足条件?? ???≥≥≤--≥+-,0,0,033,042y x y x y x 则y x z 2+=的最大值为 .8 3、若不等式组502x y y a x -+0????? ≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是___57a <≤ 4、如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+??+-??-? ≥≤≥上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为_____32 5. 已知x 、y R ∈，|1|20y x y x x ≥-??≤-+??≥? , 则目标函数y x S -=2的最大值是 . 25 6. 设?? ???≥+-≤+-≤-+,033,042,022y x y x y x 则函数z =x 2+y 2取得最大值时,x +y =___________.答案: 511 7.实数,x y 满足430352501x y x y x -+≤??+-≤??≥? ，函数z kx y =+的最大值为12，最小值为3，则实数k 为 ２ 8. 已知变量x 、y 满足条件6200 x y x y x y +≤??-≤??≥??≥?，若目标函数z ax y =+ (其中0a >)，仅在(4，2)处取得最大值，则a 的取值范围是 _ a>1 9. 已知A （3，3），O 为原点，点,002303),(y y x y x y x P ??? ????≥≥+-≤-的坐标满足是 ，此时点P 的坐标是 . 15．)3,1(;3 10. 已知变量,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤??≥??+-≤?，则y x 的取值范围是______.[1.8，6]； 11. 已知平面区域:M 11y x x y y ≤??+≤??≥-? ，记M 关于直线y x =对称的区域为N ，点(,)P x y 满足平面区域N ，若 已知OX 轴上的正向单位向量为i ，则向量OP 在向量i 上的投影的取值范围为_____________．1 [1,]2 -
线性规划问题总结
线性规划常见题型及解法 一、约束条件及可行域面积 1.下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是 ( ) A.(0,0) B.(－1,1) C.(－1,3) D.(2，－3) 答案 C 解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选 C. 说明：如图，易求边界两条直线分别为2x-y+2=0、2x+3y-6=0，又原点（0，0）在可行 域内，分别满足不等式0-0+2≥0与0+0-6≤0。 3、如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐 标分别为A (0,1)，B (－2,2)，C (2,6)，试写出△ABC 及其内部区域所对应的二元一次不等式组. 解 由已知得直线AB 、BC 、CA 的方程分别为直线AB ：x ＋2y －2 ＝0，直线BC ：x －y ＋4＝0，直线CA ：5x －2y ＋2＝0， ∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号 可得不等式组为???? ? x －y ＋4≥0x ＋2y －2≥0 5x －2y ＋2≤0 . 4、不等式组260302x y x y y +-≤?? +-≥??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B 5．（ 06浙江）在平面直角坐标系中，不等式组?? ? ??≤ ≥+-≥-+ 2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是 (B ) 二、求线性目标函数的取值范围、最值 1、若x 、y 满足约束条件222 x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A