大学物理课后习题答案(赵近芳)下册

习题八

8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示

(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷

2

22

0)3

3(π4130cos π412a q q a q '=?εε

解得 q q 3

3-=' (2)与三角形边长无关．

题8-1图 题8-2图

8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示

??

?

??

===220)sin 2(π41

sin cos θεθθl q F T mg T e

解得 θπεθtan 4sin 20mg l q = 8-3 根据点电荷场强公式2

04r

q E πε=

，当被考察的场点距源

点电荷很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?

解: 02

0π4r r q E ?

?

ε=

仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能

再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．

8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积

为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说f =

2

024d q πε,又有人说，因为f =qE ,S

q

E 0ε=

，所以f =S

q 02

ε．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等

于多少?

解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S

q

E 0ε=

看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S

q E 02ε=

，另一板受它的作用力

S

q S q

q f 02

022εε=

=，这是两板间相互作用的电场力． 8-5 一电偶极子的电矩为l q p ?

?=，场点到偶极子中心O 点的

距离为r ,矢量r ?与l ?

的夹角为θ,(见题8-5图)，且l r >>．试

证P 点的场强E 在r 方向上的分量r E 和垂直于r 的分量θE 分别为

r E =

302cos r p πεθ, θE =3

04sin r

p πεθ

证: 如题8-5所示，将p ?分解为与r ?

平行的分量θsin p 和垂

直于r ?

的分量θsin p ．

∵ l r >> ∴ 场点P 在r 方向场强分量

3

0π2cos r

p E r εθ

=

垂直于r 方向，即θ方向场强分量

3

00π4sin r p E εθ

=

题8-5图 题8-6图 8-6 长l =15.0cm 的直导线AB 上均匀地分布着线密度

λ=5.0x10-9C ·m

-1

的正电荷．试求：(1)在导线的延长线

上与导线B 端相距1a =5.0cm 处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d =5.0cm 处Q 点的场强． 解： 如题8-6图所示

(1)在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点产生场强为

2

0)(d π41d x a x

E P -=

λε

2

22

)

(d π4d x a x

E E l l P P -=

=?

?-ελ

]2

12

1[π40

l a l a +

--=

ελ

)

4(π2

2

0l a l

-=

ελ

用15=l cm ，9100.5-?=λ1m C -?, 5.12=a cm 代入得

21074.6?=P E 1C N -?

方向水平向右

(2)同理 2

2

20d d π41d +=x x

E Q λε 方向如题8-6图所示 由于对称性?=l Qx

E 0d ，即Q E ?

只有y 分量，

∵ 22

2

222

20d

d d d π41d ++=

x x x E Qy

λε 2

2π4d d ελ?==l Qy

Qy E E ?

-+22

2

3222)

d (d l l x x

2

2

2

0d

4π2+=

l l

ελ

以9100.5-?=λ1cm C -?, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得

21096.14?==Qy Q E E 1C N -?，方向沿y 轴正向

8-7 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强． 解: 如8-7图在圆上取?Rd dl =

题8-7图

?λλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为 2

0π4d d R R E ε?

λ=

方向沿半径向外 则 ??ελ

?d sin π4sin d d 0R

E E x =

=

??ελ

?πd cos π4)cos(d d 0R

E E y -=

-= 积分R

R E x 000

π2d sin π4ελ

??ελπ

==? 0d cos π400

=-=?

??ελ

π

R

E y ∴ R

E E x 0π2ελ

=

=，方向沿x 轴正向． 8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l ，总电量为q ．(1)求这正方形轴线上离中心为r 处的场强E ；(2)证明：在

l r >>处，它相当于点电荷q 产生的场强E ．

解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷4

q

在P 点产生物强

P E ?

d 方向如图，大小为

(

)

4

π4cos cos d 2

2021l r E P +

-=

εθθλ

∵ 2

2cos 2

21l r l +

=

θ

12cos cos θθ-=

∴ 2

4

π4d 2

22

20l r l l r E P +

+

=

ελ

P E ?

d 在垂直于平面上的分量βcos d d P E E =⊥

∴ 4

2

4

π4d 2

22

22

20l r r

l r l r l

E +

+

+

=

⊥ελ

题8-8图

由于对称性，P 点场强沿OP 方向，大小为

2

)4(π44d 42

22

20l r l r lr

E E P ++

=

?=⊥ελ

∵ l

q

4=λ ∴ 2

)4(π42

22

20l r l r qr

E P ++

=

ε 方向沿OP

8-9 (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q 的电场中取半径为R 的圆平面．q 在该平面轴线上的

A 点处，求：通过圆平面的电通量．(x

R arctan =α)

解: (1)由高斯定理0

d εq

S E s ?=???

立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等

∴ 各面电通量0

6εq

e =

Φ． (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体中心，则边长a 2的正方形上电通量

6εq

e =

Φ 对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则

24εq

e =

Φ， 如果它包含q 所在顶点则0=Φe ． 如

题

8-9(a)

图

所

示

．

题

8-9(3)

图

题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图

(3)∵通过半径为R 的圆平面的电通量等于通过半径为

22x R +的球冠面的电通量，球冠面积*

]1)[(π22

2

22x

R x x R S +-

+=

∴ )

(π42200

x R S

q +=

Φε0

2εq

=

[2

2

1x

R x +-]

*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图

ααα

??=0

d sin π2r r S

ααα

?

?=0

2

d sin π2r

)cos 1(π22α-=r

8-10 均匀带电球壳内半径6cm ，外半径10cm ，电荷体密度为2×510-C ·m -3求距球心5cm ，8cm ,12cm 各点的场强．

解: 高斯定理0

d ε∑?=?q S E s

??,0

2π4ε∑=

q r E

当5=r cm 时，0=∑q ,0=E ?

8=r cm 时，∑q 3

π4p

=3(r )3

内r - ∴ ()

202

3π43π4r

r r E ερ

内-=41048.3?≈1C N -?， 方向沿半径向外．

12=r cm 时,3

π4∑=ρ

q -3(外r ）内3

r ∴ ()

42

03

31010.4π43π4?≈-=

r r r E ερ

内

外 1C N -? 沿半径向外.

8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强．

解: 高斯定理0

d ε∑?=?q S E s

??

取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2=

则 rl E S E S

π2d =???

?

对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ ∴ r

E 0π2ελ

=

沿径向向外 (3) 2R r > 0=∑q ∴ 0=E

题8-12图

8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强．

解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，

两面间， n E ?

?)(21210σσε-= 1σ面外， n E ?

?)(21210

σσε+-= 2σ面外， n E ??

)(21210

σσε+=

n ?

：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．

8-13 半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r ＜R 的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O 与O '点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．

解: 将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．

(1) ρ+球在O 点产生电场010=E ?

，

ρ-

球在O 点产生电场'd π4π343

0320OO r E ερ=?

∴ O 点电场'd 33

030OO r E ερ

=?；

(2) ρ+在O '产生电场'd π4d 343

0301OO E ερπ='?

ρ-球在O '产生电场002='E ?

∴ O ' 点电场 0

03ερ

='E ?'OO

题8-13图(a) 题8-13图(b)

(3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r

?'，相对O 点位矢为r ? (如题8-13(b)图)

则 0

3ερr

E PO ??=，

3ερr E O P '

-='??,

∴ 0

003'3)(3ερερερd

OO r r E E E O P PO P ?

?????=

='-=+=' ∴腔内场强是均匀的．

8-14 一电偶极子由q =1.0×10-6C 的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm ，把这电偶极子放在1.0×105N ·C -1

的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩．

解: ∵ 电偶极子p ?

在外场E ?中受力矩

E p M ?

???=

∴ qlE pE M ==max 代入数字

4536max 100.2100.1102100.1---?=?????=M m N ?

8-15 两点电荷1q =1.5×10-8C ，2q =3.0×10-8C ，相距

1r =42cm ，要把它们之间的距离变为2r =25cm ，需作多少功?

解: ??==?=222

1

0212021π4π4d d r r r r

q q r r q q r F A εε??)11(21r r - 61055.6-?-=J

外力需作的功 61055.6-?-=-='A A J

题8-16图

8-16 如题8-16图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功．

解: 如题8-16图示

0π41ε=

O U 0)(=-R

q

R q 0π41ε=

O U )3(R q

R q -R

q 0π6ε-

= ∴ R

q

q U U q A o C O 00π6)(ε=

-= 8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于

R ．试求环中心O 点处的场强和电势．

解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在

O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =

则θλd d R q =产生O 点E ?

d 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向

题8-17图

θεθ

λπ

π

cos π4d d 22

2

0??-==R R E E y

R 0π4ελ=

［)2sin(π-2

sin π

-］ R

0π2ελ

-=

(2) AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U

?

?===A B

20

0012ln π4π4d π4d R R x x x x U ελελελ 同理CD 产生 2ln π40

2ελ

=U 半圆环产生 0

034π4πελ

ελ==

R R U

∴ 0

032142ln π2ελελ+=

++=U U U U O 8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m ·s -1的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量0m =9.1×10-31kg ，电子电量e =1.60×10-19C) 解: 设均匀带电直线电荷密度为λ，在电子轨道处场强

r

E 0π2ελ=

电子受力大小 r

e eE F e 0π2ελ

=

= ∴ r

v m r e 2

0π2=ελ

得 132

0105.12π2-?==

e

mv ελ1m C -? 8-19 空气可以承受的场强的最大值为E =30kV ·cm -1，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d =0.5cm ，求此电容器可承受的最高电压．

解: 平行板电容器内部近似为均匀电场 ∴ 4105.1d ?==E U V

8-20 根据场强E ?

与电势U 的关系U E -?=?，求下列电场的

场强：(1)点电荷q 的电场；(2)总电量为q ，半径为R 的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子ql p =的l r >>处(见题8-20图)．

解: (1)点电荷 r

q

U 0π4ε= 题

8-20 图

∴ 0200π4r r

q r r U E ???ε=??-= 0r ?

为r 方向单位矢量． (2)总电量q ，半径为R 的均匀带电圆环轴上一点电势

2

2

0π4x

R q U +=

ε

∴ ()

i x R qx

i x U E ?

??

2

/32

20π4+=??-

=ε

(3)偶极子l q p ?

?

=在l r >>处的一点电势

2

00

π4cos ])

cos 2

1(1)

cos 2

(1[π4r

ql l

l

r q U εθ

θθε=

+-

-=

∴ 3

0π2cos r p r U E r εθ

=??-

= 3

0π4sin 1r

p U r E εθ

θθ=??-

= 8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题

8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同．

证: 如题8-21图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀

带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ

题8-21图

(1)则取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合柱面为高斯面时，有

0)(d 32=?+=??S S E s

σσ?

?

∴ +2σ03=σ 说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反； (2)在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即

022220

4

030201=---εσεσεσεσ 又∵ +2σ03=σ

∴ 1σ4σ=

说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同． 8-22 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0

mm ．B ，C 都接地，如题8-22图所示．如果使A 板带正电3.0×10-7C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则

A 板的电势是多少?

解: 如题8-22图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为2σ

题8-22图

(1)∵ AB AC U U =，即 ∴ AB AB AC AC E E d d = ∴

2d d 21===AC

AB

AB AC E E σσ 且 1σ+2σS

q A

=

得 ,32S q A =

σ S

q A 321=σ 而 711023

2

-?-=-=-=A C q S q σC

C

10172-?-=-=S q B σ

(2) 30

1

103.2d d ?==

=AC AC AC A E U εσV 8-23 两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q ，试计算： (1)外球壳上的电荷分布及电势大小；

(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；

*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．

解: (1)内球带电q +；球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，其电势

题8-23图