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四川省达州市高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

达州市2015年普通高中二年级春季期末检测

数学试题（理科）

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、在复平面内，复数2z i =+对应的点在（）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2、已知函数2221y x x =-+的导数为y '，y '=（）

A ．22x -

B ．41x +

C ．42x -

D ．21x + 3、已知随机变量()10,0.04ξ

B ，随机变量ξ的数学期望()ξE =（）

A ．0.2

B ．0.4

C ．2

D ．4 4、已知函数()x x f x e e -=-（ 2.71828e =???是自然对数的底数），()f x 的导数是（）

A ．偶函数

B ．奇函数

C ．增函数

D ．减函数 5、已知命题:p 若6

α=

，则1sin 2α=

；命题:q 若1sin 2α=，则6

α=．下面四个结论中正确的是（）

A ．p q ∧是真命题

B ．p q ∨是真命题

C ．p ?是真命题

D ．q ?是假命题 6、某电视台娱乐节目中，需要在编号分别为1、2、3、4、5的五个礼品盒中，装四个不同礼品，只有一个礼品盒是空盒．不同的装法有（）

A ．5种

B ．20种

C ．24种

D ．120种 7、“A ，B ，C ，D 四点不在同一平面内”是“A ，B ，C ，D 四点中任意三点不在同一直线上”的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

8、已知()32692f x x x x =-++，()f x '是()f x 的导数，()f x 和()f x '单调性相同的区间是（） A ．[]

[)1,23,+∞ B ．[]1,2和[)3,+∞ C ．

(],2-∞ D ．[)2,+∞ 9、八人分乘三辆小车，每辆小车至少载1人最多载4人，不同坐法共有（）

A ．770种

B ．1260种

C ．4620种

D ．2940种

10、已知函数()cos f x x x =，()f x '是()f x 的导数，同一坐标系中，()f x 和()f x '的大致图象是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

11、已知()23012331n

n n x a a x a x a x a x -=++++???+（n *∈N ），设()31n

x -展开式的

二项式系数和为n S ，123n n a a a a T =+++???+（n *∈N ），n S 与n T 的大小关系是（）

A ．n n S >T

B ．n n S

C ．n 为奇数时，n n S T

D ．n n S =T

12、已知函数()f x 的定义域是R ，()f x '是()f x 的导数．()5

14f =-，对R x ?∈，

有()f x e '≤-（ 2.71828e =???是自然对数的底数）．不等式()2215

ln 24

f x x x x <-的解集是（）

A ．()0,1

B ．()1,+∞

C ．()0,+∞

D ．1,12?? ???

第II 卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每小题5分，共20分．）

13、在1，3，5，7，11，13，17这七个数中取两个数作乘法，可得个不同的积（用数字作答）． 14、随机变量ξ的分布列为：

ξ 0

1 2 3

0.2

0.3

0.4

随机变量ξ的方差()D ξ= ． 15、()(

)

x x -+展开式中，14x 的系数为（用数字作答）．

16、已知函数()f x 的定义域是R ，()f x '是()f x 的导数，()1f e =，

()()()g x f x f x '=-，()10g =，()g x 的导数恒大于零，函数()()x h x f x e =-（ 2.71828e =???是自然对数的底数）的最小值是．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）下表是随机抽取的某市五个地段五种不同户型新电梯房面积x （单位：十平方米）和相应的房价y （单位：万元）统计表： x 7 9 10 11 13 y 40 75 70 90 105 ()I 在给定的坐标系中画出散点图；

()II 求用最小二乘法得到的回归直线方程（参考公式和数据：1

i i

i n

i x y n x y

n x ==-??=-?∑∑，

???y bx a =+，5

4010i i i x y ==∑）；

()III 请估计该市一面积为1202m 的新电梯房的房价．

18、（本小题满分12分）某军区新兵50m 步枪射击个人平均成绩X （单位：环）服从正态分布()2,μσN ，从这些个人平均成绩中随机抽取100个，得到如下频数分布表：

4 5 6 7 8 9 频数 1 2 26 40 29 2

()I 求μ和2σ的值（用样本数学期望、方差代替总体数学期望、方差）

； ()II 如果这个军区有新兵10000名，试估计这个军区新兵50m 步枪射击个人平均成

绩在区间(]7.9,8.8上的

人数[参考数据：0.80.9=，若()2

,ξμσN ，则

()0.

6826μσξμσP -<≤+=，()220.9544μσξμσP -<≤+=，()330.9974μσξμσP -<≤+=]．

19、（本小题满分12分）甲、乙两所学校的代表队参加汉字听写大赛．在比赛第二阶段，两队各剩最后两名队员上场．甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是0.6和0.8，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是0.7．通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛人数为0）．所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的．

()I 求第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等的概率；

()II X 表示第三阶段比赛甲、乙两队的人数差的绝对值，求X 的分布列和数学期望．

20、（本小题满分12分）已知函数()n

f x mx x

以()1,a 为切点的切线方程是380x y +-=．

()I 求实数m ，n 的值；

()II 求函数()f x 的单调区间；

()III 求函数()f x 切线倾斜角α的取值范围．

21、（本小题满分12分）已知如图，四边形CD AB 是直角梯形，//DC AB ，D AB ⊥A ，AP ⊥平面CD AB ，DC 22D 2=AB =A =AP ，点E 、F 、G 分别是PB 、C P 、D P 的中点．

()I 求证：C//A 平面FG E ；

()II 求二面角C D A-P -的余弦值．

22、（本小题满分12分）已知函数()2

1ln ln 2

f x x ax x x ax =

--+，()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x =有且只有四个单调区间． ()I 设()f x '的导数为()f x ''，分别求()f x '和()f x ''（两个结果都含a ）； ()II 求实数a 的取值范围；

()III 设n *

∈N ，试比较()()

1f n f n ''+-与32

a -的大小．

达州市2015年高中二年级春季期末检测

数学(理)参考答案及评分细则

一、选择题（每小题5分，共60分）[来源:学科网ZXXK]

1D 2C 3B 4A 5B 6D 7A 8B 9C 10C 11C 12B 二、填空题（每小题4分，共20分）

13．21 14．1 15．960- 16．0

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分10分) 解：（Ⅰ）散点如图所示：

……………………2分

（Ⅱ）由表可得：10x =，1

(40757090105)765

y =

++++=，……………………4分 5

2222221

79101113520i

i x

==++++=∑，……………………5分

∴2

401051076

10.5520510b -??=

=-?，……………………6分

∴7610.51029a y bx =-=-?=-，……………………7分

∴所求回归直线方程是10.529y x =-．……………………8分

(Ⅲ)因回归直线方程是10.529y x =-，所以当12x =时，97y =，即该市一面积为2120m 的新电梯房的房价约是97万元.……………………10分 18. (本题满分12分)

解:（Ⅰ）根据条件得随机抽取的100个成绩的分布列为:

4 5 6 7 8 9 频率

0.01

0.02

0.26

0.40[

0.29

0.02

……………………2分

∴()40.0150.0260.2670.480.2990.027E X =?+?+?+?+?+?=， ……………………4分

∴2

()(47)0.01(57)0.02(67)0.26(77)0.04D X =-?+-?+-?+-?+

22(87)0.29(97)0.02-?+-?

0.8=……………………6分

因样本成绩是随机得到，由样本估计总体得()7E X μ==，

2()0.8D X σ==． ……………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，(7,0.8)X N :.……………………8分 ∵0.80.9=，∴0.9σ=，……………………9分

∴1

(7.98.8)[(5.28.8)(6.17.9)]2P X P X P X <≤=<≤-<≤ 1

(0.95440.6826)2

=- 0.1359=……………………11分

所以这个军区新兵50m 步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]上的人数约为100000.13591359?=．……………………12分

19．(本题满分12分)

解：（Ⅰ）设ξ、η分别表示甲、乙通过第二阶段比赛的人数，ξ、η的可能取值都是0,1,2. ……………………1分

(0)0.40.20.08P ξ==?=，(1)0.60.20.40.80.44P ξ==?+?=，

(2)0.60.80.48P ξ==?=，(0)0.30.30.09P η==?=，(1)20.70.30.42P η==??=，

2(2)0.70.49P η===.……………………4分

设参加第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等为事件A ，则

()(0)(0)(1)(1)(2)(2)P A P P P P P P ξηξηξη===+==+==

0.080.090.440.420.480.49=?+?+?

0.4272=．……………………5分

答：第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等的概率为0.4272.……………………6分（Ⅱ）根据题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.……………………7分由（Ⅰ）得,(0)()0.4272P X P A ===，

(2)(2)(0)(0)(2)P X P P P P ξηξη====+==

0.480.090.490.080.0824=?+?=，

∴(1)1(0)(2)10.42720.08240.4904P X P X P X ==-=-==--=. ∴X 的分布列是

(10)

分

∴()00.427210.490420.08240.6552E X =?+?+?=.……………………12分 20．(本题满分12分) 解：（Ⅰ）∵()n

f x mx x

，∴()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，…………………1分 X

0 1 2 P 0.4272 0.4904 0.0824

且2

()n

f x m x '=-

．……………………2分在切线方程380x y +-=中，令1x =，得5a =．……………………3分

∴5

3m n m n +=??

-==-?

．

解得1m =，4n =．……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2

(2)(2)

()x x f x x

+-'=

，……………………5分当x 变化时,函数()f x 、()f x '变化情况如下表：

x (,2)-∞-

2- (2,0)- (0,2) 2 (2,)+∞

()f x ' +

()f x

↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗

所以函数()f x 的单调增区间是(,2]-∞-，[2,)+∞,单调减区间是[2,0)-，(0,2] .……………………9分 (Ⅲ)由（Ⅰ）知，2

()11f x x '=-

<,……………………10分 ∴函数()f x 切线倾斜角α的取值范围是[0,

)(,)42

πU .……………………12分 21．(本题满分12分)

（Ⅰ）证明：∵点E 、F 、G 分别是PB 、PC 、PD 的中点， ∴EF ∥BC ，GF ∥DC .……………………1分

∵EF ?平面ABCD ，GF ?平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，DC ?平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD ，GF ∥平面ABCD .……………………3分 ∵EF GF F =,

∴平面EFG ∥平面ABCD .……………………5分 ∵AC ?平面ABCD ，

∴AC ∥平面EFG ． ……………………6分

[来源:Z|xx|https://www.wendangku.net/doc/6817797537.html,]

（Ⅱ）解：根据条件，直线AB ，AD ，AP 两两垂直，分别以直线AB ，AD ，AP 为,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设1AB =，∵222DC AB AD AP ===， ∴(2,1,0),(0,1,0),(0,0,1)C D P

∴(2,1,0),(0,0,1),(2,0,0),(0,1,1)AC AP DC DP ====-.……………………8分

设111222(,,),(,,)n x y z m x y z ==r u r

分别是平面ACP 和平面CDP 的一个法向量，

∴,,,n AC n AP m DC m DP ⊥⊥⊥⊥， ∴0,0,0,0n AC n AP m DC m DP ?=?=?=?=，

即11120,0.x y z +=??=?，222

20,0.x y z =??-+=?．

不妨取121,1x y ==，得(1,2,0),(0,1,1)n m =-=．……………………10分 ∴210

cos ,552

n m n m n m

?-<>=

=-??．……………………11分

∵二面角A PC D --是锐角，∴二面角A PC D --的余弦值是10

．……………12分 22．(本题满分12分) 解：（Ⅰ）∵2

1()ln ln 2

f x x ax x x ax =

--+，∴()y f x =的定义域是(0,)+∞， ……………………1分且1

()ln f x x a x x

'=--

，……………………2分 ∴222

()1a x ax f x x x x -+''=-+=．……………………3分

（Ⅱ）∵()y f x =有且只有四个单调区间，∴关于x 的方程()0f x '=有三个解．

∴关于x 的方程()0f x ''=有两个不同实根，设这两个根为12,x x ，根据条件，这两个根是正根，且12()()0f x f x ''?<．

∵2

10x ax -+=，∴2()40a ?=-->且0a >，解得2a >．……………………5分

下面验证2a >时，12()()0f x f x ''?<．不妨假定12x x <，

(方法一)由条件得121x x =，∴1201x x <<<，……………………6分 ∵122

()()

()x x x x f x x

--''=

， ∴当x 变化时，函数()f x '，()f x ''变化情况如下表： x

[来源:学科网ZXXK]

1(0,)x 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞

()f x '' + 0

+ ()f x ' Z

极大

]

极小

∵(1)0f '=，∴()f x '极大1()0f x '=>，()f x '极小2()0f x '=<．……………………7分

由于2a >，∴0(0)x x →>时，()f x '→-∞．又224

222

a a e a a x +->>>>=，

令2()1(2)a F a e a a =--≥，则2a >时，()20a

F a e a '=->，即()F a 在区间[2,)+∞上单调递增，∴2a >时，2

()(2)50F a F e >=->， ∴2

11()ln ()0a

a a a f e e a e e a F a e e

=--

=-->>，∴()0f x '=有三个零点．综上所述，实数a 的取值范围是(2,)+∞．……………………8分

(方法二)∴2142a a x --=，224

a a x +-=．

设2244()ln (2)2a a a g a a a +--=-≥，则2a >时，2222(2)()04

a g a a a -'=>-，

∴()g a 是区间[2,)+∞上的单调增函数，

∴当2a >时，()(2)0g a g >=，∴2244

ln 2a a a a

+-->

……………………6分． ∴222222441

ln 224

2441

ln 224

a a a a a a a a a a a a a a ?+

-+->-?+-????

----?<-?--???

，即1()0f x '>，2()0f x '<．……7分

∵122

()()

()x x x x f x x

--''=

， ∴当x 变化时，函数()f x '，()f x ''变化情况如下表：

1(0,)x

1x 12(,)x x 2x 2(,)

x +∞[来源:

学&科&网Z&X&X&K]

()f x '' + 0

+ ()f x '

极大值(大于零)

]

极小值(小于零)

由于2a >，∴0(0)x x →>时，()f x '→-∞．又224

222

a a e a a x +->>>>=，

令2

()1(2)a

F a e a a =--≥，则2a >时，()20a

F a e a '=->，即()F a 在区间[2,)+∞上

单调递增，∴2a >时，2

()(2)50F a F e >=->， ∴2

11()ln ()0a

a a a f e e a e e a F a e e

=--

=-->>，∴()0f x '=有三个零点．综上所述，实数a 的取值范围是(2,)+∞．……………………8分 (Ⅲ)设()ln(1)h x x x =-+(0)x ≥,当0x >时,1

()101

h x x '=-

>+, ∴()y h x =在[0,)+∞上是增函数,即0x >时,()(0)0h x h >=,即ln(1)x x >+

∴11

ln(1)n n

>+.……………………9分由（Ⅰ）知，2a >，∴1ln(1)a

a n n

-+≥-．……………………10分

∵1

()ln f x x a x x

'=--，

∴11

(1)()1ln(1)ln 1f n f n n a n n a n n n

''+-=+-+--+++

111

1ln(1)1

a n n n =-++-

+1111a n n n >-+-+ 1113111122a a a n n -=--≥-+-=-+……………………11分

∴3

(1)()2

f n f n a ''+->-．……………………12分