数集和确界原理
§2 数集和确界原理
一 区间与邻域
1、区间的定义 设a 、b ∈R 且a ＜b.
开区间（a, b ）、闭区间 [a, b]、半开半闭区间([]b a b a ,),和、有限区间的定义。 几何意义。
区间[)∞+,a 、(]a ,∞-、),
(∞+a 、()a ,∞-、R =∞+-∞),(、无限区间的定义。
有限区间和无限区间统称为区间。 满足绝对值不等式δ<-a x 的全体实数x 的集合称为
2、邻域的定义 设0,>∈δR a 。
点a 的δ邻域 );(δa U 或)(a U 的定义
点a 的空心δ邻域()δ;a U 或)(a U 的定义 ()δδ;);(a U a U 与 的差别
点a 的δ右邻域()δ;a U +或)(a U + 点a 的δ左邻域()δ;a U -或)(a U -
点a 的空心δ左、右邻域()a U
- 、()a U - 等的定义 ∞邻域()∞U 、+∞邻域()∞+U 、∞-邻域()∞-U 。
二 有界集·确界原理
1、有界集的定义
定义1 设S 为R 中的一个数集。若存在数M （L ），使得对一切,S x ∈都有(),L x M x ≥≤则称S 为有上界（下界）的数集，数M （L ）称为S 的一个上界（下界）。
若数集S 既有上界又有下界，则称S 为有界集。若S 不是有界集，则称S 为无界集。 注：介绍有界集的几种等价定义，正面叙述无界集的概念。
例1 证明数集{}
为正整数n n N =+有下界而无上界。
分析
证
例 任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集。
2、数集的上确界和下确界的精确定义
描述性定义：若数集S 有上界，则显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集S 的上确界。同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。
精确定义
定义2 设S 是R 中的一个数集。若数η满足：
（i ）对一切的上界是即有S x S x ηη,,≤∈； （ii ）对任何为则称数的最小上界又是即使得存在ηηαηα,,,,00S x S x >∈<数集S 的上确界，记作
.sup S =η
定义3 设S 是R 中的一个数集。若数ξ满足：
（i ）对一切;,,的下界是即有S x S x ξξ≥∈ （ii ）对任何ξξβξβ则称数的最大下界又是即使得存在，S x S x ,,,00<∈>为数集S 的下确界，记作
.inf S =ξ
上确界与下确界统称为确界。
注：以上确界为例，下确界类似定义
设S 是R 中的一个数集。若数η满足：
（i ）对一切的上界是即有S x S x ηη,,≤∈； （ii ）对任何000,,,,x S x S εηεη>∈>-存在使得即又是的最小上界则称数η也为数集S 的上确界。
例2 设(){}
中的有理数为区间10，x x S =。试按上、下界的定义验证：sup S=1,inf S=0.
例 闭区间[0，1]的上、下确界分别为1和0 对于数集?
?????=-= ,2,1)1(n n E n 的上、下确界分别为1inf ,21sup -==E E 正整数集N +有下确界,1inf =+N 而没有上确界。
注1 由上（下）确界的定义可见，若数集S 存在上（下）确界，则一定是唯一的。又若数集S 存在上、下确界，则有inf S ≤sup S.
注2 从上面一些例子可见，数集S 的确界可能属于S ，也可能不属于S 。
例3 设数集S 有上确界。证明
S S S max sup =?∈=ηη
分析
证
3、确界原理及其应用
定理1.1(确界原理) 设S 为非空数集。若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界。
分析
证 采用构造性证明方法证明关于上确界的结论
注：在本书中确界原理是极限理论的基础。
例4 设A 、B 为非空数集，满足：对一切有数集证明有和A y x B y A x :.≤∈∈上确界，数集B 有下确，且
.inf sup B A ≤ （2）
分析
证
例5 设A 、B 为非空有界数集，S=A ∪B 。证明：
(i){};sup ,sup max sup B A S =
(ii){}.inf ,inf min inf B A S =
分析
证 □
确界原理的扩充
若把+∞和∞-补充到实数集中，并规定一实数a 与+∞、∞-的大小关系为：a ＜+∞，a>∞-，∞-＜+∞，则确界概念可扩充为：若S 无上界，则定义+∞为S 的非正常上确界，记作supS=+∞；若要无下界，则定义∞-为S 的非正常下确界，记作infS=∞-，相应地，前面定义2和定义3中所定义的确界分别称为正常上、下确界。
推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）。
例如 正整数N +有inf N +=1，sup N +=+∞ 数集{}
R x x y y S ∈-==,22的infS=∞-，supS=2。
复习思考题、作业题：
2，4，6，7，8
2.实数基本定理的等价性证明
§ 2 实数基本定理等价性的证明 证明若干个命题等价的一般方法. 本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理单调有界原理区间套定理Cauchy收敛准则 确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理致密性定理Cauchy收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理Heine–Borel 有限复盖定理区间套定理 . 一. “Ⅰ”的证明: (“确界原理单调有界原理”已证明过 ). 1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”: 定理 1 单调有界数列必收敛 . 2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: 定理 2 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有. 推论1 若是区间套确定的公共点, 则对, 当时, 总有. 推论2 若是区间套确定的公共点, 则有↗, ↘, . 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”: 定理 3 数列收敛是Cauchy列.
引理Cauchy列是有界列. ( 证 ) 定理 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅 读 . 现采用三等分的方法证明, 该证法比较直观. 4．用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”： 定理5 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 . 证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 . 当为有限集时 , 显然有上确 界 .下设为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间, 取, 使不是 的上界, 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy 列, 由Cauchy收敛准则, 收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘.有↗. 下证.用反证法验证的上界性和最小性. 二. “Ⅱ”的证明: 1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”: 定理6 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 证（突出子列抽取技巧） 定理7 每一个有界无穷点集必有聚点. 2．用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”： 定理8 数列收敛是Cauchy列.
1.2数集和确界原理
§1.2 数集和确界原理 授课章节：第一章 实数集与函数---§1.2数集和确界原理 教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1) 掌握邻域的概念； (2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用. 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课. 一、 区间与邻域 (一) 区间（用来表示变量的变化范围） 设,a b R ∈且a b <. ???有限区间区间无限区间 ，其中 {}{}{}{}|(,).|[,]. |[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ??∈<<=??∈≤≤=??∈≤<=?????∈<≤=???开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间: {}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|. x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ?∈≥=+∞?∈≤=-∞??∈>=+∞??∈<=-∞??∈-∞<<+∞=?无限区间 (二) 邻域 联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.（看左图）.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？ 1、a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即
数集和确界原理
§2 数集和确界原理 教学目的与要求： 使学生正确理解实数集合的定义及各种表示方法，掌握实数集合有界，有上下确界的定义，理解确界原理。 教学重点，难点： 集合有界，有上下确界的定义， 确界原理的证明及应用。 教学内容： 本节内容分两部分介绍，我们首先定义实数集R 中的两类重要数集—区间与邻域，然后讨论有界集并给出确界定义和确界原理。 一 区间与邻域 1、区间的定义 设a 、b ∈R 且a ＜b. 开区间（a, b ）、闭区间 [a, b]、半开半闭区间([]b a b a ,),和、有限区间的定义。 几何意义。 区间[)∞+,a 、(]a ,∞-、), (∞+a 、()a ,∞-、R =∞+-∞),(、无限区间的定义。 有限区间和无限区间统称为区间。 满足绝对值不等式δ<-a x 的全体实数x 的集合称为 2、邻域的定义 设0,>∈δR a 。 点a 的δ邻域 );(δa U 或)(a U 的定义 点a 的空心δ邻域()δ;a U 或)(a U 的定义 ()δδ;);(a U a U 与 的差别 点a 的δ右邻域()δ;a U +或)(a U + 点a 的δ左邻域()δ;a U -或)(a U - 点a 的空心δ左、右邻域()a U - 、()a U - 等的定义 ∞邻域()∞U 、+∞邻域()∞+U 、∞-邻域()∞-U 。 二 有界集·确界原理 1、有阶集的定义 定义1 设S 为R 中的一个数集。若存在数M （L ），使得对一切,S x ∈都有(),L x M x ≥≤则称S 为有上界（下界）的数集，数M （L ）称为S 的一个上界（下界）。 若数集S 既有上界又有下界，则称S 为有界集。若S 不是有界集，则称S 为无界集。 注：介绍有界集的几种等价定义，正面叙述无界集的概念。 例1 证明数集{} 为正整数n n N =+有下界而无上界。
Aldmin《数学分析》3第一章 实数集与函数---§2数集和确界原理
秋风清，秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。 授课章节：第一章 实数集与函数---§２数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。 教学要求：（１）掌握邻域的概念；（２）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加 以运用。 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。 教学难点：确界的定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。 引言 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内容。下面，我们先来检验一下自学的效果如何！ １．证明：对任何x R ∈有（１）|1||2|1x x -+-≥；（２）|1||2||3|2x x x -+-+-≥. ２．证明：||||||x y x y -≤-. ３．设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤. ４．设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<. [引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。 本节主要内容： １．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。 一 区间与邻域 １．区间（用来表示变量的变化范围） 设,a b R ∈且a b <。
六大定理互相证明总结
六大定理的相互证明总结 XXX 学号 数学科学学院 数学与应用数学专业 班级 指导老师 XXX 摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明. 关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理 1 确界定理 1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理 证明：设一无穷闭区间列{[,n a ] n b }适合下面两个条件： （1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b ) n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞ →n n n a b . 显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又 ()0lim =-∞ →n n n a b ∴βα= 即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1] 证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界 {}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y . 由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞N 时，
确界原理的证明
§2 数集. 确界原理 (一) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上、下界，上确界和下确界；确界原理 难 点： 上、下确界定义的理解、数集确界的证明 二) 教学目的： 1）正确使用区间和邻域概念，掌握集合的有界性的证明； 2）初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。 （三）基本要求： 1）掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合， 能指出其确界； 2）能用定义证明集合A 的上确界为ξ．即： A x ∈?有ξ≤x ，且 ,,00A x ∈?>?ε使得 εξ->0x ． (三) 教学建议： (1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置 证明具体集合的确界的习题． (2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习 题． 一 区间与邻域: 区间 邻 域 设a 与δ是两个实数，且0>δ，称点集 }|||{δ<-=a x x E 为点 a 的δ邻域，记作)(a U δ 称点集 }|{}|{)(δδδ+<<<<-=a x a x a x a x a U 为点 a 的去心δ邻域 记作)(0 a U δ . δ δ
a 的右δ邻域 }|{)(δδ+<≤=+a x a x a U a 的右δ空心邻域 }|{)(0 δδ+<<=+a x a x a U a 的左δ邻域 }|{)(a x a x a U ≤<-=-δδ a 的左δ空心邻域 }|{)(0a x a x a U <<-=-δδ ∞邻域 }||| {)(M x x U >=∞ ∞+ 邻域 }|{)(M x x U >=∞ ∞- 邻域 }|{)(M x x U -<=∞ 二 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界) 设 S 为实数R 上的一个数集，若存在一个数M （ L ）, 使得对一切 S x ∈ 都有 )(L x M x ≥≤，则称S 为有上界(下界)的数集。 若集合S 既有上界又有下界，则称S 为有界集。 例如，区间 ],[b a 、(,) (,a b a b 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 {} ) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集. 无界数集: 若对任意0M >，存在 ,||x S x M ∈>，则称S 为无界集。 例如，) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-，有理数集等都是无界数集, 例1 证明集合 ??? ??? ∈= =) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 是无界数集. 证明：对任意0M >, 存在 1 1 (0,1),,11 x y E y M M M x =∈= ∈=+>+ 由无界集定义，E 为无界集。 y x M M+1
数集 确界原理(经典课件).
§２数集?确界原理 教学内容：1．实数集的有关概念； 2．确界的概念和确界原理。 教学目的：1．使学生知道区间与邻域的表示方法； 2．使学生深刻理解确界的与确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。 教学难点：确界的定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学学时：2学时。 引言： 为了以后表述的方便，本节课我们先定义实数集Ｒ中的两类重要的数集——区间邻域；并讨论有界集与无界集；最后再由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。后者是我们以后关于实数理论研究的基础，应给予充分重视。 一、区间与邻域： １．区间（用来表示变量的变化范围）： 设,a b R ∈且a b <。 {}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ????∈<<=????∈≤≤=??∈≤<=?????∈<≤=?????∈≥=+∞?∈≤=-∞??∈>=+∞??∈<=-∞??∈-∞<<+∞=?开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间????????????? 注：∞+读作正无穷大；∞-读作负无穷大。 ２．邻域： 联想字面意思：“邻近的区域”。 设a 为任一给定实数，δ（Delta----德耳塔）为一给定正实数。 (1) 点a 的δ邻域：{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+ (2)点a 的空心δ邻域：{}),(),(||0)(δδδδ+?-=<- “R”指的是全体实数集合“?”一切 “a A ?∈”，表示对一切属于集合A的元素a 用定义证明没有最大上界 确界存在原理证明的学习笔记 北京师范大学郇中丹 这是我的学习笔记，里面的有些证明是王峻老师给出的。 确界存在定理是初学数学分析遇到的第一个学习难度大的定理，一是理解难度比较大，还有就是对定理重要性的认识不是很到位。 在看郇中丹的教学视频之前我反复看过这个定理两个不同版本数学分析教材中的证明，一个是陈纪修版，高等教育出版社的《数学分析第二版》（2004年6月第2版），一个是张筑生编著，北京大学出版社的《数学分析新讲》（1990年1月第1版）。当时我认为自己弄懂了这个定理的证明，但当我看到北京师范大学郇中丹的课堂教学视频实录（2006年9月25日的两节课，100分钟）后才发现自己还没有完全明白。郇中丹证明严谨，当然也就更难理解。我花了自己近一个月的业余时间，揣摩他的证明，弄明白了这个定理证明，整理了这份学习笔记。 采取双栏（左窄右宽）的方式是因为这个定理的证明非常长，当你从起点出发走的比较远时，你会发现已经经常会忘了自己到哪里了，又该去哪里，左边的窄栏帮你快速了解自己现在所处的位置，方便你继续前进。 一、定义上界和上确界 在证明过程中会反复用到这两个定义，尤其是上确界的定义，一定要搞明白． 1．上界 设A?R，A不是空集，b∈R，如果a A ?∈，都有a b ≤，称b是集合A的上界． 下面的问题是显然的． (1)非空有上界的实数集合A有最大上界吗？ 显然没有最大的上界．理由如下： 因为若b是集合A的上界，有 1 b b >，则a A ?∈，都有1 b b a >≥，即 1 a b b ≤<，那么 1 b也是集合A的上界．所以集合A没有最大的上界． 问题2即确界存在原理 第一章实数集与函数 2 数集·确界原理 一、区间与邻域 设a、b∈R，且a § 2数集和确界原理 授课章节：第一章实数集与函数一一§ 2数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念 . 教学要求： （1） 掌握邻域的概念； （2） 理解实数确界的定义及确界原 理，并在 有关命题的证明中正确地加以运用 教学重点 教学难点 教学方法 教学程序 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§ 实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！ 1、证明：对任何 x^R 有：(1) |x-1|+|X-2|31 ； (2) |x-1|+|x-2| + |x-3|>2. ((1 7| X —1]=|1+(X -2)|>1 — 2、证明：|x|-1 y| ^x-y|. 3、设a,b 亡R ，证明：若对任何正数S 有a +b vs ，贝U a 《数学分析》上册教案第一章实数集与函数石家庄经济学院数理学院 §1.2 数集和确界原理 授课章节：第一章实数集与函数---§1.2数集和确界原理 教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1) 掌握邻域的概念； (2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用. 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课. 一、区间与邻域 (一) 区间（用来表示变量的变化范围） 设a,b∈R且a §2 数集。确界 §2 二数集. 确界原理:一区间与邻域: 区间： 邻域 二有界数集. 确界原理: 1.有界数集: 定义(上、下有界, 有界) 闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集. 无界数集:对任意，存在，则称S为无界集。 等都是无界数集, 例证明集合是无界数集. 证明：对任意, 存在 由无界集定义，E为无界集。 确界 先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称 它为数集S的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。 精确定义 定义2 设S是R中的一个数集，若数满足一下两条： （1）对一切有，即是数集S 的上界； （2）对任何存在使得（即是S的最小上界） 则称数为数集S的上确界。记作 定义3设S是R中的一个数集，若数满足一下两条： （3）对一切有，即是数集S 的下界； （4）对任何存在使得（即是S的最大下界） 则称数为数集S的下确界。记作 例1 ⑴则 ⑵则 定理1.1(确界原理). 设S 为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。 证明（见教材） 例2非空有界数集的上（或下）确界是唯一的. 例3设和是非空数集，且有则有 . 例4 设和是非空数集. 若对和都有则有 证是的上界, 是的下界, 例5 和为非空数集, 试证明: 证有或由和分别是和的下界,有 或 即是数集的下界, 又的下界就是的下界, 是的下界, 是的下界, 同理有于是有 . 综上, 有. 2.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释. 3.确界与最值的关系: 设为数集. ⑴的最值必属于, 但确界未必, 确界是一种临界点. ⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. ⑶若存在, 必有 对下确界有类似的结论. 实数的连续性公理证明确界存在定理 定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。小于或等于上类B中的每一个实数。 定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。 定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。 定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。 定理五 Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。 定理六 Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。 定理七 Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：任给>0，存在N，当n>N，m>N时，有。 定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描 述，定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性）， 它们都是等价的。下面给出其等价性的证明： 定理一定理二：设数列单调上升有上界。令B是全体上界组成的集合，即 B= ，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。事实上，由有上界知B不 空。又单调上升，故，即A不空。由A=R\B知A、B不漏。又， 则，使，即A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本定理， 存在唯一的使得对任意，任意，有。下证。事实上， 对，由于，知，使得。又单调上升。故当n>N时， 有。注意到，便有。故当n>N时有 ，于是。这就证明了。若单调下降有下界， 则令，则就单调上升有上界，从而有极限。设极限为r，则 。定理二证完。 定理二定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集X非空，且有上界。则，使得对，有。又R是全序集，对， 与有且只有一个成立。故,有与有且只有一个成 立。故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。X有上界，实数是X的 上界。若不存在实数不是X的上界，则由上知，实数都是X的上界，这显然与X非空矛盾。故，使得不是X的上界，是X的上界。则使得。 用的中点二等分，如果是X的上界，则取 ；如果不是X的上界，则取。继续用 二等分，如果是X的上界，则取；如果 不是X的上界，则取。如此继续下去，便得到两串序列 。其中都不是X的上界且单调上升有上界（例如），都是X的上界且 单调下降有下界（例如）。并且（当时）。由单调上升 有上界知有存在，使得。下证。①事实上，对 ，，当时有。又都不是X上界对每一个， ，使得。故对，，使得。②若 ，使得，则由知。故 ，使得。又都是X的上界，故对有。而， 故，这是不可能的。故对，有。综上①、②即有。即X 有上确界存在。 第一章 实数和数列极限 第九节 上确界和下确界 一、 数集的界 设E 是一个由一些实数组成的集合。 定义 设E 是一数集。 （1）如果存在一个实数A ，使得对任何E x ∈，有A x ≥，则称A 是E 的一个下界； （2）如果存在一个实数B ，使得对任何E x ∈，有B x ≤，则称B 是E 的一个上界； （3）如果存在实数A 和B ，使得对任何E x ∈，有B x A ≤≤，那么E 称为有界集。 如果E 不是有界集，则称E 为无界集。 例如 （1） }:{*2N n n E ∈= 显然1=A 是E 的一个下界； （2） }:{*2N n n E ∈-=， 1-=B 是E 的一个上界； （3）}:{sin R x x E ∈=， 显然1-=A 是E 的一个下界； 1=B 是E 的一个上界； E 是一个有界集。 （4）}10:)1({<<-=x x x E ， 显然，0=A 是E 的一个下界； 4 1=B 是E 的一个上界； E 是一个有界集。 （5）}:{*1 N n n E n ∈=， 显然，显然1=A 是E 的一个下 界；我们知道，3)11(<+n n ，所以， 当3≥n 时，有n n n <+)11(， 于是，1)1(+<+n n n n ， 即得，n n n n 1 11 )1(<++，（3≥n ）， 所以，当3≥n 时，}{1 n n 是严格递减的，3113≤n n ，（3≥n ）， 又312132<，3131<，故3 13是E 的一个上界。 （6）}:)1{(*2N n n E n ∈-=， 显然，E 是一个无界集。 二 、上确界和下确界的 概念 §２数集?确界原理 【教学目的】1．使学生知道区间与邻域的表示方法； 2．使学生深刻理解确界的与确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用. 【教学重点】确界的概念及其有关性质（确界原理）. 【教学难点】确界的定义及其应用. 引言 为了以后表述的方便，本节课我们先定义实数集Ｒ中的两类重要的数集——区间与邻域；并讨论有界集与无界集；最后再由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.后者是我们以后关于实数理论研究的基础，应给予充分重视. 一 区间与邻域 １．区间（用来表示变量的变化范围） 设,a b R ∈且a b <. {}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ????∈<<=????∈≤≤=??∈≤<=?????∈<≤=?????∈≥=+∞?∈≤=-∞??∈>=+∞??∈<=-∞??∈-∞<<+∞=?开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间????????????? 注：∞+读作正无穷大；∞-读作负无穷大。 ２．邻域 联想字面意思：“邻近的区域”. 设a 为任一给定实数，δ（Delta----德耳塔）为一给定正实数. (1) 点a 的δ邻域：{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+ (2)点a 的空心δ邻域：{}),(),(||0)(δδδδ+?-=<-通过视频自学确界原理证明的学习笔记完整整理版zfy
数学分析1.2数集与确界原理
2数集和确界原理.
工科数学分析-数集和确界原理.
2 数集
实数的连续性公理证明确界存在定理
数分第一章第九节上确界和下确界
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